单元过关(七)三角恒等变换-【衡水真题密卷】2026年高考数学单元过关检测(A版)

真题密卷 单元过关检测 19.(1)解：因为u(x)=0·x+sinx,其中sinx为 1 周期函数，所以u(x)为“好函数”， 令r(x)=g(x)- , 若v(x)=x十x2为“好函数”，则3k∈R和周期 以下证r(x)是以kT为周期的周期函数，T是 函数h(x),使得o(x)=kx十h(x), h(x)的周期， 所以h(x)=x2十(1一k)x为周期函数，又由二 r+kT)=r红)，即8+kT)名x+TD) 次函致性质可得，当且仅当z-号己时，点(：)取 =g)-克，即gx+kT)=g)+T, 最小值，这与h(x)是周期函数矛盾，所以v(x)不 是“好函数”. (3分) (12分) (2)(i)解：由g(f(x)=x,f(x)=2x,可得 假设3x1≠x2,使得yo=f(x1)=f(x2), ge)-7 g(yo)=g(f(1))=z1,g(yo)=g(f (z2))= (5分) x2,矛盾. (15分) (ⅱ)证明：若f(x)是周期函数，设T(T>0)是 所以g(x+T)=g(x)+T,即f[g(x十T)] f(x)的一个周期， =f [g(x)+T],x+kT=k [g(x)+T]+ 则x=g(f(x)=g(f(x+T)=x+T,这与T h [g(x)+T],x=kg (x)+h [g(x)]= >0矛盾，所以f(x)不是周期函数.(8分) f[g(x)], (川)证明：因为f(x)是“好函数”，所以]∈R 所以r(x十kT)=r(x). 和周期函数h(x),使得f(x)=x+h(x), 所以g(z)二x+r(x)是“好函数”，(17分) 由（ⅱ）知k≠0，否则f(x)是周期函数，矛盾. (10分) 2025一2026学年度单元过关检测（七） 数学·三角恒等变换 一、选择题 1.B【解析】由sina-2cose= 2 又e,e(分，），则casa>0,cos>0, sina十3cosa3’得ana-2 tan a+3 故cos acos B=√(1-sina)(1-sinB) 名，解得ana=12 =v1-(sin2a+sin2B)+sin2a sin2B 2.B【解析】由题意得tan(a十π)=tana=2, =1-(sin a+sin B)2+2sin asin B+(sin asin B)2 cos a 1 1 2sin a 3cos a-2tan a-3-2X23. 11,1√5 =/1-4-2+16=4 3.A【解折】向5ne-号e∈（，2），得case 5.B【解析】由v厄sina=sin(。-》, -(=-g由m日= √2 得√2sina= 2 (sin a-cos a), 经4m=-=只 化简得cosa=-sina,所以cosa=号，故cos2a 所以cos(B+a)=cos Bcos a-sin Bsin a- 3 cos'a-2 cos'a-1+cos'a (》-(）×(-》-3627 12 6.C【解析】由题意，若sina>sinB,因为a,B均为 4.D【解析】因为sina,sinB是方程4x2+2x-1 第二象限角，所以sina>sinB>0, =0的两个根， 所以sin2a>sinβ，即1-cos2a>1-cos23, 所以cos2a<cos2B,又a,B均为第二象限角， 则sina十sinB=一 <0，in=-<0， 所以cosa<0,cosB<0,所以cosa>cosB,即充 A ·22· ·数学· 参考答案及解析 分性成立； 若cosa>cosB,因为a,B均为第二象限角， 位，成大位为 ,故B正确； 所以0>cosa>cosB,即cos2a<cos2B, 所以1-sina<1-sinB,即sin2a>sin3, 对于C,当x= 时im(2×行）=1，故r 又&，B均为第二象限角，所以sina>0,sinB>0, 所以sina>sinB>0,故必要性成立. 行是禹最的一条对称轴，放C正确， 所以“sina>sinB”是“cos&>cosB”的充要条件】 .A【解析】因为f)=n受+）m管) 对于D当=行时s-受如x爱-》计 =m(受+）o臣一（信-竖 =日故画数的一个对豫中心是（货，》藏D 正确。 =sin管+）os受+）-7sin(or+) 10.BCD【解析】f(x)=asin x一acos x+2cos4x 因为长D,,所以o-行∈臣。x十行》# 3 十2对于A,当a=0时，fx)=0s4红十号 2x∠13元，解得 据f(x)的函数图象可得4π<ω元十3≤3 的最小正网期为行子，故A餐民， 对于B,当a=0时f)=名c0s4红十号的图象 8.A【解析】f)=m(2z+石）一5cos(2x+) 关于直线x-k∈Z对称，故B正痛： 2sin(2x+若-3）-2sin2x-君） 对于C,e)=asin(e-）+吃os4x+号 对于A,令2x一6-2 灭=T十k元，k∈乙，得x= + 则f-）=m(-》+s(x)】 k∈Z,故A错误； 对于B,因为f(e+3)=2sin2(x+)-吾 2sin2x+)=2cos2x是偶函数，故B正确； ian(--》+日w4(-x-】+日 对于C因为xo,）所以2x-∈(，》， -aco-cos4r+3所以f(女-） 所以f(x)在区间0，)上单调递增，故C正确； f(-x一)，所以f(-)为偶函数，故C正确： 对于D,当2红一君=受+2x∈Z即2=晋十 对于D,当a=3时fa)=3厄sn(x-）十2as4红 kπ，k∈Z时，f(x)取得最小值一2，故D正确. 号当红-一至时函数y-3m(-）和y 二、选择题 9.BCD【解析】对于A,y=sinx(sinx十cosx)= 1 cos4x十2同时取到最小值，分别为-32和 1 sin's sin xoss in 2 0,所以f(x)的最小值为-3√2，故D正确. 号m:一)十了长高数的最小正周期为货 11.AD【解析】设图中小三角形的斜边长为a,则 acos x+asin x+a=1①， =π，故A错误； S=f)=2·acos·asin x·8=2a2sin2z, 对于B,当2红一至=+26x,k∈z即x=十 8 因为x为锐角，故S不呈周期变化，故C错误； 1 对于A,当x-音时，由①或得，a-8日， 3’ ·23· A 真题密卷 单元过关检测 地时5=后)-2x。×-4- 3 此时sin(2x-)∈ 故A正确； 1 ,所以fx)的最大值为1+3 21 对于B,由0可得a-sin十cos十，故S 2sin 2x 14. fa)=snz1cosz+n,且f(经-z 侣[4ey)锦频】高-2时。 f (a)=sin2a+cos2a=1; 2sin(π-2x) 当x=4时，f(a)=sina+cosa=(sina十cos2a)2 n份-+os后-+1 1 -2sin'a cos'a-1- 2a-+oa, 2sin 2x (cosx+sinx+1)=f(x),即f(x)的图象 13,1 由于-1≤cos4a≤1，所以2≤4+4cos4a≤1， 关于直线x=-至对称，故B错误： 所以o>层， 对于D.S=a2 in,由于0Kx<受，所以nx 当x=6时，f(a)=sina+cosa >0,cosx>0,且sin xcos≤(sinx+cosx)2 =(sin2a++cos2a)(sina-sinacos 2a+cos a) 4 =(sin2a+cos2a)[(sin2a+cos2a)2-3sin 2acos2a] 当且仅当sinx=6osz-。 时等号成立，又由0 1sina osinoe e 可得，sinz+casz=sin(+）=12,所以 由于-1长caa≤1，所以≤营+营msa≤ S≤a×《smx+os》-ax(22'= 1,所以f(a)∈ 4 层小， 1-a,ze(o,） 由以上规律可以猜想：当x=2k(k∈N*)时， f(a)的取值范围是 1 所以x+登∈（任，3），所以Esim(+） 21(k∈N*). 四、解答题 1后2∈1w2],所以a∈巨-1，》，所以 15.解：因为tanA,tanB是关于x的方程x2十p(x 十1)十1=0，即x2+px十p十1=0的两个实根， 1-a)(分，2-，所以1-a)≤2-2) 所以tanA十tanB=-p,tan Atan B=p+l, (6分) =6-4√2，即S≤6-4√2，故D正确. 