第13章 三角形中的边角关系、命题与证明（复习讲义）数学沪科版2024八年级上册

第13章 三角形中的边角关系、命题与证明（复习讲义） 1.掌握三角形的基本要素与分类：能准确描述三角形的边、角、顶点等基本元素，能按边（不等边/等腰/等边）和角（锐角/直角/钝角）对三角形分类 2.理解三角形边角关系：掌握三角形三边关系定理（两边之和＞第三边），熟练运用三角形内角和定理（180°）， 掌握外角性质及其证明方法 3.掌握命题与证明的基本方法：能区分命题的题设与结论，学会用直接证明法和反证法进行几何证明. ●一、三角形中边的关系 1、三角形的定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾依次相接所组成的封闭图形叫作三角形. 2、三角形的“三元素” (1)顶点：三角形相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点. (2)边：组成三角形的线段叫做三角形的边. (3)内角：在三角形中，相邻两边组成的角，叫做三角形的内角，简称三角形的角. 3、三角形的表示方法：用符号“△”表示三角形. 如图，顶点是A，B，C 的三角形，记作△ ABC，读作“三角形ABC”. 4、三角形按边分类： ① ②有两条边相等的三角形叫作等腰三角形； ③三条边都相等的三角形叫作等边三角形． ④我们可以把三角形按照边长关系进行分类： 5、 三角形的三边关系 文字语言 数学语言 理论 依据 图形 三角形两边的和大于第三边 a+b﹥c，b+c﹥a，a+c﹥b 两点 之间， 线段 最短. 三角形两边的差小于第三边 a－b﹤c，b－c﹤a， a－c﹤b(a ﹥b﹥c) ●二、三角形中角的关系 1、三角形按角分类： ①三个角都是锐角的三角形叫作锐角三角形； ②有一个角是直角的三角形叫作直角三角形；直角三角形 ABC 可以写成 Rt△ABC； ③有一个角是钝角的三角形叫作钝角三角形. ④我们可以把三角形按照角关系进行分类： 2、： （1）三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180° . 几何语言：在△ ABC 中，∠A+ ∠B+ ∠C=180° . （2）三角形内角和定理的应用：主要用在求三角形中角的度数． ①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角； ●三、三角形中几条重要线段 1、三角形的高： （1）三角形高的定义：从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高． 性质：如右图： ∵ AD是△ABC的边BC上的高(已知)， ∴ AD⊥BC于点D(或∠ADB=∠ADC=90°) 判定： ∵ AD⊥BC于点D(或∠ADB=∠ADC=90°)(已知)， ∴线段AD 是△ABC 的边BC上的高(三角形的高的定义) （2）三角形的高的画法 一靠：使三角尺的一条直角边靠在作高的边上； 二移：移动三角尺使另一条直角边通过这条边所对的顶点； 三画：画垂线段. （3）三角形三条高的位置 高的位置 交点位置 交点名称 锐角三角形 三条高都在三角形内部 三条高交于一点，都在三角形内部. 垂心 直角三角形 其中两条高恰好是直角边 三条高交于一点，再三角形的直角顶点 钝角三角形 其中两条高在三角形外部 三条高没有交点，但三条高所在的直线交于一点，在三角形外. 2、三角形的角平分线 （1）三角形的角平分线的定义： 三角形一个内角的平分线与它所对的边相交，顶点和交点之间的线段叫做这个三角形的角平分线. 【注意】●角的平分线是一条射线，而三角形的角平分线是一条线段. ●三角形的角平分线是其内角的平分线的一部分，故角的平分线的性质三角形的角平分线都具有. （2）三角形的角平分线的位置： 三角形的三条角平分线都在三角形的内部，并且三条角平分线交于三角形内一点. 3、三角形的中线 （1）三角形的中线的定义：连接三角形一个顶点和它所对的边的中点，所得的线段叫做该三角形这条边上的中线. 几何语言：如图， ①AD是△ ABC 中BC 边上的中线； ②D是BC边的中点； ③BD=DC，BD=BC，DC=BC. ●四、命题与证明 1、定义：能明确界定某个对象含义的语句叫作定义． 2、命题：可以判断正确或不正确的陈述语句叫作命题. 经判断是正确的，这样的命题称之为真命题. 经判断是错误的，这样的命题称之为假命题. 注意：只要对一件事情作出了判断，不管正确与否，都是命题. 命题形式：如果……那么…… “如果 p，那么 q”，或“若 p，则 q”. 3、逆命题： 将命题“如果 p，那么 q”中的结论和条件互换，便得到一个新命题“如果 q，那么 p”，我们把这样的两个命题称为互逆命题，其中一个叫作原命题，另一个叫作原命题的逆命题. 4、反例： （1）定义：符合命题条件论的例子，我们称之为反例. （2）要判断一个命题是真命题需要推理论证；要判断一个命题是假命题只要举出一个反例即可. 5、证明与推理： （1）基本事实的概念：数学中有些命题的正确性是人们在长期实践中总结出来的，并把它们作为判断其他命题真假的原始依据，这样的真命题叫作基本事实. （2）定理的概念：有些命题是从基本事实或其他真命题出发，用推理方法判断为正确的，并被选作判断命题真假的依据.这样的真命题叫作定理. （3）证明的概念： 从已知条件出发，依据定义、基本事实、已证定理，并按照逻辑规则，推导出结论，这一方法称为演绎推理(或演绎法). 演绎推理的过程，就是演绎证明，简称证明. 6、三角形内角和定理的证明 多种方法证明三角形内角和等于 180° 的核心是：借助的平行线“移角”的功能，将三个角转化到一个平角上. 辅助线：为了证明的需要，在原来的图形上添画的线叫做辅助线.在平面几何里，辅助线通常画成虚线. 7、三角形内角和定理的推论1、2 （1）三角形内角和推论 1：直角三角形的两锐角互余. （2）三角形内角和推论 2：有两个角互余的三角形是直角三角形. （3）像这样，由基本事实、定理直接得出的真命题叫做推论. 8、三角形的外角 （1）三角形的外角的定义：三角形的外角是由三角形的一条边的延长线和另一条相邻的边组成的角. 如图所示，∠ACD就是△ABC的一个外角. ①一个三角形的每个顶点处有两个外角，这两个外角是对顶角； ②三角形的外角和与它相邻的内角互补. （2）外角的特征：①顶点是三角形的顶点； ②一条边是三角形内角的一边； ③另一条边是该内角另一边的反向延长线. （3） 推论3：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和. ∠B +∠C =∠CAD 推论4：三角形的外角大于与它不相邻的任何一个内角.∠CAD＞∠B， ∠CAD＞∠C 题型一 三角形有关的概念 【例1】（24-25八年级上·云南曲靖·期中）下列图形中，是三角形的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】图中以为边的三角形有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【变式1-2】（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，图中有 个三角形；其中以为边的三角形有 ；以为内角的三角形有 ；在中，的对角是 ，的对边是 ． 题型二 三角形的分类 【例2】（25-26八年级上·河北廊坊·阶段练习）下列说法中正确的有（   ） ①三角形按角分类可分为锐角三角形，直角三角形和钝角三角形； ②三角形按边分类可分为不等边三角形，等腰三角形，等边三角形； ③等边三角形是等腰三角形； ④三角形的两边之差大于第三边． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【变式2-1】（25-26八年级上·全国·期中）如图，三角形有一部分被遮挡，我们可以判定此三角形的类型为（　　） A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．不能确定 【变式2-2】（25-26八年级上·河北邢台·阶段练习）如图是三角形的两种分类，下列判断正确的是（   ） A．①对，②不对 B．①不对，②对 C．①、②都不对 D．①、②都对 题型三 判断能否构成三角形 【例3】（25-26八年级上·浙江杭州·阶段练习）下列长度的三条线段不能组成三角形的是（    ）． A．l，2，3 B．2，2，3 C．2，3，4 D．3，4，5 【变式3-1】（25-26八年级上·山西大同·阶段练习）下列长度的三条线段，能组成三角形的是（   ） A．4，5，9 B．5，5， C．8，8， D．3，4，7 【变式3-2】（25-26八年级上·浙江杭州·阶段练习）下列每组数分别是三根木棒的长度，能用它们摆成三角形的是（　　） A．，， B．，， C．，， D．，， 题型四 三角形三边关系的应用 【例4】（25-26八年级上·山东淄博·阶段练习）已知三角形的三边长分别为、、，则的值可能是（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）将三根木棒首尾相连围成一个三角形，其中两根木棒的长分别为、，则该三角形的周长可能是（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（25-26八年级上·湖北武汉·阶段练习）三角形的三边长分别为，和，则的范围为 ． 【变式4-2】（25-26八年级上·江苏扬州·阶段练习）已知a，b，c是的三边． (1)若，，第三边c为奇数，判断的形状； (2)化简：． 题型五 三角形的内角和定理 【例5】如图，点在点的北偏西方向，点在点的北偏东方向，点在点的北偏东方向，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式5-1】（25-26七年级下·全国·单元测试）一个三角形，三个内角度数的比是，则这个三角形最大的内角是（   ）度． A． B． C． D．不能确定 【变式5-2】（25-26八年级上·辽宁抚顺·阶段练习）如图，是的高，是的角平分线，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】如图，，，，求 的度数． 题型六 三角形的高 【例6】如图，△ABC的边BC上的高是（　　） A．线段AF B．线段DB C．线段CF D．线段BE 【变式6-1】下列各图中，作△ABC边AC边上的高，正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式6-2】（2024春•沛县期中）如图所示，已知AD⊥BC，GC⊥BC，CF⊥AB，D、C、F是垂足，下列说法中错误的是（　　） A．△ABC中，CF是AB边上的高 B．△AGC中，CF是AG边上的高 C．△GBC中，GC是BC边上的高 D．△BFC中，CG是BF边上的高 题型七 三角形的角平分线 【例7】如图所示，∠1＝∠2，∠3＝∠4，下列结论中错误的是（　　） A．BD是△ABC的角平分线 B．CE是△BCD的角平分线 C．∠3∠ACB D．CE是△ABC的角平分线 【变式7-1】如图，AD，BE，CF依次是△ABC的高、中线和角平分线，下列表达式中错误的是（　　） A．AE＝CE B．∠ADC＝90° C．∠ACB＝2∠ACF D．∠CAD＝∠CBE 【变式7-2】如图所示，在△ABC中，AD是角平分线，DE∥AC交AB于E，EF∥AD交BC于F，试问：EF是△BDE的角平分线吗？说说你的理由． 题型八 三角形的中线 【例8】（2024秋•西乡塘区校级期中）如图，已知BD是△ABC的中线，AB﹣BC＝2，且△ABD的周长为11，则△BCD的周长是（　　） A．9 B．14 C．16 D．不能确定 【变式8-1】（2024秋•思明区校级月考）如图，在△ABC中，AB＝7，AC＝5，AD是△ABC的中线，则△ABD与△ADC的周长之差为（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式8-2】（2024•沭阳县校级模拟）已知：如图所示，在△ABC中，点D，E，F分别为BC，AD，CE的中点，且S△ABC＝4cm2，则阴影部分的面积为 　 　cm2． 题型九 与三角形的高、中线、角平分线的综合 【例9】（2024秋•武鸣区期中）如图，CD、CE、CF分别是△ABC的高、角平分线、中线，则下列各式中错误的是（　　） A．BA＝2BF B．∠ACE∠ACB C．AE＝BE D．CD⊥AB 【变式9-1】（2024秋•武清区校级月考）如图，在△ABC中，∠1＝∠2，G为AD的中点，延长BG交AC于点E，F为AB上的一点，CF⊥AD于点H．下列判断错误的有（　　） A．