单元过关(八)平面向量及其应用、复数-【衡水真题密卷】2026年高考数学单元过关检测(A版)

真题密卷 单元过关检测 即√2cosx=cos(x十k)+cos(x-k)对于定义 m'(-k),即m×1-0s2x-_1-os2x+)+ 域内的任意实数x成立， 2 2 等价于(W2一2cos)cosx=0对任意实数x均 1-cos 2(x-k) 2 成立， (3分) 所以m(1-cos2x)=2-2cos2xcos2k,整理得 则反-20s及=0，即cm6-9&=2ax士员 (2cos 2k-m)cos 2x+m-2=0. (13分) 由上式对于定义域内的任意实数x均成立， (n∈Z), 故存在&=2mx士至m∈z),使得f)=cos 可得m2, 即cos2k=1,2k=2nπ(n∈Z), 2cos 2k-m=0, 即k=nx(n∈Z), 为“可平衡”函数 (6分) 所以存在m=2,k=nπ(n∈Z)满足题意， (2)假设存在实数m,k(m≠0)，使得对于定义域 此时m的取值为2. (17分) 内的任意实数x,均有m·f(x)=f(x十)十 f(x-k)成立，则有msin2x=sin(x+k)+ 2025一2026学年度单元过关检测（八） 数学·平面向量及其应用、复数 一、选择题 AB.BC CA.BC 所以 1A【】:”- =一i,所以之 IABIXIBCI ACIXIBCI' 2 所以cos(AB,BC)=cos(CA,BC), =i,虚部为1. 所以B=C,△ABC是等腰三角形； 2.B【解析】由正弦定理可得(a十c)(a一c)= 又A店，AC b(a-b),即a2十b2-c2=ab, 1A'AC=2,所以cosA= 1 2 故cosC=a2+62-c21 2ab=2 又A∈(0，x),故A= 3 所以△ABC是等边三角形. 因为C∈(0，)，故C=3 π 7.D【解析】设之=x十yi(x,y∈R),则x2+y2= 3.B【解析】向量a=(2,2-x),b=(1+x,1),若 4,所以z-e=x十yi-cosx-isin元=x十1十yi, a∥b,则(2-x)(1+x)=2,解得x=0或x=1, 所以“a∥b”是“x=1”的必要不充分条件. 所以|之-er|=x+1+yi=√(x+1)2+y= 4.A【解析】由单位向量a,b,得a|=1,|b|=1, Ne+1+-2-2x+. 又a·b=0,所以c2=(a十√3b)2=a2+2V3a· b+3b2=a2+3|b|2=4,所以c|=2, 国为+=，所以-名 又a·c=a·(a+3b)=a2+√3a·b=|a|2=1, 153 所以之-e的最大值为J2×2+4=2 a·c1 所以cosa,c）=ac=2,所以sina,c〉=2， DE·DADE.DB 8.B【解析】由- 5.D【解析】由已知a≠0，因为a与b是共线向量， 得|DE|cos∠EDA=|DE|cos∠EDB,即cos∠EDA 所以3入∈R,使b=λa,即2e1十ke2= =cOs∠EDB,所以点E在∠BDA的角平分线 λ(e1-2e2),所以2e1十ke2=e1-2e2, 上，设AB的中点为M, 即2=解得2的值为-4 k=-2x, k=-4, 6.D【解析】在△ABC中，A店.BCC·BC ABI ACI A ·26· ·数学· 参考答案及解析 因为DA=DB,所以，点E在线段DM上， 不妨设DE=λDM,λ∈[0,1]， 18.专【解桥】如图， 所以CE=CD+DE=CD+λDM, D 易知Di-Di+Ai-C成-2c时， 所以成-i+x感-2动)-1-2)+， 因为CE=xCB+yCD, 由平面向量的加法法则可得AC=AB+AD, 所以红+y=1-合+A=1+分， 周为A长0.，所以x+y=1+含∈，引 A=A正+酥=A店+4A, A症=Ad+D啦-？A店+AD, 二、选择题 9.AC【解析】由z2十4x十8=0，得（之+2）2=一4， 因为A心=AA应+A市=x(?A店+A市)十 则之=一2士2i,则|1|=之2|=2√2,1十之2= -4,之1之2=8，z7十z经=0. 庙+号)=(+)Ad+(分+)， 10.ABD【解析】因为A(0,2),B(2,0),C(1,y), 1 其中y∈R,则AB=(2,-2),AC=(1,y-2). 