单元过关(二)一元二次函数、方程和不等式-【衡水真题密卷】2026年高考数学单元过关检测(B版)

乾神未定，你我皆是黑马 2025一2026学年度单元过关检测（二） 5.已知a>b>0,以下四个数中最大的是 班级 数学·一元二次函数、方程和不等式 A.b B./ab 姓名 本试卷总分150分，考试时间120分钟。 a+b 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项 c生 D.2 得分 是符合题目要求的。 6.已知正数工y满足9r十y=4,则上+上的最小值为 y 题号 1 5 6 8 答案 A.5 B.4 C.3 D.2 1.已知a<b<0,c∈R,则 ( A.ac<bc B11 7.已知关于x的不等式ax+bx+e>0a,b,c∈R)的解集为(-4,1)，则S十9 a+b 的取值范 C.ab<b D.a>b 围为 () 2.已知a,b∈R,那么“a>b”是“a2>b2”的 A.[-6,+o∞) B.(-o∞，6) A,充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.(-6,+∞) D.(-c∞，-6] C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 1 8.定义区间(m,n)(m<n)的长度为n一m.设k>0,若对于Ha≠1，不等式 2 x-a+x-1 3.下列结论正确的是 () >k的解集所包含区间的长度之和恒为6，则表的值为 () A.若a>b>0,则ac2>bc 且若若则a< A.1 c.a+>2 D.a2>2a-3 C.2 D.3 4.一个大于60小于70的两位数，其个位数字比十位数字大2，则这个两位数的两位数字 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题 之和为 () 目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 A.12 B.13 题号 9 10 11 C.14 D.15 答案 单元过关检测（二）数学第1页（共8页）】 真题密卷 单元过关检测（二）数学第2页（共8页） 9.下列说法正确的有 () 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 A.若a>b>0,c<d<0,则ac<bd 15.(13分)已知二次函数f(x)的最小值为一9，且关于x的不等式f(x)0的解集 &若a>6>0.e<0.则后>号 为{x一2≤x≤4}， (1)求f(x)的解析式： C.若1<a<3,-1<b<0,则2<a-b<3 (2)若函数g(x)的图象与f(x)的图象关于y轴对称，且当x>0时，g(x)的图象恒在 D.若a<0,ab>a2,则b2>a2 直线y=kx一9的上方，求k的取值范围. 10.已知p,g∈R,且满足p∈[一2,1]，q∈[3,5]，则下列说法正确的是 () A.p-g∈[-7，-2] B.若p十g=4,则√pg的最大值为2 C.对于任意的p,g(p≠0)，总有lnp<lnq D.存在p,g,使得e-1>|e-1 11.已知关于x的不等式(2a+3m)x2一(b-3m)x-1>0(a>0,b>0)的解集为(-0∞，一1) u(分+则 () A.2a+b=1 .1 B.ab的最大值为g c+号的最小值为4 D松+6有疑小值号 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12,已知6>36>2，且a-6-2》-1.则。专十632的最小值为 3 13.若a,b∈R,且满足一3<a十b<2,2<a一b<5,则3a+b的取值范围为 14.已知方程x2十(2m一1)x+4一2m=0的两根一个比2大另一个比2小，则m的取值 范围是 单元过关检测（二）数学第3页（共8页） 真题密卷 单元过关检测（二）数学第4页（共8页） 16.(15分)设y=ax2+(1-a)x十a-2. 17.(15分)设函数f(x）=x2-ax+a-1(a>0) (1)若不等式y≥一2对Hx∈R恒成立，求a的取值范雨； (1)求不等式f(x)<f(1)的解集： (2)解关于x的不等式ax十(1-a)x一1<0(a∈R). (2)当x∈[0，m]时，对a∈R且a>0,不等式f(x)≤(x十1)2a一1|恒成立，求m 的最大值 单元过关检测（二）数学第5页（共8页） 真题密卷 单元过关检测（二）数学第6页（共8页） & 18.(17分)某同学设计了如图2所示的徽章图案，其由三块全等的矩形经过如图1所示的 19.