单元过关(十七)随机变量及其分布-【衡水真题密卷】2026年高考数学单元过关检测(A版)

规在的咬牙坚特，终会变成照亮前路的星光 密 2025一2026学年度单元过关检测（十七） 5.盒中有5个红球，3个黑球，现从中随机取出1个，观察其颜色后放回，并放人同色球2 班级 个，再从盒中任取1球，则第二次取出的是黑球的概率是 ( 题 数学·随机变量及其分布 3 姓名 本试卷总分150分，考试时间120分钟。 c 1 D.2 得分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项 6.已知离散型随机变量X服从二项分布B6,》,则 是符合题目要求的。 A.E(X)=2 B.E(2X+1)=2 题号 2 6 C.D(X)=3 8 答案 D.DX+1)- 7,设工1<x2<xa<x4<x,随机变量取值工1，x1,xa,x4,x6的概率均为0,2，随机变 1.张同学从学校回家要经过4个红绿灯路口，每个路口可能遇到红灯或绿灯.设他可能遇 量取值1+2，十2，+2红，+2,5十21的概率也均为0.2，则 到红灯的次数为X,则下列可以表示X=3的为 () 3 3 3 3 3 E(1),E(:)的关系为 () A.(1,1,1,1) B.(1,0,1,1) C.(1,0,1,0) D.(0,0,1,0) A.3E(61)=E(6:) B.2E(51)=E(2) 2.若随机变量：的分布列如表所示，且表中的数列(a.)为等差数列，则P(传=5)=() C.E(1）=E(传：) D.2E(1)=3E(G2) 3 7 8.已知随机变量X一N(0,1),Y~N(0,4),则 ( as A.P(X≥1)>P(Y≥2) B.P(X≥1)<P(Y≥2) C.P(X|≤1)>P(Y1≤1) D.P(X≤1)<P(Y≤1) 2 c 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 3.一个袋子中含有50个大小相同的球，其中有20个黄球，30个白球，现采用不放回摸球 题号 9 10 11 方式从中随机摸出10个球作为样本.用X表示样本中黄球的个数，则P(X=4) 答案 () 9.设样本空间0=1,2,3,4}含有等可能的样本点，且A={1,2,B=1,3},C=(1,4},则 A船 BCC。 下列结论正确的是 () C.Ca×0.4×0.6 D.Co×0.4×0.6 APA)-司 B.P(AB)=P(A)P(B) 4.已知在所有矿石中含有某种稀有元素的概率约为0.1，小郅与小祥同学有一把探测器可 C.P(ABC)=P(A)P(B)P(C) D.P(BC)=P(B)P(C) 识别该稀有元素且准确率高达0.9（即有0.1的概率对不含有该稀有元素的矿石作出反 10.已知随机变量X和Y,其中Y=3X+2,且E(Y)=7,若X的分布列如表所示： 应).在某次探索实践任务中，他们共同发现了一堆由探测器检验含有该元素的矿石，但 X 1 2 是否真的含有该元素仍需进一步检验.在回实验室途中，小样提出用2000元向小郅卖 1 出所有矿石，若矿石中真实含有该元素，则价值约10000元，否则将一文不值.若小郅同 则下列说法正确的是 学出钱购买，则他所获利润的均值约为 () 1 A.-2200元 B.3000元 C.7000元 D.8800元 A.m二4 B.n= C.E(X2)=3 D.D(X)-5 单元过关检测（十七）数学第1页（共8页） 真题密卷 单元过关检测（十七）数学第2页（共8页）】 A 11.下列说法正确的是 () 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 A若随机变量~B6,》,则D() 15.(13分)春节期间某超市为了刺激消费、提高销售额，举办了回馈大酬宾抽奖活动，设置 了一个抽奖箱，箱中放有7折、7,5折、8折的奖券各2张，每张奖券的形状都相同，每位 B.残差平方和越大，模型的拟合效果越好 消费者可以从中任意抽取2张奖券，最终超市将在结账时按照2张奖券中最优惠的折 C.若随机变量)~N(μ，g2),则当r减小时，P()一4<a)保持不变 扣进行结算 D.