单元过关(三)函数的概念与性质-【衡水真题密卷】2026年高考数学单元过关检测(B版)

万物皆有规律，而你的劳力终会找到答景的轨迹 2025一2026学年度单元过关检测（三） 5.已知函数f)=r-1)+a与gx)=x-2x十26≠0)的图象依次交于A,B,C三 班级 卺题 数学·函数的概念与性质 ( 姓名 本试卷总分150分，考试时间120分钟。 点，且恒有AB=BC,则分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项 A.2 B.1 C.-1 D.-2 得分 是符合题目要求的。 6.如图，直线1的初始位置与等边△ABC的底边垂合，之后1开始在平面上按逆时针方向 题号 c2 绕点A匀速转动（转动角度不超过60°），它扫过的三角形内阴影部分的面积S是时间t 答案 的函数，则这个函数的图象大致是 () 1.已知函数f(1-x)= 1-x2 x(x≠0)，则∫x)的定义域为 A,{xx≠0 B.{xx≠1} C.{xx≠0且x≠1} D.(1) 2.函数y=2x+√/1一3z的值域为 () A(-,引 +) c层+ D.( /2 3.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)=x(1十x),则f(x)的解析 A B D 式为 7.设函数y■f(x)与y=g(x)均是定义在R上的函数，有以下两个命题：①若y= -x2-x,x<0, x2十xx<0, A.f(x)= B.f(x)= f(x)是周期函数，且是R上的减函数，则y=f(x)必为常值函数；②若对Va,b∈R,有 x2+x,x≥0 一x2+x,x≥0 If(a)-f(b)≤g(a)-gb)成立，且y=g(x)是R上的增函数，则y=f(x)- x2一x,x<0, 一x8十x,x0, C.f()= D.f(r)= -x2+x,x≥0 x2十x,x≥0 g(x)是R上的增函数.则以下选项正确的是 () x2-2ax,x≥1， A,①是真命题，②是假命题 B.两个都是真命题 4.已知函数f(x)= 是R上的增函数，则实数a的取值范围是() C.①是假命题，②是真俞题 D.两个都是假命题 2x-1,x<1 8.已知定义在R上的函数f(x)满足f(x-y+1)-f(x十y十1)=f(x)f(y),且f(1)= Ao,引 R0, 2,则f(2)十f(3)十f(4)= () C.(0,1) D.(0,1] A.2 B.0 C.-2 D.-4 单元过关检测（三）数学第1页（共8页）】 真题密卷 单元过关检测（三）数学第2页（共8页） 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 一x+1,x<1, 12.设函数f(x)= 若f(f(-4))=2,则实数a的值为 题号 9 10 11 x-a,x≥1， 容案 13.已知f(x)是R上的奇函数，当x≥0时，f(x)=x2.若对Hx∈[1,2]，f(一x2十ax一7)< 9.下列说法不正确的是 () f(2x十2)，则实数a的取值范围为 Af(x)=x与f)=是相同的函数 14.已知a>0,b∈R,若关于x的不等式(ax-2)(x2+bx-8)≥0在(0，+∞)上恒成立， 则b+的最小值为 B不等式2kx十红-3 <0对Hx∈R恒成立的充要条件是一3<k≤0 8 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 C.若函数f(x)的定义域为（一1,2），则f(2x一1)的定义域为（一3,3） 15.(13分)已知函数f(x)=x一2，g(x)=m.x2一2mx十1(m∈R且m≠0) D.若不等式ax+bx十c>0的解集为(-oo,2)U(3,十o),则a十b十c>0 (1)若当m>0时，g(x)的值域为[-2，十∞)，求m的值： 10.