单元过关(四)幂函数、指数函数与对数函数-【衡水真题密卷】2026年高考数学单元过关检测(B版)

·数学· 参考答案及解析 4m=-nx2+2mnx+4n-4mn, (4分) 由对称性可知∫(x) 1,2-2)上单调递增，在 〔-n=2, 故2mn=-4m, 解得m=2,n=-2. (6分) (2-，2上单调递减， 4n-4mn=4m, 2x=-2十2 4 4 (i)g(x)=2-x =一2 所以fx)在0，)上单调递减，在(？，2)上 x-2’ 则g)在x∈一2,3 上单调递增，所以 单润递增，在2-，习上单调递减。 结合对称性可得A=[f(2),f(0)]或A= g(x2)的值域为[-1,4幻： 设f(x)在[0,2]上的值域为A, [号)-： (12分) 47 对Hx1∈[0,2]，总3x2∈ 一2,3，使得f(x)= 因为0<a<2,所以f(0)=a+1∈(1,3)， g(x2)成立，则A二[-1,4幻. (8分) f）÷at1ea,2. 当x∈[0,1]时，f(x)=x2-ax十a+1, fx)的图象开口向上，对称轴为x=2,且f(①)-2 又f0)+f2)=4f()+f2-2)=4, 所以f(2)=3-a∈(1,3)，f(2-2)∈(2,3)， ①当？≤0，即a≤0时，f(x)在[0，上单调递增， 所以当0<a<2时，A三[-1,4幻成立.(14分) 由对称性可知，f(x)在[1,2]上单调递增，所以 f(x)在[0,2]上单调递增， ③当%≥1，即a≥2时，f(x)在[0,1】上单调递减， 因为f(0)=a+1,f(0)+f(2)=4, 由对称性可知f(x)在[1,2]上单调递减，因为 所以f(2)=3-a, f(0)=a+1,f(0)+f(2)=4, 所以A=[a+1,3-a],由A二[-1,4幻，可得 所以f(2)=3-a,所以A=[3-a,a+1],由 a+1≥-1， f3-a≥-1， 4≥3-a, 解得-1≤a≤0. (10分) 4≥a+1, a≤0， A三[-1,4幻，可得 解得2≤a≤3. a≥2， a+1<3-a, 3-a<a+1, ②当0<号<1，即0<a<2时，fe)在0，）上 (16分) 综上所述，实数a的取值范围为[一1,3]. 单调递减，在(1 上单调递增， (17分) 2025一2026学年度单元过关检测（四） 数学·幂函数、指数函数与对数函数 一、选择题 画出y=f(x)与y=m的大致图象， 1.C【解析】由已知得，2=2”，解得a=2,即y= xz,所以f(x)=x豆，所以f(100)=10. 2.B【解析】依题当H+门=10-7时，pH=-lg10- =7,所以该纯净水的pH值为7. 3.D【解析】函数g(x)=f(x)一m的零点个数， 结合图象可知，当y=f(x)与y=m图象的交点 即为y=f(x)与y=m图象的交点个数， 个数为3或4时，m的取值范围是(0,1]U[2,4] ·11· B 真题密卷 单元过关检测 4.A【解析】由己知得， 令f(x)=t,则函数y=t2-at十1至多有两个零 f(1)f(0.5) f(1) f(2) f(0.5) 点t1,t2, f(0)f(0)f(0.5) =4,f0) f(0) 而f(x)=t1至多有三个根，同理f(x)=t2至多 f(1).f(1.5).f(2) =42, 有三个根， f(0.5)f(1)f(1.5) f(3)f(0.5)f(1) 要想g(x)=[f(x)]2-af(x)+1有六个不同 f(1.5) f(2) f(0)f(0)f(0.5)f(1) f(1.5) 的零点， ,f②‘f2.=4,所以f) f(2.5)f(3) 则需y=t2一at十1有两个不相等零点t1,t2,不妨 f(0) =4, 设t1<t2, 又f(0)=3,所以f(x)=3X4. 