单元过关(十二)数列的通项公式和求和-【衡水真题密卷】2026年高考数学单元过关检测(A版)

数学是思箍的体操，每一次思考都是力量的积蓄 2025一2026学年度单元过关检测（十二） 6设S,是数列a.的前n项和，且a1=1,S=(2S,十1S1则号 班级 卺题 数学·数列的通项公式和求和 A-号 姓名 本试卷总分150分，考试时间120分钟。 C.-2 D.-i 得分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项 7.已知数列a,}满是a1=2a2=2,5.+1+S.-1=25.十1og:1+)6m≥2，m∈N),则 是符合题目要求的。 as= () 题号 1 2 8 答案 A.3 1.已知数列{a.为等比数列，a1=102,公比g=2则a, C.4 A驾 8.设数列{an}的前n项和为S。,若a。十an+1=n十1，且存在正整数k,使得S=S+1= 90,则a1的取值集合为 () C.25 D.51 A.{-9,91 B.(-9,10 2.已知集合M={mm=2n一1，n∈N”且m<60},则M中所有元素的和为 () C.-10,9 D.-10,10 A.900 B.885 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题 C.870 D.855 目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 3.某企业今年年初有资金1000万元，由于引进了先进生产设备，资金年平均增长率可达 题号 9 10 11 到50%，每年年底需要扣除下一年的消费基金50万元，剩余资金投人再生产，设该企业 答案 从今年起每年年初拥有的资金数依次为a1,a,a,…,则表示a.+1与a.之间关系的递 () 9.在等比数列{a.}中，aa2=2,a1=4,则 ( 推公式为 A.{a.}的公比为，2 B.{a.)的公比为2 A.a+1-2a.-50 B.am+1-an=450 C.as十aa=20 3 3 D数列ioe为递增数列 C.a+1=2a,-50) D.a*1=2a.-25 10.任取一个正整数，若是奇数，则将该数乘3再加上1：若是偶数，则将该数除以2.反复进 4.已知数列{an}满足a1=33,an+1一a.=2n,则am= 行上述两种运算，经过有限次运算后，必进入循环圈1→4→2→1，这就是数学史上著名 A.n2-m十33 B.2m2-n+32 的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”），如取正整数m=6,根据上述运算法则得出6→3→10 C.-2m+35 D.n+32 →5→16→8→4→2→1，共需经过8个步骤变成1（简称为8步“雹程”）.现给出“冰雹猜 5.一只蜜蜂从蜂房A出发向右爬，每次只能爬向右侧相邻的两个蜂房（如图），例如：从蜂 想”的递推关系如下：已知数列{a.}满足a1=m(m为正整数)，a.+1= 房A只能爬到1号或2号蜂房，从1号蜂房只能爬到2号或3号蜂房，…，依次类推，用 a a,表示蜜蜂爬到n号蜂房的方法数，则a1一 () 2a,为偶数， 若a。=1,则m的取值可以为 个33 3a。十1，a。为奇数. A②文④6文文● A.16 B.18 A.34 B.55 C.89 D.144 C.20 D.22 单元过关检测（十二）数学第1页（共8页） 真题密卷 单元过关检测（十二）数学第2页（共8页） A 11.已知函数f(x)满足对Vx,y∈R,均有f(x十y)=f(x)十f(y)十m,且f(m)=0,设 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 a.=f(n)(n∈N·,则下列说法正确的是 () 15.(13分)设数列{a}是等比数列，数列{b}是递增的等差数列，{b.}的前n项和为S.(n∈ A.f(0)=m B.f(2024m)=2023m N°)，a1=2,b1=1,S,=a1+aga2=b1+ba C.