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米 (2)若对Hx∈R,不等式g(x)>f(x)恒成立，求m的取值范围 德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设x∈R,用[x]表示 不超过x的最大整数，则y■[x]称为高斯函数，如[3.24幻=3，[一1.5]=一2.若函数 f(x)=x-[x],则 A.当2024≤x<2025时，f(x)=x-2024 B.f(x+1)-f(x)=1 C.f(x)是增函数 D.f(x)的值域为[0,1) 11,已知定义域为R的函数f(x)满足f(2x+1)=f(5一2x),且f(x)的图象关于点 (一1,0)中心对称，则 () A.直线x=11是f(x)图象的一条对称轴 B.f(x)为周期函数 C.f(2031)=0 D.f(x)为偶函数 单元过关检测（三）数学第3页（共8页） 真题密卷 单元过关检测（三）数学第4页（共8页） 115分)E知函数/)-法苔 1n.15分已知f)是定文在R上的奇函数，当≥0时，fe)=千a且了(-D= )求f2)与f（2》f3)与f得)的值。 (1)当x<0时，求f(红)的解析式： (2)判断f(x)在区间（一∞，0）上的单调性，并证明. (2)由(1)中求得的结果，你能发现f(x)与f)有什么关系？并证明你的发现. 3)求f2)+f份)+f8)+f号》+…+f2025+f225)的值. 单元过关检测（三）数学第5页（共8页） 真题密卷 单元过关检测（三）数学第6页（共8页） 18.(17分)已知函数fx)=x2-mx十m,ge)=十3 x十1-2，m∈R. 19.(17分)“函数(x)的图象关于点(m,n)对称”的充要条件是“对于函数g(x)定义域内 的任意x,都有p(x)十g(2m一x)=2n”.若定义在R上的函数f(x)的图象关于点(1， (1)求f(x)的单调区间和值域； 2)对称，且当x∈[0,1]时，f(x)=x2-ax十a十1. (2)若对xo∈[0,1]，总3x1∈[0,1]，使得f(xa)=g(x1)成立，求m的取值范国. (1)求f(一1)+f(3)的值 （2)设函数gx)=2一工 2x （1)若g(x)的图象关于点(m,n)对称，求m,n的值： 4 （i)若对x1∈[0,2]，总3x∈-2,3，使得f)=g6红)成立，求实数a的 取值范围」 单元过关检测（三）数学第7页（共8页） 真题密卷 单元过关检测（三）数学第8页（共8页）·数学· 参考答案及解析 SAeX2×2=24×12-2x+8】, (12分) 除上中 (8分) 由基本不等式可知x十 ≥4反，当且仅当x (3)由题意可知 |mn<2024k, ① 2025k<mn+n, ,即222时等号成立 又m,n,k∈N,则n+1≤2024k, 2025k≤mn+n-1, =2×2-2+ ≤24×(12-8√2)= 此时n+1 2024 k≤mn+n- 2025 ,于是mn+1 2024 96(3一2√2)， (16分) mn+n- 4049 所以这枚徽章镀金所需的最大费用为 2025 ,解得n≥2024-m 96(3-2√2)元. (17分) 又对Hm∈{m|0<m<2024,m∈N},上式都成 19.解：(1)由题意可知7x<2y,此时x=3,y=11, 立，则n≥（ 4049 4049 则(2,7)的“下位序列”为(3,11). (2分) 2024-m/mx2024-2023-4049. (12分) (2)由题意可知ad<bc,此时分<行，取a-1,6 下证n=4049满足题意： =2c=2,d=8则8=日<8+日-名<后 由①可知024<<四 ,代入n=4049可 3,故猜想2<a+cc <<4049m十4049 bb+dd (3分) 用908 2025 (14分) 先证左边？