单元过关(五)一元函数导数及其应用-【衡水真题密卷】2026年高考数学单元过关检测(A版)

真题密卷 单元过关检测 |m.x+1-1<|x2+2-1, 因为g(Tx)=f(Tx)-m=f(x)-m+T= 整理得m·x<x2+1, (10分) g(x)+T, 当x=0时，不等式成立，此时m∈R； (12分) 所以g(x)具有性质P(T),g(T"x)=f(x)十 1 nT-m, 当xo时，m<x+女，而x+女产 令x=1,得g(Tm)=f(1)+nT-m,(10分) 2·可-2，当-士1时等号成立， ①若g(1)=f(1)一m=0,则函数g(x)在 (0,十∞)上存在零点； (11分) 故|m|<2,即-2<m<2. (16分) ②若g(1)=f(1)-m<0,即f(1)<m, 综上所述，m的取值范围为（一2,2）. (17分) 19.(1)解：因为函数y-f(x)具有性质P(3),所以 当n>m-f(1) T 时，g(T")=f(1)+nT-m f(3×1)=f(1)+3, 所以f(3)-f(1)=3. (3分) ≥/+r0）-m=,即g6r)0. (2)证明：设T>0,则f(Tx)=log装(Tx)= 所以g(x)在区间(0，十∞)上存在零点；(14分) log号T+log5x, ③若g(1)=f(1)-m>0,即f(1)>m, 令log5T=T,即log5T-T=0, 因为f(x)=f(T"x)-nT, 设g(x)=log号x-x,x>0, 所以f(T-")=f(1)-nT,所以g(T-")=f(1) 因为g1)=-1<0,g(分》=2>0， -nT-m: 当n。f1）-m时，gT"o)三f(1)一oTm3 所以在区间（分1上函数gx)存在零点x, 当T=xo时，log号T=T,此时函数y-f(x)具 f)-Tf0"）-m=0,即gT)0, 有性质P(T). (8分) 所以g(x)在区间(0，十∞)上存在零点. (3)证明：设n∈N,因为f(Tx)=f(x)+T,所 综上所述，Hm∈R,g(x)-f(x)一m都存在零 以f(T"x)=f(x)+nT, 点，即都有f(x)=m∈R, (16分) 设g(x)=f(x)-m,m∈R, 故f(x)的值域为R. (17分) 2025一2026学年度单元过关检测（五） 数学·一元函数导数及其应用 一、选择题 4.B【解析】令f(x)=e+x,g(x)=2x-1, 1.D【解析】因为单位时间内注水的体积不变，结 则f(x)-g(x)=e+x-(2x-1)=e-x+1> 合容器的形状，在单位时间内，高度变化率先由快 0在R上恒成立，所以曲线y2=e十x在直线y1=2x 变慢，后由慢变快. -1的上方，当曲线y2=e十x在点B(xo,yo)处的 2.D【解析】由导数的定义， 切线与直线y1=2x一1平行时，两直线之间的距 f(2+h)-f(2-h) f'(2)=im(2+h)-(2-h) 离即|AB|取得最小值.因为f'(x)=e十1，所以 eo+1=2,解得xo=0,则B(0,1),所以|AB|最 2+,fe-- h 4 小值d=10-1-1_2w5 3.A【解析】由函数的图象可知，f(1)-1十b十c=0, √22+15 f(2)=8十4b+2c=0,解得b=-3,c=2,所以 5.C【解析】f(x)=a.x2-2x十blnx(ab≠0)， f(x)=x3-3x2+2x,可得f'(x)=3x2-6x+2, 定义域为(0，+)，则f'(x)=2ax-2+b- 由韦达定理及极值点的定义得十z=2,,-子 2ax2-2x+b 且ab≠0，因为f(x)有唯一极值点， 所以x号十x经-3x1x2=(x1十x2)2-5x1x2=4 102 所以g(x）=2ax2-2x十b=0有唯一正根. 