且f(x)=t1和f(x)=t2均有三个根，且根各不 5A【得折]登f)=,则f-)= 相同， 所以t1,t2∈(0,2)，由韦达定理得t1t2=1,t1十t2 e--ere-r-er =-f(x),所以f(x)为奇函 =a, el-+elxl 数，故B错误； 显然∈1,2故1∈（分，1， 当x≥0时，f)=e et-ez 1 =1-e2x=1- 故a=+=+(份小， 由x≥0，得e2r≥e°=l, 所以0<≤1，所以0≤1-<1，故CD错， 由对与画我丝质得a4在∈（仔）上华 调递减， A正确. 6.D【解析】该函数为指数型复合函数， 所以a=t十 令g(x)=ax2=2x,对称轴为x=,当0<a<) [△=a2-4>0, 时，要使f(x)=ar2-2x(a>0,且a≠1)在区间 此时满足 故a∈2,8)】 飞，门上单洞地塔，则日>≥7，则0<a≤ 二、选择题 当a>1时，要使f(x)=ar2-x(a>0,且a≠1) 9.AC【解析】对于A,由f(x)是暴函数，得8m2-5 在区间[4，刀上单调递增，则上≤4，则≥ ,则a 1,解得m=士，故A正确；对于B,C,fz)=是 >1. =x,则f(x)的定义域为[0，十o∞)，所以f(x)为 1 综上，实数a的取值范国为(0,7U1,+∞). 非奇非偶函数，故B错误，C正确；对于D,由于f(x) 7.C【解析】因为f(x)为R上的奇函数， =x在[0，十∞)上单调递增，且f(2x十1)>f(5- 所以∫(0)=a十1ogo.51=0,解得a=0, x),可得0≤5-x<2x+1,解得 4、 <x≤5，即不等式 logo.5(x+1),0≤x≤1， 所以fx)za-2),1<r≤3， f(2x+1)>f5-x)的解集为(4,5 35 ,故D错误. 因为f(x)=f(x一6)，所以f(x)的一个周期为6， f(2021)+f(2025)=f(-1)+f(3)=-f(1)+ 1a.0D解标】由函数f)=a(分》 十b的图象 f(3)=-log.52+3=4. 8.B【解析】画出f(x)=min{2x2+4x十2,2-x}的 过原点，可知了0=（分》 +b=a+b=0, 图象如图所示： 由函数f(x)=a2】 1 十b的图象无限接近直线 4.5 y=2但又不与该直线相交，可知b=2, 所以a=一2，故A错误； 2》 x 由函数f(x)= 十2，可知f(-x) I-z1 x -2.5-102x -2()+2=-2) +2=f(x), B ·12· ·数学· 参考答案及解析 所以f)=-2公)+2是锅高数. 由fx)=f2-x),可得(x-a)n-2 当x≥0时，由指数函数的性质可知f(x) （2-x-a)n22x-2,故红-a)n2 -2分) +2= 2》 ( x-1 2-x x +2=2- 是增 函数， z+a-2yh则x-a-z十a-2解得a-1。 所以有f(-2)=f(2)>f(1),故B正确； 故A正确； 当0<x1<x2时， 所以f)=-1n子，所以h=一2，故C 正确； -传学--侵+ -3 f(-1)=（-2)1n-=-81n3,故D正确. 三、填空题 -()》+份)”+（份》≥ m2-4m+4=1, 12.1【解析】根据题意可得 5-2m>0, g)学+g-0 解得m=1. 13.g(x)=x一1（答案不唯一）【解析】g(x)的解 由于x1≠x2,所以上式等号不成立， 析式为g(x)=x一1（答案不唯一），理由如下， 即有f士）>[fx)+f]改C正璃： 因为当x≥0时，f(x)=ln(1十x)在区间[0，十o∞)上 单调递增， 由方程fx)-2f)=0,可得fx)=0或 1 当x<0时，f(x)=x一1在区间(-∞，0)上单 调递增，且1n(1+0)=0>0-1=-1, 所以当g(x)=x一1时，函数f(x)= ln(1+x),x≥0， 而当x≥0时，由指数函数的性质可知f(x)=2 x-1,x<0 为R上的增函数 单调递增， 12,》【解折】因为画黛y=一士关子愿点对 所以1x)≥f0)=?-(分) =0, 称，故y=关于点4,0)对称，考虑1=2令 则根据f(x)是偶函数，可知f(x)=0在R上只 1 有唯一解， t=4,则2=4，解得x=2,故f(x)=4-2对称 当20时，由f)=得f)=2-(》- 中心的横坐标为2， 故设对称中心的坐标为(2，a),则f(2十x)十 2,解得x=2-10g23, 1e)-2,可得+2-× 1 再根据f(x)是偶函数，可知f(x)= 有两个解 (12+2”)=解得a=8 1 1 所以方程P()一2fx)=0有3个实数根，故D 四、解答题 15.解：(1)由f(x)=(m2+3m-9)xm-1为幂函数， 正确。 