(17分)对于四个正数xy,名，w,如果x<y,则称(x,y)是(，和)的“下位序列”. 方式折登后拼接而成.已知矩形ABCD的周长为8cm,设其中较长边AD为xcm,将 (1)对于2,3,7,11，试求(2,7)的“下位序列”： △BCD沿BD向△ABD折叠，折叠后BC'交AD于点E. (2)设ab,c,d均为正数，且ab)是c,d)的“下位序列”，试判断号，号，之间的大 小关系，并证明你的结论： (3)设n∈N·满足条件：对Hm∈{m|0<m<2024,m∈N},总3k∈N·,使得 图 (m,2024)是(k,n)的“下位序列”，且(k,n)是(m十1,2025)的“下位序列”，求n的 (1)用x表示图1中△BAE的面积： 最小值 (2)现决定按此方案制作一枚徽章，要求将徽章的六个直角（图2阴影部分）双面镀金 (厚度忽略不计)，已知镀金的价格是2元/©m2,试求将这枚徽章镀金所需的最大 费用。 单元过关检测（二）数学第7页（共8页） 真题密卷 单元过关检测（二）数学第8页（共8页）真题密卷 单元过关检测 2025一2026学年度单元过关检测（二） 数学·一元二次函数、方程和不等式 一、选择题 1.D【解析】当c=0时，ac2=bc2,故A错误；由a 1 6<0,不妨取a=-2,6=二1，此时=号> 且仅当y=9x即x=3y1时等号成立，所以 -1-名a6=2>1-6,故B,C错溪：周为a<力 1十1的最小值为4， <0,所以a-b<0,a十b<0,a2-b2=(a-b)(a 7.D【解析】因为关于x的不等式ax2+bx十c>0 十b)>0,即a2>b2,故D正确. (a,b,c∈R)的解集为(-4,1)， 2.D【解析】由a>b,可取a=1,b=一2，此时a2= b =-4+1, 1,b2=4,所以由a>b推不出a2>b2,即充分性不 a 所以 且a<0,即b=3a,c= 成立；又由a2>b2,可取a2=4,b2=1,满足a2> =-4×1, a b,但当a=-2,b=1时，推不出a>b,即必要性 不成立，所以“a>b”是“a2>b2”的既不充分也不 4a且a<0,则c2+9-16a2+9-16a2+9 a+b a+3a 必要条件 3.D【解析】对于A,取c2=0,此时ac2=bc2,故A a+9 4a因为a<0,则一a>0,一4a千-4a月 错误；对于B,取a=1,b=-1,满足2>， 日>6，但此 2/0-4a)X98=6,当且仅当a=一3 4时等号 时a>b,故B错误；对于C,取a=一1，此时a十 成立，所以4a =-2,故C错误；对于D,因为a2-(2a-3)= 4a≤-6. 9 a 8.B【解析】不妨设a>1,原不等式等价于 (a-1)2+2>0,故a2>2a-3,故D正确. x-1+2(x-a)-k(x-a)(x-1）≥0，整理得 4.C【解析】设十位数字为a,个位数字为b,由题 (x-a)(x-1) 60<10a+b<70, kx2-(ka+k+3)x+(2a+1+a）≤0，因为k>0, b-a=2, 意知 0<a9, 得5品a< (x-a)(x-1) 2 可设方程kx2-(ka十k十3)x+(2a十1十ka)=0 0≤b≤9， 的两根为x1,x2(x1<x2),令y=f(x)=kx2 (ka十k+3)x+(2a+1十ka),则f(x)的零点为 又a∈N,所以a=6,b=8,所以所求的两位数为 f(a) 68,两位数字之和为14. 1x,原不等式即红a)-≤0， 5.D【解析】由题意a>b>0,所以b=√b< 因为f(a)=ka2-(ka+k+3)a+(2a+1十ka)= V历，由基本不等式可得“士≥0瓜，同时注志到 1-a<0,f(1)=k-(ka+k+3)+(2a+1+ka)= 2(a-1)>0,结合二次函数图象，可知1<x1< a6:娇以营低，又国为( f(x) 2 a<,则不等式红a)2-D≤0的解集为 e)-a_。+2a5+b-a-b ->0, (1,x]U(a,x2],此解集所包含区间的长度之和 2 4 4 为(x2-a)十(x1一1)，由韦达定理可得x1十x2= 而，空护都是送数，所以 a2+b2 如t+3-a十1+爱，所以原不等式的解条所包 士>画>≥6， 含区间的长定之和为G:-a)+红-1-是 6B【标】≥w>0黑+号-侵)a+ .1 6,解得k=2 B 4 ·数学· 参考答案及解析 二、选择题 取圣号，所以十的最小值为8，故C错误：4 9.ABD【解析】对于A,因为a>b>0,c<d<0,则 a 一c>一d>0,由不等式的基本性质，可得一ac> +6=(2a+b)2-4ab=1-4b≥2，当且仅当 一bd,则ac<bd,故A正确；对于B,因为a>b> 1 1 ,11 0,不等式的两边同时除以b,可得。