单元过关(十一)数列的概念、等差数列与等比数列-【衡水真题密卷】2026年高考数学单元过关检测(A版)

点滴积累，山河可越 密真 2025一2026学年度单元过关检测（十一） 6设等差数列a.的公差为d,则0<a,<d”是“侣为递增数列”的 班级 卺题 数学·数列的概念、 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 姓名 等差数列与等比数列 7.已知数列{an}满足an+2=2am+1十3a.,则下列a1,a2的值能使{an}为周期数列的是 本试卷总分150分，考试时间120分钟。 得分 A.a1=0,a:=1 B.a1=-1,a2=1 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项 C.a1=0,a3=2 D.a1=-2,a2=0 是符合题目要求的。 8.如图是瑞典数学家科赫在1904年构造的能够描述雪花形状的图案.图形的作法是：从 题号 2 4 一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正 答案 三角形，再去掉底边.反复进行这一过程，就得到一条“雪花”状的曲线.设原三角形（图 1.除数函数y=d(n)(n∈N·)的函数值等于n的正因数的个数，例如，d(1)=1,d(4)=3, ①)的边长为1，记第#个图形的周长为a。,数列{a.)的前n项和为S.,则使得S.>72 则d(12)的值为 () 成立的n的最小值为（参考数据：1og2≈0.63） () A.2 B.4 C.6 D.8 2.已知等差数列{a.)的前n项和为S.a:十4s=24,S:=48,若a.≥0，则n的最小值为 A.2 B.3 C.4 D.5 ④ 4 B.7 3.在数列a.中，若a1=3,ah=2-。.,则下列不是a.中的项的是 A.6 C.8 D.9 A.-4 B号 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 c D.3 题号 9 10 11 4.已知等比数列{a.}中的各项均为正数，若a1十a2十aa=7,a,=aa十2a2,则a7十aa十ag= 答案 () 9.已知等比数列{a.的前n项和为S。,公比为q,若Sg 3S69 A.224 B.448 2'S8则 ( C.588 D.896 1 Aa1=2 B.q=2 5.在2和14之间插入m个数，使得这m十2个数成等差数列.若这m个数中第1个数为 1.9 1 a,第m个数为6，则。十6的最小值是 () C.a1=64 D.5.- 10.已知等差数列{a.}的前n项和为S。,若S>0,S。<0,则 ( A号 A.as>0 B.a4>0 C.1 D.2 C.{a。}中绝对值最小的项为a D.(S.)的前n项和T,的最大项为Ta 单元过关检测（十一）数学第1页（共8页） 真题密卷 单元过关检测（十一）数学第2页（共8页）】 A 1.已知正项数列a,满足a1。二记a的前n项和为S,前n项积为T,则 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.(13分)已知数列{a.}满足a1=1,a.+1=2a.十n一1. () A.a:0n>1 (1)求{a.}的通项公式： B.{a.}不可能为常数列 （2若数列么满足6，=“，求6.的前n项和工 c-5-s D.S2>4n 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12,某汽车集团计划大力发展新能源汽车，2019年全年生产新能源汽车5000辆.若在后 续的儿几年中，后一年新能源汽车的产量都是前一年的150%，则2027年全年约生产新 能源汽车 辆（结果精确到1,1.5≈25.63,1.57≈17.1）. 13.已知数列(a.}的前n项和S.=n2一9n,若第k项满足5<44<8，则k= 14,已知数列{a.}的通项公式为a,=n十t,S。为{an)的前n项和，若S:s<0,则实数t的 取值范围为 A 单元过关检测（十一）数学第3页（共8页） 真题密卷 单元过关检测（十一）数学第4页（共8页） 16.(15分)已知数列{a.}为等差数列，S。为{a.