得m2+3m-9=1, 1.ACD【解析】函教fx)=红一Q)Ph乙+也的定义 解得m=2或m=-5, (2分) x 又f(x)在(0，+∞)上是减函数，则m-1<0,即 城满足+>0，即xx十b)>0,由f(2一x)= m<1, f(x),可知f(x)的图象关于直线x=1对称，故 所以m=-5,f(c)=x=1 6 (5分) f(x)的定义域关于x=1对称，则x(x十b)>0的解 集只能为(-∞，0)U(2,+∞)，故b=-2,故B (2)由(1)得m=-5,所以不等式为(2-a) 错误； >(2a-1)-, ·13· B 真题密卷 单元过关检测 令g(x)=x,则g(x)的定义域为(0，十∞)， f(x)w-f(t+1)-l0g(2+a) 且g(x)在(0，十∞)上单调递减， 2-a>0, 由题意可得，log:(2+a）+liog(2十a） 所以2a-1>0, 解得1<a<2, (12分) 2-a<2a-1, =log(g+aj(g品+a)≤log6, 所以实数a的取值范围是(1,2). (13分) 16.解：(1)令2=t∈[1,16]， 则（分+a)(2÷+a)<6对v:e[-1,0恒成立， 由f(x)=22:-号·2+1-6，可得g()=2 (8分) 5-s--}°-9 令m=点e[日小，则（侵+a(点+ (2m+a)(m+a)=2m2+3am+a2≤6，(10分) 故当：=时，g)取得最小值，最小值为 49 4 由y=2m2十3am十a2的图象开口向上，对称轴 又g(1)=-10,g(16)=170, 为m=一 3 4a<0, 故了)的最大值为170，最小值为织、(5分) 可知y=2m2+3am+a2 [上单调增， ·2*+1-6+12-a·2≥0，即24 (2)2:-5」 则y=2m2+3am+a2≤a2+3a+2, (a+5)·2x+6≥0， 可得a2+3a+2≤，解得-4≤a≤1， (14分) 令2=t∈[1,16]， 所以a的取值范围为[-4,1]. (15分) 故t2-(a+5)t+6≥0在t∈1,16]上有解， 18.(1)解：由题可得f(1)=1+1+1-2十a=3,解 4=+,只需e+5≤(+) 得a=2. (3分) a+5≤ t (2)证明：f(x)=e2-1+el-x十x2-2x十a, (10分) f(2-x)=e-x+e-1+(2-x)2-2(2-x)+a 其中y=1+号在w6上单润递减，在 =e-1十el-x+x2-2x十a, 故f(2-x)=f(x),即函数y=f(x)的图象关 (√6,16]上单调递增， 于直线x=1对称. (8分) 又当t=1时，y=1+6=7,当t=16时，y=16+ (3)解：函数y=∫(x)的图象关于直线x=1对 6131 称，且函数y=f(x)在(-∞，1]上是严格减函 168, 数，在[1，十∞)上是严格增函数 故a十5<1，解得a≤智 91 不等式f(mx十1)<f(x2+2)恒成立，等价于 (14分) |mx+1-1<|x2+2-1|, 917 故实数a的取值范围为一∞，8] (15分) 整理得|m·x<x2+1, (10分) 当x=0时，不等式成立，此时m∈R; (12分) 1.解：1)当a=1时f)=log✉(+1>1， 当x≠0时a<+女面+女≥ 可得纪+1>2，解得x<0, 1 2√x·女=2，当x=士1时等号成立， 所以不等式的解集为（一∞，0）. (4分) 故|m<2,即-2<m<2. (16分) (2)若a>0,则十a>0,可知f)的定义域为R, 综上所述，m的取值范围为(-2,2).(17分) 19.(1)解：因为函数y=∫(x)具有性质P(3),所以 1 由y=logu在定义域内单调递增，u一2十a在 f(3×1)=f(1)+3, t,t+1]上单调递减， 所以f(3)-f(1)=3. (3分) 可知f(x)在t,t+1]上单调递减， (6分) (2)证明：设T>0,则f(Tx)=log:(Tx)= 则f)m=fu)=ls(侵+a, logi T+logix, 令log号T=T,即logT-T=0, B ·14· ·数学· 参考答案及解析 设g(x)=log号x一x,x>0, 当m>m-f(1) T 时，g(To)=f(1)十noT-m 因为g1)=-1<0,g(）->0， 所以在区间（分1上函数gc)存在零点x, +Tm）-m=0,卿sT)>0, 所以g(x)在区间(0，十∞)上存在零点；(14分) 当T=xo时，log号T=T,此时函数y=f(x)具 ③若g(1)=f(1)-m>0,即f(1)>m, 有性质P(T). (8分) 因为f(x)=f(T"x)-nT, (3)证明：设n∈N*,因为f(Tx)=f(x)+T,所 所以f(T-")=f(1)-nT,所以g(T-")=f(1) 以f(T"x)=f(x)十nT, -nT-m: 设g(x)=f(x)-m,m∈R, 当，≥f0）时，gT)=f1)-,T-m< 因为g(Tx)=f(Tx)-m=f(x)-m+T= T g(x)+T, 1-T)）-m=0.