单元过关(一)集合与常用逻辑用语-【衡水真题密卷】2026年高考数学单元过关检测(B版)

·数学· 参考答案及解析 参考答案及解析 2025一2026学年度单元过关检测（一） 数学·集合与常用逻辑用语 一、选择题 所以集合A表示直线x十ay十2a=0上所有的 1.B【解析】命题“3x∈R,x2一1>2x”的否定是 点，所以A≠☑，故A错误； Vx∈R,x2-1≤2x. 对于B,当a=-1时，A={(xy)x-y-2=0}, 2.C【解析】设集合A表示语文成绩在90分以上的 B={(x,y)|-x-y-1=0}, 学生，则A中有45个元素，集合B表示数学成绩在 1 90分以上的学生，则B中有48个元素，A∩B表示 x一y-2=0,得 由 两科成绩均在90分以上的学生，则集合A∩B中有 -x-y-1=0, 、3 40个元素，AUB表示至少有一科成绩在90分以 上的学生，由题意可知AUB中有45+48一40= 所以AnB=(经，》，故B络误： 53个元素，又因为每个同学都至少有一科成绩在 对于C,当a=0时，B=☑，满足A∩B=☑； 90分以上，所以高二1班共有53人. 当B≠☑，即a≠0时，直线x十ay+2a=0与ax 3.A【解析】由{-1}二M二{-2，-1,0,1}，可知 十ay-1=0平行， 集合M必有元素一1，可能有元素一2,0,1，满足 条件的集合M的个数即为集合{一2,0,1}子集的 所以a=a；,解得a=1. -1≠2a2, 个数，有23=8个. 综上所述，当A∩B=☑时，a=0或a=1,故C 4.D【解析】由题意A=工 错误； <5},CuB={xx≤2， 对于D,若A=B,则a≠0且直线x十ay十2a=0 则阴影部分为A∩CuB={x|0<x≤2). 与ax+ay-1=0重合， 反A【留折】不等成千0的好夹等价于不等我 所 a=a2,。方程组无解， -1=2a2, 组红-3)x+1)<0, 所以A≠B,故D正确. 解集，即 -1≤x≤3， x+1≠0 x≠-1， 二、选择题 得-1<x≤3， 9.AB【解析】对于A,当x∈A时，有x∈AUB; 即M={x|-1<x≤3}， 反之，当x∈AUB时，不一定有x∈A,故“x∈ Q={x∈N-2≤x≤2}={0,1,2}， A”是“x∈AUB”的充分不必要条件，故A正确； 则M∩Q={0,1,2). 对于B,当x∈A时，不一定有x∈A∩B,因为有 6.A【解析】ab十1≠a十b台(a-1)(b-1)≠0台a 可能x∈A但xB;反之，当x∈A∩B时，必有 ≠1且b≠1，即a,b都不为1. x∈A,故“x∈A”是“x∈A∩B”的必要不充分条 7.B【解析】依题意，I={x∈Nx2-6x十5<0}= 件，故B正确； {x∈N1<x<5}={2,3,4},I的2划分为{2,3}， 对于C,因为a>b羚a>b台a2>b2,所以不 {4}》,{2,4},{3},{3,4},{2},共3个，1的3划 是充分条件，故C错误； 分为{{2}，{3}，{4}}，共1个，故集合I的所有划分 对于D,a>b羚ac2>bc2,依据为c2可能为0，故D 的个数为4. 错误. 8.D【解析】对于A,因为x十ay十2a=0表示过定 10.AB【解析】B={xx2-(a+1)x十a<0}={x|(x 点(0，一2)且斜率不为0的直线， -1)(x一a)<0.对于A,若AUB=B,则A二B, ·1 B 真题密卷 单元过关检测 因为A={x|1<x<4), 解得m≥3，符合题意； 所以B≠O,且B={x1<x<a}, ③若“x∈P”是“x∈S”的必要不充分条件， |a>1, 1 所以 即a≥4，故A正确； a≥4 当S=⑦时，2-m>3+2m,即m<-3 对于B,若AUB=A,则B二A, 当S≠☑时，需满足2-m≤3+2m, 当B=☑时，a=1; 2-m≥-1， 且 且等号不同时成立， 当B≠☑时，因为A={x|1<x<4}, (3+2m≤5， 所以B={x|1<x<a}, a>1'即1<a≤4， 解得-日≤m: 所以 a≤4， 综上所述，m的取值范围为m≤1，符合题意. 综上所述，1≤a≤4，故B正确； 四、解答题 对于C,若B壬A,当B=☑时，a=1,满足题意； 15.