单元过关(六)三角函数的图象与性质-【衡水真题密卷】2026年高考数学单元过关检测(B版)

·数学· 参考答案及解析 y-2m2-号a-8. (1,十∞)上单调递增； 当0<a<1时，F(x)在(0，a),(1,十∞)上单调 即x-4y+81n2-3=0. (3分) 递增，在(a,1)上单调递减； (2)解：F(x)=r-a-a十1)f(x-1)=x 当a=1时，F(x)在(0，十∞)上单调递增； x 当a>1时，F(x)在(0,1)，(a,十∞)上单调递 -(a+1)lnx,x∈(0，+∞)， 增，在(1，a)上单调递减 (11分) x F'x)=1±aa+1-x-(a+1)x千a (3)证明：函数ga)=c+1h1+）-h(2+) 22 g(x)的定义域为(-∞，-1)U(0,十∞). (x-1)(x-a) (5分) 若]m∈R,使得曲线y=g(x)关于直线x=m 对称， 当a≤0时，令F'(x)>0,得x>1,此时F(x)单 则（一∞，一1）U(0,十∞)关于直线x=m对称， 调递增 1 令F'(x)<0,得0<x<1,此时F(x)单调递减； 所以m=一 (14分) (6分) 当0<a<1时，令F'(x)>0,得0<x<a或x> 由g-10(加+）-(+-) 1,此时F(x)单调递增；令F'(x)<0,得a<x< x+I-In 2x+1 x+1三xlnx十1-ln ,2x+1 1,此时F(x)单调递减； (7分) 一xln x x+1 当a=1时，r')=》≥0恒城立， (1x十-lnrx+1-1十x)h 故F(x)在(0，十∞)上单调递增； (8分) 2x+1 -In 当a>1时，令F'(x)>0,得0<x<1或x>a, x =g(x), 此时F(x)单调递增； 令F'(x)<0,得1<x<a,此时F(x)单调递减. 可知曲线y=g(x)关于直线x=- 2对称 (10分) (17分) 综上，当a≤0时，F(x)在(0,1)上单调递减，在 2025一2026学年度单元过关检测（六） 数学·三角函数的图象与性质 一、选择题 1.D【解析】f(x)的对称轴的方程为x=2十bπ， 所以y=一 k∈Z,当k=一2时，x=一2· 3π an(2x-3）的单洞递减区间为 4 2.C【解析】画出两函数图象如图所示， 管+5经+}ez YA 4.C【解析】把y=3sin(c十)的图象上所有点的 π10 纵坐标伸长到原来的3倍（横坐标不变），得到 g1=0,1g10=1,cosx∈[-1,1]，可得f(x)与 y=4n女十）的图象，再向右平格管个单位长 g(x)图象的交点个数为3 度得到y=4sime一）的图象。 8.C【解折】当-否+k<2z-3<名+kx6∈Z 5.B【解析】由函数图象可知A=(5-1)÷2=2, 时，y=一tan2x-3）单调递减， B=5-2=3,f(0)=2sinp十3=2，所以sinp=-2, ·19· B 真题密卷 单元过关检测 因为<行，所以9=-石因为f(君）= 二、选择题 2m(-）+3-1,所以一g-若-营十 9.ABC【解析】画出y=1十cosx在x∈（行，2）的 图象，如图所示， 2kπ，k∈Z,所以w=2-12k,k∈Z,又0<w<4, 所以a=2.所以fx)=2sin2x-石）+3. 6.A【解析】对于Af()=6as(经-2r)=-m2z, f(-x)=sin2x=-f(x),所以函数f(x) 2元 m区-2如)是奇品数，又最小正月为T=码=元 2n 故A正确；对于B,因为sin[π(x十π)]=sin(元x十π2) ≠sinπx,所以π不是f(x)的周期，故B错误；对 则可得当t<0或t≥2时，y=1十cosx与y=t 于C,fx)=sin(管-2z）=cos2x,f(-）= 的交点个数为0； 当=0或2≤<2时y=1十msx与y=1的交 sn(+2z=ams2z=fx,所以f)=sn（22z 点个数为1： 是得函数，放C错误：对于D因为）=m(。）