即gT)0, 所以g(x)具有性质P(T),g(T"x)=f(x)+ nT-m, 所以g(x)在区间(0，十∞)上存在零点。 令x-1,得g(T")=f(1)+nT-m,(10分) 综上所述，Hm∈R,g(x)=f(x)一m都存在零 ①若g(1)=f(1)-m=0,则函数g(x)在 点，即都有f(x)=m∈R, (16分) (0,十∞)上存在零点； (11分) 故f(x)的值域为R. (17分) ②若g(1)=f(1)-m<0,即f(1)<m, 2025一2026学年度单元过关检测（五） 数学·一元函数导数及其应用 一、选择题 则B(0,1),所以|AB|最小值d= 10-1-11 1.D【解析】因为单位时间内注水的体积不变，结 √22+1z 合容器的形状，在单位时间内，高度变化率先由快 2V5 变慢，后由慢变快 5 2.D【解析】由导数的定义得， 5.C【解析】f(x)=ax2-2x十blnx(ab≠0)， f(2+h)-f(2-h) f'(2)=im(2+h)-(2-h) 定义域为(0，十∞)， b 2ax2-2x+b =号四12+，/20- f'(x)=2ax-2+2 且ab≠0， h 4 因为∫(x)有唯一极值点， 3.A【解析】由函数的图象可知，f(1)=1十b十c= 所以g(x)=2ax2-2x十b=0有唯一正根。 0,f(2)=8+4b+2c=0,解得b=-3,c=2, 若△=4一8ab≤0，则f(x)在定义域内单调，不存 所以∫(x)=x3-3x2+2x,可得f'(x)=3x2- 在极值，点，舍去； 6x十2，由韦达定理及极值点的定义得x1十x2= 2,x1x1=子，所以+号-3西=6十) 2 若4=4-8ab>0,脚ab<2, 则2ax2一2x十b=0必有一正一负两个根，根据韦 102 5x1xe=4-3-3 达定取得品<0，所以b0 4.B【解析】令f(x)=e+x,g(x)=2x-1, 则f(x)-g(x)=e+x-(2x一1)=e2-x+1> 6.D【解析】由题 ,fr>0,可得f'(x)fx)>0, f(x) 0在R上恒成立，所以曲线y2=e十x在直线y1=2x 故f'(x)与f(x)同号.又由图可知，当x∈ -1的上方，当曲线y2=e十x在，点B(x0,yo)处的 (-∞，4)时，f(x)单调递增，f'(x)>0;当x∈ 切线与直线y1=2x一1平行时，两直线之间的距 (4,十∞)时，f(x)单调递减，f'(x)<0. 离即|AB|取得的最小值. 所以当x∈(-∞，1)时，f'(x)>0且f(x)<0; 因为f'(x)=e2+1,所以e2o+1=2,解得x0=0, 当x∈(1,4)时，f'(x)>0且f(x)>0; ·15· B冷静是智慧的盾牌，专注是破题的利刀 2025一2026学年度单元过关检测（四） 5.函数y=e-e e一的大致图象为 班级 数学·幂函数、指数函数与对数函数 姓名 本试卷总分150分，考试时间120分钟。 得分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项 A C 是符合题目要求的。 6.已知函数fz)=ar(a>0,且a≠1)在区间4，刀上单调递增，则a的取值范围为 题号 容案 1.已知幂函数y=x“的图象过点(2,2)，则f(100)的值为 A.o.Ua. A.6 B.8 C.10 D.12 Ud.) 2.溶液酸碱度是通过pH计量的，pH的计算公式为pH=一g[H门，其中[H+]表示溶液 c,u眼+ 中氢离子的浓度，单位是摩尔/升，若某纯净水中氢离子的浓度为H+]=10一？摩尔/升， 则该纯净水的pH值为 () .0.Ud.+ A.6 B.7 7.已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x)一f(x一6)，且当0≤x≤3时，f(x)一 C.8 D.9 a+loga.5(x+1),0≤x≤1， 3+1,x≤1， (a为常数)，则f(2021)+f(2025)的值为 () 3.已知函数f(x) 若函数g(x)■f(x)一m的零点个数为3或 x(x-2),1<x≤3 2x2-6x+8|,x>1, A.