AG是△ABE的角平分线 B．CH为△ACD边AD上的高 C．BE是△ABD边AD上的中线 D．AH为△AFC的高线 【变式9-2】如图1，在△ABC中，AD是BC边上的中线，△ABD和△ADC的周长之差为2，且AB与AC的和为14． （1）求AB、AC的长； （2）若∠BAC＝90°，E是AD的中点，如图2，直接写出△CDE的面积． 【变式9-3】如图，和分别是的高和角平分线，是边的中线． (1)若的面积为6，则的面积为 ； (2)若，求和的度数． 题型十 命题的相关概念 【例10】（25-26八年级上·吉林长春·阶段练习）下列命题不是基本事实的是（    ） A．两点之间线段最短 B．经过两点，有且只有一条直线 C．两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补 D．同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【变式10-1】下列命题中，真命题是（    ） A．垂直于同一条直线的两条直线互相垂直 B．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行 C．同旁内角互补 D．连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短 【变式10-2】（25-26八年级上·河北石家庄·阶段练习）下列命题内错角相等，两直线平行；若，则；末位数字是的数，能被整除；对顶角相等．原命题和逆命题均是真命题的个数是（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【变式10-3】下列语句中，假命题有（   ） （1）过一点有且只有一条直线平行于已知直线；（2）不相等的两个角一定不是对顶角；（3）直角的补角必是直角；（4）两条直线被第三条直线所截，内错角相等；（5）过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；（6）两角之和为，这两个角一定是邻补角；（7）若则． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 题型十一 命题的证明 【例11】（24-25七年级下·甘肃平凉·期末）如图，①，②平分，③，④平分． (1)请以其中三个条件为题设，剩余一个条件为结论组成一个真命题，则这个命题可以是___________；（“题设”和“结论”之间用符号“”连接） (2)证明（1）中的结论． 【变式11-1】如图，有如下三个论断：①，②，③．请以其中2个条件为题设，另1个条件为结论构成一个真命题． (1)你选择作为题设的条件是______；作为结论的条件是______．（填序号） (2)请证明你选择的命题． 【变式11-2】如图，在三角形中，D，E是上的点，F是上一点，H，G是上的点，于点D，连接，，．给定三个条件：①，②，③． (1)请在上述三个条件中选择其中两个作为已知条件，另一个作为结论组成一个真命题，你选择的条件是　　　　，结论是　　　　（填写序号）； (2)证明上述命题． 题型十二 三角形内角和的证明 【例12】（24-25八年级上·河北邢台·期末）下列证明“三角形的内角和等于180°”所作的辅助线不正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式12-1】在学习“三角形的内角和外角”时，老师在学案上设计了以下内容： 如图，已知△ABC，对∠A+∠B+∠ACB＝180°的说理过程如下： 延长BC到点D，过点C作CE∥AB． ∵CE∥AB． ∴∠A＝①（两直线平行，内错角相等）． ∠B＝②（两直线平行，同位角相等）． ∵∠ACB+③+④＝180°（平角定义）． ∴∠A+∠B+∠ACB＝180°（等量代换）． 下列选项正确的是（　　） A．①处填∠ECD B．②处填∠ECD C．③处填∠A D．④处填∠B 【变式12-2】如图，点D、E、F分别在、、上，且，， 下面写出了说明“”的过程，请填空： 解： ，（        ） ， ．（ ） （已知）， ．（ ） （已知）， ．（两直线平行，同位角相等） （ ） (平角的定义) （等量代换） 【变式12-3】（2025八年级上·全国·专题练习）为了证明“三角形的内角和是”，林老师给出了如图所示四种作辅助线的方法．回答下列问题： (1)能证明“三角形内角和是”的方法是______（请填写序号）； (2)在（1）的正确方法中，任意选择其中一种方法进行证明． 题型十三 直角三角形的性质的运用 【例13】如图所示，直线a∥b，直角△ABC的顶点C在直线b上．若∠1＝33°，则∠2的度数为（　　） A．57° B．47° C．67° D．33° 【变式13-1】如图，已知EF∥GH，Rt△ABC的两个顶点A，C分别在直线EF，GH上，∠B＝90°，AB交GH于点D，若CD平分∠ACB，∠FAC＝32°，则∠BAC的度数为（　　） A．20° B．24° C．26° D．33° 【变式13-1】如图，已知l∥AB，CD⊥l于点D，若∠C＝40°，则∠1的度数是（　　） A．30° B．40° C．50° D．60° 【变式13-3】如图，Rt△ABC和Rt△ADE中，∠D＝∠C＝90°，∠B＝30°，点E在线段BC上，DE交AC于点F，若DE∥AB，则∠DAF的度数为（　　） A．15° B．20° C．22.5° D．30° 题型十四 直角三角形的判定 【例14】（25-26八年级上·湖北宜昌·阶段练习）在中，由下列条件不能判定为直角三角形的是(   ) A． B． C． D． 【变式14-1】（25-26八年级上·安徽阜阳·阶段练习）下列条件：在中，，都是锐角；在中，；在中，； 的三个内角的度数之比是，其中能确定是直角三角形的条件有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【变式14-2】如图，E是△ABC的边AC上一点，过点E作ED⊥AB，垂足为D．若∠1＝∠2，则△ABC是直角三角形吗？为什么？ 【变式14-3】（25-26八年级上·山东德州·阶段练习）如图，在中，，，是的角平分线． (1)求的度数； (2)若，垂足为D，，求证：是直角三角形． 题型十五 利用三角形外角的性质计算 【例15】（25-26八年级上·山东德州·阶段练习）如图，是中的平分线，是的外角的平分线，如果，，那么（   ） A． B． C． D． 【变式15-1】 （25-26八年级上·陕西榆林·阶段练习）如图，已知，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式15-2】如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠ABC＝70°，△ABC的外角∠BCD的平分线CE交AB的延长线于点E． （1）求∠BCE的度数； （2）过点D作DF∥CE，交AB的延长线于点F，求∠F的度数． 题型十六 利用三角形外角的性质证明 【例16】（2024秋•鹿邑县期中）如图，∠ACE是△ABC的一个外角，CD平分∠ACE，交BA的延长线于点D． （1）若∠ACB＝∠B＝20°，求∠D的度数； （2）求证：∠BAC＝∠B+2∠D． 【变式16-1】如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，且CE交BA的延长线于点E．试说明： ． 【变式16-2】如图，在中，、分别平分，，为外角的平分线，的延长线交于点E． (1)与的数量关系是_________； (2)若，求的度数． 题型十七 与平行线有关的三角形问题 【例17】如图，直线，若，则等于（   ） A． B． C． D． 【变式17-1】如图是一架婴儿车的示意图，其中，，，那么的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式17-2】（24-25七年级下·河北廊坊·阶段练习）已知：如图，平分，平分交于点，交于点． (1)请说明的理由； (2)若，求的度数； (3)若，求证：． 题型十八 与角平线有关的三角形内角和问题 【例18】（25-26八年级上·四川德阳·阶段练习）如图，中，为的角平分线，为的高，，， 那么是 （    ） A． B． C． D． 【变式18-1】（25-26八年级上·福建龙岩·阶段练习）如图，中，，的平分线交于点O，的外角平分线所在直线与的平分线相交于点D，与的外角平分线相交于点E，则下列4个结论一定正确的有（   ）个． ①；②；③；④． A．1 B．2 C．3 D．4 【变式18-2】（25-26八年级上·湖北十堰·阶段练习）如图，中，，是的角平分线． (1)若，求的度数； (2)若、分别是、的中点，，，求 的面积． 题型十九 三角形折叠中的角度问题 【例19】（2024秋•龙江县期中）如图，三角形纸片ABC中，∠A＝65°，∠B＝70°，将∠C沿DE对折，使点C落在△ABC外的点C′处，若∠1＝20°，则∠2的度数为（　　） A．80° B．90° C．100° D．110° 【变式19-1】（25-26八年级上·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）如图，在中，点为内部的一个定点，，将沿折叠使点与点重合，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式19-2】（23-24七年级下·河北秦皇岛·期末）如图，是一张纸片，把沿折叠，点C落在点处． (1)若，判断与的位置关系并说明理由； (2)若与不平行，，则______． 题型二十 三角形中的综合题 【例20】（25-26八年级上·山东临沂·阶段练习）如图，在中，点D在上，过点D作，交于点E，平分，交的平分线于点P，与相交于点G，点F在的延长线上，的平分线与相交于点Q． (1)若，，则______，______； (2)若，当的度数发生变化时，、的度数是否发生变化？若要变化，说明理由；若不变化，求出、的度数（用的代数式表示）． 【变式20-1】（25-26八年级上·山西朔州·阶段练习）综合与实践 问题情境： “综合与实践”课上，老师提出如下问题：如图1，在平面内有，点在平面上，连接，，求的度数和． 数学思考： （1）请你解答老师提出的问题． 深入探究： （2）老师让同学们移动点，并提出新的问题． ①“善思小组”提出问题：如图2，求证：． ②“智慧小组”提出问题：如图3，延长，交于点，延长，交于点．若，，请直接写出与的数量关系． 【变式20-2】（25-26八年级上·甘肃张掖·阶段练习）如图1，在中，的平分线与的外角的平分线相交于点． (1)判断与的数量关系，并加以证明； (2)如图与的平分线交于点，得与的平分线相交于点，得与的平分线相交于点，得，直接写出与的关系____________ (3)如图2，若，，求的度数． 【变式20-3】（25-26八年级上·湖北黄冈·阶段练习）在八年级上册第十三章《三角形》的学习中，涉及到三角形角的性质和计算应用广泛，其中有内角、外角、对顶角、邻补角、角平分线，还有内角和、外角和，有的还要设未知数建立方程，或设参数建立等式解决问题，内涵丰富，方法多样． (1)如图1，分别平分和，若，求的度数． (2)如图2，直线平分的外角，平分的外角，若，求此时的度数． (3)在图3中，平分，平分的外角，猜想与，之间的数量关系，并直接写出结论． 基础巩固通关测 1．（25-26八年级上·陕西延安·阶段练习）如图，点B、C、D、E在同一直线上，则图中的三角形一共有（   ） A．3个 B．5个 C．6个 D．7个 2．如图，是锐角，点C从点B出发沿方向运动，连结．关于的形状变化情况，下列说法正确的是（    ） A．钝角三角形→锐角三角形→钝角三角形 B．钝角三角形→直角三角形→钝角三角形 C．钝角三角形→直角三角形→锐角三角形→钝角三角形 D．以上说法都不对 3．如图，为估计池塘岸边A、B两点的距离，小方在池塘的一侧选取一点O，测得米，米，A、B间的距离可能是（   ） A．15米 B．13米 C．1米 D．9米 4．如图，把折叠，使A，B两点重合，得到折痕，再沿折叠，点C恰好与点D重合，则等于（   ） A． B． C． D． 5．如图，在三角形中，，，，与相等的角（不包括本身）有（    ） A． B． C． D． 6．（25-26八年级上·河北邯郸·阶段练习）如图，与的交点为，，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 7．（25-26八年级上·四川成都·阶段练习）已知m，n为等腰的边长，且满足，则的周长是 ． 8．（25-26八年级上·江西赣州·阶段练习）如图，已知，则的度数为 ． 9．