单元过关(四)幂函数、指数函数与对数函数-【衡水真题密卷】2026年高考数学单元过关检测(A版)

·数学· 参考答案及解析 2025一2026学年度单元过关检测（四） 数学·幂函数、指数函数与对数函数 一、选择题 又因为f(x)在（一∞，0]上单调递减，所以f(x)在 (0,十∞)上单调递增， 1.C【解析】由已知得V2=2,解得a=2,即y= 所以f(1og40.5)<f(0.50.4)<f(1og0.50.4),即 x立，所以f(x)=x元，所以f(100)=10. c<a<b. 2.B【解析】依题当[H+]=10-7时，pH=-lg10-7 8.B【解析】画出f(x)=min{2x2+4x十2,2-x}的 =7,所以该纯净水的pH值为7. 图象如图所示： 3.B【解析】因为幂函数∫(x)=(t2-t-1)x2-3 的图象与y轴无交点，则 2-t-1=1,解得t= 4.5 (2t-3≤0， -1. 4.A【解析】由己知得， f(1)_f(0.5),f(1) f(2)f(0.5) -2.5102八3 f(0) =f(0)·f(0.5) =4, f(0)-f(0) f(1)f(1.5)f(2) 令f(x)=t,则函数y=t2-at十1至多有两个零 f0.5)f1)·f1.5=4, 点t1,t2, f(3)f(0.5) f(1)f(1.5) f(2) 而f(x)=t1至多有三个根，同理f(x)=t2至多 f(0)f(0) f(0.5) f(1) f(1.5)· 有三个根， f2)‘f2.5=4,所以fe) f(2.5)f(3) 要想g(x)=[f(x)门2-af(x)+1有六个不同 f(0)=4, 的零点， 又f(0)=3,所以f(x)=3×4. 则需y=t2-一at十1有两个不相等零，点t1,t2,不妨 5.D【解析】因为2>0,2>0，则2x十2≥ 设t1<t2, 2√2+，由于2x十2=8，则8≥2√2x+,所以4 且f(x)=t1和f(x)=t2均有三个根，且根各不 ≥2x+y,可得x十y≤4，当且仅当x=y=2时，等 相同， 号成立，所以x十y的取值范围是（一∞，4]. 所以t1,t2∈(0,2)，由韦达定理得t1t2=1,t1十t2 6.D【解析】该函数为指数型复合函数， =a, 令gx)=ax-2x,对称轴为z-,当0<a<1 显然t∈(1,2)，故∈（合1， 时，要使f(x)=aax-2x(a>0,且a≠1)在区间 故a-+-+∈（ [4,刃上单调适增，则≥7，则0<a≤ 由对西数性质得a=十在4，∈（份）上 当a>1时，要使f(x)=aa2-2x(a>0,且a≠1) 调递减， 在区间3，刀上单河适增，则≤4，则a≥行，则 所以a=+∈6，》， a>1.筛上，实盘a的取值花国为0，引U 4=a2-4>0, 此时满足 (1,+∞). =-2eo,2 故a∈2，》 7.D【解析】因为函数f(x)是偶函数，所以a一 二、选择题 f(0.5.4),b=f(1ogo.50.4),c=f(1og40.5|), 9.ABD【解析】对于A,当m,n是奇数时，f(x)= 又2=0.51<0.54<0.5=1，lDg40.5=loge21- x”,此时f(x)的定义域为R,且f(一x)= 2,log,0.5=2lg0.4>1oga,0.5=1, W/(-x)=-x=一f(x),所以f(x)是奇函 数，故A正确； 所以|1og40.5|<0.5.4<1og0.50.4, 对于B,当m是奇数，n是偶数时，f(x)=W”, ·11· A 真题密卷 单元过关检测 此时f(x)的定义域为R,且f(-x)="/(一x)n 所以f)≥f0)=2-(分)厂'=0， =元=f(x),所以f(x)是偶函数，故B正确； 则根据f(x)是偶函数，可知f(x)=0在R上只 对于C,当m是偶数，n是奇数时，f(x)=W”, 有唯一解， 此时f(x)的定义域为「0，十∞)，不关于原点对称， 所以f(x)不具有奇偶性，故C错误； 当x0时，由f)2得fe)=2(日) 对于D,当0<”<1时，由幂函数的性质可知， m 2,解得x=2-10g3, f(x)在(0，十∞)上是增函数，故D正确. 10.BCD【解析】由画数f)=a(》 再根据f(x)是偶函数，可知f(x)=2有两个解， +b的 1 图象过原点，可知f0)=a( 所以方程f(x)一2f(x)=0有3个实数根，故D 十b=a+b=0, 正确！ 