一组数据的极差不小于该组数据的标准差 (1)求一位消费者抽到的2张奖券的折扣相同的概率； 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 (2)若某位消费者购买了300元（折扣前）的商品，记这位消费者最终结算时的消费金 12.已知随机变量：服从正态分布N(4,a2),且P(E<6)=4P(e<2),则P(:<2) 额为X,求X的分布列及数学期望. 13.某射击俱乐部开展青少年射击培训，俱乐部共有6支气枪，其中有2支气枪未经试射校 正，有4支气枪已校正.若用校正过的气枪射击，射中10环的概率为0.8；用未校正过 的气枪射击，射中10环的概率为0.4.某少年射手任取一支气枪进行1次射击，则他射 中10环的概率是 :若此少年射手任取一支气枪进行4次射击（每次射击后 将气枪放回)，每次射击结果相互不影响，则4次射击中恰有2次射中10环的概 率为 14.甲、乙、丙、丁四人相互做传球训练，第一次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将 球传给另外三个人中的一人，则两次传球后，球在乙手中的概率为 A 单元过关检测（十七）数学第3页（共8页） 真题密卷 单元过关检测（十七）数学第4页（共8页） 16.(15分)随着国家以旧换新政策的深入实施与完善，某商场现有更换电视机与洗衣机的 17.(15分)已知6名同学中有3名女生，3名男生，现将这6名同学随机平均分成A,B两 活动，经调查统计，居民更换电祝机的概率为0.6，更换洗衣机的概率为0.4，两种电器 组进行比赛 都不更换的概率为0.2. (1)求A组中女生的人数X的分布列， (1)①求居民甲至少更换一种电器的概率： (2)记事件M:女生不都在同一组，事件N:女生甲在A组.判断事件M,N是否相互 ②求居民甲更换洗衣机且更换电视机的概率； 独立？并证明你的结论， ③求居民甲在不更换洗衣机的条件下，更换电视机的概率： (2)若至少更换一种电器视为参加了以旧换新活动，现有居民甲，乙、丙，丁、戊五人，是 否参加活动相互独立，求参加活动的居民人数X的分布列，并求出期望与方差. 单元过关检测（十七）数学第5页（共8页） 真题密卷 单元过关检测（十七）数学第6页（共8页） 18.(17分)某人工智能研究实验室开发出一款全新聊天机器人，它能够通过学习和理解人 19.(17分)某校高三年级在一次数学测验中，各位同学的戒绩一N(110,100),现规定：成 类的语言来进行对话.聊天机器人的开发主要采用RLHF(人类反馈强化学习)技术， 绩在[140,150]的同学为“成绩顶尖”，在130,140)的同学为“成绩优秀”，低于90分的 在测试它时，如果输入的问题没有语法错误，则它的回答被采纳的概率为80%：输人的 同学为“不及格” 问题有语法错误，则它的回答被采纳的概率为40%. (1)已知该校高三年级共有2000名同学，分别求“成绩优秀”和“不及格”的同学的人数 (1)在某次测试中输人了8个间题，聊天机器人的回答有5个被采纳，现从这8个间题 (小数按四舍五入取整处理) 中随机抽取4个，用X表示抽取的问题中回答被采纳的问题个数，求X的分布列 (2)现在要从“成绩顶尖”的甲，乙同学和“成绩优秀”的丙、丁，戊、己共6名同学中随机 和数学期望； 选取4名同学作为代表交流学习心得，在已知至少有一名“成绩顶尖”的同学入选 (2)设输入的问题出现语法错误的概率为p,若聊天机器人的回答被采纳的概率为 的条件下，求同学丙入选的概率。 70%,求p的值. (3)为了解班级情况，现从某班随机抽取一名同学询问成绩，得知该同学的成绩为142 分，请问：能否判断该班成绩明显优于或者差于年级整体情况？并说明理由 参考数据：若X~N(,a2),则P(一a≤X≤u十c)=0.6827,P(u-2a≤X≤4 +2a)=0.9545,P(-3aX4十3a)=0.9973. A 单元过关检测（十七）数学第7页（共8页） 真题密卷 单元过关检测（十七）数学第8页（共8页）真题密卷 单元过关检测 2025一2026学年度单元过关检测（十七） 数学·随机变量及其分布 一、选择题 E()=0.2.x1+2:+0.2.