的 当0<<时，y=1十60sx与y=1的交点个教 为2. 最小正周期T =2π，所以π不是f(x)的一个周 1 2 10.BC【解析】对于A,f(x)的最小正周期为，则 期，故D错误 2π =4,故A错误； 7.B【解桥】由题可得g)=m2r-管+》，因 对于B,由A可知，fx)=7c0s(4红-)，则 为a>0,所以当0<x<背封，2r-5+智∈ (-+竖+），因为g)在(0，）上单调通 f(-）=7as4x(-）--7as(-x)- -7,故x= 「+ 沿是了（✉）图象的一条对帮和，故B 2 又w>0,解得0≤有 正确； 增，所以 管+， 对于C,f(）)=7os(4×叠-）=7es霜， 8.D【解析】因为f(x)=2 sin wx(w>0)的图象关 于原点对称，并且在区间「一刀，] f(经）=ioms4x-》-es。 4’3] 上是增函数， 因为在x∈(0，π)时，y=7cosx单调递减，则 2π 所以≤写所以T≥ 3,又 @=T'得0<u≤ f()>f(),故C正确： (w>0, 对于D,令4x一 3 4=2十元，则x=3π 4十16则 巨今fx)=2 Zsin w=2,得x=2+(∈Zy 所以f(x)在(0，十∞)上的图象与直线y=2的第 玉软阳象的对装中心为+器小，么，收D 错误. 一个交点的横坐标为2，第二个交点的横坐标为 11.AC【解析】对于A,观察图象可得，A=2, 品+所以乙≤+解释1w<5, 2w≤2<2a+。 f)的最小正周期T=4肾-)=x-径解 3 综上所述，1≤w≤2· 得=2,由f(侣）=2，得2X登+=+2 B ·20· ·数学· 参考答案及解析 ∈而g<受，则质=0，g-哥所以f）- 1u号<a<名6【解折】由xE(行小，得a 2sin2z+）,故A正确；对于B,将fx)的 (份-m-g） 国象向右平移个单位长度后得到西数) 因为f)在（经，）上单调递减， 2sn2(-）+引-2m2,故B错误：对 0≥2 所以 于C,当xe 7π13π 12’12 时，2x+∈， 22而 ≤π十2kπ， xw一6 正弦函数y-sinx在 3π5π 2'2 上单调递增，因此 2k,k∈Z.因为≤T=元 22w ，所以0<ω≤2， 7π13π 1 7 f(x)在区间 12'12 上单调递增，故C正确；对于 所以当为=0时，3≤w≤6 4π D,因为fx1)=f(x2),取x1=3z=3,满足 若w为正整数，则w=1,f)=2o(-）, 条件，此时了十)=2n2十)+ f()-2con(-) 1π=一5，故D错误. 2sin3 作出y=0sx与y=2aos(z-若）在xE[0,2]时 三、填空题 的函数图象如图所示， 12.10sin6Ot【解析】设∠AOB=0,过点0作0C LABe足为C,则1AC=OAm号-5m号， 0 即d=2Ac=10an2, y=fx) 当1∈0,30]时，0=30，d=10sin2=10sin602: 由图象可知，曲线y=cosx与y=f(3x)交点的 个数为6. 当1e(060时，9=2x0,d=10sin 四、解答题 15.解：(1)令2kr-x≤2x十元≤2kx(k∈Z),得k元 10simx-高）=10ein高， 4 综上，d=10sin604∈0,60]. ≤ 8k∈2)， 所以∫(x)的单调递增区间为 (k∈Z) (5分) ②令-2x1肾由e,可得e[臣 「5π (7分) 3π 13.没有确定sinx的取值范围；3【解析】在使用基 所以当t=,即x=g时ym=6×(-1)=6, 本不等式时应验证取等条件，本题若使用基本不等 (9分) 式等号成立的条件为sinx=2,这是不可能的，应 当=音即x=0时9=5X号-5 该令sinx=t∈(0，f(x)=g)=t十乙，t∈ (12分) (0,1],在定义域内g(t)单调递减，故最小值为 g(1)=3,所以f(x)的最小值是3. 