单元过关(十八)成对数据的统计分析-【衡水真题密卷】2026年高考数学单元过关检测(A版)

别怕困难，你正在变得更优秀 2025一2026学年度单元过关检测（十八）》 4.根据分类变量x与y的观测数据，计算得到x2=2.974,依据小概率值a=0.05的独立 班级 卺题 性检验，得到的结论为 ( ) 数学·成对数据的统计分析 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 姓名 本试卷总分150分，考试时间120分钟。 T. 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 A.变量x与y不独立 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项 得分 B.变量x与y不独立，这个结论犯错误的概率不超过0.05 是符合题目要求的。 C.变量x与y独立 题号 D.变量x与y独立，这个结论犯错误的概率不超过0.05 答案 5.已知气候温度和海水表层温度相关，且相关系数为负数，则下列说法正确的是() 1.5个坐标数据如图所示，去掉D(3,10)后，下列说法正确的是 A.气候温度高，海水表层温度就高 ·E10,12) B气候温度高，海水表层温度就低 ◆D3,I0) C.随着气候温度由低到高，海水表层温度基上升趋势 D,随者气候温度由低到高，海水表层温度呈下降趋势 C4,5) ·2,4) 6.研究表明，随着锂离子电池充放电循环次数的增加，电池内阻增大，可用容量和能量表 A1.3) 减，会削弱电动汽车的续航里程.相关科研团队利用数学建模的方法构建了锂离子电池 0 充放电循环次数x(单位：百次)与锂离子电池性能指数y(0≤y≤100)的回归模型，通过 A.相关系数r变小 B.决定系数R8变小 实验得到部分数据如表所示： C.残差平方和变小 充放电循环次数x 3456 D.解释变量x与响应变量y的相关性变弱 电池性能指数y 91888279 2.如图是不同成对数据的散点图，从左到右对应的样本相关系数分别是r1,r2,r1,4,则最 由表中的数据求得回归方程为y=b.x十a,则计算可得b 小的样本相关系数是 () 1 参考公式及数据：6= 2xy:一nxy 2xy:=1509. 2x-n 0 A.8.2 B.4.2 C.-8.2 D.-4.2 -2 7.下列说法错误的是 () -4 0 4 -2 424-2024 A,某校高一年级共有男女学生500人，现按性别采用分层随机抽样的方法抽取容量为 A.ri B.ra C.r3 D.r 50人的样本，若样本中男生有30人，则该校高一年级有女生200人 9 3.已知变量x和变量y的一组成对样本数据为（红：y)G=1,2,3,8),其中x=8,其 B.数据1,3,4,5,7,9,11,16的第75百分位数为10 C.在一元线性回归方程中，若线性相关系数r越大，则两个变量的线性相关性越强 1 回归直线方程为立=2红一，当增加两个样本数据（一1,5）和(2,9)后，重新得到的回归 D,根据分类变量X与Y的成对样本数据，计算得到x2=3.937,根据小概率值a=0.05 直线方程的斜率为3，则新的回归直线方程为 () 的独立性检验（工as=3.841),可判断X与Y有关联，此推断犯错误的概率不 A.y=3x十1 B.y=3x C.y■-3x D.y=-3x+1 大于0.05 单元过关检测（十八）数学第1页（共8页） 真题密卷 单元过关检测（十八）数学第2页（共8页） A 8.新能源汽车的核心部件是动力电池，碳酸锂是动力电池的主要成分.近几年，碳酸锂的 11.已知变量x和变量y的一组成对样本数据(xy:)i=1,2,…,n)对应的点散落在一条直线 价格一直升高.某企业前5个月购买碳酸锂的价格与月份的统计数据如表所示： 附近，-xy -1 y,相关系数为r,线性回归方程为y=bx十a,则 月份代码x 12345 碳酸锂价格y0.40.811.21,6 (x-x)(y:-) 2(x,-元)(y:-y) 1=1 参考公式：r .h= 若y关于x的回归直线方程为y=0.24x十a,则下列说法错误的是 ( ②x,-，- (x,-x) 1 2(x-x)(y-y) A.当r>0时，b>0 参考数据：r= ,2≈1.414. B.r越大，成对样本数据的线性相关程度越强 台1 C.当xm+1=x,y+1=y时，成对样本数据(xy)(i=1,2,,n,m十1)的相关系数r A.r≈0.97 满足r'=r B.a=0.28 D.当x+1=x,y+1=y时，成对样本数据(x:y:)(i=1,2,,n,n+1)的线性回归方 C.