+2+0.2 1.B【解析】X=3表示{(0,1,1,1)，(1,0,1,1)， 3 3 (1,1,0,1),(1,1,1,0)},根据选项可得B正确. +2x4+0.2.4+2x+0.2.5+2m 3 3 3 2.D【解析】由分布列的性质可知，a1十a2十ag十a4 十a5=1,又数列{am}为等差数列，则5a3=1,即 白31十2十十z4+=62 5 3 a,-日，故Pg=5)- 故E(51)=E(52). 8.C【解析】因为随机变量X~N(0,1),所以1=0， 3.A【解析】因为采用不放回摸球方式，所以各次试验 o1=1,因为随机变量Y~N(0,4),所以2=0，o2= 的结果不独立，所以X服从超几何分布，P(X=)= 2,所以利用正态密度曲线的对称性可得P(X≥1)= ,k=0,1,2,…,10,所以P(X=4)=C%C CC8- C8· P(X≥1十o1),P(Y≥2)=P(Y>≥2十o2),所以 4.B【解析】设该矿石由探测器检验含有该元素为 P(X≥1)=P(Y>≥2)，故A,B错误； 事件A,该矿石含有该元素为事件B,则P(A)= P(X≤1)=P(41-o1≤X≤+o1)=P(Y|≤ 0.1×0.9+0.9×0.1=0.18,P(BA)= 2)=P(u2-o2≤Y≤μ2十o2), 0.1X0.9=0.5,PB1A)=0.9X0.1 又P(Y|≤1)<P(Y|≤2)，所以P(X|≤1)> 0.18 0.18 0.5, P(Y≤1)，故C正确，D错误. 所以利润的均值E=0.5×8000十0.5× 二、选择题 (-2000)=3000元. 9.ABD【解析】对于A,B,由题意可得P(A)=2 5.C【解析】设第一次取到黑球为事件A,第二次取 4 1 到黑球为事件B,则Pa)=含PA)=日， ，P(B)-是-子，PAB)=,故A,B压病： PCBIA)=8PBIA)=高， 对于C,国为P(C)=,P(ABC)= ,P(A)· 1 、1、11 所以P(B)=P(B|A)P(A)+P(B|A)P(A)= P(B)P(C)=2×2×2-8,所以P(ABC)≠ 6×8+品×8-88 P(A)P(B)P(C),故C错误； 6.D【解析】由于X照从二项分布B(3,),故 对于D.P(BC)--PB)P(C,故DE绕 10.BD【解析】对于A,B,由分布列性质可得m十n E(X)=np=3× 3=1,D(X)=np(1-p)=3X 1 =2,又Y=3X+2,E(Y)=7,可得E(Y)= 吉×号-号战AC得送 1 3EX)+2-7,即E(X)=号故可得1×号十 E(2X+1)=2E(X)+1=3,D(2X+1)=4D(X) 7 8 =3,故B错误，D正确。 2m+3n三5即2m+3n6 1 1 7.C【解析】E(51)=0.2·x1十0.2·x2十…十0.2 m+n=- 2 m= 3 联立 故A错误， 15 .x5=5白 1 2m+3n= 6 6 A ·24· ·数学· 参考答案及解析 B正确； 4次射击中恰有2次射中10环的概率为 对于C,X2的分布列为 c(- X2 9 2 3 6 14弓【解折】第一次由甲将缘修出，2次传球的所有 可能的结果为：甲乙甲，甲乙丙，甲乙丁，甲丙甲，甲 所以EX)=1x+4x3+9x日-9 1 6=3,故C 丙乙，甲丙丁，甲丁甲，甲丁乙，甲丁丙，共9种结果 错误； 且等可能，2次传球后球在乙手中的事件为：甲丙 2 对于D,经计算易知D(X)=2x(1-3)'+月 乙，甲丁乙，共2种结果，所以所求概率是) ×2-)+后×-》广-号，故D正确 四、解答题 15.解：(1)每位消费者从放有7折、7.5折、8折的奖 11.ACD【解析】对于A,D(传)=p(1-p)=8×4 券各2张的抽奖箱中任意抽取2张奖券，有C= 15种情况， (3分) ×(1-)=2,故A正确： 而“抽到的2张奖券的折扣相同”的情况有3种， 对于B,残差平方和越小，模型的拟合效果越好， 故其损率为P=。一行 31 (5分) 故B错误； (2)依题意，消费金额X的可能取值为210,225， 对于C,根据正态分布的概率分布特，点可知 240. P(|n一μ|<o)=P(u-o<≤十o)为定值，故C 正确； P(X=210)=C+CC+CC9 3 C号 15-5 对于D,由于x:一x≤xmx一xmin,标准差S P(X=225)= C号+CC251 L2z,-x)2≤N C 153 ni=1 N ni=1 P(X=240)= C1 一xmin,故D正确. Ca15' (10分) 三、填空题 则X的分布列为 12.