（25-26八年级上·广西防城港·阶段练习）如图，将直角三角形纸片的直角C沿折叠，点C落在纸片内部的点P处．如果，则 ． 10．（25-26八年级上·浙江湖州·阶段练习）如图，中，的三等分线分别与的平分线交于点，，若，，则 ． 能力提升进阶练 11．（25-26八年级上·河南信阳·阶段练习）已知，，是的三边． (1)若，．求第三边的取值范围； (2)若，，第三边为奇数，判断的形状； (3)化简． 12．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，已知，分别是的高和中线，． (1)若的面积为20，求的长； (2)若，求的长． 13．（25-26八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，在中，是高，是角平分线，它们相交于点，． (1)的度数为_______； (2)若，求的度数． 14．定义：如果一个三角形的两个内角α与β满足，那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”． (1)若是“准互余三角形”， ，，则 ． (2)如图，是直角三角形，． ①若是的平分线，则是“准互余三角形”吗？并说明理由． ②若点E是边上一点，是“准互余三角形”， ，求的度数． 15．（24-25七年级下·宁夏吴忠·期末）【探究学习】小学阶段，我们可以通过“拼”角、“折”角，观察得到三角形内角和为，现在我们学习了平行线的性质，就可以证明此结论的正确性了． （1）如图1，过的顶点作的平行线，请你证明三角形的内角和为． 证明：∵， ∴，______（______） ∵（平角的定义） ∴______（等量代换） 即三角形的内角和为． 【解题反思】平行线具有“等角转化”的功能． 【迁移应用】（2）近年来，我国一直提倡“绿色环保、低碳生活”，健康骑行越来越受到老百姓的喜欢．自行车的示意图如图，其中，请你求，，这三个角的关系．（提示：过点作） 【学以致用】（3）如图是超市购物车，图是其侧面示意图，已知，，测量得知，，则______． 16．（25-26八年级上·黑龙江佳木斯·阶段练习）【问题】如图（1）所示，在中，平分，平分，若，则；若 ，则． 【探究】（1）如图（2）所示，在中，，三等分，，三等分，若 ，求的大小（用含的式子表示，直接写出结果）． （2）如图（3）所示，是的平分线与外角的平分线的交点，试分析和有怎样的关系？请说明理由． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 第13章 三角形中的边角关系、命题与证明（复习讲义） 1.掌握三角形的基本要素与分类：能准确描述三角形的边、角、顶点等基本元素，能按边（不等边/等腰/等边）和角（锐角/直角/钝角）对三角形分类 2.理解三角形边角关系：掌握三角形三边关系定理（两边之和＞第三边），熟练运用三角形内角和定理（180°）， 掌握外角性质及其证明方法 3.掌握命题与证明的基本方法：能区分命题的题设与结论，学会用直接证明法和反证法进行几何证明. ●一、三角形中边的关系 1、三角形的定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾依次相接所组成的封闭图形叫作三角形. 2、三角形的“三元素” (1)顶点：三角形相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点. (2)边：组成三角形的线段叫做三角形的边. (3)内角：在三角形中，相邻两边组成的角，叫做三角形的内角，简称三角形的角. 3、三角形的表示方法：用符号“△”表示三角形. 如图，顶点是A，B，C 的三角形，记作△ ABC，读作“三角形ABC”. 4、三角形按边分类： ① ②有两条边相等的三角形叫作等腰三角形； ③三条边都相等的三角形叫作等边三角形． ④我们可以把三角形按照边长关系进行分类： 5、 三角形的三边关系 文字语言 数学语言 理论 依据 图形 三角形两边的和大于第三边 a+b﹥c，b+c﹥a，a+c﹥b 两点 之间， 线段 最短. 三角形两边的差小于第三边 a－b﹤c，b－c﹤a， a－c﹤b(a ﹥b﹥c) ●二、三角形中角的关系 1、三角形按角分类： ①三个角都是锐角的三角形叫作锐角三角形； ②有一个角是直角的三角形叫作直角三角形；直角三角形 ABC 可以写成 Rt△ABC； ③有一个角是钝角的三角形叫作钝角三角形. ④我们可以把三角形按照角关系进行分类： 2、： （1）三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180° . 几何语言：在△ ABC 中，∠A+ ∠B+ ∠C=180° . （2）三角形内角和定理的应用：主要用在求三角形中角的度数． ①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角； ●三、三角形中几条重要线段 1、三角形的高： （1）三角形高的定义：从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高． 性质：如右图： ∵ AD是△ABC的边BC上的高(已知)， ∴ AD⊥BC于点D(或∠ADB=∠ADC=90°) 判定： ∵ AD⊥BC于点D(或∠ADB=∠ADC=90°)(已知)， ∴线段AD 是△ABC 的边BC上的高(三角形的高的定义) （2）三角形的高的画法 一靠：使三角尺的一条直角边靠在作高的边上； 二移：移动三角尺使另一条直角边通过这条边所对的顶点； 三画：画垂线段. （3）三角形三条高的位置 高的位置 交点位置 交点名称 锐角三角形 三条高都在三角形内部 三条高交于一点，都在三角形内部. 垂心 直角三角形 其中两条高恰好是直角边 三条高交于一点，再三角形的直角顶点 钝角三角形 其中两条高在三角形外部 三条高没有交点，但三条高所在的直线交于一点，在三角形外. 2、三角形的角平分线 （1）三角形的角平分线的定义： 三角形一个内角的平分线与它所对的边相交，顶点和交点之间的线段叫做这个三角形的角平分线. 【注意】●角的平分线是一条射线，而三角形的角平分线是一条线段. ●三角形的角平分线是其内角的平分线的一部分，故角的平分线的性质三角形的角平分线都具有. （2）三角形的角平分线的位置： 三角形的三条角平分线都在三角形的内部，并且三条角平分线交于三角形内一点. 3、三角形的中线 （1）三角形的中线的定义：连接三角形一个顶点和它所对的边的中点，所得的线段叫做该三角形这条边上的中线. 几何语言：如图， ①AD是△ ABC 中BC 边上的中线； ②D是BC边的中点； ③BD=DC，BD=BC，DC=BC. ●四、命题与证明 1、定义：能明确界定某个对象含义的语句叫作定义． 2、命题：可以判断正确或不正确的陈述语句叫作命题. 经判断是正确的，这样的命题称之为真命题. 经判断是错误的，这样的命题称之为假命题. 注意：只要对一件事情作出了判断，不管正确与否，都是命题. 命题形式：如果……那么…… “如果 p，那么 q”，或“若 p，则 q”. 3、逆命题： 将命题“如果 p，那么 q”中的结论和条件互换，便得到一个新命题“如果 q，那么 p”，我们把这样的两个命题称为互逆命题，其中一个叫作原命题，另一个叫作原命题的逆命题. 4、反例： （1）定义：符合命题条件论的例子，我们称之为反例. （2）要判断一个命题是真命题需要推理论证；要判断一个命题是假命题只要举出一个反例即可. 5、证明与推理： （1）基本事实的概念：数学中有些命题的正确性是人们在长期实践中总结出来的，并把它们作为判断其他命题真假的原始依据，这样的真命题叫作基本事实. （2）定理的概念：有些命题是从基本事实或其他真命题出发，用推理方法判断为正确的，并被选作判断命题真假的依据.这样的真命题叫作定理. （3）证明的概念： 从已知条件出发，依据定义、基本事实、已证定理，并按照逻辑规则，推导出结论，这一方法称为演绎推理(或演绎法). 演绎推理的过程，就是演绎证明，简称证明. 6、三角形内角和定理的证明 多种方法证明三角形内角和等于 180° 的核心是：借助的平行线“移角”的功能，将三个角转化到一个平角上. 辅助线：为了证明的需要，在原来的图形上添画的线叫做辅助线.在平面几何里，辅助线通常画成虚线. 7、三角形内角和定理的推论1、2 （1）三角形内角和推论 1：直角三角形的两锐角互余. （2）三角形内角和推论 2：有两个角互余的三角形是直角三角形. （3）像这样，由基本事实、定理直接得出的真命题叫做推论. 8、三角形的外角 （1）三角形的外角的定义：三角形的外角是由三角形的一条边的延长线和另一条相邻的边组成的角. 如图所示，∠ACD就是△ABC的一个外角. ①一个三角形的每个顶点处有两个外角，这两个外角是对顶角； ②三角形的外角和与它相邻的内角互补. （2）外角的特征：①顶点是三角形的顶点； ②一条边是三角形内角的一边； ③另一条边是该内角另一边的反向延长线. （3） 推论3：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和. ∠B +∠C =∠CAD 推论4：三角形的外角大于与它不相邻的任何一个内角.∠CAD＞∠B， ∠CAD＞∠C 题型一 三角形有关的概念 【例1】（24-25八年级上·云南曲靖·期中）下列图形中，是三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形的定义，三角形是由同一平面内，不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所成的图形，据此可得答案． 【详解】解：由三角形的定义可知，四个选项中，只有B选项中的图形是三角形， 故选：B． 【变式1-1】图中以为边的三角形有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查了对三角形的认识，正确理解三角形的定义是解题的关键．观察图形，根据三角形的定义即可得到结论． 【详解】解：以为边的三角形有：、、，共个． 故选：C ． 【变式1-2】（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，图中有 个三角形；其中以为边的三角形有 ；以为内角的三角形有 ；在中，的对角是 ，的对边是 ． 【答案】 8 【分析】本题考查三角形的个数问题，三角形的边、角，根据三角形的有关概念逐项求解即可． 【详解】解：图中有8个三角形，分别为：，，； 其中以为边的三角形有：； 以为内角的三角形有：； 在中，的对角是：；的对边是：； 故答案为：8；；；；． 题型二 三角形的分类 【例2】（25-26八年级上·河北廊坊·阶段练习）下列说法中正确的有（   ） ①三角形按角分类可分为锐角三角形，直角三角形和钝角三角形； ②三角形按边分类可分为不等边三角形，等腰三角形，等边三角形； ③等边三角形是等腰三角形； ④三角形的两边之差大于第三边． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【分析】本题考查三角形的分类及三角形的三边关系，熟练掌握相关知识点是解题关键．根据三角形的分类可判断①②③，根据三角形的三边关系可判断④，即可得答案． 【详解】解：三角形按角分类可分为锐角三角形，直角三角形和钝角三角形，故①说法正确； 三角形按边分类可分为不等边三角形和等腰三角形，等边三角形是等腰三角形的特殊情况，故②说法错误； 等边三角形是等腰三角形，故③说法正确； 三角形的两边之差小于第三边，故④说法错误． 综上所述：正确的说法有①③，共2个． 故选：C． 【变式2-1】（25-26八年级上·全国·期中）如图，三角形有一部分被遮挡，我们可以判定此三角形的类型为（　　） A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．不能确定 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的分类，根据三角形的分类：直角三角形、锐角三角形和钝角三角形进行判断即可． 【详解】解：露出的角是钝角，因此是钝角三角形， 故选：A． 【变式2-2】（25-26八年级上·河北邢台·阶段练习）如图是三角形的两种分类，下列判断正确的是（   ） A．①对，②不对 B．①不对，②对 C．①、②都不对 D．①、②都对 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形的分类，掌握三角形的分类方法是解题的关键． 按角分类为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形；按边的相等关系分为不等边三角形和等腰三角形（底和腰不等的等腰三角形、底和腰相等的等腰三角形即等边三角形）；据此即可解答． 