第19讲 等量代换（知识点梳理+例题讲解+提升练习）-三年级奥数培优讲义

三年级奥数培优讲义：第19讲 等量代换 知识点梳理 一、核心概念与方法 1. 基本概念 等量代换是指用一种量（或一种量的一部分）来代替和它相等的另一种量（或另一种量的一部分）。它是数学中一种基本的思想方法，也是代数思想方法的基础。 关键要素：相等关系（找到等量）、替换思想（用一个量代替另一个等量）、传递性（如果a=b且b=c，那么a=c） 2. 基本方法 ① 直接替换法：当两个量直接相等时，用一个量直接替换另一个量 ② 中间量替换法：通过找到中间量作为桥梁，实现两个量之间的替换 ③ 图文转换法：将题目中的文字信息转化为图形或等式，使关系更直观 ④ 等式加减法：通过等式的加减运算，消去一个未知量，求出另一个未知量 ⑤ 倍数关系法：根据量与量之间的倍数关系进行替换 二、核心题型与技巧 题型1：简单图形代换 技巧：用图形符号（如△、□、○等）表示未知量，根据题意列出等式，直接替换相同图形。 题型2：实物代换 技巧：将实际物品（如水果、蔬菜、小动物等）之间的等量关系转化为数学等式，找出中间量进行替换。 题型3：算式代换 技巧：将算式作为整体进行代换，先求出一个算式的值，再代入另一个算式。 题型4：倍数关系代换 技巧：当两个量之间存在倍数关系时，先明确倍数，用多个小量替换一个大量或用一个大量替换多个小量。 题型5：复杂等量代换 技巧：涉及三个或多个量的等量关系时，先找出共同的中间量，逐步替换，简化问题。 三、常见错误提醒 1.找不到等量关系：无法从题目中找出相等的量 2.替换方向错误：搞不清哪个量可以替换哪个量 3.中间量选择不当：选择了不合适的中间量，导致问题复杂化 4.计算错误：替换关系正确但计算过程中出现错误 5.忽略隐含条件：题目中没有直接说明但隐含的等量关系 6.图形与数量对应错误：多个图形时，混淆不同图形代表的数量 例题讲解 一、简单图形代换 例题1：已知△+□=10，△=4，求□=？ 跟踪练习1：已知○+○+△=15，△=3，求○=？ 二、实物代换 例题2：1个苹果的重量=2个桃子的重量，1个桃子的重量=3个樱桃的重量，那么1个苹果的重量等于多少个樱桃的重量？ 跟踪练习2：1只兔子的重量=2只鸡的重量，1只鸡的重量=3只鸽子的重量，那么2只兔子的重量等于多少只鸽子的重量？ 三、算式代换 例题3：已知a+b=12，c+a=15，b=5，求c=？ 跟踪练习3：已知x+y=18，y+z=22，x+z=20，求x+y+z=？ 四、倍数关系代换 例题4：1个篮球的价格=3个足球的价格，1个足球的价格=2个排球的价格，已知1个排球50元，求1个篮球多少元？ 跟踪练习4：1只羊的重量=4只狗的重量，1只狗的重量=2只猫的重量，已知1只猫重5千克，求1只羊重多少千克？ 五、复杂等量代换 例题5：已知△+□=15，□+○=12，○+△=11，求△=？□=？○=？ 跟踪练习5：已知鸡+鸭=10千克，鸭+鹅=12千克，鸡+鹅=14千克，求鸡、鸭、鹅各重多少千克？ 提升练习 1．买一个娃娃的钱可以买2个小电子琴，买一个小电子琴的钱可以买2只玩具猫，买一个娃娃的钱可以买几只玩具猫？ 2．如果10只兔子可以换2只羊，6只羊可以换3头猪，2头猪可以换1头牛，那么，1头牛可以换多少只兔子？ 3．有篮球、足球、排球三种球．篮球3个、足球2个、排球1个，共值196元；篮球1个、足球3个、排球2个共值200元；篮球2个、足球1个、排球3个共值168元．每种球的单价各是多少？ 4．3头牛、4匹马、1只羊每天共吃草90千克；4头牛、1匹马、3只羊每天共吃草66千克；1头牛、3匹马、4只羊每天共吃草68千克．若5头牛、5匹马、5只羊一齐吃5天，可以吃多少草？ 5．一条鱼，鱼尾重4千克，鱼头重量等于鱼尾加上鱼身重量的一半，而鱼身重量等于鱼头加鱼尾的重量．问这条鱼重多少千克？ 6．有大、小两种玻璃球，6个大的和14个小的共290克，而15个大的与2个小的共296克，求每个大球和每个小球的重量． 7．学校上学期买回3个足球和2个篮球，用去370元；本学期价格不变，又买回6个足球和8个篮球，用去1120元．