<6，因为c a=4,6=2时等号成立，所以4a2+62的最小 <0,由不等式的基本性质，可得>后，故B正 信为，故D错灵 三、填空题 确；对于C,因为1<a<3,-1<b<0,则0<-b <1,由不等式的基本性质，可得1<a-b<4,故C 12.2√3【解析】由题可知a-3>0,b-2>0, 错误；对于D,因为a<0,ab>a2,可得b<a<0, 故13 1.3 a=3+6-2≥2√。—3'62=23， 则-b>-a>0,可得a2<b2,故D正确. 10.AC【解析】由q∈[3,5]，得-q∈[-5，-3]， 当且仅当13 a-36-2,即a=3+ 3b=2+3 所以p一q=p+(-q)∈[-7，-2]，故A正确； 时竿号成立，所以。+方2的莱小值为2 3 若力十q=4,则力十q=4≥2√g,故√pg≤2， 当且仅当力=q=2时等号成立，但p∈[-2， 13.(-4,9)【解析】令3a+b=x(a+b)+y(a-b)= 1],q∈[3,5]，故等号无法成立，故B错误；对 (x+y)a+(x-y)b, 于任意的p,q(p≠0)，p|<q,则lnp|<lng 所以十y=3 恒成立，故C正确；因为力∈[-2,1]，故 解得2， x-y=1,y=1, |e一1的最大值在p=1时取到，最大值为e 所以3a+b=2(a+b)+(a-b), 1,因为q∈[3,5]，所以|e-1的最小值在q= 又-3<a+b<2,2<a-b<5, 3时取到，最小值为e3-1,即e一1的最大值 所以-4<2(a+b)+(a-b)<9,即一4<3a+b<9, 小于|e-1|的最小值，故不存在卫，q,使得 所以3a十b的取值范围为（一4,9）. |e-1|>|e-1|,故D错误. 14.{mm<-3}【解析】因为方程x2十(2m-1)x 11.AB【解析】由题意，不等式(2a+3m)x2-(b 十4一2m=0的两根一个比2大另一个比2小，则 2+2(2m-1)+4-2m=6+2m<0,解得m< 3m)z-1>0的解条为(-0，-1DU(分，+)小， 一3，因此m的取值范围是{m|m<-3}. 可得2a+3m>0,且方程(2a+3m)·x2-(b 四、解答题 1 15.解：(1)因为f(x)≤0的解集为{x|-2≤x≤4}， 3m)x一-1=0的两根为-1和2，所以 故fx)图象的对称轴为工=一，十4=1，(2分) 2 1+合0 而∫(x)的最小值为一9，故可设f(x)= 所以2a+3m=2,b一3m 1 1 a(x-1)2-9,a>0, -1×2=-2a+3m 结合不等式的解集可得f(4)=0,解得a-1, =-1,所以2a十b=1,故A正确；因为a>0, 故f(x)=(x-1)2-9=x2-2x-8.(5分) b>0,所以2a+6=1≥2Va5,可得ab≤日，当 (2)因为函数g(x)的图象与f(x)的图象关于y 轴对称，故g(x)=x2+2x一8， 且仅2=6-，即a-6=时取等号，所 又当x>0时，g(x)的图象恒在直线y=kx-9 的上方，所以当x>0时，x2十2x一8>kx一9恒 1 2 以ab的最大值为g,故B正确；由后+6 成立， (8分) a （+)加+=4+++·号 即及<x+士+2在xE0,十∞)上恒度立，而 x十+2≥4，当且仅当=1时等号成立，放 的取值范围为（一∞，4）. (13分) ·5· B 真题密卷 单元过关检测 16.解：(1)不等式y≥-2，即ax2+(1-a)x+a≥0， (a-1,1);当a=2时，f(x)<f(1)的解集为☑. 即ax2+(1-a)x+a≥0对Hx∈R恒成立， (6分) 当a=0时，可得x≥0，不满足题意； (3分) 1 当a≠0时，要使a.x2+(1-a)x十a≥0对Vx∈ (2)①当2a≥1，即a≥2时， a>0, 不等式即为x2-ax十a-1≤(x+1)(2a-1), R恒成立，则 △=(1-a)2-4a2≤0， 整理得x2-(3a-1)x-a≤0， 即/a>o, 解得a≥ 即(3x+1)a-x2-x≥0， (8分) (3a-1)(a+1)≥0 由题意，对廿a≥2，不等式恒成立，而3x十1>0， 等上的聚值范网为日+) (7分) 所以只要a=2时不等式成立即可， (2)当a=0时，可得x-1<0,解得x<1. 当a≠0时，ax2+(1-a)x-1<0, 所以x2- x-号0，解得-日<：51，而zG 即(ax+1)(x-1)<0. (9分) [0,m],所以0<m≤1； (11分) ①若a>0,ax+1)x-1)<0的解为-】 a ②当2a<1,即0<a<2时，同理不等式可整理 x<1; (10分) 为x2-(1-a)x-2+3a≤0， ②若a<0,当a=-1时，-a =1, 即(x+3)a+x2-x-2≤0， (ax+1)(x-1)<0,即(x-1)2>0,解得x≠1； 1 由题意对0<a<2,不等式恒成立， (11分) 当a<-1时，合<1，ax+1)-D<0的解 而+3>0，所以只要4)时不等式成立即可 (13分) 为x<-2或x>1, a (12分) 所以x0，解得<<1而 当-1<a<0时，- >1,(ax+1D(z-1)< [0,m],所以0<m≤1. 