由函数fe)=a(分) 十b的图象无限接近直 1AD【解折】函数f)=一h生中约定义 线y=2但又不与该直线相交，可知b=2, 所以a=-2,故A错误； 接满足+b>0,即x(z十6)>0，由f(2-x)= x 由函数f(x)= 2(g) 十2，可知f(一x)= f(x),可知f(x)的图象关于直线x=1对称，故 f(x)的定义域关于x=1对称，则x(x十b)>0的解 2)+2=-2》 +2=f(x), 集只能为(-∞，0)U(2,十∞)，故b=-2,故B 错误； 所以f(x)= 2》 |x 十2是偶函数， 由f(x)=f(2-x),可得(x-a)lnx2= 当x≥0时，由指数函数的性质可知∫(x) +2= 2+2=2-（》 是 e-o2 ,故(x-a)1n-2 增函数， +a-2)nt-2, ,则x-a=x十a-2,解得a=l, 所以有f(-2)=f(2)>f(1),故B正确； 故A正确； 当0<x1<x2时， 有(）[U)+] 所以fx)=(-1Dn2, x ，所以ab=-2,故C 正确； (2学--2鬥 f-1D=(-21u子-8h3,故D三痛. -学+》产+产≥ 三、填空题 12.-1【解析】由题设，f(一)-9一a 3-x -学+·-6 3*(9-a)=f(x)=95-a 3x, 由于x1卡x2,所以上式等号不成立， 所以9r(9-x-a)=92-a,得1-a·9r=92 即有f色）>[f)+fu】,故C正病 a,得(a十1)(9r-1)=0对Vx∈R恒成立. 所以a十1=0，解得a=-1.经检验，a=一1满 1 由方程f(x)-2fx)=0,可得fx)=0或 足要求 1 13.g(x)=x一1（答案不唯一）【解析】g(x)的解 fx)=2' 析式为g(x)=x一1（答案不唯一），理由如下， 而当x≥0时，由指数函数的性质可知f(x)=2 因为当x≥0时，f(x)=ln(1十x)在区间[0，十∞)上 单调递增， 当x<0时，f(x)=x一1在区间(-∞，0)上单 ·12· ·数学· 参考答案及解析 调递增，且1n(1+0)=0>0-1=-1, 故t2-(a+5)t+6≥0在t∈[1,16]上有解， 所以当g(x)=x一1时，函数f(x)= <生5-+只跨a+5≤+》n a+5≤ ln(1+x),x≥0， t 为R上的增函数 x-1,x<0 (10分) 14包，日》【解析】国为高教y=一上关子原点对 其中y-:十在，W同上单阔递减，在 务，北y关于点4,0对格：考虑-2，合 (W6,16]上单调递增， 又当t=1时，y=1+6=7,当t=16时，y=16+ 1=4,则2=4，解得红=2，故fx)42对称 6131 168, 中心的横坐标为2， 故设对称中心的坐标为(2，a),则f(2十x)十 放a+5≤ 解得a< (14分) 8 1--,可得+2-× 故实数。的取值范用为（一 (15分) 1 17.解：(1)当a=2时，f(x)=log2(1+x),g(x)= 1og2(1-x), 四、解答题 15.