3-31 若△=4-8ab≤0，则f(x)在定义域内单调，不存 7 ·14· ·数学· 参考答案及解析 在极值点，舍去； 对于C,当，点(a,b)在f(x)上方时，如图所示， 若4=4-8ab>0,即ab<2,则gx)=2ar 结合图象可知，最多有两条切线； 2x十b=0必有一正一负两个根，根据韦达定理得 (a,b〉 y=Inx-1 <0，所以ab<0. 2a 6.D【解】由题意，>0，可得于回)·f正 0,故f'(x)与f(x)同号 当点(a,b)在f(x)下方时，没有切线； 又由图可知，当x∈（一∞，4）时，f(x)单调递增， 当点(a,b)在曲线上时，只有一条切线，故C错误； f'(x)>0;当x∈(4，十∞)时，f(x)单调递减， 对于D,由于x∈(0，十∞)，设g(x)=x-lnx-1, f'(x)<0. 则g'(x)=x- x ,令g'(x)>0,得x>1;令g'(x)< 所以当x∈(-∞，1)时，f'(x)>0且f(x)<0; 0,得0<x<1. 当x∈(1,4)时，f'(x)>0且f(x)>0; 所以g(x)在(1，十∞)上单调递增，在(0,1)上单 当x∈(4,6)时，f'(x)<0且f(x)>0; 调递减，所以g(x)≥g(1)=0,即1nx≤x-1,所 当x∈(6，+∞)时，f'(x)<0且f(x)<0. 以f(x)≤x一2，故D正确. 综上，x∈(1,4)U(6,+∞). 10.AD【解析】f(-1)=-1+3+a=0,则a=-2, 7.B【解析】由题意，得f'(x)=3x2十2ax十3a,所 所以f(x)=x3-3x-2=(x+1)2(x-2), 以f'(1)=3十5a=-12,故a=-3,所以f(x)= 所以f(x)十f(一x)=一4，所以f(x)的图象关 x3-3x2-9x+b.令f'(x)=3x2-6x-9=0,得 于(0，一2)对称，故A正确； x1=-1,x2=3. 令f(x)=(x十1)2(x一2)<0，可得x≠-1且 故当x<-1或x>3时，f'(x)>0,所以f(x)单调 x<2,故B错误； 递增； 因为当0<x<1时，0<x2<x<1,而f'(x)= 当一1<x<3时，f'(x)<0,所以f(x)单调递减， 3x2一3<0，所以f(x)在(0,1)上单调递减，所以 所以当x=一1时，f(x)有极大值f(一1)-b+ f(x2)>f(x),故C错误； 5;当x=3时，f(x)有极小值f(3)=b-27. 由于f(x)=x3-3x-2,f′(x)=3x2一3= 若要使f(x)至少有两个不同的零点，只需 3(x+1)(x-1), 所以f(x)在区间(-∞，-1)，(1，+∞)上，f'(x)> 么+5≥0，（等号不同时成立），解得一5≤6≤27， b-27≤0 0,f(x)单调递增， 在区间(-1,1)上，f'(x)<0,f(x)单调递减， 8.D【解析】已知f'(x)=9x2-2十e十er≥9x2- 由f(-1)=0,f(1)=-4,f(-2)=-4,f(2)=0, 2十2√e2·er=9x2≥0，当且仅当x=0时等号 画出f(x)的大致图象如图所示， 成立，所以f(x)是R上的增函数，又f(一x)= -3x3+2x+ex-e+1=2-f(x), 所以不等式f(2a-3)+f(a2)≥2可化为 f(a2)≥2-f(2a-3)=f(3-2a), 所以a2≥3-2a,解得a≥1或a≤-3. 二、选择题 9.ABD【解析】对于A,设切点(m,lnm-1), 则k=f'(m)=1-hm-1-0 D选项中，当x∈[m,n]时，f(x)∈[-4,0]， m m-0 由图可知，n-m的最大值为4，故D正确. 1 11.ACD【解析】对于A,因为f(x)=x3-ax+2, 所以lnm-1=三·m,即lnm=2,所以m=e2, m 则f(x)十f(-x)=x3-ax十2十(-x)3-a， 切点(2,1)，所以过原点的切线方程为y-1= (一x)十2=4，所以f(-2)十f(2)=4,故A正确； 。