第10讲 函数的单调性和最值（八大题型+思维导图+知识梳理+课后提升练）-2025-2026学年高一数学秋季讲义（人教A版必修第一册）

第10讲 函数的单调性和最值 【人教A版】 模块一 函数的单调性 1．函数的单调性 (1)单调递增、单调递减： 名称 定义 图形表示 几何意义 单调递增 一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I：如果∀x1,x2∈D，当x1 < x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递增. 函数f(x)在区间D上的图象从左到右是上升的. 单调递减 一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I：如果∀x1,x2∈D，当x1 < x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递减. 函数f(x)在区间D上的图象从左到右是下降的. (2)函数的单调性及单调区间： ①当函数f(x)在它的定义域上单调递增(减)时，我们就称它是增(减)函数. ②如果函数y=f(x)在区间D上单调递增或单调递减，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单 调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间. (3)常见函数的单调性： 函数 单调性 一次函数y=ax+b (a≠0) a>0时，在R上单调递增； a<0时，在R上单调递减. 反比例函数 a>0时，单调递减区间是(-∞,0)和(0,+∞)； a<0时，单调递增区间是(-∞,0)和(0,+∞). 二次函数y=a(x-m)²+n (a≠0) a>0时，单调递减区间是(-∞,m]，单调递增区间是[m,+∞)； a<0时，单调递减区间是[m,+∞)，单调递增区间是(-∞,m]. (4)单调函数的运算性质： 若函数f(x)，g(x)在区间D上具有单调性，则在区间D上具有以下性质： ①f(x)与f(x)+C(C为常数)具有相同的单调性. ②若a为常数，则当a>0时，f(x)与a f(x)具有相同的单调性；当a<0时，f(x)与a f(x)具有相反的 单调性. ③若f(x)恒为正值或恒为负值，a为常数，则当a>0时，f(x)与具有相反的单调性；当a<0时， f(x)与具有相同的单调性. ④若f(x)≥0，则f(x)与具有相同的单调性. ⑤在f(x)，g(x)的公共单调区间上，有如下结论： f(x) g(x) f(x)+g(x) f(x)-g(x) 增 增 增 不能确定单调性 增 减 不能确定单调性 增 减 减 减 不能确定单调性 减 增 不能确定单调性 减 ⑥当f(x)，g(x)在区间D上都是单调递增(减)的，若两者都恒大于零，则f(x)· g(x)在区间D上也是单 调递增(减)的；若两者都恒小于零，则f(x)· g(x)在区间D上单调递减(增). (5)复合函数的单调性判定： 对于复合函数f(g(x))，设t=g(x)在(a,b)上单调，且y=f(t)在(g(a)，g(b))或(g(b)，g(a))上也单调. t=g(x) y=f(t) y=f(g(x)) 增 增 增 增 减 减 减 增 减 减 减 增 2．函数单调性的判断 (1)函数单调性的判断方法： ①定义法； ②图象法； ③利用已知函数的单调性. (2)复合函数y=f(g(x))的单调性应根据外层函数y=f(t)和内层函数t=g(x)的单调性判断，遵循“同增异减”的原则. 【题型1 函数单调性的判断及单调区间的求解】 【例1】（24-25高一上·广东广州·期中）函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】现根据解析式有意义的条件求的定义域，然后在定义域内，利用复合函数的单调性法则求得结果. 【解答过程】要使函数有意义，则， 即，解得或， 函数定义域为. 令，则，在上单调递减， 对称轴为，开口向上， 在上单调递减，在上单调递增， 根据复合函数“同增异减”原则，可知的单调递减区间是. 故选：D. 【变式1.1】（24-25高一上·全国·课后作业）设，，则（    ） A．在区间上单调递增 B．在区间上单调递减 C．在区间上单调递增 D．在区间上单调递减 【答案】A 【解题思路】根据正比例函数、反比例函数的单调性，结合函数单调性的性质、定义逐一判断即可. 【解答过程】函数在区间上均单调递增，因此当时，单调递增，A正确，B错误； 令，任取， 则， 当时，，，故在区间内单调递减； 当时，，故在上单调递增，C错误，D错误． 故选：A. 【变式1.2】（25-26高一上·全国·单元测试）已知函数，且，设． (1)求函数的解析式； (2)用定义法判断的单调性． 【答案】(1) (2)在区间和和上分别单调递减 【解题思路】（1）直接根据题意代入求值即可； （2）根据定义法判断函数的单调性即可. 【解答过程】（1）因为，所以，则， 故． （2）易得的定义域为，， 则， ①当时，， 则，即， 故在区间上单调递减； ②当时，， 则，即， 故在区间单调递减， ③当时，， 则，即， 故在区间单调递减， 综上，在区间和和和上分别单调递减． 【变式1.3】（24-25高一上·重庆·期中）已知函数 (1)求实数a值； (2)判断函数在上的单调性，并用单调性的定义证明； (3)求函数的单调区间． 【答案】(1) (2)单调递增，证明见解析 (3)增区间是，单调递减区间是和 【解题思路】（1）代入，即可求解； （2）根据函数单调性的定义，作差，即可证明； （3）根据（2）的过程和结果，再分区间讨论. 【解答过程】（1）由条件可知，，得； （2）， 设， ， ， 因为，所以，，且，则， 所以， 所以，即， 所以函数在上单调递增； （3）由（2）可知， ， 当时，，，，则， 所以，，即， 所以函数在上单调递减， 当，，，，则， 所以，，即， 所以函数在上单调递减， 综上可知，函数的增区间是，单调递减区间是和. 