解：(1)由函数f(x)=(m2+3m-9)xm-1为幂 1-x>0'解得-1<x<1, 易 (2分) 1+x>0, 函数，得m2+3m-9=1, 所以2f(x)=log(1+x)2,g(x)+1=log22(1-x), 解得m=2或m=-5, (2分) 则不等式等价于log2(1十x)2>log2(1一x),可得 又f(x)在(0，十∞)上是减函数，则m-1<0,即 (1+x)2>2(1-x), m<1, 即x2十4x-1>0,解得x>5-2或x<-√5-2， 所以m=-5,fx)=x= 1 (5分) 结合定义域x∈（一1,1），得不等式的解集为 (5-2,1). (5分) (2)由(1)得m=一5，所以不等式为(2-a) (2)易知当0<x<1时，1+x>1>1-x>0, >(2a-1)言， 若a>1,则1og。(1+x)>0,log。(1-x)<0, 令g(x)=x言，则g(x)的定义域为(0，十∞)， 所以A=1oga(1+x),B=-log.(1-x),(8分) 且g(x)在(0，十∞)上单调递减， 则A-B=log。(1-x2)<loga1=0,即A<B; 2-a>0, (10分) 所以32a-1>0,解得1<a<2, (12分) 若0<a<1,则1og。(1+x)<0,loga(1-x)>0, 2-a<2a-1, 所以A=-log。(1十x),B=log(1-x),(12分) 所以实数a的取值范围是(1,2). (13分) 则A-B=-log.(1-x2)=l1og2(1-x2)<1og21 16.解：(1)令2=t∈1,16]， =0,即A<B. 由fCx)=2二号·2+1-6，可得g)=12 综上所述，A<B. (15分) 18.(1)解：由题可得f(1)=1+1+1-2+a=3,解 5-6-(-}°-9 得a=2. (3分) 故当：一时，g)取得最小值，最小值为 (2)证明：f(x)=e2-1+e1-x十x2-2x十a, 49 4 f(2-x)=e-x+e-1+(2-x)2-2(2-x)十a 又g(1)=-10,g(16)=170, =e2-1+el-x+x2-2x十a, 故了)的最大值为170，最小值为织(6分) 故f(2-x)=f(x),即函数y=f(x)的图象关 于直线x=1对称. (8分) (3)解：函数y=f(x)的图象关于直线x=1对 2)22x号·2x+1-6+12-a·2≥0，即224 称，且函数y=f(x)在（一∞，]上是严格减函 (a+5)·2r+6≥0， 数，在1，十∞)上是严格增函数， 令2x=t∈[1,16]， 不等式f(mx十1)<f(x2+2)恒成立，等价于 ·13 A 真题密卷 单元过关检测 |m.x+1-1<|x2+2-1, 因为g(Tx)=f(Tx)-m=f(x)-m+T= 整理得m·x<x2+1, (10分) g(x)+T, 当x=0时，不等式成立，此时m∈R； (12分) 所以g(x)具有性质P(T),g(T"x)=f(x)十 1 nT-m, 当xo时，m<x+女，而x+女产 令x=1,得g(Tm)=f(1)+nT-m,(10分) 2·可-2，当-士1时等号成立， ①若g(1)=f(1)一m=0,则函数g(x)在 (0,十∞)上存在零点； (11分) 故|m|<2,即-2<m<2. (16分) ②若g(1)=f(1)-m<0,即f(1)<m, 综上所述，m的取值范围为（一2,2）. (17分) 19.(1)解：因为函数y-f(x)具有性质P(3),所以 当n>m-f(1) T 时，g(T")=f(1)+nT-m f(3×1)=f(1)+3, 所以f(3)-f(1)=3. (3分) ≥/+r0）-m=,即g6r)0. (2)证明：设T>0,则f(Tx)=log装(Tx)= 所以g(x)在区间(0，十∞)上存在零点；(14分) log号T+log5x, ③若g(1)=f(1)-m>0,即f(1)>m, 令log5T=T,即log5T-T=0, 因为f(x)=f(T"x)-nT, 设g(x)=log号x-x,x>0, 所以f(T-")=f(1)-nT,所以g(T-")=f(1) 因为g1)=-1<0,g(分》=2>0， -nT-m: 当n。