所以tanC=tan[π-(A+B)]=-tan(A+B) 三、填空题 tan A+tan B 一 12号【解标】尚细8方，可得m8=-3,。 1-tan Atan B-1-(1)=-1. (12分) -2sin acoscosina2sin acsc sina+cos a 由于0<C<元，所以C=3 (13分) _tan'a-2tan a+3 9+6+3 9 tan2a+1 9+15 16.解：1)已知a,P都是锐角，且sina= 5, 18.1+ 号【解析】fx)=2 sin(+） 所以case=厂sa-号，0<a十8<元 cos x=3sin'z+sin xcos 1 (2分) 因为cos(a+B)=i7' 8 =上g+2-+n） 2 所以sina十)-osa+9-4分) 所以sinB=sin[(a+B)-a]=sin(a+B)cosa A ·24· ·数学· 参考答案及解析 15..48..336 (6分) A cos(a+3)sin a= 17×517X5-85 18.解：(1)f(x)=Asin wxcos wx= 2 sin2wx,则 1 f(x)为奇函数，故②不能选 (2分) (2)因为sina-cosa=3' 若选择条件①③： 1 所以(sina-cosa)2= g,即1-2 sin acos= 因为f(x)的最大值为1，所以 2 =1,即A=2, g,所以sin acos=号，又e∈(0，x),所以sina 1 4 因为f(任）-1，所以sm0=1,。的值不唯一， π >≥0，msa>0,即∈(，》 故不能选①③， (5分) 若选择条件①④： 故(sina十cosa)2=1+2 sin acos a= 17 因为f(x)图象相邻两条对称轴之间的距离为 9 π 2π (10分) 所以 =元，即w=1, A 所以sina十cosa= √/17 3 所以f(x)=2sin2x, cos 2a=cos2a-sin2a=-(sin a+cos a)(sin a 因为f(）=1,所以含m受-1.即A=2, π -cos a)=- √17 9 (12分) 所以f(x)=sin2x. (8分) 8 若选择条件③④： 又sin2a=2 sin acos a= 故sin(2a-石) 因为f(x)图象相邻两条对称轴之间的距离为 元 8x5+x sin 2acos 6-cos 2asin 6-92 9×2 子所以无=，即。=1， _83+√17 =1,即A=2, 18 (15分) 因为f(x)的最大值为1，所以 2 所以f(x)=sin2x. 17.解：(1)f(x)- 2 sin 2a- 2 cos 2x+m= 综上所述，f(x)=sin2x (10分) (2)因为g(x)=f(x)-2cos2wx+1=sin2x sin2x-）+m, (2分) 2cos+1sin 2-cos2sin2) 因为f(x)的图象过原点(0,0)， (11分) 1 所以f0)=sim-）+m=- 十m=0 令2必一≤2江-受≤2kx+受，k∈Z,解得kx 故m- (5分) k∈Z, 3π (2)由1)得f)=sim2x-）+, 所以g(x)的单调递增区间为 kπ一 令fe)=m2:-若）+号=0，得sm(2z-） k∈Z (13分) 故2x-=2kx- 1 ∈或2x- 元6 当xe[时，2z-e[ 所以：-1,哥 (15分) 解得=∈刀或2=tx号∈Z,11分 所以当2红--，即x时，g)取最大 4 值，且g(x)mx=1. (17分) 因为x6,到，所以x-0或经。 19.