单元过关(十)空间向量与立体几何-【衡水真题密卷】2026年高考数学单元过关检测(A版)

今天放过一道错题，明天多一道障碍 2025一2026学年度单元过关检测（十） 班级 卺题 数学·空间向量与立体几何 c2+-2 1 1 2.1 1 本试卷总分150分，考试时间120分钟。 D.-3a+2b+29 姓名 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项 5.已知圆锥S0的底面半径为2，高为4，点P为圆锥底面上任意一点，点Q为圆锥侧面 得分 是符合题目要求的。 (异于顶点S且不在底面圆周上)上任意一点，则OP·SQ的取值范围为 题号 2 8 答案 1.已知在正方体ABCD-A'B'C'D'中，F是侧面CD的中心，若AF=AD+xAB+yAA', 则x十y的值为 () A是 c A.(-8,8) B.[0,8) C.[-4,4] D.(-4,4) B.1 D.2 6.正四棱台在古代被称为“方亭”，在中国古代建筑中有着广泛的应用.例如，古代园林中 2.已知正方体OABC-D'A'B'C‘的棱长为a,点N,M分别在AC,BC'上，且AN=2CN, 的台榭建筑常常采用这种结构，台上建有屋宇，称为“榭”，这种结构不仅美观，还具有广 BM=2MC',则MN的值为 () 瞻四方的功能，常用于观赏和娱乐.在正四棱台ABCD-A'B'C'D'中，AA'=1,AB=2, A号 B号 c ∠BAA'= 3,则1AC1= () 3.已知u=(3,a十b,a-b)(a,b∈R)是直线1的方向向量，n=(1,2,3)是平面a的法向 D.3 量，若l⊥a,则a,b的值为 () A.2 B.5 C.6 15 Ra-6=- 15 7.在正方体ABCD-A1B1C:D1中，E为棱AB的中点，则异面直线D1E,B1D所成角的 余弦值为 () 15.3 3 C.a=- 26=2 D. A停 C③ 6 n西 4在空间四边形0ABC中，O=a,O丽=b,0C=e,点M在OA上，OMi=号Oi,点N为 8.已知正方体ABCD-AB,C1D1的棱长为2，点E是上底面正方形A1B,C1D1的中心， BC的中点，则M示= () 点F是正方体棱上的点，以点A为坐标原点，AB,AD,AA:所在的直线分别为x轴，y 轴和z轴建立空间直角坐标系，若平面BEF的法向量为n=(8,2,3),则点F所在的棱 可以是 () A.AD B.CD C.CC D.DD 单元过关检测（十）数学第1页（共8页） 真题密卷 单元过关检测（十）数学第2页（共8页） 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 12.在空间直角坐标系中，A(1,0,0),B(2,-1,3),C(2,0,1),则AB在CA方向上的投影 题号 9 10 向量的坐标为 答案 13.在三棱锥P-ABC中，AB与PC的中点分别为M,N,点G为MN中点.若D在PA上 9.若{a,b,c}构成空间的一个基底，则下列向量共面的是 且满是历-号P所，E在PB上且满足PE-P丽，平面DBG交PC于点F,且序= A.b+c,b:b-c B.aa+b,a-b λPC,则入= C.a十b,a-b,c D.a+b,a+b+c,c 14.四棱雌P-ABCD的底面ABCD为平行四边形，点E,F,G分别在侧棱PA,PB,PC 10.下列说法正确的有 ( 上，且满足PE=PA,PF=号PB,PG=PC.若平面EPG与侧棱PD交于点H,则 1 2 A已知a=20,一1》6=3，一2,5)，则向量b在向量a方向上的投影向量是（后0，-》 PH PD B.函数fx)=sim2x-Bcos2x的图象向左平移个单位长度后所得的函数为奇函数 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 7 15.