一个足球和一个篮球的售价各是多少元？ 8．美术小组第一天买了3盒彩笔和1支毛笔，共付款4元4角4分；第二天又买了同样的5盒彩笔和3支毛笔，共付款7元9角6分．问每盒彩笔和每支毛笔的价钱各是多少元？ 9．小明买了3本练习册，2本作文册，1本大字本用了3元4角；小辉买了1本练习册，3本作文册，2本大字本共用去4元8角；小华买了2本练习册，1本作文册，3本大字本共用了3元8角．练习册、作文册、大字本单价各多少？ 10．学校买足球和篮球若干，六年级买了4个足球和2个篮球，共付人民币420元．五年级买回了1个足球和2个篮球共付240元．一个篮球和一个足球价格各是多少元？ 11．买甲种布8米，乙种布18米，共用去378元．已知1米甲种布和3米乙种布的价钱相等．求甲乙两种布的单价各是多少元？ 12．希望小学打算购买若干台电脑（每台电脑由一台主机和一个显示器组成）。这笔钱如果只买显示器，能购买120个，如果只购买主机，能买40台。问这笔钱能买几台电脑？ 13．红星运动鞋厂把300双运动鞋分别装在3只大箱和8只小箱里，正好装满，如果1只大箱与4只小箱装的运动鞋一样多，那么每只大箱和每只小箱各装多少双运动鞋？ 14．已知所有大鸭子的重量均相同，所有小鸭子的重量均相同。3只大鸭子和2只小鸭子共重32千克，4只大鸭子和3只小鸭子共重44千克，请问2只大鸭子和1只小鸭子共重多少千克？ 15．李刚准备为单位购买8份报纸和5本杂志，算好了价钱是23元。到了报刊亭，他改变了主意，买了5份报纸和8份杂志，结果花了29元，报纸和杂志的单价各是多少元？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 三年级奥数培优讲义：第19讲 等量代换 知识点梳理 一、核心概念与方法 1. 基本概念 等量代换是指用一种量（或一种量的一部分）来代替和它相等的另一种量（或另一种量的一部分）。它是数学中一种基本的思想方法，也是代数思想方法的基础。 关键要素：相等关系（找到等量）、替换思想（用一个量代替另一个等量）、传递性（如果a=b且b=c，那么a=c） 2. 基本方法 ① 直接替换法：当两个量直接相等时，用一个量直接替换另一个量 ② 中间量替换法：通过找到中间量作为桥梁，实现两个量之间的替换 ③ 图文转换法：将题目中的文字信息转化为图形或等式，使关系更直观 ④ 等式加减法：通过等式的加减运算，消去一个未知量，求出另一个未知量 ⑤ 倍数关系法：根据量与量之间的倍数关系进行替换 二、核心题型与技巧 题型1：简单图形代换 技巧：用图形符号（如△、□、○等）表示未知量，根据题意列出等式，直接替换相同图形。 题型2：实物代换 技巧：将实际物品（如水果、蔬菜、小动物等）之间的等量关系转化为数学等式，找出中间量进行替换。 题型3：算式代换 技巧：将算式作为整体进行代换，先求出一个算式的值，再代入另一个算式。 题型4：倍数关系代换 技巧：当两个量之间存在倍数关系时，先明确倍数，用多个小量替换一个大量或用一个大量替换多个小量。 题型5：复杂等量代换 技巧：涉及三个或多个量的等量关系时，先找出共同的中间量，逐步替换，简化问题。 三、常见错误提醒 1.找不到等量关系：无法从题目中找出相等的量 2.替换方向错误：搞不清哪个量可以替换哪个量 3.中间量选择不当：选择了不合适的中间量，导致问题复杂化 4.计算错误：替换关系正确但计算过程中出现错误 5.忽略隐含条件：题目中没有直接说明但隐含的等量关系 6.图形与数量对应错误：多个图形时，混淆不同图形代表的数量 例题讲解 一、简单图形代换 例题1：已知△+□=10，△=4，求□=？ 答案：□=6 解析：因为△=4，所以将△+□=10中的△替换为4，得到4+□=10，因此□=10-4=6 跟踪练习1：已知○+○+△=15，△=3，求○=？ 答案：○=6 解析：将△=3代入○+○+△=15，得到○+○+3=15，所以○+○=15-3=12，因此○=12÷2=6 二、实物代换 例题2：1个苹果的重量=2个桃子的重量，1个桃子的重量=3个樱桃的重量，那么1个苹果的重量等于多少个樱桃的重量？ 