若m=0,则f(x)在R上为奇函数 D.若m∈N”,则awtm=am十aim (1)求{a.}和{b.)的通项公式： 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 (2)将{am}与{b。)的所有项按照从小到大的顺序排列成一个新的数列，求新数列的前 12.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下间题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共 50项和. 灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中 下一层的灯数是上一层灯数的2倍，则塔顶层的灯数为 13.在数列a,)中，n(a+i一am)=a.(n∈N),且a:=π，则a,= 2 14数列a,)的前n项和S.满足S.=2a。-1,记6。一SS1,则6.}的最大项的值 为 A 单元过关检测（十二）数学第3页（共8页） 真题密卷 单元过关检测（十二）数学第4页（共8页） 16.(15分)记首项为1的数列a.}的前n项和为S。,且2S.=(n十1)a。,n∈N”. 17.(15分)已知S。为数列(a.)的前n项和，且S。=2a.一6n (1)探究数列a:是香为单调数列： (1)求a1. (2)证明：数列{a,十6}是等比数列. (2)求数列{a。·2,}的前#项和T。… (3)求数列{am十2n十5}的前n项和T.: 单元过关检测（十二）数学第5页（共8页） 真题密卷 单元过关检测（十二）数学第6页（共8页） 18.(17分)已知数列{a.}的前n项和为S.,且3a.=2S.+2(n∈N). 19.(17分)已知数列{a.}的前n项和为S.,且，a,S.成等差数列，数列b.)的首项b:= (1)求{an}的通项公式. 1,且b.+1=2b。-2n+3. (2)在a。与am+1之间插入个数，使这n十2个数组成一个公差为d.的等差数列.在 1)求a,的通项公式，并求数列a:+1的前n项和T, am·am+1 数列{d.}中是否存在3项d.,d:,d。(其中m,k,p成等差数列)成等比数列？若存 (2)若{b.}中去掉{a,}的项后余下的项按原顺序组成数列(c.},求c1十c十…十co 在，求出这样的3项：若不存在，请说明理由。 的值 A 单元过关检测（十二）数学第7页（共8页） 真题密卷 单元过关检测（十二）数学第8页（共8页）真题密卷 单元过关检测 所以T,=1十1十十1 因为函数y=工十2在(0,23)上单调递减，在 ala2 aza3 anan+l 11 (2√3，十∞)上单调递增， +…+2m-2n+1 又n∈N,故当n=3或n=4时，n+24)(2m+1) 2n -21-十）2年 4n (9分) =十12+ 取得最小值， 2 (14分) n 4nλ 故对Vn∈N”,2m149≤2m-1,变形得到 当n=3时，3十3+22 12,4963 A≤0+24)(2m+1) (10分) 当n=4时，4 12,4963 2n 4T2=2 其中n+24)(2m十1)_2m2+49n+24 故十是+号的数小值为所以以 63 n 2n (16分) -+只+ (12分) 37 n 所以入的取值范围是（一∞，2 (17分) 2025一2026学年度单元过关检测（十二）】 数学·数列的通项公式和求和 一、选择题 6.B【解析】因为Sn-(2Sn+1)Sm+1,a1=1, 1.B【解析】因为数列{an}为等比数列，a1=102,公 1 所以S+ 比g=,所以.=102 ,所以a4= 1,所以侵是首项为1，公差为2的等差数列， 12x(》- 1 1 所以 =2n-1,则S.-2m- 2.A【解析】由于集合M={mm=2n-1,n∈N“ 1 且m<60},即M={1,3,5,7,…,59}, 63 故M中共有30个奇数，构成以1为首项，2为公 差的等差数列，所以S0 30×(1+59)=900. Su 2 7.C【解析】由s+1+5.