入+2=1， 对于A,若A,B,C三点共线，则AB∥AC,则 所以 得入=以=号，因光A十以一号 2(y-2)=-2,解得y=1,故A正确； 21十u=1, 对于B,若AB⊥AC,则AB·AC=2 2(y-2)=6-2y=0,解得y=3,故B正确； 【解析】若AB=3,则AD=2,以A为坐标原 对于C,若AB|=AC,则√22十（-2)7= 点，建立如图所示的平面直角坐标系 √12十(y-2)2,可得(y-2)2=7, 解得y=2十√7或y=2-√7，故C错误； 对于D,当y=2时，AC=(1,0), 则osA店，AC=A店，AC |AB|AC22-2' E(2,3),设BN=t,则BM=1-t,0<t<1,所以 因为0≤(A店，AC)≤π，故〈i,AC)=于，故D M(2+t,0), 正确. 因为∠A=60°，AD=2,所以D(1W3),E(2,N3), 11.ABC【解析】对于A,因为a为非零向量，若a (b·c)=0,则b·c=0,故b⊥c,故A正确； 围为丽=号市，所以N+专)， 对于B,若(a十b)·(a-b)=a2-b2=|a|2-|b|2 =0,故a=b,故B正确； 对以=6，-)，丽-+号g- 对于C,因为[(a·b)c-(a·c)b]·a=(a·b)c· a-(a·c)b·a=(a·b)(c·a)-(a·b)(c· 所以E成，-：+号-号+3-营专+8是 a)=0, 所以[(a·b)c-(a·c)b]⊥a,故C正确； 关于：的开口向上，对称轴为=2的二次函数， 对于D,若a·c=b·c,则a|·|ccos(a,c》= 故当t= 时，E成，E矿取得最小位 |bl·lelcos(b,c),可得到acos(a,c)=blcos(b,c), 不能确定a=b,故D错误. 四、解答题 三、填空题 15.解：(1)z1=(1+3i)(3十mi)=3-3m+(9+m)i, 12.一1【解析】由题知，b在a上的投影向量为 (2分) a=,p- a·b 因为之1是纯虚数， 4=-4,则a…b=-1. 所以3-3m=0且9+m≠0，解得m=1.(4分) ·27· A 真题密卷 单元过关检测 所以之=3十i. (5分) B (2)由(1)可得之=3+i,x2=8+6i,即A(3,1), B(8,6),所以OA=(3,1),OB=(8,6),(8分) 25 所以向量OA在向量OB上的数量投影为 OA.OB3×8+1X6 =3. (13分) 2 OB √82+62 (1) 16.解：(1)因为向量a=(-1,3),b=(x,2),所以a -2b=(-1-2x,-1), 在Rt△AOC中，tan∠AOC= 2W3 2 =3,所以 由(a-2b)⊥a,得1+2x-3=0, 解得x=1,所以b=(1,2), (5分) ∠A0C-F, 又a+b=(0,5),所以a+b1=√02+52=5. 则实际前进的速度大小为0C1=√22+(23) (7分) =4 km/h, (8分) (2)设a一b与a的夹角为0，因为a=(-1,3), 故此人沿与水流方向成的方向前进，实际前进 a-b=(-2,1), 速度的大小为4km/h. (10分) (a-b)·a 2 所以os0=a-b11a=10x52' (2)如图(2)，设此人的实际速度为OD,水流速度 为OA,则游速为AD=OD-OA! (10分) 又0≤9≤x,所以9=年， 23 即向量a一b与向量a的夹角是灭 (15分) (2) 17.解：(1)由acos C+√3 asin C-b-c=0及正弦 在Rt△AOD中，AD1=2N3,|OA|=2,(12分) 定理得sin Acos C+√3 sin Asin C-sinB-sinC 所以1OD1=√(23)2-22=2√2km/h, =0. 因为sinB=sin(π-A-C)=sin(A十C) cos∠DAO=2=5 233 (14分) =sin Acos C+cos Asin C, 所以√3 sin Asin C-cos Asin C-sinC=0. 