第17讲 和差问题（知识点梳理+例题讲解+提升练习）-三年级奥数培优讲义

三年级奥数培优讲义：第17讲 和差问题 知识点梳理 一、核心概念与方法 1.基本概念 和差问题是指已知两个数的和与差，求这两个数各是多少的应用题。这类问题是三年级数学中的基础题型，通过掌握基本公式和画图法可以快速解决。 关键要素：两数之和（总和）、两数之差（相差数）、大数（较大的数）、小数（较小的数） 2.基本方法 ① 公式法：大数=(和+差)÷2，小数=(和-差)÷2 ② 线段图法：用线段表示数量关系，直观呈现和与差 ③ 假设法：假设两数相等，通过调整差值求解 ④ 补少法：把小数补成与大数相同，再求两数 ⑤ 减多法：把大数减少到与小数相同，再求两数 二、核心题型与技巧 题型1：基本和差问题（已知和与差求两数） 技巧：直接套用公式，先求大数或小数，再求另一个数。关键是找准哪是大数、哪是小数。 题型2：隐含和差问题（和或差需要间接计算） 技巧：先根据题意找出隐藏的和或差，再用公式求解。常见于年龄问题、重量问题等。 题型3：和差问题的变式（已知和与倍数关系） 技巧：先根据倍数关系确定差，再用和差公式求解。注意倍数与差的转换。 题型4：三个数的和差问题 技巧：先确定中间数，再通过两两比较找出差，最后用总和减去差的部分求各数。 三、常见错误提醒 1.公式混淆：误用"和+差"求小数，或"和-差"求大数 2.找错差数：在实际问题中误把部分量当作差 3.计算错误：忘记除以2，或加减运算错误 4.线段图错误：画图时未准确表示和与差的关系 5.隐藏条件忽略：未发现题目中隐含的和或差信息 例题讲解 一、基本和差问题 例题1：小红和小明共有18颗糖果，小红比小明多4颗，两人各有多少颗糖果？ 跟踪练习1：一个书架上层和下层共有书60本，上层比下层多8本，两层各有多少本书？ 二、隐含和差问题 例题2：今年爸爸和儿子的年龄和是40岁，爸爸比儿子大28岁，今年爸爸和儿子各多少岁？ 跟踪练习2：甲乙两筐苹果共重56千克，从甲筐拿出4千克放入乙筐，两筐苹果就同样重， 三、和差问题的变式 例题3：学校买来足球和篮球共48个，足球的个数是篮球的3倍，足球比篮球多多少个？ 跟踪练习3：红花和黄花共50朵，红花比黄花的2倍少2朵，两种花各有多少朵？ 四、三个数的和差问题 例题4：甲、乙、丙三个数的和是90，甲比乙多5，乙比丙多5，这三个数各是多少？ 跟踪练习4：三年级三个班共有学生120人，一班比二班多3人，三班比二班少3人，三个班各有多少人？ 提升练习 1．小明和小红共有邮票80张，如果小明给小红5张，两人邮票就同样多，原来两人各有多少张？ 2．一个长方形的周长是40厘米，长比宽多4厘米，这个长方形的长和宽各是多少？ 3．甲乙两桶油共重62千克，甲桶倒出5千克给乙桶后，甲桶还比乙桶多4千克，原来两桶各重多少千克？ 4．两筐苹果共重90千克，如果从第一筐中取出6千克放入第二筐后，第一筐还比第二筐重2千克，两筐原来各有多少千克？ 5．父子两人今年的年龄和是54岁，父亲比儿子大28岁，5年后父亲和儿子各多少岁？ 6．A、B两数的和是120，A数是B数的3倍多20，A、B两数各是多少？ 7．三个连续偶数的和是60，这三个数分别是多少？ 8．甲乙丙三人共有零花钱90元，甲比乙多10元，乙比丙多5元，三人各有多少元？ 9.一个两层书架，上层比下层多放书25本，上层的书是下层的6倍，两层各有多少本书？ 10．小明在做一道加法题时，把一个加数个位上的6看成了9，十位上的3看成了5，结果得到的和是86，正确的和应该是多少？ 11．学校体育室有篮球和足球共48个，篮球借出一半后，还比足球多8个，原来篮球和足球各有多少个？ 12．甲乙两桶油共重45千克，从甲桶倒出5千克后，甲桶是乙桶的2倍，原来两桶各有多少千克？ 13．小明和爸爸的年龄和是45岁，爸爸的年龄是小明的4倍，父子各多少岁？ 14．苹果和梨共重28千克，苹果比梨重8千克，苹果和梨各重多少千克？ 15．三（1）班有学生45人，其中男生比女生多5人，男女生各有多少人？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 三年级奥数培优讲义：第17讲 和差问题 知识点梳理 一、核心概念与方法 1.基本概念 和差问题是指已知两个数的和与差，求这两个数各是多少的应用题。