-a+c-a6+d)-b(a+c) 又由(2)可知4049m<2×4049m+4049 bb+d b(6-d) 2024 4049 2m 0<0,则分+后得证， ad-bc (5分) +1<4049m+4049 2025 (16分) 再证右边分-者-0100 即对Vm∈{m0<m<2024,m∈N},总3k= d(b+d) 2m十1满足题意. o>6则中行合得证 bc-ad 综上所述，n的最小值为4049. (17分) (7分) 2025一2026学年度单元过关检测（三） 数学·函数的概念与性质 一、选择题 (一x)(I-x)=一f(x),整理得f(x)= 1.B【解析】令t=1一x,则x=1一t,且x≠0，则t卡 x(1-x)=一x2十x,所以f(x)的解析式为 1,可得f(t)的定义域为{tt≠1}，所以f(x)的 -x2+x,x<0, 定义域为{xx≠1}. f(x)=《 x2十x,x≥0. 2.D【解折】设-≥0，则-号所以y x2-2a.x,x≥1， 4.B【解析】由f(x)=a x-1,x<1 是R上的 +=++号-}+ a≤1， 所以当=时y取最大位即画教的值接为 增备数，可得2>0， 解得0<a≤号， 、251 （-∞，24 2-1≤1-2a, 3.D【解析】因为f(x)是定义在R上的奇函数，所 以f(-x)=-f(x),当x≥0时，f(x)= 所以实数a的取值范国是0，， x(1十x),所以当x<0时，一x>0,则f(一x)=5.B【解析】f(x)的图象可由函数y=x3的图象 ·7· B 真题密卷 单元过关检测 平移得到，则f(x)=(x一1)3十a的图象关于点 所以f(x1十nT)>f(x2),这与f(x)是R上的减 ba2 1,a)对称，因为g(x)+g(2-x)=x2-2x+2 函数矛盾，所以f(x1)卡f(x2)不成立，所以 f(x1)=f(x2),即f(x)是常值函数，故①是真 b(2-x)2 b(2x2-4红+4)=2b, 命题； (2-x)2-2(2-x)+2x2-2x+2 ②取f(x)=x,g(x)=2x,则对Va,b∈R, 所以g(x)的图象关于点(1，b)对称， 有|f(a)-f(b)|=|a-b1,|g(a)-g(b)|= 要使|AB|=|BC|恒成立，则点B既为g(x)图 2a-b|,满足|f(a)-f(b)≤|g(a)-g(b)|, 象的对称中心，也为∫(x)图象的对称中心，所以 但f(x)一g(x)=一x是减函数，故②是假命题. a=6,即号=1.验证可知a=6特合题意. 8.C【解析】令x=y=1,可得f(1)-f(3)= f(1)·f(1),即2-f(3)=22,解得f(3)=-2: 6.C【解析】如图所示，取BC的中点E,连接AE, 令x=1,y=0,可得f(1)f(0)=f(2)-f(2)= 因为△ABC为等边三角形，可得∠EAB=30°， 0,则f(0)=0; 设等边△ABC的边长为2，且∠DAB=a,其中 令x=0,y=1,可得f(0)-f(2)=f(0)f(1)= 0°≤a≤60°，可得|DE|=|AE||tan(30°-a)|= 0,则f(2)=f(0)=0; √5|tan(30°-a)|,又由△ABC的面积为SAc= 令x=2,y=1,可得f(2)-f(4)=f(2)f(1)= 5,可得SAe= 1 2,且SAADE=2XBX 0,则f(4)=f(2)=0, 即f(2)+f(3)+f(4)=-2. tm(80e1=2引m80r-。01.则当0ra≤ 二、选择题 9.ACD【解析】对于A,f(x)=x的定义域为R, 30°时，S△ABD=S△ABE-SAADE= 而f(z)=工的定义城为{zz∈R且x≠0)，所 多引a(30-a)1-9+ 2+2tan(a-30);当30°≤a 以定义域不同，所以不是相同函数，故A错误： ≤6O°时，SAABD=SAABE十SAADE= 3 对于B,当=0时，不等式为一<0恒成立，符合： 2 k<0, 2me)-g+2man令sc）- 当k≠0时，可得 :-4×2张×（←）<0， 5,3 解得一3<k<0. 