解：(1)当a=1时，A={x10<x<2}, 当B≠☑时，因为A={x|1<x<4}, 又B={x|x≥3或x≤1}， 所以B={x|1<x<a}, 所以A∩B={x0<x≤1}， (3分) 所以a>l'即1<a<4. CRB={x|1<x<3}, (5分) `la<4, 所以AU(CRB)={x|0<x<3〉. (7分) 综上所述，1≤a<4,故C错误； (2)假设存在a,使得A∩B=☑，AUB=R, 对于D,若A∩B=☑， 则有a+1=3且a-1=1, (10分) 当B=☑时，a=1,满足题意； 解得a=2,所以实数a的值为2. (13分) 当B≠⑦时，因为A={x|1<x<4}, 16.解：(1)已知集合P={x-2<x<3}, 所以B={xa<x<1},即a<1, 且Q={x|3a<x≤a+1}. 综上所述，a≤l,故D错误. P∩Q=☑，可分为Q=⑦和Q≠☑两种情况进 11.BD【解析】对于A,因为EUF={x∈Qx≠1}≠ 行讨论： Q,故A错误；对于B,设E={x∈Qx≤1}，F= 当Q=☑时，可得3a≥a+1, {x∈Qx>1},满足戴德金分割，此时E有一个最 解得e≥2，此时满足P门Q=②， (2分) 大元素1，F没有最小元素，故B正确；对于C,若E 有一个最大元素，F有一个最小元素，则不能同时满 当Q≠☑时，因为P∩Q=☑， 足EUF=Q,E∩F=⑦，故C错误；对于D,设E= 3a<a+1,3a<a+1, 则满足 或 解得a≤-3. {x∈Qx≤√3}，F={x∈Qx>5},满足戴德金 a+1≤-23a≥3， (6分) 分割，此时E中没有最大元素，F中也没有最小元 素，故D正确. 综上可得，实数a的取值范围为（一∞，一3]U 三、填空题 [B+ (7分) 12.{-1}【解析】由于P-Q,所以a=-1,且一b= (2)PUQ=P,可分为Q=☑和Q≠☑两种情况 1,即a=一1，b=一1，所以a,b组成的集合为 进行讨论： {-1}. 13.(一∞，3]【解析】由题意得“Hx∈(1，十∞)， 当Q=⑦时，可得3a≥a+1,解得a≥2，此时满 2x一m十1≠0”是真命题，故m≠2x十1，因为2x 足PUQ=P; (10分) +1∈(3，+∞)，所以m的取值范围是(-∞，3]. 3a<a+1, 14.②③【解析】①若“x∈P”是“x∈S”的充要条 当Q≠⑦时，因为PUQ=P,则满足{a+1<3, 件，则2-m=-1, 方程组无解， 3a≥-2， (3+2m=5, .1 故不符合题意； 解得-子<a< (14分) ②若“x∈P”是“x∈S”的充分不必要条件， 综上，实数a的取值范围为 则2加≤-1且等号不同时成立， 号+ (3+2m≥5， (15分) B ·2· ·数学· 参考答案及解析 17.解：(1)选①，当m=0时， 当n=11时，不存在A二S,A|=5, B={x|(x-2m)(x-m2-1)<0}={x|0<x<1}, 使得A中任意两个元素差不同，所以当n=11 又因为A->小-a-1长<8 时，结论成立； (15分) 当n=10时，若A={1,3,6,9,10}, 所以CAB={x|1≤x<3或-1<x≤0}.(6分) 则不存在T,所以n的最小值为11. (17分) 选②，当m=0时， 19.(1)解：{1,2,3,5}（符合要求即可） (2分) B={xl(x-2m)(x-m2-1)<0}={x|0<x<1}, (2)证明：假设可以划分，因为ab-cd-1, 又因为A={x|x2-2x-3<0}={x|-1<x<3}, 所以ab和cd一定是一个奇数一个偶数， 所以CAB={x|1≤x<3或-1<x≤0}.(6分) 所以a,b,c,d中至多两个偶数. (3分) 选③，当m=0时， 则对于{1,2,3,4,5,6,7,8}的一种符合要求的划 B={x|(x-2m)(x-m2-1)<0}={xl0<x<1}, 分为{a1,b1,c1,d1}和{a2,b2,c2,d2}, 又因为A={x1|x-1|<2}={x|-1<x<3}, 每个四元子集中均有两个偶数， 所以CAB={x|1≤x<3或-1<x≤0}.(6分) 若两个集合分别为{2,4，c1,d1}和{6,8，c2,d2}, (2)若q是p的充分不必要条件，则B手A, 则c2d2=47或49， (8分) 不存在c2,d2使得{6,8，c2,d2}符合要求；(5分) 当m≠1时，B={x|(x-2m)(x-m2-1)<0} 若两个集合分别为{2,6，c1,d1}和{4,8，c2,d2}, ={x|2m<x<m2+1}, 则c1d1=11或13， 2m>-1,.2m≥-1， 所以 或 (11分) 不存在c1,d1使得{2,6，c1,d1}符合要求；(7分) m2+1≤3m2+1<3, 若两个集合分别为{2,8，c1,d1}和{4,6，c2,d2}, 解得-名<m<包， (13分) 则c2d2=23或25， 不存在c2,d2使得{4,6，c2,d2}符合要求.