f1）-m时，gT"o)三f(1)一oTm3 所以在区间（分1上函数gx)存在零点x, 当T=xo时，log号T=T,此时函数y-f(x)具 f)-Tf0"）-m=0,即gT)0, 有性质P(T). (8分) 所以g(x)在区间(0，十∞)上存在零点. (3)证明：设n∈N,因为f(Tx)=f(x)+T,所 综上所述，Hm∈R,g(x)-f(x)一m都存在零 以f(T"x)=f(x)+nT, 点，即都有f(x)=m∈R, (16分) 设g(x)=f(x)-m,m∈R, 故f(x)的值域为R. (17分) 2025一2026学年度单元过关检测（五） 数学·一元函数导数及其应用 一、选择题 4.B【解析】令f(x)=e+x,g(x)=2x-1, 1.D【解析】因为单位时间内注水的体积不变，结 则f(x)-g(x)=e+x-(2x-1)=e-x+1> 合容器的形状，在单位时间内，高度变化率先由快 0在R上恒成立，所以曲线y2=e十x在直线y1=2x 变慢，后由慢变快. -1的上方，当曲线y2=e十x在点B(xo,yo)处的 2.D【解析】由导数的定义， 切线与直线y1=2x一1平行时，两直线之间的距 f(2+h)-f(2-h) f'(2)=im(2+h)-(2-h) 离即|AB|取得最小值.因为f'(x)=e十1，所以 eo+1=2,解得xo=0,则B(0,1),所以|AB|最 2+,fe-- h 4 小值d=10-1-1_2w5 3.A【解析】由函数的图象可知，f(1)-1十b十c=0, √22+15 f(2)=8十4b+2c=0,解得b=-3,c=2,所以 5.C【解析】f(x)=a.x2-2x十blnx(ab≠0)， f(x)=x3-3x2+2x,可得f'(x)=3x2-6x+2, 定义域为(0，+)，则f'(x)=2ax-2+b- 由韦达定理及极值点的定义得十z=2,,-子 2ax2-2x+b 且ab≠0，因为f(x)有唯一极值点， 所以x号十x经-3x1x2=(x1十x2)2-5x1x2=4 102 所以g(x）=2ax2-2x十b=0有唯一正根. 3-31 若△=4-8ab≤0，则f(x)在定义域内单调，不存 7 ·14·冷静是智慧的盾牌，专注是破题的利刃 2025一2026学年度单元过关检测（四） 5.若2r+2?=8,则x+y的取值范围是 班级 A.(0,-2] B.(-∞，-2] 数学·幂函数、指数函数与对数函数 C.(0,4] D.(-o,4] 姓名 本试卷总分150分，考试时间120分钟。 6.已知函数f(x)=a-“(a>0,且a≠1)在区间4,7刀上单调递增，则实数a的取值范围为 ( 得分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。 A.(oUd.4] 题号 8 e,u[眼+ D.(o.Ud.+ 答案 7.已知偶函数f(x)在(-o∞，0上单调递减，a=f(0.5,),b=f(1og0.4),c=f(log0.5),则 1.已知幂函数y=x·的图象过点(2,2)，则f(100)的值为 () A.6 B.8 A.a>b>c B.a>c>b C.10 D.12 C.b>c>a D.b>a>c 2.溶液酸碱度是通过pH计量的，pH的计算公式为pH=一lg[H门]，其中[H+门表示溶液 8.设minz,y)表示实数x,y中的最小值，若函数∫(x)=min2x2+4x十2,2-x},函数 中氢离子的浓度，单位是摩尔/升，若某纯净水中氢离子的浓度为H+门=10摩尔/升， g(x)=[f(x)]一afx)+1有六个不同的零点，则实数a的取值范围是 () 则该纯净水的pH值为 () A.(0,2) 引 A.6 B.7 C.(2,4) D.(2,+∞) C.8 D.9 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题 3.已知幂函数f(x)=(t2一t一1)x-3的图象与y轴无交点，则实数t的值为 () 目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 A-2 B.