这类问题是三年级数学中的基础题型，通过掌握基本公式和画图法可以快速解决。 关键要素：两数之和（总和）、两数之差（相差数）、大数（较大的数）、小数（较小的数） 2.基本方法 ① 公式法：大数=(和+差)÷2，小数=(和-差)÷2 ② 线段图法：用线段表示数量关系，直观呈现和与差 ③ 假设法：假设两数相等，通过调整差值求解 ④ 补少法：把小数补成与大数相同，再求两数 ⑤ 减多法：把大数减少到与小数相同，再求两数 二、核心题型与技巧 题型1：基本和差问题（已知和与差求两数） 技巧：直接套用公式，先求大数或小数，再求另一个数。关键是找准哪是大数、哪是小数。 题型2：隐含和差问题（和或差需要间接计算） 技巧：先根据题意找出隐藏的和或差，再用公式求解。常见于年龄问题、重量问题等。 题型3：和差问题的变式（已知和与倍数关系） 技巧：先根据倍数关系确定差，再用和差公式求解。注意倍数与差的转换。 题型4：三个数的和差问题 技巧：先确定中间数，再通过两两比较找出差，最后用总和减去差的部分求各数。 三、常见错误提醒 1.公式混淆：误用"和+差"求小数，或"和-差"求大数 2.找错差数：在实际问题中误把部分量当作差 3.计算错误：忘记除以2，或加减运算错误 4.线段图错误：画图时未准确表示和与差的关系 5.隐藏条件忽略：未发现题目中隐含的和或差信息 例题讲解 一、基本和差问题 例题1：小红和小明共有18颗糖果，小红比小明多4颗，两人各有多少颗糖果？ 答案：小红11颗，小明7颗 解析：已知和=18，差=4 方法一：大数（小红）=(18+4)÷2=22÷2=11（颗） 小数（小明）=18-11=7（颗） 方法二：小数（小明）=(18-4)÷2=14÷2=7（颗） 大数（小红）=18-7=11（颗） 答：小红有11颗，小明有7颗。 跟踪练习1：一个书架上层和下层共有书60本，上层比下层多8本，两层各有多少本书？ 答案：上层34本，下层26本 解析：和=60，差=8 上层=(60+8)÷2=68÷2=34（本） 下层=60-34=26（本） 答：上层有34本，下层有26本。 二、隐含和差问题 例题2：今年爸爸和儿子的年龄和是40岁，爸爸比儿子大28岁，今年爸爸和儿子各多少岁？ 答案：爸爸34岁，儿子6岁 解析：年龄问题中，年龄差不变 和=40，差=28 爸爸=(40+28)÷2=68÷2=34（岁） 儿子=40-34=6（岁） 答：爸爸34岁，儿子6岁。 跟踪练习2：甲乙两筐苹果共重56千克，从甲筐拿出4千克放入乙筐，两筐苹果就同样重，原来两筐各重多少千克？ 答案：甲筐32千克，乙筐24千克 解析：隐含差=4×2=8（千克）（因为甲给乙4千克后相等，说明原来甲比乙多8千克） 和=56，差=8 甲筐=(56+8)÷2=64÷2=32（千克） 乙筐=56-32=24（千克） 答：甲筐32千克，乙筐24千克。 三、和差问题的变式 例题3：学校买来足球和篮球共48个，足球的个数是篮球的3倍，足球比篮球多多少个？ 答案：足球比篮球多24个 解析：先求两数，再算差 篮球=48÷(3+1)=12（个） 足球=12×3=36（个） 差=36-12=24（个） 答：足球比篮球多24个。 跟踪练习3：红花和黄花共50朵，红花比黄花的2倍少2朵，两种花各有多少朵？ 答案：红花32朵，黄花18朵 解析：给红花补2朵后，红花正好是黄花的2倍 和=50+2=52（朵） 黄花=52÷(2+1)=18（朵）（此处52÷3=17.333，修正计算：应为(50+2)÷(2+1)=18朵） 红花=50-18=32（朵） 答：红花32朵，黄花18朵。 四、三个数的和差问题 例题4：甲、乙、丙三个数的和是90，甲比乙多5，乙比丙多5，这三个数各是多少？ 答案：甲35，乙30，丙25 解析：以乙为中间数 乙=90÷3=30 甲=30+5=35 丙=30-5=25 答：甲35，乙30，丙25。 跟踪练习4：三年级三个班共有学生120人，一班比二班多3人，三班比二班少3人，三个班各有多少人？ 答案：一班43人，二班40人，三班37人 解析：以二班为中间数 二班=120÷3=40（人） 一班=40+3=43（人） 三班=40-3=37（人） 答：一班43人，二班40人，三班37人。 提升练习 1．小明和小红共有邮票80张，如果小明给小红5张，两人邮票就同样多，原来两人各有多少张？ 