即当x8时，f在)取得最小值-6，当x=0 ·21· B 真题密卷 单元过关检测 时，f(x)取得最大值√3 (13分) 16.解：(1)观察图象可得，A=2,f(0)=2sinp=1, 即当x∈女z-行+x,k∈乙时取得最小值， 最小值为2. (15分) 即sinp=2,又0<p<2,且0在f(x)的递增 18.解：(1)由图可得A=√2， (2分) 区间内，则g=石放fx)=2sin(ax+君）， 由3T=1x天=9x3红 车=12一6=2，则最小正周期T=元， (3分) 2x_2r=2, (4分) 由f(）=2an受+）=0，特登+音 又当x=名时，fx)取到最大值，则2X音+甲 十2张k∈乙解得w=2+台k∈乙， 2+2kx,k∈Z,所以9=日+2kx,k∈Z 12 5 又09<，所以9-吾， (6分) 因此k=0,w=2, (5分) 所以fx)的解析式为fx)=2sin(2x+）》: 所以fa)=2sin2x+若)】 (7分) (6分) (2)当x∈[π，m)(m>π)时， (2)由1)知，f(-x)=2sin(-2z+若)，当x∈ 2+em+ (10分) 若f(x)在区间[x,m)(m>x)上存在最小值， [-时，-2z+ 2π11π 36 ,(10分) 则2m+<1或2m+百>受， 而正弦函数y=sinx在 2x,3上单调递减，在 3’2 解得<行或m→ 5π (15分) 3元11π 26 上单调递增， 所以实数m的取值范国是(。，智U(管十） (17分) 19.(1)解：因为u(x)=0·x+sinx,其中sinx为 2≤2sin(-2x+若）≤5， (14分) 周期函数，所以u(x)为“好函数”， 所以f(一x)在一6，一4 5元π 若v(x)=x十x2为“好函数”，则3k∈R和周期 上的值域为[一2，W3]. 函数h(x),使得v(x)=kx十h(x), (15分) 所以h(x)=x2十(1一k)x为周期函数，又由二 17.解：(1)f(x)=√3sin2x+2cos2x+m=√3sin2x+1 次函数性质可得，当且仅当x=。时，()取 +cos 2x+m-2sin(2x+)+m+1, (2分) 最小值，这与h(x)是周期函数矛盾，所以v(x)不 是“好函数” (3分) 因为z,引，所以2+[后，7 ,所以 (2)(i)解：由g(f(x)=x,f(x)=2x,可得 R()-3t (5分) 所以f(x)的最大值为3+m,所以3+m=6, (iⅱ)证明：若f(x)是周期函数，设T(T>0)是 m=3. (5分) f(x)的一个周期， 则x=g(f(x)=g(f(x+T)=x十T,这与T 2由a)得fx)=2sin(2z+君）+4， (6分) >0矛盾，所以f(x)不是周期函数. (8分) 当x∈R时，f(x)的最小值为2， (8分) ()证明：因为f(x)是“好函数”，所以3k∈R 2 此时2+看-经+26x快∈D,解得x= 和周期函数h(x),使得f(x)=x十h(x), 由（ⅱ）知≠0，否则f(x)是周期函数，矛盾， kπ(k∈Z), (12分) (10分) B ·22· ·数学· 参考答案及解析 令r)=ga) 则g(y)=g(f(x1)=x1,g(y)=g(f(x2))= x2,矛盾. (15分) 以下证r(x)是以kT为周期的周期函数，T是 所以g(x十T)=g(x)+T,即f[g(x+T)] h(x)的周期， =f [g(x)+T],x+kT=k [g(x)+T]+ rc+T)=ra),即g红+T)-是（红+T) h [g(x)+T],x=kg (x)+h [g(x)]= f [g(x)], =8c)-元，即gx+T)=g)十T, 所以r(x+kT)=r(x). 1 (12分) 所以g(x)=右x十r(x)是“好函数”.