(9分) 又m≠1， 综上所述，{1,2,3,4,5,6,7,8}不能划分成两个 所以m的取值范围为 不相交的“有趣的”四元子集， (10分) {女名<m<1或1<m< (15分) (3)证明：假设{1,2，，4n}可以划分成n个两两 18.解：(1)若A1∩A2=☑， 不相交的“有趣的”四元子集S1,S2,…,Sm 则t1-t2≠a-b,其中a,b∈A, 因为每个子集中至多两个偶数， 否则t1十b=t2十a,A1∩A2≠☑， (2分) 又1,2，…，4n中恰有2n个偶数， 所以每个子集中均有两个偶数， (12分) 又n=5,A={1,2,5},2-1=1, 5-2=3,5-1=4,则t1,t2相差2， 所以对于1≤i≤n,可设S:={a:,b:,c:,d:}, (4分) 所以T={1,3}或T=(2,4}或T={3,5}. 其中a:,b:为偶数，c,d:为奇数， 再由奇偶性，只能是ab:一c:d:=士1 (6分) (2)不一定存在. (7分) 因为ab:=cd;±1≤cd:+1<(c:+1)(d:+1), 当A={1,2,5,7}时，2-1=1,5-1=4,5-2= 且{a1,b1,a2,b2,…,am,bn}={2,4,…,4n}, 3,7-1=6,7-2=5,7-5=2, {c,d1,c2,d2,…,cm,dn}=1,3,…,4n-1}, 则t1,t2相差不可能为1,2,3,4,5,6， (9分) 所以2·4·…·4n=a1·b1·a2·b2·…·an·bnm 这与T={t1,t2}二{1,2,3,4,5,6,7}矛盾， <(c1+1)(d1+1)(c2+1)(d2+1)·…·(cn+1)(dn 故不都存在T. (10分) 十1)=2·4…·4n,矛盾. (16分) (3)因为C?=10,故集合A中元素的差的绝对值 所以{1,2，…，4n}不能划分成n个两两不相交的 至多有10种， (11分) “有趣的”四元子集。 (17分) 当n≥12时，结论都成立： (13分) ·3· B用心学习，用爱生活，为未来辅路 密 2025一2026学年度单元过关检测（一） A.{x2<x<5】 班级 题 数学·集合与常用逻辑用语 B.{x2≤x<5) C.(x|0<x<2} 姓名 本试卷总分150分，考试时间120分钟。 D.{x0<x≤2} 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项 得分 是符合题目要求的。 5.已知集合M= <d,Q=xeN-2x≤2，则MnQ 题号 1 2 5 A.{0,1,2 B.[0,2 C.(-2,2] D.{1,2】 答案 6.已知a,b∈R,则“ab+1≠a十b”的充要条件是 1.命题“]x∈R,x2一1>2x”的否定是 A.a,b都不为1 A.3x∈R,x3-1<2x B.a,b不都为1 B.Vx∈R,x-1≤2x C.a,b不都为0 C.3xtR,x3-1≤2x D.a2+b2=2 D.Hx∈R,x-1<2x 7.定义：如果集合U存在一组两两不交（两个集合的交集为空集时，称为不交）的非空真子 2.某校高二1班的同学参加语文和数学两个学科的结业水平考试，每科满分为100 集A1,A:,,A(便∈N),且AUAU…UAE=U,那么称子集族{A,A:,…,A}构 分，考试成绩非常优秀，每名同学都至少有一科成绩在90分以上，其中语文成绩在 90分以上的有45人，数学成绩在90分以上的有48人，这两科成绩均在90分以上 成集合U的一个k划分.已知集合I={x∈N|x2-6x十5<0}，则集合I的所有划分的 的有40人，则高二1班共有 () 个数为 () A.45人 B.48人 C.53人 D.43人 A.3 B.4 C.14 D.16 3.满足（一1}二M三{一2，一1,0,1)的集合M的个数为 ( ) 8.已知集合A=(x,y)x十ay+2a=0},B={(z,y)ax十ay一1=0}，则下列说法正确 A.8 B.7 C.6 D.4 的是 () 4.已知全集U=R,集合A= 女一5<0，B=xx>21,则图中阴影部分表示的集 z A.3a∈R,使得A=O 合为 () 当a-1时，AnB-(-引 C.当A∩B=☑时，a=1 D.对Ha∈R,都有A≠B 单元过关检测（一）数学第1页（共8页） 真题密卷 单元过关检测（一）数学第2页（共8页） B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题 14.