-1=2S.+1og(1+）,可 3.A【解析】依题意，a1=1000,am+1=(1十50%)am 50-4.-0 得S1-S.=S.-S.1+1be》, 4,A【解析】因为am+1一am=2n,所以由递推公式可 即am+1-am=log2(n+1)-log2n(n≥2，n∈ 得am-am-1=2(n-1),a-1-am-2=2(n-2), N),所以a3-a2=-log23-log22,a4-a3=log24 …,a3-a2=2X2,a2一a1=2X1,等式两边分别 -log2 3,,as-a,=log28-l0g2 7, 等式两边分别相加，得a8-a2=log28-log22,故 相加，得am一a1=2×1十2×2十…十2(n一2)十 a8=log28-log22+a2=3-1+2=4. 2(n-1)=2(1+2+3+…+n-2+n-1)=n2 8.B【解析】因为am十aa+1=n+1,所以S2m= n,因为a1=33,所以an=n2-n+33. (a1十a2)+(a3十a4)+…+(a2m-1十a2n）=2十 5.D【解析】依题意，an=am-1十am-2(n∈N',n≥ 3),a1=1,a2=2,所以a3=3,a4=5,a5=8,a6= 4十6十+2m-n2十2n）=1+m）, 2 13,a7=21,a8=34,ag=55,a10=89,a11=144. 不妨令S2m=90,可得n2十n一90=0，解得n=9 4 ·数学· 参考答案及解析 或n=一10（舍去），所以S18=90. 三、填空题 又因为S。=S+1=90,所以k=18或17. 12.3【解析】设塔的顶层共有a1盏灯，则数列{am} 因为an十am+1=n十1，所以am+1十at+2=n十2， 两式相减得am+2一an=1,即an=an+2一1， 是公比为2的等比教列，所以S,=a11-22- 1-2 当k=18时，由S18=S19=90,得a19=S19-S18=0, 381,解得a1=3. 两式相减得a1=a3一1=a5-2=…=a19一9=一9； 13.九 3 (m∈N”)【解析】由题意可知，a+1一a=1 当k=17时，由S17-S18=90,得a18=S18-S17= a 0,又a17十a18=18,所以a17=18, 故an+1=n十1 an 所以a1=a3-1=a5-2=…=a1?-8=18-8=10, 'a-1n-7n≥2)， 所以a1的取值集合为{-9,10}. 由累乘法可得2X0X…Xam=4X5 a3 as 二、选择题 9.BC【解析】设等比数列{an}的公比为g,依题意得 X。即2；-8则a,-受m∈N. aq=2, 解得 a1=1, 则am=2m-1,故A错误，B a1g2=4, g=2, 14号【解折1S.-20.-1,则51=2a1-1,两式 正确a3十a5=22十2=20，故C正确；lo822 1 相减，得Sm-Sm-1=2am-1-2am-1十1=an（n ≥2)，即am=2am-1(n≥2).当n=1时，a1=S1 1一，故纸列0e品}为适减数到，改D结民。 =2a1-1,故a1=1;当n=2时，a1十a2=S2= 2a2-1,故a2=2,则a2=2a1,符合该式， 10.AC【解析】因为a8=1,根据上述运算法进行 故am=2m-1,则Sn=2m-1,所以bn= 逆推，a7=2,a6=4,a5=8或a5=1. 2 (2-1)(2+1-1),令t=2,则6，= 1 若a5=8,则a4=16,a3=32或a3=5, 当a3=32时，a2=64,a1=-128或a1=21; 2+8 当a3=5时，a2=10,a1=20或a1=3. (t≥2)，易知{bn}单调递减，所以{bn}的最大项 若a5=1,则a4=2,a3=4,a2=8或a2=1; 2 当a2=8时，a1=16;当a2=1时，a1=2, 为b1=3 故若ag=l,则m所有可能的取值的集合M= 四、解答题 {2,3,16,20,21,128}. 15.