}的前n项和，a1=1,Ss=9. 17.15分)已知数列a.满足a1=2,+-n+史 a.n (1)求{a.}的通项公式： (1)求{a.}的通项公式： 一，比较T。与1og2√3的大小. aa+ （2)设6，=4，求数列6.}的前n项和S anav+2 单元过关检测（十一）数学第5页（共8页） 真题密卷 单元过关检测（十一）数学第6页（共8页） 18.(17分)已知数列{a.}为等差数列，a1=1,a:=2W2十1，前n项和为S.,数列b.}满足 19.(17分)已知数列a的前n项和S.- 6.-S (1)求{a.}的通项公式； (1)证明：(b.)为等差数列，并求其通项公式。 (2)设T,=1十1十…十，1，若对Vm∈N,T.-49≤2a,恒成立，求A的 4142Q243 axa.+1 (2)探究{a,}中任意三项是否可以构成等比数列？ 取值范围 A 单元过关检测（十一）数学第7页（共8页） 真题密卷 单元过关检测（十一）数学第8页（共8页）·数学· 参考答案及解析 参芳答案及解析 2025一2026学年度单元过关检测（十一） 数学·数列的概念、等差数列与等比数列 一、选择题 当为递增教列时，不妨取a1=-1,d=1,此 1.C【解析】12=1×12=2×6=3×4，所以d(12)=6. n 2.A【解析】设等差数列{an}的公差为d, 8， 则ata,=2a1+7d=24 解得=2，」 n 2+1为递增教列，但不满足0<a1<d, 所以 S6=6a1+15d=48, d=4, 所以“为递增数列”不能推出“0<1<d”,所 n】 am=-2+4(n-1)=4n-6,令am=4n-6≥0，则 3 以0<a1<d是} 为递增数列”的充分不必 n≥2，又因为n∈N,所以nm=2. 要条件 4 4 3.C【解析】由a=3,a+1一2-0，可得a:-2-3 7.B【解析】对于A,当n=1时，a3=2a2十3a1=2; 当n=2时，a4=2a3十3a2=7;当n=3时，a5= 22-3,a =-4a1-2--号0，=4g 4 2 2a4十3a3=20,…,无周期性，故A错误； 3 对于B,当n=1时，a3=2a2十3a1=-1;当n=2 -4,…,可知{am}是周期数列，3是{am}的一个周 时，a4=2a3+3a2=1;当n=3时，a5=2a4十3a3 期，故结合选项可得不是a中的项 =一1，…，所以数列是周期数列，2是它的一个周 期，故B正确； 4.B【解析】因为等比数列{an}中的各项均为正数 对于C,当n=1时，a3=2a2十3a1=4;当n=2 且a4=a3十2a2,所以q2=q十2，解得q=2或q= 时，a4=2a3十3a2=14;当n=3时，a5=2a4十3a3 -1(舍去)，故a7十ag十ag=(a1十a2十a3)q= =40,…,无周期性，故C错误； 7×26=448. 对于D,当n=1时，a3=2a2十3a1=-6;当n=2 5.C【解析】依题意，令这个等差数列为{am},a1=2, 时，a4=2a3十3a2=-12;当n=3时，a5=2a4十 am+2=14,a2=a,am+1=b,则a十b=a2十am+1= 3a3=-42,…,无周期性，故D错误. a-16.周t日18-元a60信+2） 8.C【解析】观察图形知，从第二个图形开始，每一 个图形的边数是前一个图形的4倍，边长是前一 10+2+岩)≥1，当且仅当经-岩即6-a 个图形的了，因此从第二个图形开始，每一个图形 12时等号成立，所以日+名的最小值是1 的周长是前一个图形周长的3，所以数列{a}是 a 6.A【解析】因为a。=a1十(n-1)d,所以2：= 以3为首项，以为公比的等比数列，所以S。 a+(m-1)d_a1-d+d, n n ×台x哈-少 当0<a1<d时，a:-d<0,此时fn)=a1-d 1 n d显然单调递增，所以“0<a1<d”可以推出 由5.>72，得9x[g)”->2。 “为递增数列”， n 所以()广>9，即1og(传广>1og9, A 真题密卷 单元过关检测 所以n(log4-1)>2,即n(21og32-1)>2,解得 对于D,因为am>1,则am-1>0, 2 n>21og:2-≈7.69， 则a,十a+1=a,十0m an-1=an-1+1 a47+2> 又n∈N”,所以使得Sm>72成立的n的最小值为8. 二、选择题 2√，-1+2=4,当且仅当a,-1- 9.CD【解标】向S,-子，得a11+g)=,由题 a。-即0，=2时，等号成立，可得S= 1 意可知91，香；-8，不特合题高， 含aa1十a)≥24=4m,当且仅当a1=a: 由于-则-}-1 1 …=a2m-1=a2m=2时，等号成立，故D错误. S3 52=818,故q=89 三、填空题 得g-日，故B正喷：将g-号入@11+g) 12.128150【解析】根据题意，从2019年开始，每一 年新能源汽车的产量构成等比数列，设为{an}, 3 则a1=5000,公比q=150%=1.5,所以am= =1,故A错误；a,=a1g° 1十2 a1q”-1=5000×1.5”-1,则2027年全年约生产 新能源汽车ag=5000×1.58≈128150辆. -(》°-C压瑞5，-4 1 32 13.8【解析】由题设得，当n≥2时，am=Sm-S,-1= 1-q 1 1一2 (n2-9n)-[(n-1)2-9(n-1)]=2n-10;当 n=1时，a1=S1=-8,显然满足上式，则am= 31 -i6,故D正确 2n-10,由于5<a.<8,则5<2k-10<8,解得 15 10.BCD【解析】由题意得4(a1十ag)=4(a4十a5)>0, <k<9,又k∈N,则=8. 2(a1十ag)=9ag<0,则a4十a5>0,a5<0,所以 9 14.(-∞，-1013)【解析】当n=1时，a1=1+t; a4>0,as<0,故A错误，B正确； 当n≥2时，am=n+t,am-1=(n-1)十t=n十 设数列{an}的公差为d,则d<0,a1>0,所以 t-1, {am}为递减数列，且a4>0,a4>-a5,即a4> 则am-am-1=(n十t)-(n十t-1)=n十t-n |a5,且当n≤4时，an|单调递减，当n≥5时， t+1-1,则{an}是首项为a1-1十t,公差为1的 |am单调递增，所以{am}中绝对值最小的项为 等差数列.由题意知，S。= (1+t+n+t)n= a5,故C正确； 2 因为当n≤4时，am>0;当n≥5时，an<0,S8>0, 2++n,故5，s-+223X20晒<0， 2 2 S,<0,所以S的前8项为正，第9项以后均为 负，故Tn的最大项为T8,故D正确. 故t<-1013,即t的取值范围为(-∞，一1013). 11.AC【解析】对于A,因为{am}是正项数列，则 四、解答题 a. 15.解：(1)在数列{an}中，因为am+1=2am十n一1， 解得am>1,所以a225>1,故 即am+1十n+1=2(am十n), (3分) am>0, 又a1+1=2, (5分) A正确； 所以数列{am十n}是首项为2，公比为2的等比 an 对于B,若a,=2,满足at1一a,,故B错误； 数列，所以an十n=2X2-1=2”, (8分) 所以{am)的通项公式是am=2m一n,n∈N*. 对于C,因为T, (10分) (2)由(1)知bn=1, at1-=ath十a+2=S+?-S.,故C正确； an+1 所以{bn}的前n项和Tn=n,n∈N.(13分) A ·2· ·数学· 参考答案及解析 16.解：(1)因为{an}为等差数列，故设公差为d, 由于a1=1,S3=9, 所以，-a+aa-+-》 2 a1=1, d=2, (5分) 所以 、解得 (4分) 3a1+3d=9, a1=1, 所以am=2n-1,n∈N'. (6分) 所以b。=S=」 (2)因为1 1 9a,a+1-(2n-1)(2n+1） 2”+12 剂 2 (8分) 则b+1-b 号a+D+-）- 十…十 1 nQn+1 (7分) --++…+ 1 1 》- 放6，}是公差为号的等差数列，且6， √2 -20-2m）2n4+T 2n+ (10分) (8分) 则T.<2,又1og月>1og2= 2, (2)解：设{am}中任意三项am=1十√2(n-1), 所以Tm<log2√3. (15分) am=1十√2(m-1),a。=1+√2(k-1),且an≠ 17.解：(1)由题意知，当n≥2时，a=n am≠ak, 'am-1n-1' 假设an,am,a成等比数列， (10分) (2分) 则1+2(m-1)]2-[1+√2(m-1)][1+ 所以a。=a…a.a1 an-1 √2(k-1)],即2(m-1)2-2(n-1)(k-1)= 32 √2(n+k-2m), (12分) (5分) 因为m,n,k∈N*, 当n=1时，a1=2满足am=2n. (6分) fn+k-2m=0, 所以 (14分) 综上，am=2n,n∈N'. (7分) (m-1)2=(n-1)(k-1), 4 4 (2)由(1)知，bm= 所以(k一n)2=0,即k=n,与am≠a。矛盾， anan+2 2n·2(n+2) 所以{an}中任意三项不能构成等比数列. (10分) (17分) 1 所以s--+号}日+… 1 19.解：(1)当n≥2时，am=Sn-Sa-1= 2n2 n-1 1 2m-102=n-2, (3分) 1 3 2n+3 当m=1时，a1=S1=2,满足上式， 2(n+1)(n+2)n∈N. (15分) 1 18.(1)证明：因为等差数列{am}满足a1=1,a3= 故{a.)的通项公式为a.=n一2n∈N.(6分) 2√2+1， 1 1 (2) nAn+1 所以公差4-g-区，所以.区+1一E, a-2a+】 (3分) =2 1 1 2n-12n+1/; (7分) ·3 A 真题密卷 单元过关检测 所以T,=1十1十十1 因为函数y=工十2在(0,23)上单调递减，在 ala2 aza3 anan+l 11 (2√3，十∞)上单调递增， +…+2m-2n+1 又n∈N,故当n=3或n=4时，n+24)(2m+1) 2n -21-十）2年 4n (9分) =十12+ 取得最小值， 2 (14分) n 4nλ 故对Vn∈N”,2m149≤2m-1,变形得到 当n=3时，3十3+22 12,4963 A≤0+24)(2m+1) (10分) 当n=4时，4 12,4963 2n 4T2=2 其中n+24)(2m十1)_2m2+49n+24 故十是+号的数小值为所以以 63 n 2n (16分) -+只+ (12分) 37 n 所以入的取值范围是（一∞，2 (17分) 2025一2026学年度单元过关检测（十二）】 数学·数列的通项公式和求和 一、选择题 6.B【解析】因为Sn-(2Sn+1)Sm+1,a1=1, 1.B【解析】因为数列{an}为等比数列，a1=102,公 1 所以S+ 比g=,所以.=102 ,所以a4= 1,所以侵是首项为1，公差为2的等差数列， 12x(》- 1 1 所以 =2n-1,则S.-2m- 2.A【解析】由于集合M={mm=2n-1,n∈N“ 1 且m<60},即M={1,3,5,7,…,59}, 63 故M中共有30个奇数，构成以1为首项，2为公 差的等差数列，所以S0 30×(1+59)=900. Su 2 7.C【解析】由s+1+5.-1=2S.+1og(1+）,可 3.A【解析】依题意，a1=1000,am+1=(1十50%)am 50-4.-0 得S1-S.=S.-S.1+1be》, 4,A【解析】因为am+1一am=2n,所以由递推公式可 即am+1-am=log2(n+1)-log2n(n≥2，n∈ 得am-am-1=2(n-1),a-1-am-2=2(n-2), N),所以a3-a2=-log23-log22,a4-a3=log24 …,a3-a2=2X2,a2一a1=2X1,等式两边分别 -log2 3,,as-a,=log28-l0g2 7, 等式两边分别相加，得a8-a2=log28-log22,故 相加，得am一a1=2×1十2×2十…十2(n一2)十 a8=log28-log22+a2=3-1+2=4. 2(n-1)=2(1+2+3+…+n-2+n-1)=n2 8.B【解析】因为am十aa+1=n+1,所以S2m= n,因为a1=33,所以an=n2-n+33. (a1十a2)+(a3十a4)+…+(a2m-1十a2n）=2十 5.D【解析】依题意，an=am-1十am-2(n∈N',n≥ 3),a1=1,a2=2,所以a3=3,a4=5,a5=8,a6= 4十6十+2m-n2十2n）=1+m）, 2 13,a7=21,a8=34,ag=55,a10=89,a11=144. 不妨令S2m=90,可得n2十n一90=0，解得n=9 4