-3 B.3 4,则实数m的取值范围是 () C.4 D.2 A.[2,4] B.[2,6)U1) C.(0,1)U(2 D.(0,1]U[2,4] 8.设min{x,y)表示实数x,y中的最小值，若函数f(x)=min{2x8十4x十2,2-x},函数 4已知函数y=f(x,x∈R,且f(0)=3,/0.5 f(1) f(0.5n) f(0) =2f0.5=2…f0.5n-1=2 g(x)=[f(x)门一af(x)十1有六个不同的零点，则实数a的取值范围是() n∈N,则y=f(x)的一个解析式可以为 () A.(0,2) A.3×4 B.3+1 B引 C.3×5 D.3×6 C.(2,4) D.(2,十∞) 单元过关检测（四）数学第1页（共8页）】 真题密卷 单元过关检测（四）数学第2页（共8页） 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题 ln(1+x）,x≥0， 13.已知函数f(x) 为R上的增函数，写出一个满足要求的g(x)的解 目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 g(x),x<0 题号 10 11 析式 答案 1 14.已知函数f(x)=4-2,则曲线y=fx)的对称中心为 9.已知幂函数f(x)=(8m2-5)x,则 () 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 A=士号 15.(13分)已知幂函数f(x)=(m2十3m一9)xm-1在(0，十o)上是减函数，m∈R. B.f(x)的定义域为R (1)求f(x)的解析式： C.∫(x)为非奇非偶函数 (2)若(2一a)=>(2a一1)，求实数a的取值范围. D不等式f2x+1)>f6-x)的解集为（信+） 10.已知函数f)-a(侵》 +b的图象过原点，且无限接近直线y=2但又不与该直线 相交，则下列结论正确的是 A.a=2 B.f(-2)>f(1) C若0<则+f】 1 D.方程f(x)-2fx)=0有3个实数根 11.已知函数f(x)=(x-a)1n+也满足f2-x)=fx),则 x A.a=1 B.b=-1 C.ab=-2 D.f(-1)=-81n3 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.若幂函数f(x)=(m2一4m十4)x5-在区间(0，十oo)上单调递增，则实数m= B 单元过关检测（四）数学第3页（共8页） 真题密卷 单元过关检测（四）数学第4页（共8页） 16.(15分)已知函数f(x)=2=-5 ·2+1-6. 17.(15分)已知a∈R,函数fx)=log(经+a) (1)当x∈[0,4]时，求f(x)的最大值和最小值： (1)当a=1时，解不等式f(x)>1: (2)若3x∈[0,4幻，使f(x)十12-a·2≥0成立，求实数a的取值范围. (2)当a>0时，若对v:∈[-1.，0，fa)=loe侵+a)在区间：+1]上的最大值与 最小值的和不大于1og6,求a的取值范围. 单元过关检测（四）数学第5页（共8页） 真题密卷 单元过关检测（四）数学第6页（共8页） B 18.(17分)已知函数f(x)=e-1+e-+x2-2x+a. 19.(17分)已知函数y=∫(x)的定义域为(0，+∞)，若存在常数T>0,使得对Vx∈ (1)若f(1)=3,求实数a的值 (0,十∞)，都有f(Tx)=f(x)十T,则称函数y=f(x)具有性质P(T). (2)证明：函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称. (1)若函数y=f(x)具有性质P(3),求f(3)-f(1)的值. (3)已知函数y=f(x)在（一∞，1]上是严格减函数，在[1，十∞）上是严格增函数，关于 (2)设f(x)=logx,证明：存在常数T>0,使得y=f(x)具有性质P(T), x的不等式f(mx十1)<f(x2十2)恒成立，求实数m的取值范固. (3)若函数y=∫(x)其有性质P(T),且y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线，证 明：函数y=f(x)的值域为R 0 单元过关检测（四）数学第7页（共8页） 真题密卷 单元过关检测（四）数学第8页（共8页）