解：(1)若m=√2，假设函数f(x)为“可平衡”函 故fr)在0,3网]上的零点为0，了 数，则N2f(x)=f(x十)十f(x一)对于定义 (15分) 域内的任意实数x成立， ·25· A 真题密卷 单元过关检测 即√2cosx=cos(x十k)+cos(x-k)对于定义 m'(-k),即m×1-0s2x-_1-os2x+)+ 域内的任意实数x成立， 2 2 等价于(W2一2cos)cosx=0对任意实数x均 1-cos 2(x-k) 2 成立， (3分) 所以m(1-cos2x)=2-2cos2xcos2k,整理得 则反-20s及=0，即cm6-9&=2ax士员 (2cos 2k-m)cos 2x+m-2=0. (13分) 由上式对于定义域内的任意实数x均成立， (n∈Z), 故存在&=2mx士至m∈z),使得f)=cos 可得m2, 即cos2k=1,2k=2nπ(n∈Z), 2cos 2k-m=0, 即k=nx(n∈Z), 为“可平衡”函数 (6分) 所以存在m=2,k=nπ(n∈Z)满足题意， (2)假设存在实数m,k(m≠0)，使得对于定义域 此时m的取值为2. (17分) 内的任意实数x,均有m·f(x)=f(x十)十 f(x-k)成立，则有msin2x=sin(x+k)+ 2025一2026学年度单元过关检测（八） 数学·平面向量及其应用、复数 一、选择题 AB.BC CA.BC 所以 1A【】:”- =一i,所以之 IABIXIBCI ACIXIBCI' 2 所以cos(AB,BC)=cos(CA,BC), =i,虚部为1. 所以B=C,△ABC是等腰三角形； 2.B【解析】由正弦定理可得(a十c)(a一c)= 又A店，AC b(a-b),即a2十b2-c2=ab, 1A'AC=2,所以cosA= 1 2 故cosC=a2+62-c21 2ab=2 又A∈(0，x),故A= 3 所以△ABC是等边三角形. 因为C∈(0，)，故C=3 π 7.D【解析】设之=x十yi(x,y∈R),则x2+y2= 3.B【解析】向量a=(2,2-x),b=(1+x,1),若 4,所以z-e=x十yi-cosx-isin元=x十1十yi, a∥b,则(2-x)(1+x)=2,解得x=0或x=1, 所以“a∥b”是“x=1”的必要不充分条件. 所以|之-er|=x+1+yi=√(x+1)2+y= 4.A【解析】由单位向量a,b,得a|=1,|b|=1, Ne+1+-2-2x+. 又a·b=0,所以c2=(a十√3b)2=a2+2V3a· b+3b2=a2+3|b|2=4,所以c|=2, 国为+=，所以-名 又a·c=a·(a+3b)=a2+√3a·b=|a|2=1, 153 所以之-e的最大值为J2×2+4=2 a·c1 所以cosa,c）=ac=2,所以sina,c〉=2， DE·DADE.DB 8.B【解析】由- 5.D【解析】由已知a≠0，因为a与b是共线向量， 得|DE|cos∠EDA=|DE|cos∠EDB,即cos∠EDA 所以3入∈R,使b=λa,即2e1十ke2= =cOs∠EDB,所以点E在∠BDA的角平分线 λ(e1-2e2),所以2e1十ke2=e1-2e2, 上，设AB的中点为M, 即2=解得2的值为-4 k=-2x, k=-4, 6.D【解析】在△ABC中，A店.BCC·BC ABI ACI A ·26·没有航向的船，任何风都是递风 密真 2025一2026学年度单元过关检测（七） 4若a,c(一受引sma,d血月是方程4红+2红-1=0的两个根，则00=（) 班级 卺题 数学·三角恒等变换 A- 姓名 本试卷总分150分，考试时间120分钟。 c 得分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。 .已知sna=-in(-引，则cos2a十cosa 题号 2 答案 A是 吃 1.若sina-2cosa 3,则tana= 2 () a-i n号 sin a+3cos a 6.已知a,3均为第二象限角，则“sina>sin3”是“cosa>cosB”的 A.-12 B.12 A充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.-6 D.6 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 cos a 2.若tan(a十x)=2,则2sina3cosa () 7.已知函数fx)=n受+）m后受）。>0)在0，)上拾有4个零点，则。的取 A-是 B.1 值范围是 C.