【题型2 利用函数的单调性求参数】 【例2】（24-25高一上·广东广州·阶段练习）已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据复合函数单调性，结合定义域讨论可得. 【解答过程】若，则当时，函数单调递增， 又，函数在上单调递减， 若，则当时，函数单调递减， 只有时，才有可能使函数在上单调递减， ，解得 综上，实数的取值范围是 故选：A. 【变式2.1】（24-25高一上·安徽·期中）函数是增函数，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】利用一次函数和二次函数的图象和性质及分段函数的单调性求解即可. 【解答过程】由题意可知当时，单调递增，则①， 当时，是对称轴为，开口向下的抛物线，则②， 因为函数是增函数，所以③， 由①②③解得， 故选：C. 【变式2.2】（2025高一·全国·课后作业）已知函数． (1)若函数的单减区间是，求实数a的值； (2)若函数在区间上是单减函数，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据函数的单调性及二次函数的性质即可求解； （2）根据函数的单调性及二次函数的性质即可求解. 【解答过程】（1）依题意，， 由二次函数的性质知，的对称轴方程为，开口向上， 所以的单减区间是， 因为函数的单减区间是， 所以. （2）依题意，， 由二次函数的性质知，的对称轴方程为，开口向上， 所以的单减区间是， 因为函数在区间上是单减函数， 所以，解得， 所以实数a的取值范围为. 【变式2.3】（24-25高一上·上海·课堂例题）（1）函数在区间上是严格增函数，求实数的范围； （2）已知函数在区间上是严格增函数，求实数的范围． 【答案】（1）；（2） 【解题思路】（1）利用二次函数的图象与开口方向可求的范围； （2）任取且，利用单调性的定义可得，可求的范围. 【解答过程】（1）根据题意得函数图像开口向下，对称轴为． 函数在区间上是严格增函数，所以，∴． （2）任取且，则恒成立， 所以，即， 整理得． ∵，∴，∴．∵，，∴． 【题型3 利用函数的单调性比较大小】 【例3】（24-25高一上·全国·课后作业）若函数在上是增函数，则下列关系式中成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据增函数的定义求解即可. 【解答过程】因为在上是增函数，且， 所以. 故选：. 【变式3.1】（24-25高一上·河北邢台·阶段练习）已知，且在上单调递减，则，，的大小顺序是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】利用已知的函数性质，把比较函数值的大小转化到同一个单调区间上的函数值比较大小的问题来解决. 【解答过程】因为，所以，， 因为在上单调递减，所以. 故选：A. 【变式3.2】（24-25高一上·江苏苏州·期中）设，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】构造函数，利用函数单调性比较大小. 【解答过程】设，当时，，则在单调递减， 所以在单调递减，所以，即. 故选：B. 【变式3.3】（2025高一·全国·专题练习）已知函数，若，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】构造，根据复合函数单调性得在上是减函数，利用单调性可得答案. 【解答过程】设， 为上为增函数，在上为减函数， 根据复合函数单调性得在上是减函数， 若， 则． 故选：C． 【题型4 利用函数的单调性解不等式】 【例4】（24-25高一上·山西·期中）已知定义域为的增函数满足，且，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】利用函数的单调性，再求解不等式. 【解答过程】因为，且， 令，得； 又因为， 所以即 因为在为增函数. 所以解得或. 即不等式的解集为 故选：A. 【变式4.1】（24-25高一上·江西鹰潭·期中）已知定义在上的函数满足对，都有，若，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】依题意根据函数单调性定义可得在上单调递增，原不等式等价于，即可解出. 【解答过程】由，得， 令，则，因此函数在上单调递增， 由，得， 由，得， 即，则，解得， 所以原不等式的解集为. 故选：C. 【变式4.2】（24-25高一上·广东广州·期中）已知函数是定义在区间上的增函数，满足． (1)求和的值 (2)解关于的不等式． 【答案】(1)， (2) 【解题思路】（1）利用赋值法直接求解即可； （2）转化不等式，根据函数单调性直接求解. 【解答过程】（1）由题知，是定义在区间上的增函数， 且， 令，则，， 令，则， 即，. （2）因为是定义在区间上的增函数， 且，， 所以，等价于， 所以，解得， 即该不等式解集为. 【变式4.3】（24-25高一上·重庆·期末）已知函数满足对一切实数都有成立，且，当时有． (1)求，； (2)判断并证明在上的单调性； (3)解不等式． 【答案】(1)， (2)在上单调递减，证明见解析 (3) 【解题思路】（1）令，可得出的值，令可得出的值； （2）判断出函数为上的减函数，利用函数单调性的定义可证得函数为上的减函数； （3）分析可得出，将所求不等式变形为，解得，计算得出，则，再利用函数的单调性可得出关于实数的不等式（组），即得出原不等式的解集. 【解答过程】（1）因为函数满足对一切实数、都有成立， 令可得，可得， 令可得. （2）函数在上单调递减，证明如下： 设，则，又， 所以，可得， 所以当时，， 任取、且，则，， 则 ，即， 因此，函数在上单调递减. （3）由（2）可知，函数在上为单调递减函数， 令，可得，所以， 因为， 令， 由 得，即，解得， 可得， 因为，， 所以不等式等价于， 因为函数在上单调递减，则， 对于不等式，即显然成立， 对于不等式，即，解得， 因此，原不等式的解集为. 模块二 函数的最值 1．函数的最大（小）值 (1)函数的最大（小）值： 名称 定义 几何意义 函数的最大值 一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足： (1)∀x∈1，都有f(x)≤M； (2)∃x0∈1，使得f(x0)=M. 