2+2tan(x-30),其中0≤x≤60°，可得S'(x)= 3 综上，不等式2kx2+kx一8<0对Vx∈R恒成立 1 2×0-30>0,所以S()为单调递增函数，】 的充要条件是一3<k≤0，故B正确； 又由余弦函数的性质得，当x=30°时，S'(x)取最 对于C,因为f(x)的定义域为(-1,2)，所以一1 小值，阴影部分的面积一直在增加，但是增加速度 <2x-1<2,解得0<x<),即f(2z-1)的定义 先快后慢再快，结合选项，可得C符合题意 战为0，）故C错误： 对于D,不等式ax2十bx十c>0解集为 (-∞，-2)U(3,+∞)，则a>0,且-2,3为方程 ax2+bx十c=0的两个根，故-2+3=-b 7.A【解析】①若y=∫(x)是周期函数，设T是 f(x)的一个正周期，则f(x)=f(x十T),假设y= X3=,则b=-a,c=-6a,故a+b+c=c f(x)不是常值函数，设x1<x2,且f(x1)卡f(x2), 一6a<0,故D错误. 又f(x1)≥f(x2)恒成立，因此f(x1)>f(x2),取n 10.AD【解析】对于A,当2024≤x<2025时， =7到+1共中是不大子7的 [x]=2024,故f(x)=x-[x]=x-2024,故A 正确； 最大整数，则x1十nT>x2,而f(x1)=f(x1十nT), 对于B,当x=0时，f(x+1)=f(1)=1-1]= B ·8· ·数学· 参考答案及解析 0,f(x)=f(0)=0-[0]=0, 14.8【解析】设f(x)=ax-2,g(x)=x2+bx一8， 此时f(x十1)-f(x)=0,故B错误； 又a>0,所以f(x)在(0，十∞)上单调递增， 对于C,D,f(x)的图象如下： 当0<<2时，fx)<0,当x>2时，fx)>0. y=x)1 由g(x)的图象开口向上，g(0)=一8，可知方程 g(x)=0有一正根、一负根， -3-2101234x 即g(x)在(0，十∞)上有且仅有一个零，点，且为 可以看出f(x)在R上不是单调递增函数，且值 异号零点 域为[0,1)，故C错误，D正确. 由题意知fx)·g)≥0，则当0<<2时 11.ABC【解析】因为f(2x+1)=f(5-2x),令2x +1=3十t,得到2x=2十t,所以f(3十t)= gar)≤0；当>2时，ga)≥0， a f(5-2-t)=f(3-t),则f(3+x)=f(3-x), 所以f(x)的图象关于直线x=3对称，又因为 所以2是方程x+b缸一8=0的根， f(x)的图象关于点（一1,0）中心对称，则f(x)= -f(-2-x),所以f(6-x)=f(x)=-f(-2 a,且a>0. 则4+2b一8=0，即6二4a一之 a 一x),令-2-x=n,得到f(8十n)=-f(n),即 4、 f(8十x)=一f(x),所以f(16+x)=一f(8+x)= =4a+ .4 a aa f(x),故16是f(x)的一个周期，故B正确；又 4 f(3+x)=f(3-x)=f(19-x),可得f(11+x)= =8,当且仅当4如=。，即a=1,b=2时等号成 f(11一x),所以直线x=11是f(x)图象的一条对称 立，故b十6的最小值为8. 轴，故A正确；因为16是f(x)的一个周期，则 f(2031)=f(-1+127×16)=f(-1)=0,故C正 四、解答题 确；假设f(x)为偶函数，则f(x)=f(一x),因为 15.