故此人应沿与河岸夹角的余弦值为 的方向逆着 (5分) 水流方向前进，实际前进速度的大小为2√2km/h 因为sinC≠0，所以W3sinA-cosA-1=0, (17分) 19.(1)证明：由题意知A龙=AD+D龙=AD+ 所以(A若）-2 是心-访+号店， 又0<A<π，故A= 3 (8分) 应成+萨应+武-范+号市，(2分) (2)由题得△ABC的面积S= 2 besin A=V3,故 又-A+号A市， bc=4①. (10分) 又a2=b2+c2-2 bccos A,且a=2,故b2+c2= 所以驴=A应-A应=子A店+子A心 8②， (13分) 励+台)-}应-}市， (4分) 联立①②得b=c=2. (15分) 18.解：(1)如图(1)，设人游泳的速度为OB,水流的 P庐=A-A市=+号市-（任A店+子） 速度为OA,以OA,OB为邻边作□OACB,则此 人的实际速度为OA+OB=O元. (5分) 店专， (7分) ·28· ·数学· 参考答案及解析 所以E=P京，所以E,F,P三点共线。 (8分) 日xg-5n (12分) (2)解：由题意知EA=一A应=-号A店-A市， 又A=√+号A) 酝=武+=？A店-心， 所以威·亩-(2店-)·(A店-Aò) -A+号A店.A市+日A市=7， =-1AB+A市：=-2|AB12+9=5, 成=份A店-A) 所以AB|=4, (10分) =A丽-脑·A而+丽-B,14分) 所以E店·A京-(2A店-A)·(a馆+A心 所以cos(AF,EB)= AF.EB 5 AFEB√13X/I7 -2A-日A成.AD-3A市=号×4 5√221 221 (17分) 2025一2026学年度单元过关检测（九） 数学·立体几何初步 一、选择题 在△PMN中，MN=2√2，PN=PM=2√3，所以 1.C【解析】由已知可得选项C绕对称轴旋转可形 8+12-126 成充满气的车轮内胎，故C正确. cos∠MNP= 2x22×25=6,则sin∠MNp 2.A【解析】由题知P任l,故存在唯一平面B,使得 P∈B,lCB,设a∩B=b,因为l∥a,lCB,故l∥b, =v 6,所以ME=MN·sin∠MNP=22X 而bCa,故存在一条直线b与1平行，若还有另一 条直线c∥l,则b∥c,而P∈c,与P∈b矛盾，故所 √302√15 6 ,即点M到直线PN的距离为 3 求直线有且只有1条，且在平面α内，故A正确. 3.C【解析】三面涂色的小立方体是位于棱长为 2√15 3 4cm的立方体的顶点处的小立方体，因为立方体 共有8个顶，点，所以三面涂色的小立方体有8个， 6.A【解析】令△ABC外接圆的圆心为O1,球心为 每个小立方体的表面积为6cm2,则表面积之和为 O,则OO1⊥平面ABC,又AD⊥平面ABC,所以 8×6=48cm2. OO1∥AD.又球心O在线段AD的中垂面上，此 4.B【解析】设圆锥底面圆半径为r,高为h,依题意 平面与平面ABC平行，取AD中点E,则OO1= 1 X2rX1 AE-AD=1.在△ABC中，∠BAC=120,AB 可得 2X2rXh =2m,解得h= 2,所以r= =AC=2,则∠ABC=30°，故△ABC的外接圆半 1 AC 3、1π 径r一2·sn乙ABC=2,所以该三棱维外接球的 半径R=√2+OO月=√5. 5.C【解析】如图，过点M作PN的垂线，垂足为E ·29· 1你未来的样子，藏在规在的党力里 2025一2026学年度单元过关检测（八） 5.已知e1,ee是两个不共线的向量，a=e1一2e2,b=2e:+ke2.若a与b是共线向量，则实 班级 卺题 数k= 数学·平面向量及其应用、复数 A.2 B.4 姓名 本试卷总分150分，考试时间120分钟。 C.-2 D.-4 得分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项 6.已知非零向量A店与AC满足A成·C_C·BC且A店，A记 1 ABAC且AE'AC2,则△ABC为 且 是符合题目要求的。 () 题号 6 7 答案 A,三边均不相等的三角形 B.直角三角形 1设复数。=二 1+i ,则z的虚部是 () C,等腰非等边三角形 A.1 B.-1 D,等边三角形 C.i D.