-Z A(得 a得 3已知ma=-号ee,）o月=，ge管2小，则cos(g+a) 2 3 c 9 A.-35+2w7 8.已知函数f(z)=sim(2z+）-尽cos2x+》,则下列结论错误的是 () 12 B35+27 Afx)图象的对称轴为x=音+长x,∈Z 12 Bf(+智）为偶函数 C.35-27 12 C.fz)在区间o,)上单调递增 D.27-35 12 D.f(x)的最小值为一2 单元过关检测（七）数学第1页（共8页） 真题密卷 单元过关检测（七）数学第2页（共8页） A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题 1品已知而数)=2mx+引则当z∈6，哥引时，)的最大值为 目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 14.设f(a)=sina十cosa,x∈{mn=2k,k∈N},利用三角变换，计算当x=4时， 题号 9 10 11 f(a)的取值范围是 ,根据f(a)在x=2,4,6时的取值情况，猜想当x= 答案 2k(k∈N·)时，f(a)的取值范围是 9.关于函数y=sinx(sinx十cosx)的描述正确的是 () 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 A.最小正周期是2π B最大值是2十1 2 15.(13分)在△ABC中，已知tanA,tanB是关于x的方程x2+p(x十1)十1=0的两个 实根，求C. 心一条对称销是：-否 D一个对称中心是（后，》 10.已知函数f(x)=asin x+cos22x一acos r,则 () A.对a∈R,f(x)的最小正周期为2π B.3a∈R,使得f(x)的图象关于某条直线对称 C.对Va∈R,f(e-)是偶函数 D.当a=3时，f(x)的最小值为-32 11,把一个三阶魔方看成是棱长为1的正方体，若顶层旋转x弧度(0<x<》,记表面积 增加量为S=f(x),则 () A)-4厚 B.f红)的图象关于直线x=了对称 C.S呈周期变化 D.S≤6-42 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知ana+11 tan a-1Msin'a-2sin acos a+3 cos 单元过关检测（七）数学第3页（共8页） 真题密卷 单元过关检测（七）数学第4页（共8页） 16.5分)1已知e,B都是锐角，若sma-号cose十)=号求s血9的值： 17.15分)已知函数fx)=5 1 sin2x-2cos2红+m的图象过原点(0,0). 1 (2)已知ina-cosa-3a∈(0，，求in2a-若）的值. (1)求m的值 (2)求f(x)在 3π] 0,4】 上的零点 单元过关检测（七）数学第5页（共8页） 真题密卷 单元过关检测（七）数学第6页（共8页） 18.(17分)已知函数f(x)=Asin wcos wr(A>0,u>0).从下列四个条件中选择两个作 19.(17分)已知函数y=f(x),若存在实数m,k(m≠0)，使得对于定义域内的任意实数 为已知条件，使f(x)存在且唯一确定. x,均有m·f(x)=f(x十k)十f(x一k)成立，则称∫(x)为“可平衡”函数：称有序数对 条件①：f(）-1:条件②：fc)为偶函数： (m,k)为f(x)的“平衡”数对 (1)若m=√2，判断f(x)=co5x是否为“可平衡”函数，并说明理由 条件③：z)的最大值为1：条件④：fx)图象相邻两条对称轴之间的距离为 (2)是否存在(m,k)为函数了G)=sinx(0<x≤）的“平衡”数对？若存在，求m的 (1)求f(x》的解析式 值：若不存在，请说明理由 (2)设g(x)=f(x)一2 cos'wx+1,求g(x)的单调递增区间以及g(x)在区间 [受司引上的数大鱼 注：如果选择的条件不符合要求，此题得0分；如果选择多个符合要求的条件分别 解答，按第一个解答计分 单元过关检测（七）数学第7页（共8页） 真题密卷 单元过关检测（七）数学第8页（共8页）