解：(1)设等比数列的公比为g,等差数列的公差 11.BCD【解析】对于A,取x=y=0,得f(0)= 为d(d>0), 2f(0)+m,则f(0)=一m,故A错误； 4b1+6d=a1+a1q2, 由已知条件得 对于B,取x=y=m,得f(2m)=2f(m)+m= a1q=2b1+2d, m;取x=m,y=m,k∈N*,则f(k+1)m)= (2+6d=2q, 即 (3分) f(km)+f(m)+m=f(km)+m,f((k+1)m) 2g=2+2d, -f(km)=m,故f(2024m)=f(2024m)- (6分) f(2023m)+f(2023m)-f(2022m)+·+ 解得/91 0(舍去)或9=2， d= d=1, f(2m)-f(m)+f(m)=2023m,故B正确； 所以am=a1g”-1=2”,bn=b1+(n-1)d=n, 对于C,若m=0,则f(0)=0,取y=-x,得 n∈N'. (8分) f(0)-f(x)+f(-x)+0=0,则f(-x)= (2)由(1)知，{am}与{bn}都是递增数列， 一f(x),故f(x)在R上为奇函数，故C正确； 当n=5时，a5=32<50;当n=6时，a6=64> 对于D,取x=n,y=m,m∈N,得f(n十m) 50, (10分) f(n)十f(m)十m=f(n)十f(2m),即an+m= 2-26 an十a2m,故D正确. 又a1十a2+a3十a4十a5= 1-2 =62,b1十b2+ ·5· A 真题密卷 单元过关检测 …十b45 45×(1+45)-1035, 18.解：(1)当n≥2时，由3am=2Sm十2①，得3am-1 2 =2Sm-1+2②. (3分) 故新数列的前50项和为62+1035=1097. 由①-②，得3am-3am-1=2am,即am-3am-1· (13分) (5分) 16.解：(1)已知2Sm=(n十1)am, 当n=1时，3a1=2a1十2，解得a1=2, (7分) 当n≥2时，2Su-1=nan-1, (2分) 所以{am}是以2为首项，3为公比的等比数列，所 两式作差得2an=(n十1)an-nam-1, 以am=2X3”-1,n∈N. (8分) 即(n-1)am=nan-1, (4分) (2)不存在3项dm,d。,d,(其中m,k,p成等差 所以货-日气则数列 an 为常数列，无单调 n 数列)成等比数列， (9分) 性放数列 理由如下： 不是单调数列. (6分) 依题意得am+1=an十(n+2-1)dn,即2×3”=2 (2)由(1)可得2-21=1，所以a.=, n 1 X31+a+1)d,解得d.=4X3- n+1 (12分) 所以an·2%=n·2". (8分) 假设存在3项dm,d。,d。成等比数列（其中m十 所以Tm=1·2+2·22+3·23+…+n·2m①， p=2k),则d量=dmdp, (14分) 2Tm=1·22+2·23+3·24+…+(n-1)·2m 即（任X34X3-4X3 十n·2+1②， (10分) m+1p+1, 由①-②，得-Tm=2十22+23十十2m-n· 整理得k2=mp. 2+1=2(1-2") 联立m十p=2k,解得m=p-k,这与已知条件 1-2 一n·2m+1=-2-(n-1)·2m+1, m≠p≠k矛盾， (16分) 所以Tm=(n-1)·2m+1十2. (15分) 所以不存在3项dm,d。,d,(其中m,k,p成等差 17.(1)解：因为Sm=2am-6n, 数列)成等比数列， (17分) 故当n=1时，a1=S1=2a1-6,解得a1=6. 19.