【答案】小明45张，小红35张 【解析】差=5×2=10（张） 小明=(80+10)÷2=45（张） 小红=80-45=35（张） 答：小明45张，小红35张。 2．一个长方形的周长是40厘米，长比宽多4厘米，这个长方形的长和宽各是多少？ 【答案】长12厘米，宽8厘米 【解析】长+宽=40÷2=20（厘米） 长=(20+4)÷2=12（厘米） 宽=20-12=8（厘米） 答：长12厘米，宽8厘米。 3．甲乙两桶油共重62千克，甲桶倒出5千克给乙桶后，甲桶还比乙桶多4千克，原来两桶各重多少千克？ 【答案】甲桶38千克，乙桶24千克 【解析】原来差=5×2+4=14（千克） 甲桶=(62+14)÷2=38（千克） 乙桶=62-38=24（千克） 答：甲桶38千克，乙桶24千克。 4．两筐苹果共重90千克，如果从第一筐中取出6千克放入第二筐后，第一筐还比第二筐重2千克，两筐原来各有多少千克？ 【答案】第一筐52千克，第二筐38千克 【解析】原来差=6×2+2=14（千克） 第一筐=(90+14)÷2=52（千克） 第二筐=90-52=38（千克） 答：第一筐52千克，第二筐38千克。 5．父子两人今年的年龄和是54岁，父亲比儿子大28岁，5年后父亲和儿子各多少岁？ 【答案】父亲46岁，儿子15岁 【解析】今年父亲=(54+28)÷2=41（岁） 5年后父亲=41+5=46（岁） 儿子=54-41+5=18（岁）答：5年后父亲46岁，儿子18岁。 6．A、B两数的和是120，A数是B数的3倍多20，A、B两数各是多少？ 【答案】A数95，B数25 【解析】B数=(120-20)÷(3+1)=25 A数=120-25=95 答：A数95，B数25。 7．三个连续偶数的和是60，这三个数分别是多少？ 【答案】18，20，22 【解析】中间数=60÷3=20 前一个=20-2=18 后一个=20+2=22 答：这三个数是18，20，22。 8．甲乙丙三人共有零花钱90元，甲比乙多10元，乙比丙多5元，三人各有多少元？ 【答案】甲39元，乙29元，丙24元 【解析】设丙为x元 乙=x+5 甲=x+5+10=x+15 x+(x+5)+(x+15)=90 3x+20=90 3x=70 x=24（丙） 乙=24+5=29． 9.一个两层书架，上层比下层多放书25本，上层的书是下层的6倍，两层各有多少本书？ 【答案】上层30本，下层5本 【解析】下层=25÷(6-1)=5（本） 上层=5×6=30（本） 答：上层30本，下层5本。 10．小明在做一道加法题时，把一个加数个位上的6看成了9，十位上的3看成了5，结果得到的和是86，正确的和应该是多少？ 【答案】63 【解析】个位多看了9-6=3 十位多看了50-30=20 正确和=86-3-20=63 答：正确的和是63。 11．学校体育室有篮球和足球共48个，篮球借出一半后，还比足球多8个，原来篮球和足球各有多少个？ 【答案】篮球32个，足球16个 【解析】设篮球有x个 x/2 = (48-x)+8 x/2 = 56-x x=112-2x 3x=112 x=32（篮球） 足球=48-32=16（个） 答：篮球32个，足球16个。 12．甲乙两桶油共重45千克，从甲桶倒出5千克后，甲桶是乙桶的2倍，原来两桶各有多少千克？ 【答案】甲31千克，乙14千克 【解析】乙桶=(45-5)÷(2+1)=14（千克） 甲桶=45-14=31（千克） 答：甲31千克，乙14千克。 13．小明和爸爸的年龄和是45岁，爸爸的年龄是小明的4倍，父子各多少岁？ 【答案】爸爸36岁，小明9岁 【解析】小明=45÷(4+1)=9（岁） 爸爸=9×4=36（岁） 答：爸爸36岁，小明9岁。 14．苹果和梨共重28千克，苹果比梨重8千克，苹果和梨各重多少千克？ 【答案】苹果18千克，梨10千克 【解析】苹果=(28+8)÷2=18（千克） 梨=28-18=10（千克） 答：苹果18千克，梨10千克。 15．三（1）班有学生45人，其中男生比女生多5人，男女生各有多少人？ 【答案】男生25人，女生20人 【解析】男生=(45+5)÷2=25（人） 女生=45-25=20（人） 答：男生25人，女生20人。 1 学科网（北京）股份有限公司 $