,即y=,故A正确； x-e2 对于B,因为f'(x)=3x2-a,且a>0, 令f0条释<-骨或>侣， a 对于B,由反函数的概念可得y十1=lnx,即e+1 =x,所以y=e+1,故f(x)关于y=x对称的函 数为y=e+1,故B正确； 令f)0,解得-层<</后 ·15· A 真题密卷 单元过关检测 可知f)在(-，/日（层，+上￥ 2)上单调递增，此时f'(x)∈(3-2a,8-2a), 网递增，在（，√）上单调成， 女低-红8号8a<d 四、解答题 15.解：(1)f(x)的定义域为R,f(-2)=-e2, 所以f(x)的极大值点为x= √3，故B错误； (1分) 对于C,若f(x)至少有两个零点， 因为f'(x)=e+(x+l)e=(x+2)e, 当a≤0时，f'(x)=3x2-a≥0，可知f(x)在R 所以飞=f'(-2)=0, (2分) 上单调递增，至多有一个零点，不合题意； 所以切线方程为y=一e2. (4分) (2)方程解的个数等价于曲线y=∫(x)与直线y 当a>0时，皓合B可知，f√号)0(-√骨)， =a的交点个数. 令f'(x)=(x十2)e>0,解得x>-2; 十2，解得a≥3. 令f'(x)=(x+2)e<0,解得x<-2.(5分) 综上所述，a≥3，故C正确； 所以f(x)在（一∞，一2）上单调递减，在（一2， 对于D,因为f'(x)=3x2-a, 十∞)上单调递增， 当a≤0时，可知f(x)在R上单调递增，符合题意； 当a>0时，则-a-1<0,对于x∈(-∞，-a-1), fx)m=f(-2)=是，当x<-2时，f)<0. 可得f'(x)>f'(-a-1)=3(-a-1)2-a=3a2+ (7分) 5a+3,此时△=25一36=一11<0， 则f'(x)>3a2十5a+3>0,所以f(x)在区间 作陆)为)=a的圈象，由图可知当a《一日 (-∞，-a-1)上单调递增. 时，方程f(x)=a(a∈R)的解为0个； (9分) 综上所述，f(x)在区间(-∞，-a一1)上单调递 当a=一。或a≥0时，方程fx)=a(a∈R)的 增，故D正确. 三、填空题 解为1个； (11分) 12.1+号【解析】y=-h2z-1,令-1n2x-1=-2, 当吉<a<0时，方程f)=aa∈R)的解为 2个. (13分) 解得x=分，当x=号时，y=1-,故将切点 1y=f(x) (货，1-）代入直线y=-2z+6,得6=1+号 y=a 1&.号【解折】fx)=o·n2z e =(分os2z+）·sin2z, 16.解：(1)当a<0时，f(x)存在最大值，无最小值， 由y=2cos2x十2与y=sin2x的周期均为 其最大值为(-)-(-广-兰+2=8日 π，则f(x)的周期为π，不妨设x∈[0，π]， (2分) f'(x)=2cos2xcos 2x-2sin xcos x.sin 2x= 当a=0时，f(x)=2x+2,f(x)在R上单调递 2cos2 x (cos 2x-2sin2x)=2cos2x(2cos 2x-1), 增，无最大值也无最小值； (3分) 令了')0，甲as2z≤ 当a>0时，f(x)存在最小值，无最大值， 其最小值为-日)=a()°-名+2=2-日 解得x∈ 后+kx,6+kx∈Z, 5π (5分) 故f(x)的单调递减区间 [后+n管+好ez 综上，当a<0时，fx)的最大值为2a无最小值： 2π 故b一a≤31 当a=0时，f(x)无最大值也无最小值； 14.2或3均可以【解析】由题意知，f'(x)=x2十 当a>0时，)的最小值为？-。，无最大值。 2x-2a在(1,2)上有变号零点，又f'(x)在(1， (6分) A ·16· ·数学· 参考答案及解析 (2)由2e≥f(x),得2e-ax2-2x-2≥0， 18.