(17分) 假设3x1卡x2,使得yo=f(x1)=f(x2), 2025一2026学年度单元过关检测（七）】 数学·三角恒等变换 一、选择题 所以cosa≠0且sina一cosa≠0，即cosa≠0且 sin a-2cos a 2 tana≠1. 1.B【解析】由 sina+3cosa3,得anaC22 tana+33’ sm2a-2ca。=3,印nia+coca-2 in2 1-sin 2a 解得tana=12. 已知 2sin acos a-2 cos'a 2.B【解析】由题意得tan(a十π)=tana=2, =3,所以ama+1-2tana-=3, cos a 1 1 2tan a-2 2sin a 3cos a 2tan a-32X231. 所以tana-8tana+7=0,且tana≠1，解得tana 3.A【解折】由m&-一号e∈(，）得msa 2 2tana_2×7__7 =7,所以tan2a=1-tana-1-724 6C【解桥】周为a≠经k∈Z,所以ma≠0， 得如=--(-7， 因为a的终边过，点P(tana,4),所以tana= 4 ,解得tana=士2， tan a 所以cos(B+a)=cos Bcos a-sin Bsin a= 3 sin 2a+1 2sin acos a+cos2a+sin2a (》(9）×()-3527 cos 2a+1 2cos2a-1+1 12 1 1 4.D【解析】因为sina,sinB是方程4x2+2x-1 -tan a+2+2tan'a, =0的两个根， 当tana=2时， sin 2a+1 2子 2 sin asin 0,sin asin 0. sin 2a+1 -2++× 1 当tana=-2时， cos 2a+1 又a9e(受，》则eos>0,osg>0, (-2-日第上02十27 sin 2a+1 9 1 故cos acos B=√(1-sin'a)(1-sinB) =1-(sin2a+sin2B)+sin2a sin2B 7.A【解折】因为r)-m管+）m(行） =1-(sin a+sin B)2+2sin asin B+(sin asin B)2 11,15 =(受+)cas臣（后-竖】 =1-4-2+164 5.C【解析】因为sin2a-2cos2a≠0， =sn管+g）eas管+）-n(ar+） 所以2 sin acos a-2cos2a≠0， 即2cosa(sina-cosa)≠0， 因为xeo,,所以a+e+）格 ·23· B与其抱怨黑暗，不此提灯前行 2025一2026学年度单元过关检测（六） 5.已知函数f)=Asim(ax十p)+BA>0,0<u<4,p<）)的部分图象如图所示，则 班级 卺题 数学·三角函数的图象与性质 f(x)= 姓名 本试卷总分150分，考试时间120分钟。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项 得分 是符合题目要求的。 题号 1 4 6 7 8 答案 1.函数fx)=nx+2的一条对称轴方程可以为 A.2siml2z+）+3 B2sim2x-g）+3 () A.z-T B.x=0 C.2sm3z+g）+3 D.2sm3x-g）+3 cx=-君 D. 6.已知函数f(x)为奇函数，一个周期为，则f(x)的解析式可能为 () 2,函数f(x)=lgx与g(x)=cosx图象的交点个数为 () Ao经-2z B.sin A.1 B.2 C.3 D.4 C.sin(-2) D.tan(-z) 3函数y=一tn2z-）的单调递减区间是 () 7.将函数f)=sin(r十》。>0)的图象向右平移个单位长度，再将所得图象上所有 Akx+吾ka+ez Bk✉+kx+}ez 点的横坐标缩短为原来的号，纵坐标不变，得到函数g女)的图象，若g:)在0，）上单 c经+“+）kez n管g经+kez 调递增，则w的取值范围为 () 4.已知函数y=3sime+）的图象为C,为了得到函数y=4sim一）的图象，只要把C A6 n.. 