(13分)如图，在棱长为1的正方体ABCD-A:B,C1D1中，E,F分别为DD1,BD的中 AB AC D.在△ABC中，若 ·BC=0,则△ABC为等腰三角形 点，点G在线段CD上，且CG=4CD. 1,如图，在斜三楼柱ABCA,B,G中，∠BAC=∠BAA:=∠CAA:=了AB= AC=1,AA1=2,点O是B,C与BC1的交点，则 () (1)证明：EF⊥B1C. (2)求EF与CG所成角的余弦值. A.AO-(AB+AC+AAT) 县防-号 C.AO⊥BC D.平面ABC⊥平面B:BCC: 单元过关检测（十）数学第3页（共8页） 真题密卷 单元过关检测（十）数学第4页（共8页） 16.(15分)在如图所示的平行六面体ABCD-A:B1C1D1中，∠A1AB=∠A1AD=45°， 17.(15分)如图，在梯形ABCD中，AD∥BC,AD=3DE=6,BC=2BE=4,且BE⊥ ∠BAD=60°，AB=1,AD=2,AA1=22 AD,现将△ABE沿BE翻折至△PBE,使得PD=23, (1)证明：PD⊥平面BCDE. (1)求AC,的长度： (2)求平面PCD与平面PBE夹角的正弦值， (2)求二面角B-AA1D的大小： (3)求平行六面体ABCD-A,B,C:D1的体积. 单元过关检测（十）数学第5页（共8页） 真题密卷 单元过关检测（十）数学第6页（共8页） 18.(17分)如图(1)，在五边形ABCDE中，ED=EA,AB∥CD,CD=2AB,∠EDC 19.(17分)在如图所示的几何体中，四边形ABCD为矩形，AF⊥平面ABCD,EF∥AB, =150°，将△EAD沿AD翻折到△PAD的位置，得到四棱锥P-ABCD,如图(2)，点M AD=2,AB=AF=2EF=1,点P为棱DF的中点， 为线段PC的中点，且BM⊥平面PCD. (1)证明：BF∥平面APC. 1 图(2) (2)求平面ACP与平面BCF夹角的余弦值. (1)证明：PA=AD. (3)求点F到平面ACP的距离. (2)若直线PC与AB所成角的正切值为)，求直线BM与平面PDB所成角的正弦值. 单元过关检测（十）数学第7页（共8页） 真题密卷 单元过关检测（十）数学第8页（共8页）真题密卷 单元过关检测 2025一2026学年度单元过关检测（十） 数学·空间向量与立体几何 一、选择题 6.B【解析】在正四棱台ABCD-A'B'C'D'中，AA' 1,B【解析】A应-A市+D-AD+DC-A市+ =1,AB=2,∠BAA'=3, 2DC+)-Ad+名（蓝+A=A市+ 在侧面ABBA'中，得AB'-AB-2AA'cos子 号店+号A0,所以=y=号，所以x+=1. 1 2-2x1x号1， 2.D【解析】依题意，建立如图所示的空间直角坐 由AB'AC1 标系， AB-AC=2得AC=AC. 设Ai=a,AD-b,AA-c,则a|=2,b|=2, 1cl=1, B M 所以AC-AA+AC-AA+2AC-AA+ 2+a)=74++e, 1 B ac=√ga+b+e 因为正方体OABC-D'A'B'C'的棱长为a,点N, M分别在AC,BC'上，且AN=2CN,BM= =√星a+b+e+ac+6c+2a…b 2MC所以M(ga,2号）N(台2o, /1 =√×4+×4+1+2×1×2+2×1×2 1 1 2 片以MN-0+号智- 3 =√5. 