那么，我们称M是函数y=f(x)的最大值. 函数的最大值对应图象最高点的纵坐标. 函数的最小值 一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数m满足： (1)∀x∈1，都有f(x)≥m； (2)∃x0∈1，使得f(x0)=m. 那么，我们称m是函数y=f(x)的最小值. 函数的最小值对应图象最低点的纵坐标. (2)利用函数单调性求最值的常用结论： ①如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递增，在区间[b,c]上单调递减，那么函数y=f(x),x∈[a,c]在x=b处有最大值f(b)，如图(1)所示； ②如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递减，在区间[b,c]上单调递增，那么函数y=f(x), x∈[a,c]在x=b处有最小值f(b)，如图(2)所示. 2．求函数最值的三种基本方法： (1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值. (2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值. (3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值. 【题型5 求函数的最值或值域】 【例5】（24-25高一上·北京·期末）若，则（    ） A．最大值为6 B．最小值为 C．最大值为 D．最小值为2 【答案】C 【解题思路】利用函数的单调性求解. 【解答过程】任取， 则 ， 因为，所以，，故， 所以即， 所以在单调递增；同理可证在单调递减， 所以. 故选：C. 【变式5.1】（24-25高一上·全国·课后作业）已知函数满足，若在区间内的最大值为5，则最小值为（    ） A．0 B．1 C．3 D．6 【答案】A 【解题思路】先求得，然后利用函数的单调性、最值来列方程，求得，进而求得最小值. 【解答过程】令，则，则， 故．则在区间内单调递增， 则，解得，则， 则． 故选：A. 【变式5.2】（24-25高一上·安徽铜陵·阶段练习）已知函数， (1)用定义法判断在区间上的单调性 (2)求出该函数在区间上的最大值和最小值. 【答案】(1)证明过程见解析； (2)最小值为，最大值为. 【解题思路】（1）利用定义法，设，再化简求得即可判断； （2）由的单调性即可判断最值. 【解答过程】（1），且， 则 因，则， 则，即， 则在区间上单调递增. （2）由（1）可知在区间上单调递增， 则的最小值为，最大值为. 【变式5.3】（24-25高一上·贵州贵阳·期中）已知函数，点是图象上的两点． (1)求的值： (2)用定义判断函数在上的单调性，并求该函数的最大值和最小值. (3)若函数，求函数的值域． 【答案】(1) (2)函数在上单调递减，， (3) 【解题思路】（1）根据题意将两点代入函数解析式列出方程组即可求解； （2）根据函数单调性的定义判断即可，进而结合单调性求解最值； （3）由题意可得，令，进而结合对勾函数的性质求解即可. 【解答过程】（1）由题意，得，解得. （2）由（1）知，， 任取，且， 则， 因为，所以，， 则，即， 所以函数在上单调递减， 则，. （3）由（1）知，， 则，， 令，则， 因为函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，且时，， 所以函数的值域为． 【题型6 根据函数的最值求参数】 【例6】（24-25高一上·全国·课后作业）若函数在区间内的最大值为3，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．3或5 【答案】A 【解题思路】先分离变量，再由复合函数的单调性知，分类研究即可. 【解答过程】，当时，，不符合题意； 当，即时，在内单调递减，，符合题意； 当，即时，在内单调递增，， 解得，与矛盾，舍去． 综上所述，． 故选：. 【变式6.1】（24-25高一上·河南郑州·期中）若函数在上的最大值与最小值的差为3，则实数a的值是（    ） A．1 B． C．1或 D．0 【答案】C 【解题思路】本题考查二次函数在给定区间最值问题，将系数与0比较分类讨论函数在区间的单调性即可求解. 【解答过程】当时，，为常值函数，显然不合题意，舍去； 当时，为开口向上，对称轴为y轴的二次函数， 所以它在区间严格增，所以，所以; 当时，为开口向下，对称轴为y轴的二次函数， 所以它在区间严格减，所以，所以; 故选：C. 【变式6.2】（24-25高一上·湖北孝感·开学考试）（1）求二次函数在上的最大值和最小值，并求对应的的值； （2）已知函数在区间上的最大值为4，求实数的值. 【答案】（1）（2）或. 【解题思路】（1）化成顶点式，得到对称轴，根据二次函数性质即可得到最值； （2）先求出对称轴，再分和讨论即可. 【解答过程】（1）把二次函数解析式配成顶点式, 得： ， 因为，所以抛物线开口方向向上，对称轴是， 所以顶点的纵坐标即为最小值是， 而当时，函数值最大， 所以最大值是. 综上当，；当，. （2） 当时，不符合最大值为4，不合题意； 其对称轴为， ①当时，其图象开口向上，此时离对称轴更远， 当时有最大值，最大值为，，解得； ②当，其图象开口向下， 则当时函数有最大值，最大值为， ，解得. 综上所述，的值为或. 【变式6.3】（24-25高一上·内蒙古·期中）已知函数. (1)若恒成立，求的最大值； (2)若在上单调，求的取值范围； (3)求在上的最小值为，求. 【答案】(1) (2) (3)或5 【解题思路】（1）由一元二次不等式恒成立，结合图象推得，解之即得； （2）先求函数的单调区间，依题使为其单调区间的子集，解不等式即得； （3）由函数的单调性，根据给定区间与其对称轴的关系，分类考虑分别求解即得. 【解答过程】（1）由题意得恒成立，则， 解得， 所以a的最大值为. （2）由题意得图象的对称轴为直线， 所以在上单调递减，在上单调递增. 因为在上单调，所以或， 解得或，即a的取值范围为. （3）当，即时，在上单调递减，， 解得，舍去； 当，即时，在上单调递增，， 解得，符合题意； 当，即时，在上单调递减，在上单调递增， ，解得或0（，舍去）. 故或5. 【题型7 根据函数图象判断单调性、最值】 【例7】（25-26高一上·全国·课后作业）函数的图象如图所示，则该函数的定义域和单调递增区间分别是（    ）    A．定义域为；单调递增区间为 B．定义域为；单调递增区间为， C．定义域为；单调递增区间为 D．定义域为；单调递增区间为 【答案】D 【解题思路】根据函数定义域和单调区间的定义，即可由图象判断. 【解答过程】由图象可知定义域为，函数的单调递增区间有2个，即，. 故选：D. 【变式7.1】（2025高三下·全国·专题练习）函数的图象如图所示，其单调递增区间是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】直接根据题干图象求出单调递增区间即可. 【解答过程】由题图可知，函数的单调递增区间为. 故选：C. 【变式7.2】（24-25高一上·河南·期中）已知函数的图象由如图所示的两条曲线组成，则（    ） A． B．是单调增函数 C．的定义域是 D．的值域是 【答案】D 【解题思路】根据函数的图象，结合函数求值、函数单调性、定义域与值域，可得答案. 【解答过程】对于选项A，由图象可得，所以，A错误； 对于选项B，，，，故不是单调增函数，B错误； 对于选项C，由图象可得的定义域为，C错误； 对于选项D，由图象可得的值域为，D正确． 故选：D． 【变式7.3】（24-25高一上·安徽马鞍山·阶段练习）如图是函数的图象，则下列说法正确的是（    ） A．在和上单调递减 B．在区间上的最大值为3，最小值为-2 C．在上有最大值2，有最小值-1 D．当直线与函数图象有交点时 【答案】A 【解题思路】根据函数图象，结合函数的基本性质，逐项判断，即可得出结果. 【解答过程】A选项，由函数图象可得，在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，故A正确； B选项，由图象可得，函数在区间上的最大值为，无最小值，故B错； C选项，由图象可得，函数在上有最大值，有最小值，故C错； D选项，由图象可得，为使直线与函数的图象有交点，只需，故D错. 故选：A. 【题型8 复合函数的单调性和最值】 【例8】（24-25高一上·上海·阶段练习）设函数. (1)求的单调区间； (2)求在区间的最大值和最小值. 【答案】(1)递增区间是，递减区间是； (2)最大值和最小值分别为 【解题思路】（1）利用复合函数单调性，结合二次函数单调性求出单调区间. （2）由（1）的结论，利用单调性求出最大值. 【解答过程】（1）函数中，，即，解得， 函数在上单调递增，在上单调递减， 而函数在上单调递增， 所以的单调递增区间是，递减区间是. （2）由（1）知，函数在上单调递增，在上单调递减， 而，则， 所以在区间的最大值和最小值分别为. 【变式8.1】（24-25高一上·广东佛山·阶段练习）讨论函数在上的单调性，并求函数的最大值和最小值． 【答案】在上单调递减，最大值为，最小值为 【解题思路】利用单调性的定义推得的单调性，从而求得最值，由此得解. 【解答过程】因为，令，则， 对于，在上单调递减，证明如下： 在上任取，，且. 则 ， 因为，则， 所以，，. 故，即， 所以在上单调递减， 而在上单调递增， 所以在上单调递减， 所以在的最大值为， 最小值为. 【变式8.2】（24-25高一上·湖北黄石·阶段练习）已知函数. （1）求函数的单调区间和值域； （2）设，求函数的最大值的表达式. 【答案】（1）单调增区间为，单调减区间为；值域为；（2）. 【解题思路】（1）先求得函数的定义域是，然后转化为，结合，利用复合函数的单调性求解. （2）将函数转化为，，再风，，，，五种情况讨论求解. 【解答过程】（1）要使函数有意义，需满足， 解得 所以函数的定义域是. ∵，又， 所以的单调增区间为，单调减区间为 又， ∴， ∵ ∴， 即函数的值域为. （2）令， 则， 原函数转化为：， 令， 时函数的图像的对称轴方程为. ①当时，，函数在区间上递增， ∴. ②当时，， ③当时，， 若，即时，函数在区间上递减， ∴， 若，即时，， 若，即时，函数在区间上递增， ∴. 综上，. 【变式8.3】（24-25高一上·浙江杭州·期中）已知函数 (1)当时，求的单调递增区间（只需判定单调区间，不需要证明）； (2)设在区间上最大值为，求的解析式. 【答案】(1)， (2) 【解题思路】（1）当时，将函数写为分段函数的形式，结合的单调性，写出函数的单调递增区间. （2）对分成三种情况，结合函数的解析式，讨论函数的最大值，由此求得的解析式. 【解答过程】（1）当时，， 当时，易得单调递增； 当时，， 因为对勾函数在上单调递增，在上单调递减， 所以在上单调递增， 又当时，，所以在上单调递增， 综上，的单调递增区间为，. （2）因为， 当时，，则， 根据对勾函数的单调性可知在上单调递增，在上单调递减， 所以； 当时，，则，显然在上单调递增， 所以； 当时，， 当时，单调递增，故， 当时，， 若时，则；若时，则； 所以当时，； 若时，，又，， 当，即时，， 当，即时，； 综上，. 一、单选题 1．（25-26高一上·黑龙江牡丹江·阶段练习）函数的单调递减区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用二次函数的性质即可得出递减区间. 【解答过程】由二次函数图象的对称轴方程为，且开口向下， 可知该函数的单调递减区间是. 故选：B． 2．（25-26高一上·山东德州·开学考试）若函数的图象如图所示，则其单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用函数图象，结合函数单调性的定义，即可求解. 【解答过程】由函数的图象可知，单调递增区间是， 又由图知，而，所以A不正确， 故选：D. 3．（25-26高一上·浙江温州·阶段练习）函数在区间上的最大值､最小值分别为（    ） A．最大值为，最小值为 B．最大值为，最小值为 C．最大值为1，最小值为 D．最大值为，最小值为 【答案】B 【解题思路】将函数解析式变形为，可得其在上的单调性，利用单调性求出最值. 【解答过程】因为， 由反比例函数性质可得在上单调递增， 当时，，当时，. 故选：B. 4．（25-26高一上·河南南阳·阶段练习）已知在上是增函数，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据一次函数的性质，即可由分段函数的单调性求解. 【解答过程】由于在上是增函数， 所以，解得：， 故选：C. 5．（25-26高一上·全国·课前预习）已知函数的最大值为，最小值为，则（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】A 【解题思路】求解函数的定义域，并对进行平方，进而判断其单调性，得到最值． 【解答过程】由题意得函数的定义域满足，且， 解得，则函数的定义域为． 由得， 则在区间内的最大值为，最小值为． 易知函数在区间内单调递增，在区间内单调递减， 所以函数在区间内单调递增，在区间内单调递减， 则函数在处取得最大值，即， 又， 所以函数的最小值为6，即． 所以． 故选：A. 6．（24-25高一上·湖北·期末）若函数在上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】令，则，，利用单调递增则单调性相同的性质，得出在上单调递增，且，分情况讨论得出的取值范围. 【解答过程】令，则，. 已知在上单调递增，则在上单调递增，且. 若，则，此时在单调递增， 且，符合题意. 若，则须满足： 即. 综上，. 故选：C. 7．（24-25高一上·江苏宿迁·期中）已知定义在上的函数满足，且在上单调递减，则，的大小顺序是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据给定条件可得，再利用单调性比较大小即得. 【解答过程】依题意，，由在上单调递减，，得， 所以. 故选：C. 8．（25-26高一上·广东东莞·阶段练习）已知是定义在上的减函数，若，则的取值范围为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据函数的单调性及定义域得到不等式组，解得即可. 【解答过程】因为是定义在上的减函数， 则不等式等价于， 解得或， 所以的取值范围为. 故选：D. 二、多选题 9．（24-25高一上·黑龙江鸡西·期中）下列关于函数的结论正确的是（    ） A．在和上单调递增 B．在和上单调递减 C．在上为增函数 D．在上为增函数 【答案】ABC 【解题思路】直接由函数的解析式判断其单调性，从而得解. 【解答过程】对于A，函数，定义域为， 由函数和在和上都单调递增， 所以在和上单调递增，A正确； 对于B，函数， 其图象可由反比例函数的图象向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到， 由于反比例函数在和上单调递减， 所以在和上单调递减，B正确； 对于C，当时，函数， 所以在上为增函数，C正确； 对于D，函数在上单调递减，上单调递增，D错误. 故选：ABC. 10．（24-25高一上·浙江温州·期中）下列为真命题的是（   ） A．函数的最小值为2 B．函数的最小值为3 C．函数的最大值为1 D．函数的最小值为2 【答案】BC 【解题思路】对于A：举反例说明即可；对于B：利用基本不等式运算求解即可；对于C：根据函数单调性分析判断；对于D：换元令，结合对勾函数单调性分析判断. 【解答过程】对于选项A：令，则，可知函数的最小值不为2，故A错误； 对于选项B：因为，则， 可得， 当且仅当，即时，等号成立， 所以函数的最小值为3，故B正确； 对于选项C：因为在内单调递增， 可知函数在内单调递增，且当时，， 所以函数的最大值为1，故C正确； 对于选项D：令，可得， 可知在内单调递增，且当时，， 所以函数的最小值为，故D错误； 故选：BC. 11．（25-26高三上·重庆渝北·阶段练习）已知定义在R上的函数满足对任意的x，y，均有，且当时，，则下列结论正确的是（    ） A． B．若，则 C．是R上的减函数 D．若，则不等式的解集是 【答案】ABD 【解题思路】通过对合理赋值求解. 【解答过程】对于A：令，则，解得，A正确； 对于B：令，则，解得， 再令，则，解得，B正确； 对于C：，且，则，令， 则，即， 因为，所以，所以，即， 所以在上是增函数，C错误； 对于D：令，则，解得， 所以， 因为在上是增函数，且， 所以，即，解得， 即不等式的解集是，D正确； 故选：ABD. 三、填空题 12．（25-26高一上·全国·课前预习）若函数在区间上不单调，则的取值范围是 ． 【答案】 【解题思路】将函数化成分段函数的形式，判断单调性即可得解. 【解答过程】因为函数， 所以该函数在上单调递减，在上单调递增， 又在区间上不单调，所以， 故的取值范围是． 故答案为：. 13．（25-26高一上·陕西咸阳·阶段练习）函数在区间上的最大值与最小值的和为 . 【答案】 【解题思路】由函数单调性确定最大值和最小值，即可求解. 【解答过程】由函数解析式可知在上单调递减， 所以最大值为，最小值为， 所以最大值与最小值的和为， 故答案为：. 14．（25-26高一上·天津西青·阶段练习）已知函数的定义域为，且在定义域内单调递增，则使得不等式成立的的取值集合为 ． 【答案】 【解题思路】根据函数的定义域及函数的单调性化简不等式，解不等式可得结论. 【解答过程】因为函数在单调递增，， 所以，解得， 所以使得不等式成立的的取值集合为, 故答案为：. 四、解答题 15．（25-26高一上·重庆·阶段练习）函数满足对于都有，且. (1)求的解析式； (2)证明在上为增函数. 【答案】(1) (2)证明见解析 【解题思路】（1）由条件列出关于的方程，解出即可得到函数的解析式； （2）利用单调性的定义证明函数的单调性. 【解答过程】（1）∵函数满足对于都有， ∴，可得，∴， ∴，又， ∴，∴， ∴. （2），设， ∴ ， ∵， ∴， ∴，即， ∴在上为增函数. 16．（24-25高一上·广东汕头·期中）已知函数. (1)函数单调性的定义证明：函数在上单调递增； (2)求函数在区间上的最大值和最小值. 【答案】(1)证明见解析 (2)最大值为1，最小值为. 【解题思路】（1）任取，且，然后化简变形，判断符号，从而可得结论； （2）由（1）知在区间上单调递增，从而利用其单调性可求出其最值. 【解答过程】（1）证明：任取，且， 则 因为，，所以，，， 所以，即， 所以在上单调递增. （2）由（1）知在区间上单调递增， 所以，， 所以函数在区间上的最大值为1，最小值为. 17．（24-25高一上·福建福州·期中）给定，，且， (1)求的定义域以及的解析式 (2)判断在区间上的单调性，在区间上的单调性，并利用单调性的定义证明 【答案】(1)答案见解析 (2)在区间上单调递减，在区间上单调递增；证明见解析 【解题思路】（1）利用二次根式的性质和分式的性质求解定义域，结合给定条件利用待定系数法求解解析式即可. （2）先判断函数的单调性，再利用定义法证明即可. 【解答过程】（1）令，解得， 令，解得，则的定义域为, 因为，所以，， 因为，所以， 解得，得到，令，解得， 则的定义域为. （2）判断：在区间上单调递减， 我们任取，且使， 则， ， 因为，所以， 因为，所以，得到， 即，故在区间上单调递减， 判断：在区间上单调递增， 我们任取，且使， 则， ， ，因为，所以， 因为，所以，， 得到，即， 故在区间上单调递增. 18．（25-26高一上·浙江温州·阶段练习）已知函数的定义域为，，当时，. (1)求的值； (2)判断函数在上的单调性，并给出证明； (3)解不等式. 【答案】(1) (2)单调递减，证明见解析 (3) 【解题思路】（1）令，代入题意中的等式即可求解； （2）由题意可得，令，利用定义法即可证明函数的单调性； （3）将原不等式转化为，由（1）得，结合（2）建立不等式组，解之即可求解. 【解答过程】（1）由题意知，令， 则，得； （2）函数在上单调递减； 当时，有，且当时， ，且，则，. 由，得， 有， 即，所以函数在上单调递减； （3）由，得， 由，得， 即，由（1）知， 所以， 由（2）知函数在上为单调减函数， 所以，解得， 即原不等式的解集为. 19．（24-25高一上·上海虹口·期末）对于函数，若存在区间，同时满足： ①函数在上是单调函数； ②函数的定义域为时，其值域也为.则称为函数的“优美区间”. (1)判断是否为函数的“优美区间”？并说明理由； (2)若函数存在“优美区间”，求的最小值； (3)若函数存在“优美区间”，当变化时，试求的最大值. 【答案】(1)见解析 (2)4 (3) 【解题思路】（1）通过在区间上单调递增，利用新定义判断即可； （2）函数在为增函数，又为的“优美区间”，则，即是的两个不等的正整数根，结合根与系数的关系即可求解； （3）设是已知函数定义域的子集，通过是已知函数的“优美区间”，则，说明是方程的两个同号且不等的实数根，结合根与系数的关系即可求解的最大值. 【解答过程】（1）因为函数在为增函数，所以在也为增函数， 又因为，所以的值域为， 所以为函数的“优美区间”. （2）因为在上为单调增函数，又为的“优美区间”， 所以，所以是方程的两个不等正整数根，即是的两个不等的正整数根， 所以，解得或， 所以的最小值为4. （3）定义域为，假设或， 在上为增函数，又是函数的“优美区间”，所以， 所以是方程的两个不等的实数根，即是的两个同号且不等实数根， 所以或，又， 所以， 当时，取得最大值为. 第 1 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第10讲 函数的单调性和最值 【人教A版】 模块一 函数的单调性 1．函数的单调性 (1)单调递增、单调递减： 名称 定义 图形表示 几何意义 单调递增 一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I：如果∀x1,x2∈D，当x1 < x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递增. 函数f(x)在区间D上的图象从左到右是上升的. 单调递减 一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I：如果∀x1,x2∈D，当x1 < x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递减. 函数f(x)在区间D上的图象从左到右是下降的. (2)函数的单调性及单调区间： ①当函数f(x)在它的定义域上单调递增(减)时，我们就称它是增(减)函数. ②如果函数y=f(x)在区间D上单调递增或单调递减，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单 调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间. (3)常见函数的单调性： 函数 单调性 一次函数y=ax+b (a≠0) a>0时，在R上单调递增； a<0时，在R上单调递减. 反比例函数 a>0时，单调递减区间是(-∞,0)和(0,+∞)； a<0时，单调递增区间是(-∞,0)和(0,+∞). 二次函数y=a(x-m)²+n (a≠0) a>0时，单调递减区间是(-∞,m]，单调递增区间是[m,+∞)； a<0时，单调递减区间是[m,+∞)，单调递增区间是(-∞,m]. (4)单调函数的运算性质： 若函数f(x)，g(x)在区间D上具有单调性，则在区间D上具有以下性质： ①f(x)与f(x)+C(C为常数)具有相同的单调性. ②若a为常数，则当a>0时，f(x)与a f(x)具有相同的单调性；当a<0时，f(x)与a f(x)具有相反的 单调性. ③若f(x)恒为正值或恒为负值，a为常数，则当a>0时，f(x)与具有相反的单调性；当a<0时， f(x)与具有相同的单调性. ④若f(x)≥0，则f(x)与具有相同的单调性. ⑤在f(x)，g(x)的公共单调区间上，有如下结论： f(x) g(x) f(x)+g(x) f(x)-g(x) 增 增 增 不能确定单调性 增 减 不能确定单调性 增 减 减 减 不能确定单调性 减 增 不能确定单调性 减 ⑥当f(x)，g(x)在区间D上都是单调递增(减)的，若两者都恒大于零，则f(x)· g(x)在区间D上也是单 调递增(减)的；若两者都恒小于零，则f(x)· g(x)在区间D上单调递减(增). (5)复合函数的单调性判定： 对于复合函数f(g(x))，设t=g(x)在(a,b)上单调，且y=f(t)在(g(a)，g(b))或(g(b)，g(a))上也单调. t=g(x) y=f(t) y=f(g(x)) 增 增 增 增 减 减 减 增 减 减 减 增 2．