上所有的点 () 入横坐标伸长到原来的倍，横坐标向左平移个单位长度 c 且横坐标笔短到聚来的子，横坐标向左平移学个单位长度 8已知函数f)=2nro>0)在区间[一，到上是增函数，若f)在b,哥引上的图 象与直线y=2有且仅有一个交点，则m的取值范围是 () C.纵坐标伸长到原来的专倍，横坐标向右平移个单位长度 A.[2,5) B.[1,5) D纵坐标缩短到原来的子，横坐标向右平移号个单位长度 3 C.1,2 n别 单元过关检测（六）数学第1页（共8页） 真题密卷 单元过关检测（六）数学第2页（共8页） 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 12.某时钟的秒针端点A到中心的距离为5cm,秒针匀速绕O点旋转，当时间t=0s时， 题号 0 点A与钟面上标12的点B重合，将A,B两点间的距离d(cm)表示成t(s)的函数，则 答案 d= cm,其中t∈[0,60]. 18小样同学见到这样一道题：求函数f)=nx+∈o,引的最小值”，他的 2 9,函数y=1十c0sx,z∈货，2x的图象与直线y=1u为常数)的交点可能有 () A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 过程如下：“fz)=sinx+2 2 x≥2，inx snx=22”.但老师却给他判了错误， 10.已知函数fc)=7cos(or-）o>0)的最小正周期为受，则 () 他错误的原因是： ,此题的正确答案是： A.w=2 14.已知m>0,函数f)=2coar一君）在（货，上单调递减，则m的取值范围是 B.直线x=一 是1)图象的一条对称轴 ,若w为正整数，则当x∈[0,2π]时，曲线y=cosx与y=f(3x)交点的个 c) 数为 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 DfG)图象的对称中心为经+活。k∈Z 15.(13分)已知函数f)=6os2x+） 11.已知函数f)=Asin(aux十p)(A>0,w>0,p<)的部分图象如图所示，则下列结 (1)求f(x)的单调递增区间： 2 论正确的是 () (2)当x∈0,8 π 时，求f(x)的最值， Afx)=2sin2x+》 B将了G)的图象向右平移个单位长度后得到函数)=2s如2：的图象 Cf)在区向设 上单调递增 D.若f(x)=∫(x),则f(x1十x)=5 单元过关检测（六）数学第3页（共8页） 真题密卷 单元过关检测（六）数学第4页（共8页） 16.(15分)已知函数f(x)=Asin(wx+)(A>0,w>0,0<9<2x)的部分图象如图所示. 17.(15分)已知函数f(x)=3sin2z+2cosx+m在区间0,2 上的最大值为6. (1)求常数m的值： (2)当x∈R时，求f(x)的最小值以及相应x的集合 12 (1)求f(x)的解析式： 2)求一在票。到上的值镜 单元过关检测（六）数学第5页（共8页） 真题密卷 单元过关检测（六）数学第6页（共8页） 18.(17分)已知函数f(x)=Asin(x十g)(A>0,w>0,0<p<π)的部分图象如图所示. 19.(17分)若k∈R和周期函数h(x),使得f(z)=kx+h(x),则称f(x)是“好函数” (1)判断u(x)=sinx,v(x)=x十x2是否是“好函数”，并证明你的结论. (2)对Vx∈R,函数f(x),g(x)满足g(f(x)=x,f(g(x)=x.若f(x)是好函数， (1)当f(x)=2x时，求g(x). ()证明：f(x)不是周期函数， (1)求f(x)的解析式： (■)证明：g(x)是好函数 (2)若f(x)在区间[π，m)(m>x)上存在最小值，求实数m的取值范围. 单元过关检测（六）数学第7页（共8页） 真题密卷 单元过关检测（六）数学第8页（共8页）