给出以下三个条件：①充要②充分不必要③必要不充分.请从中选择补充到下面横 目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 线上 题号 9 10 11 已知集合P={x|一1≤x≤5}，S=(x2-m≤x≤3十2m},3m∈R,使得“x∈P”是 答案 “x∈S”的条件. 9.下列判断正确的是 () 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 A.“x∈A”是“x∈AUB”的充分不必要条件 15.(13分)已知p:x∈A,且A=(xla-1<x<a+19:x∈B,且B=zx≥3或x≤1. B.“x∈A”是“x∈A∩B”的必要不充分条件 (1)当a=1时，求A∩B,AU(CRB): C.“a>b”是“a2>b2”的充分不必要条件 (2)是否存在实数a,使得A∩B=☑，AUB=R?若存在，求出实数a的值：若不存 D.“a>b”是“ac2>bc2"的充分条件 在，请说明理由。 10.已知巢合A=(x|1<x<4},B={xx2一(a+1)x+a<0),则下列说法正确的是() A.若AUB=B,则a≥4 B.若AUB=A,则1≤a≤4 C.若BA,则1<a<4 D.若A∩B=☑，则a<1 11.由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪.直到1872年，德国数学家戴德金从连续 性的定义出发，用有理数的“分割”来定义无理数，并把实数理论建立在严格的科学基 础上，才结束了无理数被认为“无理”的时代.所谓戴德金分割，是指将有理数集Q划分 为两个非空的子集E与F,且满足EUF■Q,E门F一☑，E中的每个元素都小于F 中的每个元素，称(E,F)为戴德金分割，下列结论正确的是 () AE-{x∈Qx<1},F={y∈Qly>1》是一个戴德金分割 B.存在一个戴德金分割(E,F),使得E有一个最大元素，F没有最小元素 C.存在一个戴德金分割(E,F),使得E有一个最大元素，F有一个最小元素 D.存在一个戴德金分割(E,F),使得E没有最大元素，F也没有最小元素 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.设a,b∈R,P={1,a},Q={一1，一b},若P=Q,则由a,b组成的集合为 13.已知命题“3x∈(1，十∞)，2x一m十1一0”是假命题，则m的取值范围是 单元过关检测（一）数学第3页（共8页） 真题密卷 单元过关检测（一）数学第4页（共8页） 16.(15分)设集合P=(x-2<x<3),Q=x3a<x≤a+1}. 17.(15分)在①A=x z,年>1：②A=zz2-2红-3<01：③A=zx-1川<2这三 (1)若P∩Q=☑，求实数a的取值范围： 个条件中任选一个，补充在下面横线上，求解下列问题： (2)若PUQ=P,求实数a的取值范围. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分 设集合，集合B=(z(x一2m)(x一m-1)<0,m≠1). (1)当m=0时.求CaB: (2)设p:x∈Aq:x∈B,若g是p的充分不必要条件，求m的取值范围. 单元过关检测（一）数学第5页（共8页） 真题密卷 单元过关检测（一）数学第6页（共8页） B 18.(17分)已知S={1,2,…,n},A二S,T=t1t2}二S,记A:={xx=a十t4a∈A}(i=1,2), 19.(17分)对于一个四元整数集A=a,b,c,d},如果它能划分成两个不相交的二元子集 用X表示有限集合X的元素个数 {a,b)和{c,d),且满足ab一cd=1,则称这个四元整数集为“有趣的”四元子集. (1)若n=5,A=1,2,5},A1∩A:=☑，求T. (1)写出集合1,2,3,4,5,6,7,8)的一个“有趣的”四元子集 (2)若n=7,A=4,则对于任意的A,是否都存在T,使得A:∩A:=☑？请说明 (2)证明：集合1,2,3,4,5,6,7,8}不能划分成两个不相交的“有趣的”四元子集. 理由， (3)证明：对n∈N·(n≥2)，集合1,2,3，…，4n}不能划分成n个两两不相交的“有趣 (3)若A|=5,对于任意的A,都存在T,使得A,∩A:=⑦，求n的最小值. 的”四元子集. 单元过关检测（一）数学第7页（共8页） 真题密卷 单元过关检测（一）数学第8页（共8页）