函数单调性的判断 (1)函数单调性的判断方法： ①定义法； ②图象法； ③利用已知函数的单调性. (2)复合函数y=f(g(x))的单调性应根据外层函数y=f(t)和内层函数t=g(x)的单调性判断，遵循“同增异减”的原则. 【题型1 函数单调性的判断及单调区间的求解】 【例1】（24-25高一上·广东广州·期中）函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 【变式1.1】（24-25高一上·全国·课后作业）设，，则（    ） A．在区间上单调递增 B．在区间上单调递减 C．在区间上单调递增 D．在区间上单调递减 【变式1.2】（25-26高一上·全国·单元测试）已知函数，且，设． (1)求函数的解析式； (2)用定义法判断的单调性． 【变式1.3】（24-25高一上·重庆·期中）已知函数 (1)求实数a值； (2)判断函数在上的单调性，并用单调性的定义证明； (3)求函数的单调区间． 【题型2 利用函数的单调性求参数】 【例2】（24-25高一上·广东广州·阶段练习）已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2.1】（24-25高一上·安徽·期中）函数是增函数，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式2.2】（2025高一·全国·课后作业）已知函数． (1)若函数的单减区间是，求实数a的值； (2)若函数在区间上是单减函数，求实数a的取值范围． 【变式2.3】（24-25高一上·上海·课堂例题）（1）函数在区间上是严格增函数，求实数的范围； （2）已知函数在区间上是严格增函数，求实数的范围． 【题型3 利用函数的单调性比较大小】 【例3】（24-25高一上·全国·课后作业）若函数在上是增函数，则下列关系式中成立的是（   ） A． B． C． D． 【变式3.1】（24-25高一上·河北邢台·阶段练习）已知，且在上单调递减，则，，的大小顺序是（    ） A． B． C． D． 【变式3.2】（24-25高一上·江苏苏州·期中）设，则（   ） A． B． C． D． 【变式3.3】（2025高一·全国·专题练习）已知函数，若，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【题型4 利用函数的单调性解不等式】 【例4】（24-25高一上·山西·期中）已知定义域为的增函数满足，且，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【变式4.1】（24-25高一上·江西鹰潭·期中）已知定义在上的函数满足对，都有，若，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【变式4.2】（24-25高一上·广东广州·期中）已知函数是定义在区间上的增函数，满足． (1)求和的值 (2)解关于的不等式． 【变式4.3】（24-25高一上·重庆·期末）已知函数满足对一切实数都有成立，且，当时有． (1)求，； (2)判断并证明在上的单调性； (3)解不等式． 模块二 函数的最值 1．函数的最大（小）值 (1)函数的最大（小）值： 名称 定义 几何意义 函数的最大值 一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足： (1)∀x∈1，都有f(x)≤M； (2)∃x0∈1，使得f(x0)=M. 那么，我们称M是函数y=f(x)的最大值. 函数的最大值对应图象最高点的纵坐标. 函数的最小值 一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数m满足： (1)∀x∈1，都有f(x)≥m； (2)∃x0∈1，使得f(x0)=m. 那么，我们称m是函数y=f(x)的最小值. 函数的最小值对应图象最低点的纵坐标. (2)利用函数单调性求最值的常用结论： ①如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递增，在区间[b,c]上单调递减，那么函数y=f(x),x∈[a,c]在x=b处有最大值f(b)，如图(1)所示； ②如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递减，在区间[b,c]上单调递增，那么函数y=f(x), x∈[a,c]在x=b处有最小值f(b)，如图(2)所示. 2．求函数最值的三种基本方法： (1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值. (2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值. (3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值. 【题型5 求函数的最值或值域】 【例5】（24-25高一上·北京·期末）若，则（    ） A．最大值为6 B．最小值为 C．最大值为 D．最小值为2 【变式5.1】（24-25高一上·全国·课后作业）已知函数满足，若在区间内的最大值为5，则最小值为（    ） A．0 B．1 C．3 D．6 【变式5.2】（24-25高一上·安徽铜陵·阶段练习）已知函数， (1)用定义法判断在区间上的单调性 (2)求出该函数在区间上的最大值和最小值. 