解：(1)g(x)=mx2-2mx+1(m>0)的对称轴 f(3十x)=f(3-x),令3十x=m,则f(m)= 为x=1, (1分) f(6-m),所以f(6十m)=f(m)=f(-m),则6是 当m>0时，g(x)在(1，十∞)上单调递增，在 f(x)的一个周期，又f(x)的图象关于，点(-1,0)中 (-∞，1)上单调递减， (3分) 心对称，则f(x)的图象关于点(5,0)中心对称，又直 所以g(x)n=g(1)=-m十1=-2，解得m=3, 线x=11是f(x)图象的一条对称轴，所以直线x=5 所以m的值为3. (5分) 是f(x)图象的一条对称轴，矛盾，故D错误. (2)由题意可得，mx2-2mx十1>x-2恒成立，即 三、填空题 mx2-(2m十1)x十3>0(m≠0)恒成立，(8分) 12.1【解析】因为一4<1，所以f(-4)=-(-4)十1= 需满足m>0, △=(2m+1)2-12m<0, 5,因为5>1，所以f(5)=√5-a=2,解得a=1. 18.(e,7)【解标】当x≥0时，/6)=，由二 解得25<m<2+3 2 2 次函数性质可知，f(x)在[0，十∞)上单调递增， 故的取值花西为仔，2 (13分) 2 又f(x)是R上的奇函数，所以f(x)在R上单调 递增，所以对Vx∈[1,2]，f(-x2十ax-7)< 16.解：(1)由f(x)= 1+x2 1+22 甚三，可得f2)=甚签 f(2x+2)等价于对Hx∈1,2幻，-x2+ax-7< 2z+2,即a<x+9+2在1,2上恒成立，由对勾 1+ x 3 (3分) 函教的性质可知，函教)=2十9十2在1,2习单调 成片以+2+=2++-所以 1+() 5 1-() 蚊a的取值范国为(-，》 (5分) ·9 B 真题密卷 单元过关检测 (2)由(1)中求得的结果发现∫(x)十f（ 单调递增。 (15分) 18.解：(1)f(x)=x2-m.x十m的图象对应的抛物 (6分) 证明如下： 线开口向上，且对称轴为x一分， (1分) 因为f(x)+f（ 1+x2 1+x9 所以f(x)在(-∞，2 上单调递减，在（受，+）上 -1-x2 1- 1-x 单调递增， (2分) x2+1 0 (9分) 故当-受时)取最小值，最小值为f份) x2-1 2 所以fx)+(）=0, m 4, (4分) (10分) (3)由(2)可知f)+f()=0, 所以fc)的值域为m- 4,+∞)： (5分) x2十3 所以f2)+f()+f8)+f() -2=x+1)2-2(x+1)+4 …十 (2)由g(x)= x+1 x+1 4 f2025+f(2i2）-2024×0=0. (15分) 2-(x+1)+x+4, 当x∈[0,1]时，令t=x+1,可得x=t-1且t 17.解：(1)由f(x)是定义在R上的奇函数， ∈[1,2]， 且f(-1)=- ，可得了1)， 1 (3分) 则g)=1+4在1∈1,2上为单润递碱函数， 当≥0时)=三。所以中。日解得 所以g(t)mn=g(2)=0,g(t)mx=g(1)=1,所 a=1, 以g(x)在[0,1]上的值域为[0,1]. (10分) x2 由对于Vx。∈[0,1]，总x1∈[0,1]，使得 所以当x>0时，f(x)= x十1 (5分) f(xo)=g(x1)成立， 当x<0时，-x>0,f(-x)=二)” 可得在[0,1]上f(x)的值域为g(x)的值域的子 -x+1 x-1' 集，即{yly=f(x)}二[0,1]， (7分) 由f(x)=x2-mx十m,可得f(0)=m,f(1)=1, 因为∫(x)是定义在R上的奇函数， 当空<0，即m<0时，显然不成立： (12分) 所以f)=-)=7, 所以当x<0时，fx)=x—了 当受>号即m>1时，根据地物线的对称性，可得 (9分) f(0)>f(1),显然不成立： (2)f(x)在区间(-∞，0)上单调递增.