的解为x<1或x>-1 综上，m的最大值为1. (15分) (13分) 18.解：(1)因为AD=x,所以AB=4-x, 综上，当a>0时，不等式的解集为 又因为AD为较长边，所以4-x<x<4,即2< x<4. (14分) 设ED=a,则AE=x一a. 当a=0时，不等式的解集为{xx<1}; 因为∠C'ED=∠AEB,∠DC'E=∠BAE,AB 当-1<a<0时，不等式的解集为{xx<1或 =DC', 所以Rt△BAE≌Rt△DC'E,所以BE=ED=a. (4分) 在Rt△BAE中，由勾股定理得BA+AE2= 当a=-1时，不等式的解集为{x|x≠1}； BE2, 当a<一1时，不等式的解集为x<或>， 即(4-x)2+(x-a)2=a,解得a=-红+8 (15分) 17.解：(1)f(x)<f(1),即(x-1)(x+1-a)<0, 所以AE=x-a=4x-8 48 (8分) 当a-1>1,即a>2时，解集为(1，a-1); (2分) 所以△BAE的面积S=AB·AE=24-x)· 当a-1<1,即0<a<2时，解集为(a-1,1)；(4分) 当a-1=1,即a=2时，解集为⑦. (5分) （4-）=12-2e+）2<x<(单位：em). 综上所述，当a>2时，f(x)<f(1)的解集为 (10分) (1,a-1);当0<a<2时，f(x)<f(1)的解集为 (2)设一枚徽章的镀金费用为y元，则y=6× B ·6 ·数学· 参考答案及解析 SAeX2×2=24×12-2x+8】, (12分) 除上中 (8分) 由基本不等式可知x十 ≥4反，当且仅当x (3)由题意可知 |mn<2024k, ① 2025k<mn+n, ,即222时等号成立 又m,n,k∈N,则n+1≤2024k, 2025k≤mn+n-1, =2×2-2+ ≤24×(12-8√2)= 此时n+1 2024 k≤mn+n- 2025 ,于是mn+1 2024 96(3一2√2)， (16分) mn+n- 4049 所以这枚徽章镀金所需的最大费用为 2025 ,解得n≥2024-m 96(3-2√2)元. (17分) 又对Hm∈{m|0<m<2024,m∈N},上式都成 19.解：(1)由题意可知7x<2y,此时x=3,y=11, 立，则n≥（ 4049 4049 则(2,7)的“下位序列”为(3,11). (2分) 2024-m/mx2024-2023-4049. (12分) (2)由题意可知ad<bc,此时分<行，取a-1,6 下证n=4049满足题意： =2c=2,d=8则8=日<8+日-名<后 由①可知024<<四 ,代入n=4049可 3,故猜想2<a+cc <<4049m十4049 bb+dd (3分) 用908 2025 (14分) 先证左边？-a+c-a6+d)-b(a+c) 又由(2)可知4049m<2×4049m+4049 bb+d b(6-d) 2024 4049 2m 0<0,则分+后得证， ad-bc (5分) +1<4049m+4049 2025 (16分) 再证右边分-者-0100 即对Vm∈{m0<m<2024,m∈N},总3k= d(b+d) 2m十1满足题意. o>6则中行合得证 bc-ad 综上所述，n的最小值为4049. (17分) (7分) 2025一2026学年度单元过关检测（三） 数学·函数的概念与性质 一、选择题 (一x)(I-x)=一f(x),整理得f(x)= 1.B【解析】令t=1一x,则x=1一t,且x≠0，则t卡 x(1-x)=一x2十x,所以f(x)的解析式为 1,可得f(t)的定义域为{tt≠1}，所以f(x)的 -x2+x,x<0, 定义域为{xx≠1}. f(x)=《 x2十x,x≥0. 2.D【解折】设-≥0，则-号所以y x2-2a.x,x≥1， 4.B【解析】由f(x)=a x-1,x<1 是R上的 +=++号-}+ a≤1， 所以当=时y取最大位即画教的值接为 增备数，可得2>0， 解得0<a≤号， 、251 （-∞，24 2-1≤1-2a, 3.D【解析】因为f(x)是定义在R上的奇函数，所 以f(-x)=-f(x),当x≥0时，f(x)= 所以实数a的取值范国是0，， x(1十x),所以当x<0时，一x>0,则f(一x)=5.B【解析】f(x)的图象可由函数y=x3的图象 ·7· B