3.B【解析】由1⊥&得u∥n,所以3=a+也 D 1 2 a号每得a-56= D 4.D【解折】易知M-O成-O成=号O成+Gd) ai-号a++c. ,1 7.A【解析】在正方体ABCD-A1B1C1D1中，建立 如图所示的空间直角坐标系，令AB=2, 5.D【解析】如图所示，延长SQ交底面圆周于B, 3本 过Q作QG⊥底面圆于G点， 显然OP·Sd=OP·(S0+OG+Ga)=Op. 0G=2 cos{OP,0G)·|0Gl, 由题意可知cos(OP,0G)∈[-1,1]，0<0G<2, 所以OP·SQ的取值范围为(-4,4). D1 E 则D(0,0,0),B1(2,2,2),D1(0,0,2),E(2,1, 0),D1E=(2,1,-2),DB1=(2,2,2), D1E·DB1 2 因此cos(D1E,DB1) DEDB 3X23 A ·34· ·数学· 参考答案及解析 9,所以异面直线DE,B,D所成角的余孩值 fx)的因象向左平移个单位长定后所得的画数为 fle+）=2n2(x+5）-=2m(2x+): 8.B【解析】由题意得B(2,0,0),E(1,1,2), 不是奇函数，故B错误； 设F(x,y,z)(0≤xy,z≤2)，则B庐=(x-2,y, z),EF=(x-1,y-1,z-2), 对于csm2a+餐)=sim(e+》-引- 因为n=(8,2,3)是平面BEF的法向量， os2(e+g）=2sim(a+)-1=2×(倍) n·EF=8(x-1)+2(y-1)+3(z-2)=0, 所以 n·BF=8(x-2)+2y十3x=0, 1= 25,故C正确； 即8x+2y+3z-16=0. AB 对于D,若AB AC .BC=0, 对于A,若F在AD上，则x=0,之=0，y=8,不符 合题意，所以F不在AD上，故A错误； AB AC AC 对于B,若F在CD上，则y=2,2=0,E=弓，符 3 ⊥B心，向量A店 ABI AC 与∠BAC的角平分线共线， 合题意，所以F可以在CD上，故B正确； 所以∠BAC的角平分线与BC垂直，所以 对于C,若F在CC1上，则x=2,y=2,之= △ABC为等腰三角形，故D正确. 3 11.ABD【解析】对于A,因为AO=AB+BO=AB 不符合题意，所以F不在CC1上，故C错误； 对于D,若F在DD1上，则x=0,y=2,之=4，不 +(BC+BB=A证+2(Ad-A店+AA 符合题意，所以F不在DD1上，故D错误 -2(店++，故A正确： 对于B,不妨设A言=a,AC=b,AAi=c,则{a, b,c}构成空间的一个基底. 依题意有a=|b=1,c=2,a·b=0,b·c= 1ac=-1,由A可得，A0=号(a+b+c, 二、选择题 -a+e+2a.8+2b.c+2a 9.ABD【解析】对于A,因为b=[十e)十 。)-1+1+4+0+22y-2,则1ò1-， c)门，故b十c,b,b一c共面，故A正确； 故B正确； 2[a+b)+(a-b)],故a,a+ 1 对于B,因为a= 对千C,周为BC-6-a,故A0.-a+6+ b,a一b共面，故B正确； 1 对于D,因为c=a+b十c一(a十b),故a十b,a+ c)·(b-a)=2(-1+1+1+1)=1≠0，故C b十c,c共面，故D正确； 错误； 对于C,若a十b,a-b,c共面，则存在实数入，μ， 对于D,如图，取BC的中，点E,连接AE,则AE 使得c=入(a+b)十u(a-b)=(a十r)a十(a一r)b, 此时a,b,c共面，这与{a,b,c}构成空间的一个基 -(AB+AC)-(a+), 底矛盾，故C错误. 因为AB=AC,E为BC的中点，所以AE⊥BC l0.ACD【解析】对于A,b在a方向上的投影向量 治a日20-》（后a》AE: a·b 又A正，B耶-a+b)e=2ae+be) 2(-1+1D=0,故AE1BB. 对于B,fx)=in2x一3cos2x=2sn2x-哥） 因为BC∩BB1=B,BC,BB1C平面B1BCC1, ·35· A 真题密卷 单元过关检测 所以AE⊥平面B1BCC1,又AEC平面ABC,故 四、解答题 平面ABC⊥平面B1BCC1,故D正确. 15.