答案：6个 解析：因为1个苹果=2个桃子，1个桃子=3个樱桃，所以2个桃子=2×3=6个樱桃，因此1个苹果=6个樱桃 答：1个苹果的重量等于6个樱桃的重量。 跟踪练习2：1只兔子的重量=2只鸡的重量，1只鸡的重量=3只鸽子的重量，那么2只兔子的重量等于多少只鸽子的重量？ 答案：12只 解析：1只兔子=2只鸡，1只鸡=3只鸽子，所以1只兔子=2×3=6只鸽子，因此2只兔子=2×6=12只鸽子 答：2只兔子的重量等于12只鸽子的重量。 三、算式代换 例题3：已知a+b=12，c+a=15，b=5，求c=？ 答案：c=8 解析：因为a+b=12且b=5，所以a=12-b=12-5=7；又因为c+a=15，所以c=15-a=15-7=8 答：c=8。 跟踪练习3：已知x+y=18，y+z=22，x+z=20，求x+y+z=？ 答案：x+y+z=30 解析：将三个等式相加：x+y+y+z+x+z=18+22+20，即2x+2y+2z=60，所以x+y+z=60÷2=30 答：x+y+z=30。 四、倍数关系代换 例题4：1个篮球的价格=3个足球的价格，1个足球的价格=2个排球的价格，已知1个排球50元，求1个篮球多少元？ 答案：300元 解析：1个足球=2个排球=2×50=100元，1个篮球=3个足球=3×100=300元 答：1个篮球300元。 跟踪练习4：1只羊的重量=4只狗的重量，1只狗的重量=2只猫的重量，已知1只猫重5千克，求1只羊重多少千克？ 答案：40千克 解析：1只狗=2只猫=2×5=10千克，1只羊=4只狗=4×10=40千克 答：1只羊重40千克。 五、复杂等量代换 例题5：已知△+□=15，□+○=12，○+△=11，求△=？□=？○=？ 答案：△=7，□=8，○=4 解析：将三个等式相加：△+□+□+○+○+△=15+12+11=38，即2△+2□+2○=38，所以△+□+○=19 用△+□+○=19减去△+□=15，得到○=4 用△+□+○=19减去□+○=12，得到△=7 用△+□+○=19减去○+△=11，得到□=8 答：△=7，□=8，○=4。 跟踪练习5：已知鸡+鸭=10千克，鸭+鹅=12千克，鸡+鹅=14千克，求鸡、鸭、鹅各重多少千克？ 答案：鸡=6千克，鸭=4千克，鹅=8千克 解析：将三个等式相加：鸡+鸭+鸭+鹅+鸡+鹅=10+12+14=36千克，即2鸡+2鸭+2鹅=36千克，所以鸡+鸭+鹅=18千克 用鸡+鸭+鹅=18减去鸡+鸭=10，得到鹅=8千克 用鸡+鸭+鹅=18减去鸭+鹅=12，得到鸡=6千克 用鸡+鸭+鹅=18减去鸡+鹅=14，得到鸭=4千克 答：鸡重6千克，鸭重4千克，鹅重8千克。 提升练习 1．买一个娃娃的钱可以买2个小电子琴，买一个小电子琴的钱可以买2只玩具猫，买一个娃娃的钱可以买几只玩具猫？ 【答案】4只 【详解】略 2．如果10只兔子可以换2只羊，6只羊可以换3头猪，2头猪可以换1头牛，那么，1头牛可以换多少只兔子？ 【答案】20只 【详解】略 3．有篮球、足球、排球三种球．篮球3个、足球2个、排球1个，共值196元；篮球1个、足球3个、排球2个共值200元；篮球2个、足球1个、排球3个共值168元．每种球的单价各是多少？ 【答案】篮球：30元   足球：42元   排球：22元 【分析】这道题里有三个未知量，可用下面式子把题意表示出来： 3个篮球+2个足球+1个排球=196元（l） l个篮球+3个足球+2个排球=200元（2） 2个篮球+l个足球+3个排球=168元（3） 三个未知量中可以先设法消去一个未知量，得到两个未知量之间的关系，从而得到解答． （2）式×3-（1）式得：7个足球+5个排球=404元（4） （2）式×2－（3）式得：5个足球+1个排球=232元（5） 消去篮球后，原题可由（4）式和（5）式组成，即有“7个足球、5个排球值404元，5个足球、1个排球值232元”两组条件．再分别求出足球和排球的单价． 