解：(1)因为n,am,Sm成等差数列，所以Sm十n= (3分) 2am①， (2)证明：因为Sn=2am一6n, 所以Sm-1+n-1=2am-1(n≥2)②， 则Sm+1=2am+1-6(n十1)， 由①-②，得am十1=2am-2am-1,于是am十1= 所以amt1=Sm+1-Sn=2amt1-6(n十1)-2an 2(am-1+1)(n≥2). +6n,即am+1=2am十6， 又S1+1=2a1,所以a1=1,所以a1十1=2， 所以am+1十6=2(am十6)， (6分) 所以数列{am十1}是以2为首项，2为公比的等比 又a1十6=12，所以{am+6}是以12为首项，2为 公比的等比数列. (7分) 数列，所以an十1=2·2m-1=2",即am=2"-1,n (3)解：由(2)可知am十6=6·2，则am=6·2-6, ∈N*. (5分) 所以a2m+2n+5=6·22m+2n-1=6·4"+2n-1, 所以am十1 an·am+1 (2-1)(2*1-1）=2-1 (10分) 所以Tm=6×41+1+6×42+3+…+6×4”+ 2"+1-1’ 2n-1=(6×41+6×42+…+6×4")+(1+3+ +2m-1）=6X41-4)+n1+2m-1） 所以工.=(1-》+(}》+…十 1-4 2 =2×4m+1+n2-8,n∈N*. (15分) A 6· ·数学· 参考答案及解析 (2)因为bm+1=2bm-2n+3,所以bm+1 又a1=1,a2=3,a3=7,a4=15,a5=31,a6=63, (2n+1)=2[bn-(2m-1)]=…=2(b1-1)=0, b32=63,b36=71, 所以{bn一(2n一1)}是各项均为0的常数列，所 所以c1十c2十…十c30=(b1+b2+…十b36)一 以bn=2n-1, a1十a++a)=36xg+71）-[(2+2+ 2 所以bm+1一bn=2,所以{bn》是以1为首项，2为 …+2)-6]=362-27+8=1176. (17分) 公差的等差数列. (13分) 2025一2026学年度单元过关检测（十三） 数学·直线与圆的方程 一、选择题 (b+1 1×1=m2, /a-0=-1, 1.C【解析】根据两直线平行，可知 解 6.B【解析】设Q(a,b),则 解 3m≠1×(-5)， a+0b-1 22 +1=0, 得m=士1. 2.A【解析】若l1⊥l2,则a2一3a=0,解得a=0或 得a=-2,b=1,所以Q(-2,1).又因为Q在C a=3,所以“a=0”是“11⊥l2”的充分不必要条件。 9 上，所以4十1-2m十4=0，解得m=2,经检验， 3.A【解析】设线段OP的中点为Q(x,y), 符合题意。 P(xoy0),则由题意得(x。-2)2十y=1,且 7.B【解析】因为C1:x2十y2-2x十my+1=0,整 z=2x'即P2x,2y,所以(2z-2)2+2y) y。=2y, 理得G-1+(+经）- 4,故C的圆心 1 =1,即(x-1)2+y2= ,所以线段OP中点的轨 为1，-）半径r= m 2 且m≠0，因为C1关 递方程为-1)+y= 于直线x十2y+1=0对称，所以直线x十2y十1= 4.C【解析】由题意知，当AB取最小值时，点 0经过周心C,故1+2×(-究）十1=0，解得m M(1,2)为弦AB的中点，此时CM⊥AB,又 |CM=√5，则|AB|=2×√9-5=4，所以 =2,又C2的圆心为(-2,3)，半径r2=4,由两，点 Sax=AB×CM=X4X6=2w5. 间距离公式得|C1C2|=√9+16=5=r1十r2,所 以C1与C2外切. 5.D【解析】设该圆的方程为x2十y2十Dx十Ey+ 8.C【解析】由题意知，a×1+1×(-a)=0,故两直 F=0,将(-2，-2)，(-2,6)，(4，-2)代入圆的 线垂直，又直线ax+y-4a=0过定点A(4,0), -2D-2E+F+8=0, 方程可得 -2D+6E+F+40=0,解得 直线x-ay+2=0过定点B(-2,0), 4D-2E十F+20=0, 故两直线的交，点P在以AB为直径的圆上（不含 D=-2, 点A(4,0),该圆方程为(x一1)2十y2=9,则其圆 E=-4,故圆的方程为x2+y2一2x-4y 心为C(1,0),半径为3， F=-20, 则|OP|≥|CP|-OC,当且仅当P,O,C三，点 20=0,整理得(x-1)2+(y-2)2=25,故O(1,2), 共线，即P位于B点时，等号成立，故OP的最 所以|P0|=√(2-1)2+(-1-2)2=√10. 小值为3-1=2. 7 A