(10分) 所以要使{yly=f(x)}二[0,1]，则 证明如下：任取x1,x2∈（-∞，0)，且x1<x2<0, -m1 则f(x2)-f(x1)= x经x1 0≤2≤2' x2-1x1-1 解得0≤m≤1， (16分) m x2(x1-1)-x7(x2-1) m-4≥0， (x2-1)(x1-1) 所以m的取值范围为[0,1， (17分) x2x1-x2-xix2十x 19.解：(1)因为f(x)的图象关于点(1,2)对称， (x2-1)(x1-1) 则f(x)+f(2-x)=4, (x2-x1)[x1x2-(x1十x2)] 令x=-1,可得f(-1)+f(3)=4. (2分) (x2-1)(x1-1) (13分) (2)()因为g(x)的图象关于点(m,n)对称，所以 因为x1,x2∈(-∞，0)，且x1<x2<0, gx)+g(2m-x)=2m,又gx)=2元 2x 所以x2-x1>0,x1x2-(x1十x2)>0, (x2-1)(x1-1)>0, 故f(x2)-f(x1)>0,所以f(x)在区间(-∞，0)上 所以 2x 4m-2x=2,整理得2z2-4mx十 -xx+2-2m B ·10· ·数学· 参考答案及解析 4m=-nx2+2mnx+4n-4mn, (4分) 由对称性可知∫(x) 1,2-2)上单调递增，在 〔-n=2, 故2mn=-4m, 解得m=2,n=-2. (6分) (2-，2上单调递减， 4n-4mn=4m, 2x=-2十2 4 4 (i)g(x)=2-x =一2 所以fx)在0，)上单调递减，在(？，2)上 x-2’ 则g)在x∈一2,3 上单调递增，所以 单润递增，在2-，习上单调递减。 结合对称性可得A=[f(2),f(0)]或A= g(x2)的值域为[-1,4幻： 设f(x)在[0,2]上的值域为A, [号)-： (12分) 47 对Hx1∈[0,2]，总3x2∈ 一2,3，使得f(x)= 因为0<a<2,所以f(0)=a+1∈(1,3)， g(x2)成立，则A二[-1,4幻. (8分) f）÷at1ea,2. 当x∈[0,1]时，f(x)=x2-ax十a+1, fx)的图象开口向上，对称轴为x=2,且f(①)-2 又f0)+f2)=4f()+f2-2)=4, 所以f(2)=3-a∈(1,3)，f(2-2)∈(2,3)， ①当？≤0，即a≤0时，f(x)在[0，上单调递增， 所以当0<a<2时，A三[-1,4幻成立.(14分) 由对称性可知，f(x)在[1,2]上单调递增，所以 f(x)在[0,2]上单调递增， ③当%≥1，即a≥2时，f(x)在[0,1】上单调递减， 因为f(0)=a+1,f(0)+f(2)=4, 由对称性可知f(x)在[1,2]上单调递减，因为 所以f(2)=3-a, f(0)=a+1,f(0)+f(2)=4, 所以A=[a+1,3-a],由A二[-1,4幻，可得 所以f(2)=3-a,所以A=[3-a,a+1],由 a+1≥-1， f3-a≥-1， 4≥3-a, 解得-1≤a≤0. (10分) 4≥a+1, a≤0， A三[-1,4幻，可得 解得2≤a≤3. a≥2， a+1<3-a, 3-a<a+1, ②当0<号<1，即0<a<2时，fe)在0，）上 (16分) 综上所述，实数a的取值范围为[一1,3]. 单调递减，在(1 上单调递增， (17分) 2025一2026学年度单元过关检测（四） 数学·幂函数、指数函数与对数函数 一、选择题 画出y=f(x)与y=m的大致图象， 1.C【解析】由已知得，2=2”，解得a=2,即y= xz,所以f(x)=x豆，所以f(100)=10. 2.B【解析】依题当H+门=10-7时，pH=-lg10- =7,所以该纯净水的pH值为7. 3.D【解析】函数g(x)=f(x)一m的零点个数， 结合图象可知，当y=f(x)与y=m图象的交点 即为y=f(x)与y=m图象的交点个数， 个数为3或4时，m的取值范围是(0,1]U[2,4] ·11· B