(1)解：当a=0时，f(x)=xlnx,x∈(0，十∞)， 设g(x)=2e-a.x2-2x-2,x∈[0，十∞)，得 且f'(x)=1十lnx, (1分) g(0)=0, g'(x)=2e-2-2ax,且g'(0)=0, (8分) 当x∈(0，)时，f'x)<0,fx)单调递减； 设h(x)=g'(x)=2e2-2-2ax,x∈[0，+∞)， 则h'(x)=2e-2a, 当x∈（日，十e∞）时，f'(x)>0,f(x)单调递增。 h'(x)在区间[0，+∞)上单调递增， (4分) 当a≤1时，在区间[0，+∞)上，h'(x)≥0， g'(x)单调递增，所以g'(x)≥g'(0)=0, 所以fx)的极小值为f( =一是，无极大值 (10分) (5分) 所以g(x)在区间[0，十∞)上单调递增， (11分) (2)()解：由题意可得，f(x)的定义域为（一a,十∞）， 所以g(x)≥g(0)=0. 当a>1时，令h'(x)=2e-2a<0,得x<lna, 且f'(x)=ln(x+a)+ 1 所以当x∈(0，lna)时，h'(x)<0,g'(x)单调递 x+ax+a·[(x十a) 减，所以g'(x)≤g'(0)=0, (14分) ·ln(x+a)+x], (6分) 所以g(x)在区间(0，lna)上单调递减， 设g(x)=(x十a)ln(x十a)十x, 所以g(x)≤g(0)=0,与题设矛盾. 可知g(x)在(-a,十∞)上有两个变号零点， 综上，实数a的取值范围为（一∞，1]. (15分) 则g'(x)=2十ln(x十a), 17.解：①由函数f)e 得fG)=二x-1De 23 当ze(-a,日-a)时，g)<0,g)单调道减： 则f'(1)=-2,而f(1)=1, (2分) 所以曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线方程 当z∈（侵-a,+)时g)≥0，g)单河道塔 为y-1=-2(x-1),即2x十y-3=0.(4分) (2)函数f(x)的定义域为(-∞，0)U(0,+∞)， 则gc)=g-a)=-a, 且f'(x)=-x-1)e-x 且当x趋近于十o∞时，g(x)趋近于+∞， (5分) x2 (10分) 当x<-1时，f'(x)>0;当-1<x<0或x>0 当x趋近于-a时，g(x)趋近于-a 时，f'(x)<0, 所以f(x)的单调递增区间为（一∞，一1），单调 可得 e2-a<0, 解得-<<0, 递减区间为（一1,0），(0，十∞). (7分) a>0, (3)当x2>x1>1时，f(x2)-f(x1)> 22 所以实数。的取值范围为(-己，0） (13分) x2 x1 (8分) (i)证明：由(1)可知，-a<x1<e-a, 证明如下： 令g(x)=f(x)-2-e-2 且(x1十a)ln(x1十a)+x1=0,所以f(x1)= ,x>1, x x xIn(z1+a)=-(x1+a)In2(x1+a), 则g'(x)=（-x-1)e+2 x2 设h)=-xmx0<x<),显然hz)<0, 令h(x)=(-x-1)e-x+2,x>1, 又h'(x)=-(2+lnx)lnx, 则h'(x)=xe->0, (10分) 因为x∈o,）),则'(x)<0, 故h(x)在(1，十∞)上单调递增， 则h(x)>h(1)=0,即g'(x)>0, (12分) 可知A(x)在(0，)上单调递减， 故g(x)在(1，十∞)上单调递增， 且A(侣)=一兰，可得-怎<h)<0。 4 则当x2>x1>1时，g(x2)>g(x1), 所以f,)-fx)>2-2 (15分) 所以-e<fx1)<0. (17分) x2 x1 ·17· A 真题密卷 单元过关检测 2+1f'3)= 19.()解：f'()=1」 故F(x)在(0,1)，(a,十o∞)上单调递增，在(1，a)上 4 单调递减。 (10分) 又f(3)=ln4=2ln2, 综上，当a≤0时，F(x)在(0,1)上单调递减，在 故y=f(x)在x=3处的切线方程为 (1,十∞)上单调递增； 0y-21n2=4x3, 当0<a<1时，F(x)在(0，a),(1,+∞)上单调 递增，在(a,1)上单调递减； 即x-4y+8ln2-3=0. (3分) 当a=1时，F(x)在(0，十o∞)上单调递增； (2)解：F(x)=x-a-(a十1)f(x-1)=x 当a>1时，F(x)在(0,1)，(a,十o∞)上单调递 增，在(1，a)上单调递减. (11分) 是-a+1Dnx,e0,+o), F'(x)=1+g-a+1=-a+1)x+a_ (8)证明：函数ge)=c+D(+）-h2+2》, x x2 函数g(x)的定义域为(-∞，-1)U(0,十∞). (x-1)(x-a) 若3m∈R,使得曲线y=g(x)关于直线x=m (5分) 对称， 当a≤0时，令F'(x)>0,得x>1; 则（一∞，一1）U(0,+∞)关于直线x=m对称， 令F'(x)<0,得0<x<1, (14分) 故F(x)在(0,1)上单调递减，在(1，十∞)上单 所以m=一2： 调递增； (6分) 由g(-1-)=(-x1n1+--） 当0<a<1时，令F'(x)>0,得0<x<a或x> 1;令F'(x)<0,得a<x<1, x+1 故F(x)在(0，a),(1,十o∞)上单调递增，在(a,1)上 单调递减； (7分) h-h计-1+hb出 当a=1时，F')=D≥0恒城立， 2z-1+xn+1-h2红1-g(a. I x+1 故F(x)在(0，十∞)上单调递增； (8分) 当a>1时，令F'(x)>0,得0<x<1或x>a, 可知面线)=g)关于直线=对称。 令F'(x)<0,得1<x<a, (17分) 2025一2026学年度单元过关检测（六） 数学·三角函数的图象与性质 一、选择题 “A>不”的充分不必要条件. 4 1.D【解析】了x)的对称轴的方程为工=受+kx, 3.C【解标析】当-+kx<2x-<否+kx,kCZ 4 k∈Z,当k=-2时，x= 3π 2· 时，y=-tam2z-3）单羽道减， 2.A【解析】在△ABC中，0<A<π，一方面，若 sinA 受，则<A<,所以A>立： 即++）e 另-方面，若A>子，取A-,则nA 1 所以y-一an2z-3）药单润造减区同为 2 会所以nA>号不成主，所以“nA>竖克 管+吾经+)ez 2 A ·18·不是看到希望才坚持，是坚持才有希望 2025一2026学年度单元过关检测（五） 3.已知函数f(x)=x3+bx2+cx的图象如图所示，x1,x:是f(x)的极值点，则x十x 班级 卺题 34143= () 数学·一元函数导数及其应用 姓名 本试卷总分150分，考试时间120分钟。 得分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。 题号 5 A号 R号 C.-1 D.-3 答案 4.已知A是直线y=2x一1上的动点，B是曲线y2=c十x上的动点，则|AB的最小值为 1.如图，有一个无盖的盛水容器，高为日，其可看作将两个完全相同的圆台中面积较大的 () 底面去掉后对接而成，现从顶部向该容器中倒水，且任意相等的时闻间隔内所倒的水的 体积相等，记容器内水面的高度y随时间1变化的函数为∫()，则下列函数图象中最有 &36 5 C36 5 n 可能是∫(t)图象的是 () 5.若函数f(x)=a:x2一2x+bnx(ab≠0)有唯一极值点，则下列关系式一定成立的是() A.a+b<0 B.a+6>0 C.ab<0 D.ab>0 6.已知函数fx)的导函数为f'(x)fG)的图象如图所示，则e f(z)>0的解集为 () A.(1,6) B.