【详解】解：按角分类：直角三角形，锐角三角形和钝角三角形，即①正确． 按边的相等关系分类：不等边三角形和等腰三角形（底和腰不等的等腰三角形、底和腰相等的等腰三角形即等边三角形）．即②的分类不正确． 故选：A． 题型三 判断能否构成三角形 【例3】（25-26八年级上·浙江杭州·阶段练习）下列长度的三条线段不能组成三角形的是（    ）． A．l，2，3 B．2，2，3 C．2，3，4 D．3，4，5 【答案】A 【分析】本题考查了构成三角形的条件：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．据此即可求解. 【详解】解：∵， ∴A中三条线段不能组成三角形； 故选：A 【变式3-1】（25-26八年级上·山西大同·阶段练习）下列长度的三条线段，能组成三角形的是（   ） A．4，5，9 B．5，5， C．8，8， D．3，4，7 【答案】C 【分析】本题考查了构成三角形的条件：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，据此即可判断； 【详解】解：∵， ∴4，5，9不能组成三角形，故A不符合题意； ∵， ∴5，5，不能组成三角形，故B不符合题意； ∵， ∴3，4，7不能组成三角形，故D不符合题意； 8，8，满足构成三角形的条件，故C符合题意； 故选：C 【变式3-2】（25-26八年级上·浙江杭州·阶段练习）下列每组数分别是三根木棒的长度，能用它们摆成三角形的是（　　） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】本题考查三角形的三边关系，根据三角形三边关系定理，任意两边之和必须大于第三边，只需验证每组中最小的两边之和是否大于最大边即可． 【详解】解：A、∵，∴，，长的三根木棒不能摆成三角形； B、∵，∴，，长的三根木棒不能摆成三角形； C、∵，∴，，长的三根木棒不能摆成三角形； D、∵，∴，，长的三根木棒可以摆成三角形． 故选：D 题型四 三角形三边关系的应用 【例4】（25-26八年级上·山东淄博·阶段练习）已知三角形的三边长分别为、、，则的值可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角形的三边关系．熟练掌握任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解题的关键． 根据三角形的三边关系，进行求解判断即可． 【详解】解：由题意得：， 即：， 故选：C． 【变式4-1】（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）将三根木棒首尾相连围成一个三角形，其中两根木棒的长分别为、，则该三角形的周长可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形三边关系的应用，掌握两边之和大于第三边、两边之差小于第三边是解题的关键．设第三边长为，根据三角形的三边关系可得，进而得该三角形的周长的取值范围，即可解答． 【详解】解：设第三边长为， 根据三角形的三边关系得，，即， ∴该三角形周长， 即该三角形周长， ∴四个选项中，三角形的周长可能是，只有D选项符合， 故选：D． 【变式4-1】（25-26八年级上·湖北武汉·阶段练习）三角形的三边长分别为，和，则的范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是三角形的三边关系，熟知三角形任意两边之和大于第三边，任意两边差小于第三边是解答此题的关键．根据三角形的三边关系列出关于的不等式组，求出的取值范围即可． 【详解】解：根据三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边， 得， 解得， 故答案为：． 【变式4-2】（25-26八年级上·江苏扬州·阶段练习）已知a，b，c是的三边． (1)若，，第三边c为奇数，判断的形状； (2)化简：． 【答案】(1)等腰三角形 (2) 【分析】本题考查三角形的三边关系，化简绝对值，熟练掌握三角形的三边关系，是解题的关键： （1）根据三角形的三边关系结合第三边c为奇数，求出的值进行判断即可； （2）根据三角形的三边关系结合绝对值的意义，化简即可． 【详解】（1）解：由题意，得：， ∴， 又∵c为奇数， ∴， ∴是等腰三角形； （2）∵， ∴． 题型五 三角形的内角和定理 【例5】如图，点在点的北偏西方向，点在点的北偏东方向，点在点的北偏东方向，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了方位角和三角形内角和定理，根据方位角的概念求出三角形中相关角的度数，再利用三角形内角和定理即可． 【详解】解：由题意可知平行于，， ， ， ， ， ． 故选：D． 【变式5-1】（25-26七年级下·全国·单元测试）一个三角形，三个内角度数的比是，则这个三角形最大的内角是（   ）度． A． B． C． D．不能确定 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，解题关键是掌握三角形的内角和定理并能熟练运用求解． 根据三角形的内角和定理，结合三个内角度数的比是求解． 【详解】解：∵三角形的三个内角度数的比是， ∴这个三角最大的内角是， 故选：C． 【变式5-2】（25-26八年级上·辽宁抚顺·阶段练习）如图，是的高，是的角平分线，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形内角和定理的应用，涉及了三角形的高线和角平分线． 求出，进而得，结合，即可求解． 【详解】解：∵， ∴； ∵是的角平分线， ∴； ∵是的高， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 【变式5-3】如图，，，，求 的度数． 【答案】． 【分析】设，，在中，，在中，，根据平行线的性质得出，代入得出方程，求出即可． 【详解】解：设，， 在中，， 在中，， ， ， ， 解得：， ． 【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，平行线的性质的应用，熟悉相关性质是解题的关键． 题型六 三角形的高 【例6】如图，△ABC的边BC上的高是（　　） A．线段AF B．线段DB C．线段CF D．线段BE 【答案】A． 【分析】根据三角形的高的定义进行分析即可得出结果． 【详解】解：由图可得：△ABC的边BC上的高是AF． 故选：A． 【点睛】本题主要考查三角形的角平分线、中线、高，解答的关键是对三角形的高的定义的掌握． 【变式6-1】下列各图中，作△ABC边AC边上的高，正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D． 【分析】根据三角形的高度概念判断即可． 【详解】解；A、图中BE不是△ABC边AC边上的高，本选项不符合题意； B、图中BE不是△ABC边AC边上的高，本选项不符合题意； C、图中BE不是△ABC边AC边上的高，本选项不符合题意； D、图中BE是△ABC边AC边上的高，本选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查的是三角形的高的概念，从三角形的一个顶点向对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高． 【变式6-2】（2024春•沛县期中）如图所示，已知AD⊥BC，GC⊥BC，CF⊥AB，D、C、F是垂足，下列说法中错误的是（　　） A．△ABC中，CF是AB边上的高 B．△AGC中，CF是AG边上的高 C．△GBC中，GC是BC边上的高 D．△BFC中，CG是BF边上的高 【答案】D． 【分析】根据三角形的一个顶点到对边的垂线段叫做三角形的高，对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：∵AD⊥BC，GC⊥BC，CF⊥AB， A、△ABC中，CF是AB边上的高，正确； B、△AGC中，CF是AG边上的高，正确； C、△GBC中，GC是BC边上的高，正确； D、△BFC中，CF是BF边上的高，错误． 故选：D． 【点睛】本题考查了三角形的高的定义：从三角形的一个顶点向它的对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高，是基础题，熟记概念是解题的关键． 题型七 三角形的角平分线 【例7】如图所示，∠1＝∠2，∠3＝∠4，下列结论中错误的是（　　） A．BD是△ABC的角平分线 B．CE是△BCD的角平分线 C．∠3∠ACB D．CE是△ABC的角平分线 【答案】D． 【分析】利用三角形角平分线的性质即可分析． 【详解】解：A、由∠1＝∠2，∠3＝∠4，根据角平分线的性质，可知：BD是△ABC的角平分线，正确； B、CE是△BCD的角平分线，正确； C、∠3∠ACB，正确； D、CE是△ABC的角平分线是错误的，三角形的角平分线是三角形的内角平分线与对边相交，角的顶点与对边交点之间的线段，错误． 故选：D． 【点睛】本题主要考查三角形角平分线的概念和性质．注意三角形的角平分线与角的平分线的区别．角的平分线是射线，而三角形的角平分线是线段． 【变式7-1】如图，AD，BE，CF依次是△ABC的高、中线和角平分线，下列表达式中错误的是（　　） A．AE＝CE B．∠ADC＝90° C．∠ACB＝2∠ACF D．∠CAD＝∠CBE 【答案】D． 【分析】根据三角形的高、中线和角平分线的定义即可求解． 【详解】解：A、BE是△ABC的中线，所以AE＝CE，故本表达式正确； B、AD是△ABC的高，所以∠ADC＝90，故本表达式正确； C、CF是△ABC的角平分线，所以∠ACB＝2∠ACF，故本表达式正确． D、由三角形的高、中线和角平分线的定义无法得出∠CAD＝∠CBE，故本表达式错误； 故选：D． 【点睛】本题考查了三角形的高、中线和角平分线的定义，熟记定义是解题的关键． 【变式7-2】如图所示，在△ABC中，AD是角平分线，DE∥AC交AB于E，EF∥AD交BC于F，试问：EF是△BDE的角平分线吗？说说你的理由． 【分析】由平行线的性质得出同位角相等、内错角相等∠BED＝∠BAC，∠BEF＝∠BAD，由角平分线得出∠BAD∠BAC，得出∠BEF∠BED即可． 【详解】解：EF是△BDE的角平分线；理由如下： ∵DE∥AC，EF∥AD， ∴∠BED＝∠BAC，∠BEF＝∠BAD， ∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD∠BAC， ∴∠BEF∠BED， 即EF平分∠BED， ∴EF是△BDE的角平分线． 【点睛】本题考查了平行线的性质、角平分线的定义；熟练掌握平行线的性质，并能进行推理论证是解决问题的关键． 题型八 三角形的中线 【例8】（2024秋•西乡塘区校级期中）如图，已知BD是△ABC的中线，AB﹣BC＝2，且△ABD的周长为11，则△BCD的周长是（　　） A．9 B．14 C．16 D．不能确定 【答案】A． 【分析】根据三角形的中线得出AD＝CD，结合已知三角形的周长，得到结果． 【详解】解：∵BD是△ABC的中线， ∴AD＝CD， ∵AB﹣BC＝2， ∴AB＝BC+2， ∵△ABD的周长为11， ∴AB+BD+AD＝11， ∴（BC+2）+BD+CD＝11， ∴BC+BD+CD＝9， ∴△BCD的周长BC+CD+BD＝9． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了三角形的中线，三角形周长，灵活运用中线性质是解题的关键． 【变式8-1】（2024秋•思明区校级月考）如图，在△ABC中，AB＝7，AC＝5，AD是△ABC的中线，则△ABD与△ADC的周长之差为（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【分析】先根据中线的定义得BD＝CD，再表示周长，即可得出答案． 【详解】解：由题意可得：BD＝CD， ∴周长之差是AB+AD+BD﹣（AD+AC+CD）＝AB﹣AC＝7﹣5＝2． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了三角形的中线，三角形的周长，掌握其性质是解决此题的关键． 【变式8-2】（2024•沭阳县校级模拟）已知：如图所示，在△ABC中，点D，E，F分别为BC，AD，CE的中点，且S△ABC＝4cm2，则阴影部分的面积为 　 　cm2． 【分析】易得△ABD，△ACD为△ABC面积的一半，同理可得△BEC的面积等于△ABC面积的一半，那么阴影部分的面积等于△BEC的面积的一半． 