-i 7.欧拉公式e=cos0+isin0由瑞士著名数学家欧拉创立，将其中的0取π就得到了欧拉 2.在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若(a十c)(sinA一sinC)=b(sinA一 sinB),则C () 恒等式，数学家评价它是~上帝创造的公式”已知复数：满足：-·则：-一。~的最 大值为 () Ag B.3 B.1 c 3.设向量a=(2,2一x),b=(1+x,1),则“a∥b”是“x=1”的 c A充分不必要条件 B.必要不充分条件 DE·DA 8.在□ABCD中，DA=DB,E是平行四边形ABCD内（包括边界）一点， DA C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 DEDE 4.已知单位向量a,b满足a·b=0,若向量e=a+√5b,则sin(a,c》= () ,若CE-xCB+yCD,则x+y的取值范围为 IDB () A.,2] a c2引 D.[0,1] 单元过关检测（八）数学第1页（共8页） 真题密卷 单元过关检测（八）数学第2页（共8页） 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 15.(13分)已知复数x=3十mi(m∈R),x1=(1十3i)x,且x1为纯虚数 题号 9 10 11 (1)求复数z: 容案 (2)设x,z2在复平面上对应的点分别为A,B,O为坐标原点，求向量OA在向量OB 9.已知虚数x1,x2是方程x2十4x十8=0的两个不同的根，则 上的数量投影 A.=*2 B.1十g2=4 C.01x2=8 D.x1十x=32 10,已知点A(0,2),B(2,0),C(1,y),其中y∈R,则下列结论正确的是 A若A,B,C三点共线，则y=1 B.若AB⊥AC,则y=3 C,若AB=AC,则y=2-7 D,当y=2时，A店与AC的夹角为 11.已知非零向量a,b,c,则下列结论正确的是 () A.若a(b·e)=0,则b⊥c B.若(a+b)⊥(a-b),则la|=|b| C.向量(a·b)c-(a·c)b与向量a垂直 D.若a·c=b·c,则a=b 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知平面向量a,b满足a-2,且b在a上的投影向量为-a,则a·b的值为 13.在口ABCD中，E,F分别为CD和BC的中点，AC=A正+AF,其中，g∈R,则A+ H- 1h在口ABCD中，∠A-60,AD-号AB,点E在DC上，且满足D呢-号C,若AB-3, 点M,N分别为线段AB,BC上的动点，满足BM+BN1=1,则EM·EN的最小 值为 A 单元过关检测（八）数学第3页（共8页） 真题密卷 单元过关检测（八）数学第4页（共8页） 16.(15分)已知向量a=(-1,3),b=(x,2),且(a-2b)⊥a, 17.(15分)在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若acos C+√3 asin C-b一 (1)求a+b1: c=0. (2)求a一b与a的夹角. (1)求A; (2)若a=2,△ABC的面积为3，求b,c的值. 单元过关检测（八）数学第5页（共8页） 真题密卷 单元过关检测（八）数学第6页（共8页） 18.(17分)一个人在静水中游泳时，速度的大小为2，√3km/h.当他在水流速度的大小为 19.(17分)如图，在矩形ABCD中，点E是CD的中点，点F是BC上的一点，且CF=2FB. 2km/h的河中游泳时， (1)如果他垂直游向河对岸，那么他实际沿什么方向前进（角度精确到1）？实际前进 速度的大小为多少？ (2)他必须朝哪个方向游，才能沿与水流垂直的方向前进（角度精确到1）？实际前进 )若点P满足A-A店+号A而，证明：E,F,P三点共线 速度的大小为多少？ (2)若AD=3,EA·EB=5,求EB与AF夹角的余弦值. 单元过关检测（八）数学第7页（共8页） 真题密卷 单元过关检测（八）数学第8页（共8页）