号【解析】由题意，一N(4,0),可得P(5<6) X 210 225 240 3 =P(>2),所以P(>2)=4P(E<2)= P 5 5 15 4-P(>2],解得P(>2》=言，所以 故E(X)=210×5 +225X3+240XE2☑ Pe<2)=号 (13分) 16.解：(1)设事件A=“更换电视机”，事件B=“更 18以【解析】设事件A表示使用巴校区的气 换洗衣机”. 枪，事件B表示射中10环， ①因为P(AB)=0.2,则至少更换一种电器的 P(B)=P(A)P(BA)+P(A)P(BA)= 概率P(AUB)=1-P(AB)=0.8. (3分) 合×0,8+后×0,4=号放任取-或气格远行】 4 2 ②由P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AB),得更 换洗衣机且更换电视机的概率P(AB)=0.2. 次射击，射中10环的概率是号； (5分) ·25· A 真题密卷 单元过关检测 ③在不更换洗衣机的条件下，更换电视机的概率 故X的分布列为 P(AIB)=P(AB)_P(A)-P(AB)0.4 2 X 1 2 3 P(B) 1-P(B) 0.63 (8分) 14 (2)由题意，X服从二项分布，所以X~B(5,0.8). 3 则分布列为P(X=k)=C0.8·0.25-(k=0,1,2, 则E(X)=1×14+2×行+3× +4X15 7 142 3,4,5), (10分) (10分) 所以E(X)=np=5×0.8=4, (13分) (2)记“输入的问题没有语法错误”为事件A,“输 D(X)=np(1-p)=5×0.8×0.2=0.8. (15分) 入的问题有语法错误”为事件B,“回答被采纳” 17.解：(1)A组中女生的人数可能为0,1,2,3，故X 为事件C, 的所有可能取值为0,1,2,3， 由已知得，P(C)=0.7,P(CA)=0.8, P(X=0)= C9C3 1 C8=20' P(C|B)=0.4, P(B)=p,P(A)=1-p, (12分) P(X=1)= CC9 C8-20’ 所以由全概率公式得P(C)=P(A)P(CA)+ P(B)P(CB)=0.8(1-p)+0.4p=0.7, P(X=2)= CC9 C%20 (15分) CC9 1 P(X=3)= (5分) 解得p=0.25. (17分) C%20 19.解：(1)由已知4=110,0=10， (2分) 所以A组中女生的人数X的分布列为 “成绩优秀”的概率为：P(130≤X<140)= 0 1 2 Pu+2a≤X<4+30)=0.99730.9545_ 2 20 20 20 20 0.0214. (5分) (8分) “不及格"”的概率为：P(X<90)=P(X<一2o)= (2)事件M,N相互独立. 1-0.9545 =0.02275, (7分) 9 2 证明如下：由(1)知，P(M)= 9+9 20十20-10' 所以“成绩优秀”的人数为2000×0.0214=42.8 (10分) ≈43人， P(N)= 4C%1 (12分) “不及格”的人数为2000×0.02275=45.5≈46人. Cg-2, (9分) P (MN)= CCC+CIC3 9 C 20’ (2)设事件A:至少一名“成绩顶尖”的同学入选， P(MN)=P(M)P(N), 事件B:丙人选， 所以事件M,N相互独立. (15分) 则P(BA)= P(AB) n (AB)CC+CC P(A) n(A) CC+CC 18.解：(1)由题可知X的所有可能取值为1,2,3,4， P(X=1)=CC51 9 (12分) 14 C哈70-14' P(X=2)= C号C3303 (3)由条件知，P(X>μ+30)=1-0.9973_ Cg707’ 0.00135, (15分) P(X=3)= CC 30 3 Cg707’ 而在该班随机抽查中，此同学成绩142>μ十3σ P(X=4)= CC9 5 1 在一次随机事件中就发生了，这说明该班成绩明 Cg-70-14' (5分) 显优于年级整体成绩 (17分) A ·26·