【详解】解：∵D为BC中点，根据同底等高的三角形面积相等， ∴S△ABD＝S△ACDS△ABC4＝2（cm2）， 同理S△BDE＝S△CDES△BCE2＝1（cm2）， ∴S△BCE＝2（cm2）， ∵F为EC中点， ∴S△BEFS△BCE2＝1（cm2）． 故答案为1． 【点睛】此题考查了三角形中线的性质，解答此题的关键是知道同底等高的三角形面积相等． 题型九 与三角形的高、中线、角平分线的综合 【例9】（2024秋•武鸣区期中）如图，CD、CE、CF分别是△ABC的高、角平分线、中线，则下列各式中错误的是（　　） A．BA＝2BF B．∠ACE∠ACB C．AE＝BE D．CD⊥AB 【答案】C． 【分析】从三角形的一个顶点向它的对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高． 三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线． 三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．依此即可求解． 【详解】解：∵CD，CE，CF分别是△ABC的高、角平分线、中线， ∴CD⊥AB，∠ACE∠ACB，AB＝2BF，无法确定AE＝BE． 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形的角平分线、中线和高，熟练掌握它们的定义和性质是解题的关键． 【变式9-1】（2024秋•武清区校级月考）如图，在△ABC中，∠1＝∠2，G为AD的中点，延长BG交AC于点E，F为AB上的一点，CF⊥AD于点H．下列判断错误的有（　　） A．AG是△ABE的角平分线 B．CH为△ACD边AD上的高 C．BE是△ABD边AD上的中线 D．AH为△AFC的高线 【答案】C． 【分析】根据三角形的角平分线、三角形的高线、以及三角形的中线的定义逐项分析即可． 【详解】解：A．∵∠1＝∠2， ∴AG是△ABE的角平分线，故本选项结论正确，不符合题意； B．∵CF⊥AD， ∴CH为△ACD边AD上的高，故本选项结论正确，不符合题意； C．∵G为AD的中点， ∴BG是△ABD边AD上的中线，故原说法不正确，符合题意； D．∵CF⊥AD， ∴AH为△AFC的高线，故本选项结论正确，不符合题意； 故选C． 【点睛】本题考查了三角形的角平分线、三角形的高线、以及三角形的中线，熟记它们的定义是解题的关键． 【变式9-2】如图1，在△ABC中，AD是BC边上的中线，△ABD和△ADC的周长之差为2，且AB与AC的和为14． （1）求AB、AC的长； （2）若∠BAC＝90°，E是AD的中点，如图2，直接写出△CDE的面积． 【分析】（1）根据三角形中线的定义，BD＝CD．所以△ABD和△ADC的周长之差也就是AB与AC的差，然后联立关于AB、AC的二元一次方程组，利用加减消元法求解即可． （2）先求得△ABC的面积，根据△CDE的面积△ACD的面积，△ACD的面积△ABC的面积计算即可． 【详解】解：（1）∵AD是BC边上的中线， ∴BD＝CD， ∴△ABD的周长﹣△ADC的周长＝（AB+AD+BD）﹣（AC+AD+CD）＝AB﹣AC＝2， 即AB﹣AC＝2①， 又AB+AC＝14②， ①+②得．2AB＝16， 解得AB＝8， ∴AC＝14﹣AB＝6， ∴AB和AC的长分别为：AB＝8，AC＝6； （2）∵∠BAC＝90°，AB＝8，AC＝6， ∴S△ABCAB•AC24， ∵AD是BC边上的中线，E为AD的中点， ∴S△ACDS△ABC，S△CDE， ∴S△CDES△ABC24＝6． 【变式9-3】如图，和分别是的高和角平分线，是边的中线． (1)若的面积为6，则的面积为 ； (2)若，求和的度数． 【答案】(1)12 (2) 【分析】本题考查三角形的三线，与角平分线有关的三角形的内角和问题，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）根据三角形的中线平分面积即可得出结果； （2）高线得到，三角形的内角和定理求出，的度数，角平分线求出的度数，再根据三角形的内角和定理求出的度数即可． 【详解】（1）解：∵是边的中线， ∴， ∵的面积为6， ∴的面积为12， 故答案为：； （2）解：∵是的高， ∴， ∵， ∴，， ∵是的角平分线， ∴， ∴． 题型十 命题的相关概念 【例10】（25-26八年级上·吉林长春·阶段练习）下列命题不是基本事实的是（    ） A．两点之间线段最短 B．经过两点，有且只有一条直线 C．两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补 D．同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【答案】C 【分析】本题考查基本事实（公理）与定理的区分．基本事实是无需证明而被公认的命题，而定理需通过推理证明．据此逐项判断即可． 【详解】解：A、两点之间，线段最短，称为线段公理，属于基本事实，故不符合题意； B、经过两点，有且只有一条直线，是直线公理，属于基本事实，故不符合题意； C、两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补，是平行线的性质，需通过平行公理（如同位角相等）推导得出，属于定理，而非基本事实，故符合题意； D、在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，是垂直公理，属于基本事实，故不符合题意； 故选：C． 【变式10-1】下列命题中，真命题是（    ） A．垂直于同一条直线的两条直线互相垂直 B．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行 C．同旁内角互补 D．连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质、平行公理以及垂线段的性质，熟练掌握这些知识是解题的关键．依次对每个选项依据相关数学知识进行判断，确定真命题． 【详解】解：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行，并非互相垂直，故A是假命题； 在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，这里没强调“直线外”一点，故B是假命题； 两直线平行，同旁内角才互补，故C是假命题； 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，这是垂线段的性质，故D是真命题． 故选：D． 【变式10-2】（25-26八年级上·河北石家庄·阶段练习）下列命题内错角相等，两直线平行；若，则；末位数字是的数，能被整除；对顶角相等．原命题和逆命题均是真命题的个数是（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【分析】本题考查了原命题，逆命题，正确判断命题的真假是解题的关键．根据逆命题、原命题，和学习的数学知识，判断解答即可即可，判断一个命题是假命题，只要举反例即可． 【详解】解：内错角相等，两直线平行，是真命题， 它的逆命题是：两直线平行，内错角相等，也是真命题， 故符合题意； 若，则，是真命题， 它的逆命题是：若，则， 举反例：若，但是， 逆命题是假命题， 故不符合题意； 末位数字是的数，能被整除，是真命题， 它的逆命题是：能被整除的数，末位数字是， 举反例：能被整除，末位数字不是， 逆命题是假命题， 故不符合题意； 命题：对顶角相等，是真命题， 它的逆命题是：相等的角是对顶角， 举反例：如下图所示， ， 但是和不是对顶角， 逆命题是假命题， 故不符合题意． 综上所述，原命题和逆命题均是真命题的个数是个． 故选：A． 【变式10-3】下列语句中，假命题有（   ） （1）过一点有且只有一条直线平行于已知直线；（2）不相等的两个角一定不是对顶角；（3）直角的补角必是直角；（4）两条直线被第三条直线所截，内错角相等；（5）过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；（6）两角之和为，这两个角一定是邻补角；（7）若则． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题主要考查命题与定理，判断为真的命题就是真命题，判断为假的命题就是假命题． 根据平行线的基本事实，平行线的性质和判定等，逐项判断，即可求解． 【详解】解：（1）过直线外一点有且只有一条直线平行于已知直线，原命题是假命题； （2）不相等的两个角一定不是对顶角，是真命题； （3）直角的补角必是直角，是真命题； （4）两条平行线被第三条直线所截，内错角相等，原命题是假命题； （5）同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，原命题是假命题； （6）两角之和为，这两个角不一定是邻补角，原命题是假命题； （7）若则，是真命题． 假命题有4个． 故选：C 题型十一 命题的证明 【例11】（24-25七年级下·甘肃平凉·期末）如图，①，②平分，③，④平分． (1)请以其中三个条件为题设，剩余一个条件为结论组成一个真命题，则这个命题可以是___________；（“题设”和“结论”之间用符号“”连接） (2)证明（1）中的结论． 【答案】(1)①②④⇒③（答案不唯一） (2)见解析 【分析】本题考查的是命题的真假判断、平行线的性质和判定、角平分线的定义． （1）根据命题的概念写出一个命题，任意三个选项为题设，另一个为结论即为真命题； （2）根据角平分线的定义、平行线的性质和判断分别证明结论． 【详解】（1）解：如果，平分，平分，那么； 即①②④③， 同理这个命题可以是①②③④，①③④②，②③④①， 故答案为：①②④⇒③（答案不唯一）； （2）解：①②④③是真命题，理由如下： ， ， 平分，平分， ，， ． ①②③④是真命题，理由如下： ， ， ∴， 平分， ， ∵， ∴， ∴平分． ①③④②是真命题，理由如下： ， ， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 平分， ， ∵， ∴， ∴平分． ②③④①是真命题，理由如下： 平分，平分， ，， ， ∴ ， ∴． 【变式11-1】如图，有如下三个论断：①，②，③．请以其中2个条件为题设，另1个条件为结论构成一个真命题． (1)你选择作为题设的条件是______；作为结论的条件是______．（填序号） (2)请证明你选择的命题． 【答案】(1)①②，③或②③，①或①③，② (2)见解析 【分析】本题考查了平行线的性质和判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． （1）根据平行直线的性质和判断即可得到答案； （2）根据平行直线的性质：两直线平行，同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，再结合平行直线的判断方法，即可证得． 【详解】（1）解：①选择作为题设的条件是，，作为结论的条件是； ②选择作为题设的条件是，，作为结论的条件是； ③选择作为题设的条件是，，作为结论的条件是； （2）解：①如果，，那么； 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； ②如果，，那么； 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； ③如果，，那么； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式11-2】如图，在三角形中，D，E是上的点，F是上一点，H，G是上的点，于点D，连接，，．给定三个条件：①，②，③． (1)请在上述三个条件中选择其中两个作为已知条件，另一个作为结论组成一个真命题，你选择的条件是　　　　，结论是　　　　（填写序号）； (2)证明上述命题． 【答案】(1)①②，③；（或①③，②；或②③，①答案不唯一） (2)见解析 【分析】本题考查平行线的判定及性质，三角形外角的性质，掌握平行线的判定及性质是解题的关键． （1）根据题意写出命题的条件及结论即可； （2）若选择的条件是①②，结论是③，延长、交于点，可得，得到，进而推出，得到，从而，再由三角形外角的性质即可证明．若选择的条件是①③，结论是②，先根据垂直得到，即可得到，然后根据角的和差即可证明．若选择的条件是②③，结论是①，延长、交于点，根据垂直可得，证明得到，得到，进而有，从而，得到，即可得证． 