-1 题号 9 10 11 答案 C.1 D.2 9.已知幂函数f(x)=x(m,n∈N”,m,n互质)，则 () 4已知函数y=fx,x∈R,且f0)=3,f0D f(1) f(0.5n) =2, f(0) 0.5=2…f0.50m-1D=2, A.当m,n是奇数时，f(x)是奇函数 n∈N·,则y=f(x)的一个解析式可以为 () B.当m是奇数，n是偶数时，f(x)是偶函数 C.当m是偶数，n是奇数时，f(x)是偶函数 A.3×49 B.3+1 C.3×5 D.3×6 D.当0<”<1时，f(x)在(0，十∞)上是增函数 单元过关检测（四）数学第1页（共8页）】 真题密卷 单元过关检测（四）数学第2页（共8页） 10已知两数u)=a) 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 十b的图象过原点，且无限接近直线y=2但又不与该直线 15.(13分)已知幂函数f(x)=(m2+3m-9)xm-1在(0，十∞)上是减函数，m∈R. 相交，则下列结论正确的是 () (1)求f(x)的解析式： A.a=2 (2)若(2一a)可>(2a一1)可，求实数a的取值范围. B.f(-2)>f(1) C若0Cx<则f作2f,+fun D.方程f(x)-2fz)=0有3个实数根 11.已知函数fr)=(红-a)》1n+满足f2-x)=j(x),则 () A.a=1 B.b=-1 C.ab=-2 D.f(-1)=-8ln3 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知函数fx)=9“为偶函数，则实数a=一· 3 ln(1+x),x≥0， 13.已知函数f(x)= 为R上的增函数，写出一个满足要求的g(x)的解 g(x),x<0 析式 1 14.已知函数f)=4-2,则曲线y=fx)的对称中心为 单元过关检测（四）数学第3页（共8页） 真题密卷 单元过关检测（四）数学第4页（共8页） 16.15分已知函数/6)=2-号·2r-6 17.(15分)已知函数f(x)=log.(1+x),g(x)=log.(1-x),其中常数a>0且a≠1. (1)若a=2,求不等式2f(x)>g(x)+1的解集 (1)当x∈[0,4]时，求f(x)的最大值和最小值： (2)若0<x<1,试比较A=|f(x)|与B=|g(x)川的大小， (2)若3x∈[0,4，使f(x)十12-a·2≥0成立，求实数a的取值范围. 单元过关检测（四）数学第5页（共8页） 真题密卷 单元过关检测（四）数学第6页（共8页） 18.(17分)已知函数f(x)=e2-1+e-+x2-2x十a. 19.(17分)已知函数y=∫(x)的定义域为(0，+∞)，若存在常数T>0,使得对Vx∈ (1)若f(1)=3,求实数a的值 (0,十∞)，都有f(Tx)=f(x)十T,则称函数y=f(x)具有性质P(T). (2)证明：函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称. (1)若函数y=f(x)具有性质P(3),求f(3)一f(1)的值. (3)已知函数y=f(x)在（一o,1]上是严格减函数，在[1，十∞）上是严格增函数，关于 (2)设f(x)=1ogx,证明：存在常数T>0,使得y=f(x)具有性质P(T). x的不等式f(mx十1)<f(x十2)恒成立，求实数m的取值范围， (3)若函数y=f(x)具有性质P(T),且y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线，证 明：函数y=f(x)的值域为R 9 单元过关检测（四）数学第7页（共8页） 真题密卷 单元过关检测（四）数学第8页（共8页）