【详解】解：7个足球和5个排球的价钱：200×3-196=404（元） 5个足球和1个排球的价钱：200×2-168=232（元） 足球单价：（232×5-404）÷（5×5-7）=42（元） 排球单价：232-42×5=22（元） 篮球单价：（196-42×2-22）÷3=30（元） 答：一个篮球30元，一个足球42元，一个排球22元． 4．3头牛、4匹马、1只羊每天共吃草90千克；4头牛、1匹马、3只羊每天共吃草66千克；1头牛、3匹马、4只羊每天共吃草68千克．若5头牛、5匹马、5只羊一齐吃5天，可以吃多少草？ 【答案】700千克 【详解】把它们全加起来，发现8头牛、8匹马、8只羊每天共吃草90+66+68=224（千克）； 所以1头牛、1匹马、1只羊每天吃草：224÷8=28（千克）； 所以5头牛、5匹马、5只羊每天吃草：28×5=140（千克）； 所以5头牛、5匹马、5只羊5天共吃草：140×5=700（千克）． 5．一条鱼，鱼尾重4千克，鱼头重量等于鱼尾加上鱼身重量的一半，而鱼身重量等于鱼头加鱼尾的重量．问这条鱼重多少千克？ 【答案】鱼重32千克 【详解】可知：两个鱼头=两个鱼尾+鱼身，又知道：鱼身=鱼头+鱼尾； 所以，两个鱼头=两个鱼尾+鱼头+鱼尾；所以，两个鱼头=3个鱼尾+鱼头； 所以，鱼头=3个鱼尾； 所以， 鱼头重：3×4=12（千克）； 鱼身重：12+4=16（千克）； 所以鱼共重12+16+4=32（千克）． 6．有大、小两种玻璃球，6个大的和14个小的共290克，而15个大的与2个小的共296克，求每个大球和每个小球的重量． 【答案】每个小的重13克；每个大的重18克． 【详解】①6个大的+14个小的=290克； ②15个大的+2个小的=296克； 用①×5－②×2，得到：每个小的重：（290×5－296×2）÷（14×5－2×2）=13（克）； 根据②，每个大的重：（296－13×2）÷15=18（克）； 7．学校上学期买回3个足球和2个篮球，用去370元；本学期价格不变，又买回6个足球和8个篮球，用去1120元．一个足球和一个篮球的售价各是多少元？ 【答案】每个篮球95元；每个足球60元． 【详解】①3个足球+2个篮球=370元， ②6个足球+8个篮球=1120元， ②－①×2得：每个篮球：（1120－370×2）÷（8－2×4）=95（元）； 那么每个足球：（370－95×2）÷3=60（元）． 8．美术小组第一天买了3盒彩笔和1支毛笔，共付款4元4角4分；第二天又买了同样的5盒彩笔和3支毛笔，共付款7元9角6分．问每盒彩笔和每支毛笔的价钱各是多少元？ 【答案】每盒彩笔1.34元；每支毛笔的价钱0.42元． 【详解】①3盒彩笔+1支毛笔=4.44元； ②5盒彩和+3支毛笔=7.96元； ①×3－②得：（3×3－5）盒彩笔=（4.44×3－7.96）元； 所以每盒彩笔：（4.44×3－7.96）÷（3×3－5）=1.34（元）； 所以每支毛笔：（4.44－1.34×3）÷1=0.42（元）． 9．小明买了3本练习册，2本作文册，1本大字本用了3元4角；小辉买了1本练习册，3本作文册，2本大字本共用去4元8角；小华买了2本练习册，1本作文册，3本大字本共用了3元8角．练习册、作文册、大字本单价各多少？ 【答案】练习册2角；作文册10角；大字本8角． 【详解】（1）3本练习、 2本作文、1本大字， 共34角； （2）1本练习、3本作文、2本大字，   共48角； （3）2本练习、1本作文、3本大字，   共38角． 用以下方式表达：（2）×3 －（1），即： 先将（2）扩大3倍： （4）3本练习、9本作文、6本大字， 共144角； 比较（1）（2），可知： （5）7本作文、5本大字， 共110角． 然后，（2）×2 －（3），得：（6）5本作文、1本大字， 共58角． 再：（6）×5－（5），得：（5×5－7）=18本作文，共（58×5－110）=180角 因此，每个作文册单价为：180÷18=10（角）， 根据（6），每个大字本单价为：（58－5×10）÷1=8（角）， 根据（1），每个练习册单价为：（34－2×10－8×1）÷3=2（角）． 10．学校买足球和篮球若干，六年级买了4个足球和2个篮球，共付人民币420元．五年级买回了1个足球和2个篮球共付240元．一个篮球和一个足球价格各是多少元？ 【答案】每个足球价格为60元；每个篮球价格为90元． 【详解】先整理条件： 4个足球、 2个篮球，     共420元； 1个足球、 2个篮球，     共240元． 比较可知：少了4－1=3个足球，少了420－240=180（元）； 因此每个足球价格为：180÷3=60（元）； 因此每个篮球价格为：（240－6）÷2=90（元）． 11．买甲种布8米，乙种布18米，共用去378元．已知1米甲种布和3米乙种布的价钱相等．求甲乙两种布的单价各是多少元？ 【答案】甲单价27元，乙单价9元 【分析】根据题意可以得到下列关系式： 8米甲种布＋18米乙种布＝378元 1米甲种布＝3米乙种布 由“1米甲种布和3米乙种布的价钱相等”，可知乙种布的价格甲种布的价格的关系，因此就可以得出甲种布的单价． 【详解】将甲种布置换成乙种布，一共是：8×3+18＝42（米） 所以乙种布单价是：378÷42＝9（元） 甲种布单价是：9×3＝27（元） 12．希望小学打算购买若干台电脑（每台电脑由一台主机和一个显示器组成）。这笔钱如果只买显示器，能购买120个，如果只购买主机，能买40台。问这笔钱能买几台电脑？ 【答案】30台 【分析】120÷40＝3，因此可以先求出一台主机的价格是一个显示器价格的3倍，即买1台主机的钱可以买3个显示器。每台电脑由一台主机和一个显示器组成，即一台电脑的价格相当于4个显示器的价格，从而就可以求出这笔钱能买多少台电脑。 【详解】120÷40＝3 120÷（3＋1） ＝120÷4 ＝30（台） 答：这笔钱能买30台电脑。 13．红星运动鞋厂把300双运动鞋分别装在3只大箱和8只小箱里，正好装满，如果1只大箱与4只小箱装的运动鞋一样多，那么每只大箱和每只小箱各装多少双运动鞋？ 【答案】60双；15双 【分析】因为1只大箱与4只小箱装的运动鞋一样多，所以把全部大箱变为小箱，需要用3×4＝12（只），然后用300÷（12＋8），求出一个小箱可以装的鞋数，从而求出一个大箱的装鞋数。 【详解】（只） （双） （双） 答：每只大箱装60双，每只小箱装15双运动鞋。 【点睛】此题主要考查学生运用等量代换的方法进行解题。 14．已知所有大鸭子的重量均相同，所有小鸭子的重量均相同。3只大鸭子和2只小鸭子共重32千克，4只大鸭子和3只小鸭子共重44千克，请问2只大鸭子和1只小鸭子共重多少千克？ 【答案】20千克 【分析】由题意可得：4只大鸭子和3只小鸭子共重44千克，减去3只大鸭子和2只小鸭子共重32千克，得1只大鸭子和1只小鸭子共重44－32＝12（千克），再用3只大鸭子和2只小鸭子共重32千克，减去1只大鸭子和1只小鸭子共重12千克，即得到2只大鸭子和1只小鸭子总共的重量。 【详解】32－（44－32） ＝32－12 ＝20（千克） 答：2只大鸭子和1只小鸭子共重20千克。 【点睛】此题属于简单的等量代换问题，要注意观察题的特点，根据已知条件和问题之间的关系灵活解答。 15．李刚准备为单位购买8份报纸和5本杂志，算好了价钱是23元。到了报刊亭，他改变了主意，买了5份报纸和8份杂志，结果花了29元，报纸和杂志的单价各是多少元？ 【答案】1元；3元 【分析】购买8份报纸和5本杂志是23元，购买5份报纸和8份杂志是29元，相加即为购买13份报纸和13本杂志是52元，因此购买1份报纸和1本杂志是4元，在扩大5倍即为：购买5份报纸和5本杂志是20元。再结合购买8份报纸和5本杂志是23元对比即可知道：多买了3份报纸多花了9元，用除法就可以求出1份报纸的价格。再把报纸的价格代入到题目条件中，即可求出1本杂志的价格。 【详解】购买13份报纸和13本杂志：（元） 购买1份报纸和1本杂志：（元） 购买5份报纸和5本杂志：（元） 报纸： （元） 杂志： （元） 答：报纸的单价是1元，杂志的单价是3元。 1 学科网（北京）股份有限公司 $