【详解】（1）解：选择的条件是①②，结论是③；或者选择条件是①③，结论是②；或者选择条件②③，结论是①． 故答案为：①②，③；（或①③，②；或②③，①答案不唯一）． （2）解：若选择的条件是①②，结论是③，证明如下： 延长、交于点， ，， ， ， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． 若选择的条件是①③，结论是②，证明如下： ，， ， ， ． ∵， ， ∴ ∴， ， ， ． 若选择的条件是②③，结论是①，证明如下： 延长、交于点， ∵， ∴， ∵， ， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 题型十二 三角形内角和的证明 【例12】（24-25八年级上·河北邢台·期末）下列证明“三角形的内角和等于180°”所作的辅助线不正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是平行线的判定和性质，三角形内角和，根据平行线性质对各选项进行逐一分析即可．熟知平行线的性质是解题的关键． 【详解】解：A、作，则可得， ，故该选项不符合题意； B、作，则可得， ，故该选项不符合题意； C、如图，过点作， ， 则可得，，， ， 故该选项不符合题意， D、添加图中辅助线不能说明“三角形的内角和等于180°”，故该选项符合题意， 故选：D． 【变式12-1】在学习“三角形的内角和外角”时，老师在学案上设计了以下内容： 如图，已知△ABC，对∠A+∠B+∠ACB＝180°的说理过程如下： 延长BC到点D，过点C作CE∥AB． ∵CE∥AB． ∴∠A＝①（两直线平行，内错角相等）． ∠B＝②（两直线平行，同位角相等）． ∵∠ACB+③+④＝180°（平角定义）． ∴∠A+∠B+∠ACB＝180°（等量代换）． 下列选项正确的是（　　） A．①处填∠ECD B．②处填∠ECD C．③处填∠A D．④处填∠B 【答案】B 【分析】延长BC到点D，过点C作CE∥AB．依据平行线的性质以及平角的定义，即可得到∠A+∠B+∠ACB＝180°． 【详解】解：延长BC到点D，过点C作CE∥AB． ∵CE∥AB． ∴∠A＝∠ACE（两直线平行，内错角相等）． ∠B＝∠ECD（两直线平行，同位角相等）． ∵∠ACB+∠ACE+∠ECD＝180°（平角定义）． ∴∠A+∠B+∠ACB＝180°（等量代换）． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质以及三角形内角和定理，解题时注意：两直线平行，内错角相等；两直线平行，同位角相等． 【变式12-2】如图，点D、E、F分别在、、上，且，， 下面写出了说明“”的过程，请填空： 解： ，（        ） ， ．（ ） （已知）， ．（ ） （已知）， ．（两直线平行，同位角相等） （ ） (平角的定义) （等量代换） 【答案】已知，；；两直线平行，同位角相等；；两直线平行，内错角相等；；等量代换． 【分析】本题考查了平行线的性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质：两直线平行，同位角相等．两直线平行，同旁内角互补．两直线平行，内错角相等．利用平行线的性质进行推理即可． 【详解】证明：，，（已知） ，．（两直线平行，同位角相等） ，（已知） ．（两直线平行，内错角相等） ，（已知） ．（两直线平行，同位角相等） ．（等量代换） ，（平角的定义） ．（等量代换） 【变式12-3】（2025八年级上·全国·专题练习）为了证明“三角形的内角和是”，林老师给出了如图所示四种作辅助线的方法．回答下列问题： (1)能证明“三角形内角和是”的方法是______（请填写序号）； (2)在（1）的正确方法中，任意选择其中一种方法进行证明． 【答案】(1)①②③ (2)选择图①，证明见解析． 【分析】本题主要考查平行线的性质和三角形内角和定理，牢记平行线的性质是解题的关键． 证明“三角形的内角和是”的方法均是将三角形的三个内角的和转化为平角． 【详解】（1）①②③ （2）当选择图①时，证明：如图． ． ， 三角形的内角和为． 当选择图②时， 证明：． ， ，三角形的内角和为． 当选择图③时，证明：， ． ， ∴三角形的内角和为．（答案不唯一，选择一种方法证明即可）． 题型十三 直角三角形的性质的运用 【例13】如图所示，直线a∥b，直角△ABC的顶点C在直线b上．若∠1＝33°，则∠2的度数为（　　） A．57° B．47° C．67° D．33° 【答案】A． 【分析】根据直角三角形的性质可得∠ACB＝90°，进一步可得∠3的度数，根据平行线的性质可得∠2的度数． 【详解】解：在直角△ABC中，∠ACB＝90°， ∵∠1＝33°， ∴∠3＝180°﹣90°﹣33°＝57°， ∵a∥b， ∴∠2＝∠3＝57°， 故选：A． 【点睛】本题考查了直角三角形的性质，平行线的性质，熟练掌握这些性质是解题的关键． 【变式13-1】如图，已知EF∥GH，Rt△ABC的两个顶点A，C分别在直线EF，GH上，∠B＝90°，AB交GH于点D，若CD平分∠ACB，∠FAC＝32°，则∠BAC的度数为（　　） A．20° B．24° C．26° D．33° 【答案】C． 【分析】先根据平行线的性质得到∠DCA＝∠FAC＝32°，再利用角平分线的定义得到∠ACB＝64°，然后根据三角形内角和定理计算∠BAC的度数． 【详解】解：∵EF∥GH，∠FAC＝32°， ∴∠ACD＝∠FAC＝32°， ∵CD平分∠ACB， ∴∠ACB＝2∠ACD＝2×32°＝64°， ∵∠ACB+∠ABC+∠BAC＝180°， ∴∠BAC＝180°﹣90°﹣64°＝26°． 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和是180°；主要根据两已知角求第三个角．也考查了平行线的性质． 【变式13-1】如图，已知l∥AB，CD⊥l于点D，若∠C＝40°，则∠1的度数是（　　） A．30° B．40° C．50° D．60° 【答案】C． 【分析】根据直角三角形的性质求出∠CED，再根据平行线的性质解答即可． 【详解】解：在Rt△CDE中，∠CDE＝90°，∠DCE＝40°， 则∠CED＝90°﹣40°＝50°， ∵l∥AB， ∴∠1＝∠CED＝50°， 故选：C． 【点睛】本题考查的是直角三角形的性质、平行线的性质，掌握直角三角形的两锐角互余是解题的关键． 【变式13-3】如图，Rt△ABC和Rt△ADE中，∠D＝∠C＝90°，∠B＝30°，点E在线段BC上，DE交AC于点F，若DE∥AB，则∠DAF的度数为（　　） A．15° B．20° C．22.5° D．30° 【答案】D． 【分析】由直角三角形的两个锐角互余，求出∠CAB＝60°，由DE∥AB，得出∠D+∠DAB＝90°，求出∠DAB＝90°，即可求出∠DAF的度数． 【解答】解：在Rt△ABC中， ∵∠C＝90°，∠B＝30°， ∴∠CAB＝90°﹣30°＝60°， ∵DE∥AB， ∴∠D+∠DAB＝180°， ∵∠D＝90°， ∴∠DAB＝180°﹣90°＝90°， ∴∠DAF＝∠DAB﹣∠CAB＝90°﹣60°＝30°． 故选：D． 【点评】本题考查了直角三角形的两个锐角互余，平行性的性质，由平行线性质得出∠D+∠DAB＝180°是解答本题的关键． 题型十四 直角三角形的判定 【例14】（25-26八年级上·湖北宜昌·阶段练习）在中，由下列条件不能判定为直角三角形的是(   ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角形内角和定理．根据三角形内角和定理对四个选项依次判断即可． 【详解】解：A选项：∵，∠A+∠B+∠C=180°， ∴． ∴． ∴为直角三角形． 故A选项不符合题意． B选项：∵， ∴． ∴为直角三角形． 故B选项不符合题意． C选项：由，无法判断为直角三角形． 例如：，符合条件，但不是直角三角形， 故C选项符合题意． D选项：∵，∠A+∠B+∠C=180°， ∴． ∴为直角三角形． 故D选项不符合题意． 故选：C． 【变式14-1】（25-26八年级上·安徽阜阳·阶段练习）下列条件：在中，，都是锐角；在中，；在中，； 的三个内角的度数之比是，其中能确定是直角三角形的条件有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的分类、三角形的内角和定理的应用，根据所给的已知条件，能求出三角形中有一个角是，就能确定是直角三角形，否则不能确定三角形是直角三角形. 【详解】解：在中，，都是锐角， 则可能是锐角、钝角、直角， 不能确定是直角三角形， 故不符合题意； 在中，， ； ， 解得：， 能确定是直角三角形， 故符合题意； 在中，， ， 又， ， ， 能确定是直角三角形， 故符合题意； 在的三个内角的度数之比是， 最大的角的度数是， 不能确定是直角三角形， 故不符合题意； 综上所述，能确定是直角三角形的条件有个． 故选：B． 【变式14-2】 如图，E是△ABC的边AC上一点，过点E作ED⊥AB，垂足为D．若∠1＝∠2，则△ABC是直角三角形吗？为什么？ 【分析】根据直角三角形的性质和判定解答即可． 【详解】解：△ABC是直角三角形：理由如下： ∵ED⊥AB， ∴∠1+∠A＝90°， ∵∠1＝∠2， ∴∠2+∠A＝90°， ∴∠ACB＝90°， 即△ACB是直角三角形． 【点睛】此题考查直角三角形的性质，关键是根据直角三角形的性质得出角的关系解答． 【变式14-3】（25-26八年级上·山东德州·阶段练习）如图，在中，，，是的角平分线． (1)求的度数； (2)若，垂足为D，，求证：是直角三角形． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，垂线的定义，掌握三角形内角和等于是解题关键． （1）根据三角形内角和定理和角平分线的定义求解即可； （2）由垂直可得，再根据三角形内角和定理，得到，进而得出，最后再利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】（1）解：，， ， 是的角平分线， （2）证明：， ， ， ， ， ， ， 是直角三角形． 题型十五 利用三角形外角的性质计算 【例15】（25-26八年级上·山东德州·阶段练习）如图，是中的平分线，是的外角的平分线，如果，，那么（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三角形外角性质以及角平分线的定义，解题时注意：一个三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和． 根据角平分线的定义以及一个三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和，可求出的度数． 【详解】解：∵，， ∴， ∵是中的平分线，是的外角的平分线， ∴， ∴， ∴． 故选：D 【变式15-1】 （25-26八年级上·陕西榆林·阶段练习）如图，已知，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形的外角的性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造三角形的外角解决问题，属于中考常考题型． 连接，延长到．只要证明，即可解决问题． 【详解】解：连接，延长到． ，， ， ∵，，， ， 故选B． 【变式15-2】如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠ABC＝70°，△ABC的外角∠BCD的平分线CE交AB的延长线于点E． （1）求∠BCE的度数； （2）过点D作DF∥CE，交AB的延长线于点F，求∠F的度数． 【分析】（1）根据三角形的外角性质求出∠BCD，再根据角平分线的定义求出∠BCE； （2）根据三角形的外角性质求出∠BEC，再根据平行线的性质求出∠F． 【详解】解：（1）∵∠A＝30°，∠ABC＝70°， ∴∠BCD＝∠A+∠ABC＝100°， ∵CE是∠BCD的平分线， ∴∠BCE∠BCD＝50°； （2）∵∠BCE＝50°，∠ABC＝70°， ∴∠BEC＝∠ABC﹣∠BCE＝20°， ∵DF∥CE， ∴∠F＝∠BEC＝20°． 【点睛】本题考查的是三角形的外角性质、平行线的性质，熟记三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键． 题型十六 利用三角形外角的性质证明 【例16】（2024秋•鹿邑县期中）如图，∠ACE是△ABC的一个外角，CD平分∠ACE，交BA的延长线于点D． （1）若∠ACB＝∠B＝20°，求∠D的度数； （2）求证：∠BAC＝∠B+2∠D． 