回归直线方程y=0.24x+a经过点(3,1) 程y=ax+c满足a=b D.由回归直线方程可预测6月份碳酸锂的价格约为1.72 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题 12.某传媒公司针对“社交电商用户是否存在性别差异”进行调查，共调查了40n(n∈N”) 目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 个人，得到的数据如2×2列联表所示.已知x。.s=3.841,若根据a=0.05的独立性检 题号 9 0 验认为“社交电商用户存在性别差异”，则”的最小值为 11 答案 是杜交电商用户 不是社交电商用户 合计 男性 8n 12n 20m 9.下列说法正确的是 () 女性 12m 8n 20m A.若一组数据x1,x2,xm的方差为0,2，则5x1,5x2…,5x,的方差为1 合计 20m 20m 40n B.68,60,62,78,70,84,74,46,73,82这组数据的第80百分位数是80 n(ad-bc) C.样本相关系数可以用来判断成对样本数据正相关还是负相关 参考公式：X2= (a+b)(c+d)(a+c)(b+d,其中n=a+b+c+d. D.若变量~N(172,a2),P(172<<180)=0.4,则P(<164)=0.1 13.某水文站为了研究所在河段24h降雨量x(单位：mm)与水位增长量y(单位：cm)之间的关 10.下列说法正确的是 () 系，记录了10次相关数据，通过绘制散点图看出y与x之间有线性相关关系，并设其回归方 A.数据5,8,10,12,13的第40百分位数是9 程为y=x十a.已知x,和y,分别表示第i(i=1,2,…,10)次的24h降雨量（单位：mm)和 B.若随机变量X服从正态分布N(r,2),P(X<-2)=P(X>4)=0.14,则P(一2< 水位增长量（单位：cm,且2x,=50,y=20,方=0，.5若某次24h降雨量为80mm,据此 X<1)<0.35 估计水位增长量为 cm. C.回归直线y=x十à至少经过点(x1,y1),(xy2),…,(xny)中的一个点 14.已知x和y之间的一组数据如表所示，y与x线性相关，且回归方程为y=x十0.25， D.一个袋子中有100个大小相同的球，其中有40个黄球、60个白球，从中不放回地随 m为x的方差的0.6倍，则当x=8时，y= 机摸出20个球作为样本，用随机变量X表示样本中黄球的个数，则X服从超几何 x0123 分布，且E(X)=8 ymm+252m+3 A 单元过关检测（十八）数学第3页（共8页） 真题密卷 单元过关检测（十八）数学第4页（共8页）】 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.(15分)为了研究性别与感冒的关系，某医学研究小组在11月感冒易发季节对某一社 15.(13分)为检验某种药物预防疾病的效果，进行动物试验，统计得到的数据如2×2列联 区男性和女性的感目情况进行抽样调研，统计得到的数据如2×2列联表所示： 表所示： 感骨情况 单位：只 性别 合计 不感冒 感冒 疾病 药物 合计 男性 30 15 45 未患病 患病 女性 45 10 55 未服用 75 多 141 合计 75 25 100 服用 112 4? 159 (1)请根据2×2列联表，并依据小概率值a=0.05的独立性检验，分析能否认为性别 合计 187 113 300 与感冒情况具有相关性？ 依据小概率值α=0.05的独立性检验，能否认为药物有效？如何解释得到的结论？ (2)利用分层随机抽样的方法从样本中不感冒的人群中随机抽取5人，再从这5人中选 n(ad-bc)2 出2人，记这2人中女性的人数为X,求随机变量X的分布列及数学期望 附：x=a+b)c+a)a十c)6+D其中n=a+b+c+d. n(ad-bc)2 0.10.05 0.01 0.0050.001 附：x=a+bc+da十c)6+d其中n=a+b+c+d. 2.7063.8416.635 7.879 10.828 0.10.05 0.010.0050.001 2.7063.841 6.6357.879 10.828 16.(15分)某超市经营一种进价为60元/kg的干货，在市场试销中，市场观察员统计了9 天内此干货的销售单价x(单位：元/kg)与日销售量y(单位：kg)的数据，得到的数据 如表所示： 销售单价x898887868584838281 日销售量y4,24.34.64,85.15.35.45.65.7 (1)根据表中和题后所给出的参考数据，求y关于x的线性回归方程y=x十d. (2)设经营此干货的日销售利润为P(单位：元)，根据(1)中的线性回归方程，试预测： 当销售单价为多少元/kg时，日销售利润最大？ 附：线性回归方程y=x十a中，6= 2(x:-x)(y:-y) 8c,-0,ay-62,-3=0. 2红，-y-9=-12 单元过关检测（十八）数学第5页（共8页） 真题密卷 单元过关检测（十八）数学第6页（共8页） 18.(17分)为了加强地下水管理，防治地下水超采和污染，保障地下水质量和可持续利用， 19.(17分)某公司为考核员工，采用某方案对员工进行业务技能测试，并统计分析测试成 推进生态文明建设，某市水务部门组织宜传小分队进行法律法规宜传，该宜传小分队 绩以确定员工的绩效等级.该公司统计了七个部门测试的平均成绩x(满分100分)与 记录了前10周每周普及的人数，得到的数据如表所示： 绩效等级优秀率y,如表所示： 时间x/周 12345678910 平均成绩x 32 54 74 80 每周普及的人数y8294121140196205190256298318 续效等级优秀率y0.280.340.440.580.660.740.94 8y,=190,x,-)1=82.5,2(0y-y)=60806,3(x,-)( 并计算得y=10习 根据表中数据绘制散点图，初步判断，选用y=Ae:作为回归方程.令z=lny,经计算 -y)=2199. 2x-7正 得x=一0.642， -≈0.02. (1)从这10周的数据中任选4周的数据，用X表示这4周的数据中每周普及宜传人数 2x-7园 不少于240的周数，求X的分布列和数学期望： (1)已知某部门测试的平均成绩为60分，试估计其绩效等级优秀率： (2)由于统计工作人员的疏忽，第10周的数据统计有误，去掉第10周的数据，试用剩下 (2)根据统计分析，大致认为各部门测试平均成绩x~N(μ，2)，其中：近似为样本平 的数据求出每周普及的人数y关于周数x的线性回归方程（精确到0.01）. 均数x,:2近似为样本方差s2.经计算得s≈20，求某个部门绩效等级优秀率不低于 (x:-)(y-)xy-nzy 0.7875的概率. 附：线性回归方程y-x+a中乃=回 4=1 -a=y-bz. 2(x,-y Sri-nz 参考公式及数据： ①1n0.15≈-1.9，e.2≈3.32，ln5.25≈1.66. ②线性回归方程y=x十a中，6= Sxy-nry ,a=y-bx. 2x1-n ③若随机变量X~N(r,a2),则P(r-a<X<r十a)≈0.6827，P(-2a<X<# +2a)≈0.9545，P(-3a<X<4十3a)≈0.9973. 9 单元过关检测（十八）数学第7页（共8页） 真题密卷 单元过关检测（十八）数学第8页（共8页）·数学· 参考答案及解析 2025一2026学年度单元过关检测（十八） 数学·成对数据的统计分析 一、选择题 对于B,由8×75%=6，得第75百分位教为9+1出 2 1.C【解析】由散点图可知，去掉离群点D后，x与 y的相关性变强，且为正相关，所以相关系数r的 =10,故B正确； 值变大，决定系数R的值变大，残差平方和变小 对于C,线性回归方程中，线性相关系数r的绝对 值越大，两个变量的线性相关性越强，故C错误； 2.B【解析】由散点图变化趋势可知r1>0,r3>0, 对于D,由X2=3.937>3.841=x0.5,可判断X r2<0,r4<0, 与Y有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05，故 又第二组散点图更为集中，更接近于一条直线，所 D正确. 以r2<r4,故相关系数最小的为r2, 8.A【解析】由题意可得，z=1+2+3+4+5-3, 3.B【解析】因为=3×8=9，所以增加两个 5 外本点后的792-1 y=04+0.8+1+1.2+1.6=1, 5 因为y=2×8星-2，所以含：=2×8=16， 91 (x,-x)(y:-y)=(-2)×(-0.6)+(-1)× ▣1 (-0.2)+0+1×0.2+2×0.6=2.8, 所以增加两个样本，点后的了-16十5十9=3. 10 2(x,-)2=(1-3)2+(2-3)2+(3-3)2+(4 = 令新的回归直线方程为y=3x十a, 3)2+(5-3)2=10, 则3=3×1十a,解得a=0, 20:-=0.4-10+(0.8-1+1-12+ 所以新的回归直线方程为y=3x, (1.2-1)2+(1.6-1)2=0.8, 4.C【解析】因为X2=2.974<x0.s=3.841, 则y关于x的样本相关系数r= 所以没有充分证据推断原假设不成立，即认为变 2(x,-x)(:-y) i= 2.8_1.4 量x与y独立. ②红，-②，- √10×0.8√2 5.D【解析】由于相关系数表示一个变量变化对另 一个变量变化趋势的影响，所以随着气候温度由 0.99,故A错误； 低到高，海水表层温度呈下降趋势」 因为y=0.24x十a,且该回归直线恒过样本点的 6.D【解折】由题意得=3+4牛5+6=4.5， 中心(3,1)，所以1=0.24×3+a,解得a=0.28, 故B,C正确； 1十88十82十79=85,8x=3+4+5+60 由回归直线方程可预测6月份碳酸锂的价格约为 4 0.24×6+0.28=1.72,故D正确. 86,且克xy:-1509, 二、选择题 收5手一 i=1 9.BCD【解析】对于A,5x1,5x2,…,5xm的方差为 ”1509-4×4.5×85 =-4.2. 52×0.2=5,故A错误； x-4x2 86-4×(4.5)2 =1 对于B,将这组数据按从小到大的顺序排列：46， 7.C【解析】对于A,该校高一年级女生人数是 60,62,68,70,73,74,78,82,84,又10×80%=8， 50-30 ×500=200,故A正确； 故这组数器的第80百分位教是78十82=80，故B 50 2 ·27· A 真题密卷 单元过关检测 正确； -0g- 对于C,样本相关系数r的符号反映了相关关系的 =b,故D正确， 正负性，当>0时，成对样本数据正相关，当r<0 2z,-2 时，成对样本数据负相关，故C正确； 三、填空题 对于D,因为~N(172,2),P(172<<180)= 12.3【解析】由题意，零假设H。:社交电商用户与 0.4,所以P(164)=P(>180)=0.5-P(172 性别无关， <<180)=0.5-0.4=0.1,故D正确. X2 40n×(12n×12n-8n×8n)28 20nX20n×20nX20n n≥xa5 10.AD【解析】对于A,由5×40%=2，可得数据 =3.841, 5,8,10,12,13的第40百分位数为8+10=9，故 2 则n≥3.841× 8=2.400625, A正确； 所以若根据α=0.05的独立性检验认为“社交电 对于B,P(-2<X<1)=1-2P(X<-2)」 商用户存在性别差异”，则n的最小值为3. 2 1-2×0.14 19 =0.36>0.35,故B错误； 13.35【解标】由题意得工0在=0，y-y 2 对于C,线性回归方程y=bx十a可能不经过 =20,又6=0.5， (x1y1),(x2,y2),,(xn,yn)中的任何一个 所以a=y-6x=20-0.5×50=-5, 点，但一定会经过样本中心点(x,y),故C错误； 所以回归方程为y=0.5x-5, 对于D,由于是不放回地随机摸出20个球作为 所以当x=80时，y=0.5×80-5=35, 样本，所以由超几何分布的定义知X服从超几 所以若某次24h降雨量为80mm,可估计水位 增长量为35cm. 何分布，故E(X)三0×20=8，故DE确， 14.16.25/侧【解析】由表可得云-0+1计2+3-1.5， 4 11.ACD【解析】对于A,当r>0时，变量x和变 量y正相关，则>0，故A正确； 则m=0.6×[(0-1.5)2+(1-1.5)2+(2-1.5)2+ 对于B,越大，成对样本数的线性相关程度 8-1.59门×4=0.75 越强，当r1=-0.98,r2=0.9时，r1<r2,但r1 对应的样本数据的线性相关程度更强，故B错误； y=m+m+2+5+2m+3_m+10-3=3.25, 4 4 4 对于C,当xn+1=x,ym+1=y时，x,y不变且 将(1.5,3.25)代入回归直线y=bx十0.25中，可 xn+1一x=ym+1一y=0, 得3.25-1.5b十0.25，解得3=2， n七1 (x,-x)(y:-y) 则y=2x+0.25,当x=8时，y=2×8+0.25= =1 所以r= 16.25. ,-- 四、解答题 a-00y- 15.解：零假设为H。:服用药物与患病之间无关联. r,故C正确； 由列联表可得 ②，-√y-y x2= 300×(75×47-112×66)2 141×159×187×113 ≈9.47>3.841 对于D,当xm+1=x,ym+1=y时，x,y不变且 xm+1一x=yn+1一y=0, =x0.05 (5分) 以8-0- 故根据小概率值α=0.05的独立性检验，推断 H。不成立，即认为服用药物与患病有关联，此推 (x-z)2 =1 断犯错误的概率不大于0.05. (10分) ·28· ·数学· 参考答案及解析 解释：由于x2>3.841,所以表示有小于0.05的 0 可能性证明这两个事件无关，也就是在犯错误的 2 概率不超过0.05的前提下认为药物有效. 10 10 (13分) (13分) 16.解：(1)由题意，z=89十88+…十82+8176 =85. 所以E(X)=0X 9 2x品 0+1X3 (2分) (15分) y=4.2+4.3+…+5.6+5.745 5. (4分) 18.解：(1)X的可能取值为0,1,2,3， 9 9 C 1 2(x,-x)(y:-） P(X=0)= -12 C106' = 由所给数据得， (x4-x)2 60 CC1 P(X=1)= i=1 C1.2 -0.2, (6分) P(X=2)= C号C3 故a=y-ix=5-(-0.2)×85=22, (8分) C。10, 所以y关于x的线性回归方程为y=一0.2x十22. P(X=3)= CC 1 C。30’ (3分) (10分) (2)P=(x-60)(-0.2x+22)=-0.2x2+34x 所以X的分布列为 -1320=-0.2(x-85)2+125, (12分) X 0 1 2 3 所以当x=85时，P取得最大值， 1 所以经预测，当销售单价为85元/kg时，日销售 6 10 30 利润最大，为125元. (15分) 6+1X 2+2X 所以E(X)=0X 17.解：(1)零假设为H。:性别与感冒情况不具有相 0+3×30 关性 6 5 (6分) 根据列联表中的数据，得 (2)去掉第10周的数据后可得新数据如表所示： X=-100X30X10-45X15=10 ≈3.030 75×25×45×55 3 时间x/周 4 5 6 7 P 3.841=x0.05, (3分) 每周普及 94 121140196205190 256298 故根据小概率值α=0.05的独立性检验，没有充分 的人数y 证据推断H。不成立，即认为性别与感冒情况无关. 则x= 9 ×(1+2+3+4+5+6+7+8+9)=5, (5分) (2)根据分层随机抽样的知识可知，抽取的5人 y- ×(190X10-318)=1582 1 9 (8分) 中，男性有2人，女性有3人， 所以X的所有可能取值为0,1,2， (6分) 去掉第10周的数据前2(：-x)(y:-y)= 则P(X=0)= C21 号101 空x-10y-219,86x-0-8 =1 =1 10x2=82.5, P(X=1)= CC 3 Cg=, 所以2x,=2199+10z=219+10×5.5× C号3 P(X=2)=C8-10' (10分) 190=12649 所以X的分布列为 2x=82.5+10=82.5+10X5.5=385, ·29· A 真题密卷 单元过关检测 所以2（红-）0：-)=2x,-97y 由提供的参考数据，可知c=0.02,又一0.642= 0.02X63+lnλ，故ln≈-1.9，所以≈e1.9, =12649-10×318-9×5×1582 9 1559, 由提供的参考数据，可得λ≈0.15， 故y=0.15×e.02x, (7分) 2c-27)2=含x-92=385-102-9×50 当x=60时，y=0.15×e.02×60≈0.498，即估计 =60, (12分) 该部门的绩效等级优秀率为0.498. (10分) u.-7)0.-156 (2)由(1)及提供的参考数据可知，4≈x=63,o≈ 所以6= ≈25.98， s≈20， (11分) 2x,- 60 又y≥0.7875，即0.15×e.2x≥0.7875，可得 a=y7-6z7=1582 0.02x≥ln5.25,即x≥83. (13分) 9 25.98×5≈45.88， 又4十a=83,且P(u-o<X<μ十)≈0.6827， (16分) 故用剩下的数据求出的线性回归方程为y= 由正态分布的性质，得P(z≥83)=号1-P(2 -o<x<H+o)]≈0.15865， (15分) 25.98.x+45.88. (17分) 记“绩效等级优秀率不低于0.7875”为事件A, 19.解：(1)依题意，y=入e两边取对数，得lny=cx 则P(A)=P(x≥83)=0.15865， +lnλ，即之=cx+ln入， (2分) 所以某个部门绩效等级优秀率不低于0.7875的 其中z=32+41十54+68+74+80+92 概率为0.15865. (17分) 63, 7 (5分) A ·30·