【变式5.3】（24-25高一上·贵州贵阳·期中）已知函数，点是图象上的两点． (1)求的值： (2)用定义判断函数在上的单调性，并求该函数的最大值和最小值. (3)若函数，求函数的值域． 【题型6 根据函数的最值求参数】 【例6】（24-25高一上·全国·课后作业）若函数在区间内的最大值为3，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．3或5 【变式6.1】（24-25高一上·河南郑州·期中）若函数在上的最大值与最小值的差为3，则实数a的值是（    ） A．1 B． C．1或 D．0 【变式6.2】（24-25高一上·湖北孝感·开学考试）（1）求二次函数在上的最大值和最小值，并求对应的的值； （2）已知函数在区间上的最大值为4，求实数的值. 【变式6.3】（24-25高一上·内蒙古·期中）已知函数. (1)若恒成立，求的最大值； (2)若在上单调，求的取值范围； (3)求在上的最小值为，求. 【题型7 根据函数图象判断单调性、最值】 【例7】（25-26高一上·全国·课后作业）函数的图象如图所示，则该函数的定义域和单调递增区间分别是（    ）    A．定义域为；单调递增区间为 B．定义域为；单调递增区间为， C．定义域为；单调递增区间为 D．定义域为；单调递增区间为 【变式7.1】（2025高三下·全国·专题练习）函数的图象如图所示，其单调递增区间是（    ）    A． B． C． D． 【变式7.2】（24-25高一上·河南·期中）已知函数的图象由如图所示的两条曲线组成，则（    ） A． B．是单调增函数 C．的定义域是 D．的值域是 【变式7.3】（24-25高一上·安徽马鞍山·阶段练习）如图是函数的图象，则下列说法正确的是（    ） A．在和上单调递减 B．在区间上的最大值为3，最小值为-2 C．在上有最大值2，有最小值-1 D．当直线与函数图象有交点时 【题型8 复合函数的单调性和最值】 【例8】（24-25高一上·上海·阶段练习）设函数. (1)求的单调区间； (2)求在区间的最大值和最小值. 【变式8.1】（24-25高一上·广东佛山·阶段练习）讨论函数在上的单调性，并求函数的最大值和最小值． 【变式8.2】（24-25高一上·湖北黄石·阶段练习）已知函数. （1）求函数的单调区间和值域； （2）设，求函数的最大值的表达式. 【变式8.3】（24-25高一上·浙江杭州·期中）已知函数 (1)当时，求的单调递增区间（只需判定单调区间，不需要证明）； (2)设在区间上最大值为，求的解析式. 一、单选题 1．（25-26高一上·黑龙江牡丹江·阶段练习）函数的单调递减区间是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·山东德州·开学考试）若函数的图象如图所示，则其单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·浙江温州·阶段练习）函数在区间上的最大值､最小值分别为（    ） A．最大值为，最小值为 B．最大值为，最小值为 C．最大值为1，最小值为 D．最大值为，最小值为 4．（25-26高一上·河南南阳·阶段练习）已知在上是增函数，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高一上·全国·课前预习）已知函数的最大值为，最小值为，则（    ） A． B． C．2 D．3 6．（24-25高一上·湖北·期末）若函数在上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高一上·江苏宿迁·期中）已知定义在上的函数满足，且在上单调递减，则，的大小顺序是（   ） A． B． C． D． 8．（25-26高一上·广东东莞·阶段练习）已知是定义在上的减函数，若，则的取值范围为（  ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（24-25高一上·黑龙江鸡西·期中）下列关于函数的结论正确的是（    ） A．在和上单调递增 B．在和上单调递减 C．在上为增函数 D．在上为增函数 10．（24-25高一上·浙江温州·期中）下列为真命题的是（   ） A．函数的最小值为2 B．函数的最小值为3 C．函数的最大值为1 D．函数的最小值为2 11．（25-26高三上·重庆渝北·阶段练习）已知定义在R上的函数满足对任意的x，y，均有，且当时，，则下列结论正确的是（    ） A． B．若，则 C．是R上的减函数 D．若，则不等式的解集是 三、填空题 12．（25-26高一上·全国·课前预习）若函数在区间上不单调，则的取值范围是 ． 13．（25-26高一上·陕西咸阳·阶段练习）函数在区间上的最大值与最小值的和为 . 14．（25-26高一上·天津西青·阶段练习）已知函数的定义域为，且在定义域内单调递增，则使得不等式成立的的取值集合为 ． 四、解答题 15．（25-26高一上·重庆·阶段练习）函数满足对于都有，且. (1)求的解析式； (2)证明在上为增函数. 16．（24-25高一上·广东汕头·期中）已知函数. (1)函数单调性的定义证明：函数在上单调递增； (2)求函数在区间上的最大值和最小值. 17．（24-25高一上·福建福州·期中）给定，，且， (1)求的定义域以及的解析式 (2)判断在区间上的单调性，在区间上的单调性，并利用单调性的定义证明 18．（25-26高一上·浙江温州·阶段练习）已知函数的定义域为，，当时，. (1)求的值； (2)判断函数在上的单调性，并给出证明； (3)解不等式. 19．（24-25高一上·上海虹口·期末）对于函数，若存在区间，同时满足： ①函数在上是单调函数； ②函数的定义域为时，其值域也为.则称为函数的“优美区间”. (1)判断是否为函数的“优美区间”？并说明理由； (2)若函数存在“优美区间”，求的最小值； (3)若函数存在“优美区间”，当变化时，试求的最大值. 第 1 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 $