(1,4) C.(-∞，1)U(6,+0∞) D.(1,4)U(6,十c∞) 7.已知函数f(x)=x8+ax+3ax+b的图象在点(1，f(1)处的切线方程为y=-12x 十m.若∫(x)至少有两个不同的零点，则实数b的取值范围是 () A.(-5,27) B.[-5,27] C.(-1,3] D.[-1,3] 0 8.已知函数f(x)=3x3-2x十e-e十1，若f(2a-3)十f(a)≥2，则实数a的取值范 2.已知f(x)是定义在R上的可导函数，若1i f(2+h)-f(2-h)1 2,则f(2)=（） 围是 () h A.(-∞，1] B.[-3,1] A.-1 C.1 n C.(-o∞，-1]U[3,+o∞) D.(-∞，-3]U,+) 单元过关检测（五）数学第1页（共8页） 真题密卷 单元过关检测（五）数学第2页（共8页） 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 15.(13分)已知函数f(x)=(x十1)e 题号 9 10 11 (1)求f(x)在（一2，f(一2）)处的切线方程： 答案 (2)求出方程f(x)=a(a∈R)解的个数. 9.对于函数f(x)=1nx一1，则 () A.直线y=怎是了c)过原点的一条切线 B.f(x)关于y=x对称的函数是y=e+H C.过一点(a,b)可以有3条直线与f(x)相切 D.f(x)≤x-2 10.已知一1为函数f(x)=x3一3x十a的一个零点，则 () A.f(x)的图象关于(0，一2)对称 B.f(x)<0的解集为(-o∞，2) C.当x∈(0,1)时，f(x2)<f(x) D.当x∈[m,n]时，f(x)∈[一4,0]，则n一m的最大值为4 11.已知函数f(x)=x3一ax+2(a∈R),则下列说法正确的是 A.f(-2)+f(2)=4 且若0>0，则)的假大值点为：-月 C.若f(x)至少有两个零点，则a≥3 D.f(x)在区间（一c∞，一a一1）上单调递增 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.曲线y=1-xln2x的一条切线为y■一2x+b,则b= 13.已知函数f(x)=cos2x·sin2x在[a,b们上单调递减，则b一a的最大值为 14.已知函数f)-号+x-2ax+1在区间(1,2)上存在板值点，则a的值可以为 ,(填一个符合条件的整数即可) 单元过关检测（五）数学第3页（共8页） 真题密卷 单元过关检测（五）数学第4页（共8页） 16.(15分)已知函数f(x)=ax2+2x+2. 17.15分)已知函数fx)=c (1)讨论f(x)的最值： (1)求曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线方程： (2)当x≥0时，2e≥f(x),求实数a的取值范围. (2)求f(x)的单调区间： (3)当x>x1>1时，判断了(x)-寸x)与2-2的大小，并说明理由。 1 x1 单元过关检测（五）数学第5页（共8页） 真题密卷 单元过关检测（五）数学第6页（共8页） 18.(17分)已知函数f(x)=xln(x+a). 19.(17分)已知函数f(x)=ln(x+1). (1)当a=0时，求f(x)的极值 (1)求曲线y=∫(x)在x=3处的切线方程 (2)若f(x)存在两个极值点x1,x,(x1<x2) (2)讨论函数F(x)=x-a-(a十1)f(z-1)的单调性. (i)求实数a的取值范围， 4 (3)设函数gx)=(x+1Df()-f(号+1小证明：3m∈R,使得曲线y=g红)关于直 ()证明：-3<fx)<0. 线x=m对称， 单元过关检测（五）数学第7页（共8页） 真题密卷 单元过关检测（五）数学第8页（共8页）