(1)证明：以点D为坐标原点，DA,DC,DD1所 在直线分别为x轴，y轴，之轴，建立如图所示的 空间直角坐标系， B E 三、填空题 12.(2,0,2)【解析】A(1,0,0),B(2,-1,3), D C(2,0,1),则AB=(1,-1,3),CA=(-1,0,-1), 所以店在C时方向上的投影向量为A店.C厨 IcA C7-4.-1,0,-1D=2,0,2). 则E002）F日20，B11D.C01,0 ICAI √2 则成-（分号2》Bd=（-10,-. 18.号【解析】由超意可知，P心=号Pi+P爪) 所以序.BC=合×(-1)+0+(2)× 是Pi+P啦+P心)，因为P财-P币，P吃 (-1)=0,即EF⊥BC,所以EF⊥B1C.(6分) 陀，心-， (2)解：由1)知，G(0,小，=(0，-，0， 所以元-币+正+，国为点G,D 则cos〈E京，C)= E.花 2×(》 =1,解得入-号 IEFCGI 31 2×4 √3 3’ (12分) 因为EF与CG所成角的范围为 ,所以其 所成角的余弦值为 31 (13分) 14.号【解析】设AC与BD的交点为O,则0为 16.解：(1)根据图形可知AC=AB+BC+CC =AB+AD+AA, AC,BD的中，点，所以PA+PC=PB+PD= AC=AB+AD+AA=AB:+AD:+ 2P0. AA2+2AB·AD+2AD·AA1+2AB·AA1= 设P时-XP宜，所以4P吃+2P店-P+P, 1+4+8+2X1X2cos60°+2×2×2W2cos45°+2X 1×2√2c0s45°=27. 4 则AC1=33. (4分) 113入 因为E,F,G,H四点共面，所以一2十8 (2)如图作BE⊥AA1于点E,DF⊥AA1于点 1,解得入=9 PH 2 F,则EB,FD的夹角等于二面角BAA1-D的 ,所以 PD91 平面角， (5分) D G D A ·36· ·数学· 参考答案及解析 因为∠A1AB=∠A1AD=45°，AB=1,AD=2, 设平面PBE的法向量为m=(x,y,之)， AA1=2V2, PB·m=2√2x-23x=0, 所以AE=AB·as5-号AP=AD·a行 多 PE·m=√2x-√2y-23x=0, 令之=2，则x=√6，y=-√6，则m=(√6，-√6,2). E,放BE-DF-万， (12分) 结合(I)易知BD⊥平面PCD,所以取平面PCD 易知丽.F币-(EA+A)·(FA+Aò=EA, 的法向量n=(1,0,0),记平面PCD与平面PBE FA+EA.AD+AB.FA+AB.AD 的夹角为0， √6 √6 =1十2×2×c0s135°+2×1×c0s135°+1》 所以cos0=|cos(m,n)| √/6+6+4×1 4 2×cos60°=0， (8分) EB.FD 即平面PCD与平面PBE夹角的余弦值为 所以cos(EB,FD)= |E31·FD =0,所以 故平面PCD与平面PBE夹角的正弦值为0 丽，励=2， (15分) 即二面角BAA1-D的大小为受 18.(1)证明：取PD中点N,连接AN,MN, (10分) (3)由(2)知BE⊥平面ADD1A1,而四边形 ADD1A1的面积S=AA1×DF=4, 则平行六面体ABCD-A1B1C1D1的体积V=4 XBE=2W2」 (15分) 17.(1)证明：因为BE⊥AD,所以BE⊥ED且BE⊥ 因为点M为线段PC的中点，所以MN∥CD且 AE,易得翻折后BE⊥PE, MN-CD, 又ED∩PE=E,ED,PEC平面PED, 所以BE⊥平面PED, 因为AB∥CD,CD=2AB,所以MN∥AB且 因为PDC平面PED,所以BE⊥PD. (3分) MN=AB, 故四边形ABMN为平行四边形，所以BM∥AN, 因为DE=2,PE=AE=4,PD=2W3, 因为BM⊥平面PCD,所以AN⊥平面PCD, 所以PD2+DE2=PE,即PD⊥DE, 因为PDC平面PCD,所以AN⊥PD, 又BE∩DE=E,BE,DEC平面BCDE, 由三线合一得PA=AD. (4分) 所以PD⊥平面BCDE. (6分) (2)解：由(1)得EA=AD,又因为ED=EA,所 (2)解：连接BD,在梯形BCDE中，易得DB= 以△EAD为等边三角形， DC=22, 故∠EDA=60°，因为∠EDC=150°，所以 所以DB2十DC2=BC2,即DB⊥DC. ∠CDA=90°，即AD⊥CD, 以D为坐标原点，DB,DC,DP分别为x,y,之 由(1)可得，AN⊥平面PCD,又CDC平面 轴，建立如图所示的空间直角坐标系， PCD,则AN⊥CD,因为AD∩AN=A,AD、 ANC平面PAD,所以CD⊥平面PAD,(6分) 因为PDC平面PAD,所以PD⊥DC,因为AB∥ CD,所以直线PC与CD所成角的正切值为？，即 在△PD中，m∠DP-设-7，成CD 则P(0,0,23),B(22,0,0),E(2,一√2,0)， 2PD,设PD=1,则AD=AB=PA=1,CD=2. PB=(22,0,-23),PE=(W2,-√2，-23)， 取AD的中点F,连接PF,取BC的中点H,连 (8分) 接FH,则FH⊥AD, ·37· A 真题密卷 单元过关检测 因为PFC平面PAD,所以CD⊥PF,由三线合 一得PF⊥AD, 因为CD,ADC平面ABCD,CD∩AD=D, 所以PF⊥平面ABCD, (10分) 以F为坐标原点，FA,FH,FP所在直线分别为 (2)解：由直线AF⊥平面ABCD,AB,ADC平 x,y,之轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 面ABCD,得AF⊥AB,AF⊥AD, 由矩形ABCD,得AD⊥AB,以A为坐标原点， AB,AD,AF所在直线分别为x,y,之轴，建立如 图所示的空间直角坐标系， 则B(分1oP(0o,）,c(←2.o0, M-1,）D(oo: (12分) 则A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,2,0),F(0,0,1), Bi=(0.》店=（经1，》 P1》 丽-(，》 BC=(0,2,0),BF=(-1,0,1),AC=(1,2, 0a-(b1,2》, (6分) 设平面PDB的法向量为m=(x,y,之)， 设平面BCF的法向量n=(x,y,之)， m…-+y=0, |n·BC=2y=0, 令x=1,得n=(1,0,1), m…n防--o, n·B=-x+z=0, (8分) 令x=1,得x=-√3，y=3,故m=（-√3，W3,1), 设平面APC的法向量为m=(a,b,c), (14分) m·AC=a+2b=0, 设直线BM与平面PDB所成角为O, 则 m·A庐=b+2c=0, 1 令b=-1, 则sin0=|cos(BM,m)= BM·m BM m 得m=(2,-1,2), (10分) 所以平面ACP与平面BCF夹角的余弦值为 33+B 4 4 27 n·m (16分) 4=22 √16+16×W3+3+7 9.3 7 lcos (n,m)-mm2x33 2√7 故平面ACP与平面BCF夹角的余弦值为2区 3 故直线BM与平面PDB所成角的正弦值为 (13分) (17分) (3)解：由(2)知，平面APC的法向量m=(2, 19.(1)证明：连接BD,交AC于点O,连接PO,由 -1,2),而AF=(0,0,1), P,O分别为DF和DB的中点，得BF∥PO, 而POC平面APC,BF寸平面APC,所以BF∥ 所以点F到平面ACP的距离d=A方·m_2 m31 平面APC. (4分) (17分) A ·38·