【分析】（1）先求出∠ACE，再利用三角形外角定理即可求解； （2）先证明，∠BAC＝∠D+∠ACD，再通过角平分线，利用三角形外角定理进行角的转换即可证明． 【详解】（1）解：∵∠ACB＝20°， 又∵∠ACE＝180°﹣∠ACB， ∴∠ACE＝160°， 又∵CD平分∠ACE， ∴∠DCE∠ACE＝80°， 又∵∠DCE＝∠B+∠D，∠B＝20°， ∴∠D＝60°． （2）证明：∵CD平分∠ACE， ∴∠ACD＝∠DCE， 又∵∠BAC＝∠D+∠ACD， ∴∠BAC＝∠D+∠DCE， 又∵∠DCE＝∠B+∠D， ∴∠BAC＝∠D+∠B+∠D＝∠B+2∠D． 【点睛】本题主要考查了三角形外角性质的运用，即三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和． 【变式16-1】 如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，且CE交BA的延长线于点E．试说明： ． 【分析】先根据三角形外角的性质得出∠B+∠BAC＝∠ACD，再由角平分线的定义得出∠ECD（∠B+∠BAC），同理可得∠ECD＝∠E+∠B，进而得出结论． 【详解】证明：∵∠ACD是△ABC的外角， ∴∠B+∠BAC＝∠ACD， ∵CE是△ABC的外角∠ACD的平分线， ∴∠ECD（∠B+∠BAC）， ∵∠ECD是△BCE的外角， ∴∠ECD＝∠E+∠B， ∴（∠B+∠BAC）＝∠E+∠B， ∴∠E（∠BAC﹣∠B）． 【变式16-2】如图，在中，、分别平分，，为外角的平分线，的延长线交于点E． (1)与的数量关系是_________； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了角平分线的定义、三角形内角和定理、三角形外角的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据角平分线的定义和三角形内角和定理即可求解； （2）根据角平分线的定义和三角形外角的性质即可求解． 【详解】（1）解：∵、分别平分，， ∴，， ∴ ， ∴； 故答案为：； （2）解：∵平分， ∴， ∵为外角的平分线， ∴， ∴， ∴， 由（1）得，， ∵， ∴． 题型十七 与平行线有关的三角形问题 【例17】如图，直线，若，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是平行线的性质及三角形内角和定理，先求出，再根据三角形内角和求出结论即可． 【详解】解：如下图： ，， ， ， ， ， 故选：D． 【变式17-1】如图是一架婴儿车的示意图，其中，，，那么的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平行线的性质，三角形内角和定理，平角的定义，掌握相关知识是解决问题的关键．根据，，易求，由可求，则利用三角形内角和定理可求． 【详解】解：如图， ，， ， ， ． 故选：D． 【变式17-2】（24-25七年级下·河北廊坊·阶段练习）已知：如图，平分，平分交于点，交于点． (1)请说明的理由； (2)若，求的度数； (3)若，求证：． 【答案】(1)见解析； (2) (3)见解析 【分析】本题主要考查角平分线的定义，平行线的性质，三角形内角和定理的运用，掌握以上知识，数形结合分析是解题的关键． （1）根据角平分线的定义得到，等量代换得到，由内错角相等，两直线平行即可求解； （2）根据角平分线的定义得到，由三角形内角和定理即可求解； （3）根据两直线平行，同旁内角互补得到，结合角平分线的定义得到，，由此即可求解． 【详解】（1）解：平分， ． ， ， ： （2）解：平分，， ， ， ； （3）证明：由得， ， 平分平分， ， ， ． 题型十八 与角平线有关的三角形内角和问题 【例18】（25-26八年级上·四川德阳·阶段练习）如图，中，为的角平分线，为的高，，， 那么是 （    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形内角和定理、三角形外角的定义及性质、角平分线的定义，由题意可得，再求出，由角平分线的定义可得，最后再由三角形外角的定义及性质计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵为的高， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵为的角平分线， ∴， ∴， 故选：A． 【变式18-1】（25-26八年级上·福建龙岩·阶段练习）如图，中，，的平分线交于点O，的外角平分线所在直线与的平分线相交于点D，与的外角平分线相交于点E，则下列4个结论一定正确的有（   ）个． ①；②；③；④． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了三角形内角和定理和外角和定理，角平分线的定义，解题的关键是熟练掌握并灵活应用相关性质进行求解． 由角平分线的定义可得，再结合三角形内角和定理可求，即可判定①；由角平分线的定义可得，结合三角形外角的性质可判定②；由三角形外角的性质可得，再利用角平分线的定义以及三角形内角和定理可判定③；利用三角形外角的性质可得，结合，可判定④． 【详解】解：∵，的平分线交于点O， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故①正确； ∵平分， ∴， ∵， ∴， 故②正确； 如图，∵， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∵， ∴， 故③错误； ∵， ∴， ∵， ∴． 故④正确； 综上正确的有：①②④． 故选：C． 【变式18-2】（25-26八年级上·湖北十堰·阶段练习）如图，中，，是的角平分线． (1)若，求的度数； (2)若、分别是、的中点，，，求 的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了角平分线的定义以及三角形的高，中线的定义； （1）先利用互余计算出，再利用角平分线的定义得到； （2）根据三角形的中线的性质可得，进而可得，即可求解． 【详解】（1）， ， 是的角平分线． ； （2）∵、分别是、的中点， ∴， ∵，， ∴． 题型十九 三角形折叠中的角度问题 【例19】（2024秋•龙江县期中）如图，三角形纸片ABC中，∠A＝65°，∠B＝70°，将∠C沿DE对折，使点C落在△ABC外的点C′处，若∠1＝20°，则∠2的度数为（　　） A．80° B．90° C．100° D．110° 【答案】D 【分析】根据三角形内角和定理，易得∠C＝180°﹣65°﹣70°＝45°；设C'D与BC交于点O，易得∠2＝∠C+∠DOC，∠DOC＝∠1+∠C'，则∠2的度数可求． 【详解】解：三角形纸片ABC中，∠A＝65°，∠B＝70°， 根据三角形内角和定理可得： ∠C＝∠C'＝180°﹣65°﹣70°＝45°； 如图，设C'D与BC交于点O， 则∠2＝∠C+∠DOC，∠DOC＝∠1+∠C'， 则∠2＝∠C+∠1+∠C'＝45°+20°+45°＝110°． 故选：D． 【点睛】本题考查的是三角形内角和定理，关键在于熟记定理并灵活运用． 【变式19-1】（25-26八年级上·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）如图，在中，点为内部的一个定点，，将沿折叠使点与点重合，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形内角和定理．根据折叠得出，，再由三角形内角和和平角定义求出．根据三角形内角和定理可得，再根据三角形内角和定理计算即可得答案． 【详解】解：由折叠可知：，， ∴，． ∴， 又∵， ∴，即， ∴， ∴， 故选：B． 【变式19-2】（23-24七年级下·河北秦皇岛·期末）如图，是一张纸片，把沿折叠，点C落在点处． (1)若，判断与的位置关系并说明理由； (2)若与不平行，，则______． 【答案】(1)，理由见解析 (2)100 【分析】本题考查平行线的判定和性质，折叠的性质，三角形内角和定理，掌握平行线的性质及折叠前后对应角相等是解题的关键． （1）由可得，由折叠得，等量代换可得，即可证明； （2）由折叠得，，结合，，，即可推出． 【详解】（1）解：，理由如下： ， ， 由折叠得， ， ； （2）解：由折叠得，， ，， ， ， ， ， ， ， 故答案为：100． 题型二十 三角形中的综合题 【例20】（25-26八年级上·山东临沂·阶段练习）如图，在中，点D在上，过点D作，交于点E，平分，交的平分线于点P，与相交于点G，点F在的延长线上，的平分线与相交于点Q． (1)若，，则______，______； (2)若，当的度数发生变化时，、的度数是否发生变化？若要变化，说明理由；若不变化，求出、的度数（用的代数式表示）． 【答案】(1)； (2)， 【分析】本题考查了三角形内角和定理、三角形外角的性质、角平分线的定义、平行线的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据三角形内角和定理求出，根据角平分线的定义得到，根据平行线的性质得到，，进而得到，再利用三角形内角和定理求出的度数，根据角平分线的定义以及角的和差计算得到，最后利用三角形外角的性质即可求出的度数； （2）根据三角形内角和定理求出，根据角平分线的定义得到，根据平行线的性质得到，，进而得到，再利用三角形内角和定理求出的度数，根据角平分线的定义以及角的和差计算得到，最后利用三角形外角的性质即可求出的度数． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴综上所述，，； 故答案为：；； （2）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴综上所述，，． 【变式20-1】（25-26八年级上·山西朔州·阶段练习）综合与实践 问题情境： “综合与实践”课上，老师提出如下问题：如图1，在平面内有，点在平面上，连接，，求的度数和． 数学思考： （1）请你解答老师提出的问题． 深入探究： （2）老师让同学们移动点，并提出新的问题． ①“善思小组”提出问题：如图2，求证：． ②“智慧小组”提出问题：如图3，延长，交于点，延长，交于点．若，，请直接写出与的数量关系． 【答案】（1）；（2）①见详解；② 【分析】（1）连接，根据三角形内角和定理可得，，然后由 求解即可； （2）①连接并延长至点，根据三角形外角的定义和性质可得，然后由证明结论即可；②根据三角形外角的定义和性质，结合题意可得，进而证明，然后由，即可获得答案． 【详解】解：（1）如下图，连接， 在中，可有， 在中，可有， ∴ ； （2）①如下图，连接并延长至点， 则， ∴ ； ②∵，， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理的应用、三角形外角的定义与性质等知识，熟练掌握相关知识是解题关键． 【变式20-2】（25-26八年级上·甘肃张掖·阶段练习）如图1，在中，的平分线与的外角的平分线相交于点． (1)判断与的数量关系，并加以证明； (2)如图与的平分线交于点，得与的平分线相交于点，得与的平分线相交于点，得，直接写出与的关系____________ (3)如图2，若，，求的度数． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了三角形外角的性质以及角平分线的性质，解题的关键是利用三角形外角与内角的关系，结合角平分线的性质进行角度推导． （1）利用三角形外角的性质，结合角平分线的定义，推导与的数量关系； （2）根据（1）的结论，以及证明，找出规律，推导与的关系； （3）利用（2）中得出的角的关系，结合三角形内角和定理，求出的度数． 【详解】（1）（1）； 证明：在中，， 在中，， ∵的平分线与的平分线相交于点， ∴， ∴， 即， ∴； （2）在中，， 在中，， ∵的平分线与的平分线相交于点， ， ， 即， 又 ， 同理，，…… （3）解：由（2）知道，， ， 在， ， ， 答：的度数是． 【变式20-3】（25-26八年级上·湖北黄冈·阶段练习）在八年级上册第十三章《三角形》的学习中，涉及到三角形角的性质和计算应用广泛，其中有内角、外角、对顶角、邻补角、角平分线，还有内角和、外角和，有的还要设未知数建立方程，或设参数建立等式解决问题，内涵丰富，方法多样． (1)如图1，分别平分和，若，求的度数． (2)如图2，直线平分的外角，平分的外角，若，求此时的度数． (3)在图3中，平分，平分的外角，猜想与，之间的数量关系，并直接写出结论． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了角平分线的性质，三角形内角和定理，熟练掌握角平分线的性质与三角形内角和定理是解决本题的关键． （1）根据“8字形”图形可得，，，再结合角平分线的性质可得，，，代入整理并求解即可． （2）根据角平分线的性质可得，，，再结合“8字形”图形求解即可． （3）根据角平分线的性质可得，，，再结合“8字形”图形求解即可． 【详解】（1）解：如图， ∵，， ∵分别平分和， ∴，， 则有，， 两式相减可得，， 即， ∵， ∴ （2）解： ∵直线平分的外角，平分的外角， ∴，， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， 整理可得，， ∵，， ∴， 将与两式作加法， ， ∵， ∴． （3）解：∵平分，平分的外角， ∴，， 又∵，， 又∵， ∵，， ∴，， ∴． 基础巩固通关测 1．（25-26八年级上·陕西延安·阶段练习）如图，点B、C、D、E在同一直线上，则图中的三角形一共有（   ） A．3个 B．5个 C．6个 D．7个 【答案】C 【分析】本题主要考查三角形的判断，根据三角形的定义（由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形．）即可得到结论． 【详解】解：图中共有6个三角形，分别是，，，，，． 故选：C． 2．如图，是锐角，点C从点B出发沿方向运动，连结．关于的形状变化情况，下列说法正确的是（    ） A．钝角三角形→锐角三角形→钝角三角形 B．钝角三角形→直角三角形→钝角三角形 C．钝角三角形→直角三角形→锐角三角形→钝角三角形 D．以上说法都不对 【答案】D 【分析】本题考查三角形的分类，根据点C运动路线，分段进行讨论即可． 【详解】解：点C从点B出发后至前，，是钝角三角形； 当点C运动至时，，是直角三角形； 点C继续向右运动，由小变大， 当时，是锐角三角形； 当时，是直角三角形； 当时，是钝角三角形； 因此变化情况为：钝角三角形→直角角三形→锐角三角形→直角三角形→钝角三角形， 故选D． 3．如图，为估计池塘岸边A、B两点的距离，小方在池塘的一侧选取一点O，测得米，米，A、B间的距离可能是（   ） A．15米 B．13米 C．1米 D．9米 【答案】D 【分析】本题考查的是三角形的三边关系的应用，掌握三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解题的关键；根据三角形的三边关系求出的范围即可． 【详解】解：，即， A、B间的距离可能是9米， 故选：． 4．如图，把折叠，使A，B两点重合，得到折痕，再沿折叠，点C恰好与点D重合，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了翻折变换的性质及其应用问题；解题的关键是牢固掌握翻折变换的性质．如图，运用翻折变换的性质证明；进而证明，即可解决问题． 【详解】解：由折叠可得：， ∴． ∵， ∴． ∴． 故选：C． 5．如图，在三角形中，，，，与相等的角（不包括本身）有（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，同位角相等．先根据得出，再由可知，故，再由可知，由此可得出结论． 【详解】解：∵， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． 故选：C． 6．（25-26八年级上·河北邯郸·阶段练习）如图，与的交点为，，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理及外角定理，对顶角的性质，解题的关键是掌握三角形的内角和外角． 延长交于点，利用三角形的内角和定理及对顶角相等求出，然后再利用三角形外角定理进行求解即可． 【详解】解：如图，延长交于点， ， ∴， ∴， 故选：C． 7．（25-26八年级上·四川成都·阶段练习）已知m，n为等腰的边长，且满足，则的周长是 ． 【答案】27 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，非负数的性质，三角形三边的关系等知识；由非负数的性质可求得m与n的值，根据等腰三角形的定义结合三角形三边的关系即可求得周长． 【详解】解：∵，，且， ∴，， ∴，， 若三边是5，5，11，，5，5，11不能构成三角形； 若三边是5，11，11，，周长为； ∴的周长为27； 故答案为：27． 8．（25-26八年级上·江西赣州·阶段练习）如图，已知，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形外角的定义和性质，求角的邻补角，根据三角形外角的定义和性质以及邻补角的定义代入求解即可． 【详解】解：， 故答案为： 9．（25-26八年级上·广西防城港·阶段练习）如图，将直角三角形纸片的直角C沿折叠，点C落在纸片内部的点P处．如果，则 ． 【答案】96 【分析】本题考查与折叠有关的三角形的内角和问题，根据折叠的性质，得到，三角形的内角和定理求出的度数，再根据平角的定义求出的度数即可． 【详解】解：∵折叠， ∴， 由题意，， ∴， ∴． 故答案为：96． 10．（25-26八年级上·浙江湖州·阶段练习）如图，中，的三等分线分别与的平分线交于点，，若，，则 ． 【答案】/62度 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，三角形外角的性质等知识，熟练掌握三角形内角和定理，以及基本图形是解题的关键． 先分别求出与的度数，即可求得的度数． 【详解】解：∵， ， ， ， ， 故答案为：． 能力提升进阶练 11．（25-26八年级上·河南信阳·阶段练习）已知，，是的三边． (1)若，．求第三边的取值范围； (2)若，，第三边为奇数，判断的形状； (3)化简． 【答案】(1) (2)为等腰三角形 (3) 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系，等腰三角形的定义，整式的加减，熟练掌握三角形的三边关系是解题的关键． （1）根据三角形的三边关系即可求解； （2）根据三角形的三边关系得，然后求出，最后通过等腰三角形定义即可求解； （3）根据三角形的三边关系得，，，然后化简即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴； （2）解：由（）得，， ∵第三边为奇数， ∴， ∴三边为，，， ∴为等腰三角形； （3）解：∵，，， ∴ ． 12．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，已知，分别是的高和中线，． (1)若的面积为20，求的长； (2)若，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了三角形的中线和高，三角形的面积，解决本题的关键是掌握等高的三角形面积比等于底与底的比． （1）根据三角形的中线得，然后利用三角形的面积即可求出； （2）根据，两个三角形的高相等可得，然后利用线段的和差即可解决问题． 【详解】（1）解：∵是的中线， ∴， ∵的面积为， ∴，即， 解得：； （2）解：∵， ∴， ∵是的中线， ∴， ∴， ∴，， ∴． 13．（25-26八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，在中，是高，是角平分线，它们相交于点，． (1)的度数为_______； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，三角形内角和定理，熟知三角形内角和为180度是解题的关键． （1）先由三角形内角和为求出，再由角平分线的定义推出，则由三角形内角和定理可得． （2）先求出，再由角平分线的定义得到，求出，则． 【详解】（1）解：∵在中，， ∴， ∵是角平分线，它们相交于点O， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：∵在中，，， ∴， ∵平分， ∴， ∵是高，即， ∴， ∴． 14．定义：如果一个三角形的两个内角α与β满足，那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”． (1)若是“准互余三角形”， ，，则 ． (2)如图，是直角三角形，． ①若是的平分线，则是“准互余三角形”吗？并说明理由． ②若点E是边上一点，是“准互余三角形”， ，求的度数． 【答案】(1) (2)①是“准互余三角形”，理由见解析；②或 【分析】本题考查了直角三角形的性质，理解新定义，运用分类讨论思想是解题的关键； （1）根据“准互余三角形”可知，，即可得解； （2）根据角平分线的定义可得，再根据直角三角形的性质可得，符合定义，即可得解； （3）分两种情况讨论，和，分别求出，再根据直角三角形的性质即可得解． 【详解】（1）解： 是“准互余三角形”， ， ， ， 故答案为：． （2）解：①是“准互余三角形”，理由如下，如图， 是的平分线， ， ， ， ， 是“准互余三角形”； ②如图， 由题意得， 是“准互余三角形”， 当时， ， ， ， 当时， ， ， ， 综上所述，的度数为或． 15．（24-25七年级下·宁夏吴忠·期末）【探究学习】小学阶段，我们可以通过“拼”角、“折”角，观察得到三角形内角和为，现在我们学习了平行线的性质，就可以证明此结论的正确性了． （1）如图1，过的顶点作的平行线，请你证明三角形的内角和为． 证明：∵， ∴，______（______） ∵（平角的定义） ∴______（等量代换） 即三角形的内角和为． 【解题反思】平行线具有“等角转化”的功能． 【迁移应用】（2）近年来，我国一直提倡“绿色环保、低碳生活”，健康骑行越来越受到老百姓的喜欢．自行车的示意图如图，其中，请你求，，这三个角的关系．（提示：过点作） 【学以致用】（3）如图是超市购物车，图是其侧面示意图，已知，，测量得知，，则______． 【答案】 （1），两直线平行，内错角相等， （2） （3） 【分析】本题考查平行线的性质，三角形的内角和定理，平行线的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相关性质． （1）根据平行线的性质，补全证明过程即可； （2）由平行线的判定和性质，可得，，等量代换即可得，，这三个角的关系； （3）作，，由平行线的性质可得，，相加即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴，（两直线平行，内错角相等） ∵（平角的定义） ∴（等量代换） 即三角形的内角和为． 故答案为：，两直线平行，内错角相等，． （2）解：过点作， ∵， ∴（平行于同一直线的两条直线平行）， ∴，（两直线平行，内错角相等）， ∴（等量代换） 即 （3）如图，作，则， ∵， ∴， 作，则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴ ∴ 故答案为：． 16．（25-26八年级上·黑龙江佳木斯·阶段练习）【问题】如图（1）所示，在中，平分，平分，若，则；若 ，则． 【探究】（1）如图（2）所示，在中，，三等分，，三等分，若 ，求的大小（用含的式子表示，直接写出结果）． （2）如图（3）所示，是的平分线与外角的平分线的交点，试分析和有怎样的关系？请说明理由． 【答案】【问题】（1）；（2）；【探究】（1）；（2），理由见解析 【分析】本题考查了三角形的外角性质与内角和定理的综合运用，熟记三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键． 问题：（1）利用三角形的内角和定理求出，再利用角平分线的定义求出，然后根据三角形的内角和等于列式计算即可得解；将的度数换成，然后求解即可； 探究：（1）利用三角形的内角和等于求出，再利用三等分角求出，然后根据三角形的内角和等于列式计算即可得解； （2）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和表示出和，再根据角平分线的定义可得，然后整理即可得解． 【详解】问题：（1）解：， ， 平分，平分， ，， ， ； 由三角形的内角和定理得，， 平分，平分， ，， ， ； 故答案为：； 探究：（1）由三角形的内角和定理得，， ，三等分，，三等分， ，， ， ； 故答案为：； （2）． 理由如下：由三角形的外角性质得，， ， 是与外角的平分线和的交点， ，， ， ， ． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $