第18讲 简单列举（知识点梳理+例题讲解+提升练习）-三年级奥数培优讲义

三年级奥数培优讲义：第18讲 简单列举 知识点梳理 一、核心概念与方法 1.基本概念 简单列举是一种通过按顺序、不重复、不遗漏地列出所有可能情况来解决问题的方法。这种方法直观易懂，是解决计数、搭配、排列等问题的基础方法，能帮助我们系统地思考问题。 关键要素：有序性（按一定顺序列举）、全面性（不遗漏任何可能）、唯一性（不重复列举） 2.基本方法 ① 列表法：用表格形式整理所有可能情况，清晰明了 ② 枚举法：按一定顺序逐个写出所有可能结果 ③ 连线法：用连线表示不同事物之间的搭配关系 ④ 分类列举：先按标准分类，再列举各类中的所有情况 ⑤ 树状图法：用树枝状图形展示所有可能的结果组合 二、核心题型与技巧 题型1：数字排列问题 技巧：先确定最高位（或固定一位），再依次排列其余位数字，注意0不能在首位。按从小到大或从大到小顺序排列可避免重复和遗漏。 题型2：搭配问题 技巧：先确定一类事物，再分别与另一类事物进行搭配，可使用连线法或乘法原理计算总数。 题型3：分配问题 技巧：按一定顺序（通常从大到小或从小到大）进行分配，先固定一个量，再依次列举其他量的可能情况。 题型4：路线问题 技巧：用标数法或树状图法，从起点开始逐步标出到每个点的路线数，或列举所有可能路线。 题型5：条件限制问题 技巧：先列出所有可能情况，再根据限制条件筛选；或直接在列举过程中考虑限制条件。 三、常见错误提醒 1.遗漏情况：未按顺序列举导致遗漏部分可能结果 2.重复列举：同一情况以不同形式重复出现 3.顺序混乱：没有固定顺序，想到什么列什么 4.分类不当：分类标准不统一或分类有交叉 5.忽略限制条件：未考虑题目中的特殊要求或限制条件 6.计数错误：列举正确但最后计数时出现错误 例题讲解 一、数字排列问题 例题1：用数字1、2、3可以组成多少个不同的两位数？（每个数字只能用一次） 跟踪练习1：用数字0、1、2可以组成多少个不同的两位数？（每个数字只能用一次） 二、搭配问题 例题2：小明有2件不同的上衣和3条不同的裤子，他一共有多少种不同的穿法？ 跟踪练习2：有3种不同的饮料和2种不同的点心，选一种饮料和一种点心，共有多少种不同的搭配方法？ 三、分配问题 例题3：把5个苹果分给小明和小红，每人至少分1个，有多少种不同的分法？ 跟踪练习3：把7块糖分给小刚和小强，每人至少分2块，有多少种不同的分法？ 四、路线问题 例题4：从学校到公园有2条路，从公园到图书馆有3条路，那么从学校经过公园到图书馆共有多少条不同的路线？ 跟踪练习4：小明从家到学校有2条路，从学校到少年宫有2条路，从少年宫到体育馆有2条路，那么小明从家经过学校、少年宫到体育馆共有多少条不同的路线？ 五、条件限制问题 例题5：用数字2、3、4、5组成没有重复数字的两位数，其中个位是双数的有多少个？ 跟踪练习5：用1、3、5、7组成没有重复数字的两位数，其中十位数字大于个位数字的有多少个？ 提升练习 1．用数字1、2、3、4可以组成多少个没有重复数字的两位数？ 2．有红、黄、蓝三种颜色的小旗各一面，从中选两面按不同顺序挂在旗杆上表示不同信号，一共可以表示多少种不同的信号？ 3．把6个橘子分给甲、乙、丙三个小朋友，每人至少分1个，有多少种不同的分法？ 4．3个小朋友互相赠送礼物，每个人都要给另外两个人各送一件礼物，一共要送多少件礼物？ 5．用0、1、2、3能组成多少个没有重复数字的两位数？ 6．从A地到B地有3条路，从B地到C地有2条路，从A地直接到C地有1条路，那么从A地到C地共有多少种不同的走法？ 7．有4个小朋友，每两个人握一次手，一共要握多少次手？ 8．用数字1、0、5、8组成没有重复数字的两位数，其中最大的是多少？最小的是多少？ 9．一个两位数，十位数字与个位数字的和是6，这样的两位数有多少个？ 10．有红、黄、蓝三种颜色的球各一个，任意取出两个，有多少种不同的取法？ 11．用2、5、7、9组成没有重复数字的两位数，其中单数有多少个？ 12．把10颗糖分给小红和小明，每人至少分2颗，有多少种不同的分法？ 13．从1写到30，一共写了多少个"3"？ 14．有3件不同的上衣，2条不同的裤子，2双不同的鞋子，小红想搭配一套衣服（一件上衣、一条裤子、一双鞋子），共有多少种不同的搭配方法？ 15．在1~20的自然数中，既是偶数又是质数的数有哪些？既是奇数又是合数的数有哪些？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 三年级奥数培优讲义：第18讲 简单列举 知识点梳理 一、核心概念与方法 1.基本概念 简单列举是一种通过按顺序、不重复、不遗漏地列出所有可能情况来解决问题的方法。这种方法直观易懂，是解决计数、搭配、排列等问题的基础方法，能帮助我们系统地思考问题。 关键要素：有序性（按一定顺序列举）、全面性（不遗漏任何可能）、唯一性（不重复列举） 2.基本方法 ① 列表法：用表格形式整理所有可能情况，清晰明了 ② 枚举法：按一定顺序逐个写出所有可能结果 ③ 连线法：用连线表示不同事物之间的搭配关系 ④ 分类列举：先按标准分类，再列举各类中的所有情况 ⑤ 树状图法：用树枝状图形展示所有可能的结果组合 二、核心题型与技巧 题型1：数字排列问题 技巧：先确定最高位（或固定一位），再依次排列其余位数字，注意0不能在首位。按从小到大或从大到小顺序排列可避免重复和遗漏。 题型2：搭配问题 技巧：先确定一类事物，再分别与另一类事物进行搭配，可使用连线法或乘法原理计算总数。 题型3：分配问题 技巧：按一定顺序（通常从大到小或从小到大）进行分配，先固定一个量，再依次列举其他量的可能情况。 题型4：路线问题 技巧：用标数法或树状图法，从起点开始逐步标出到每个点的路线数，或列举所有可能路线。 题型5：条件限制问题 技巧：先列出所有可能情况，再根据限制条件筛选；或直接在列举过程中考虑限制条件。 三、常见错误提醒 1.遗漏情况：未按顺序列举导致遗漏部分可能结果 2.重复列举：同一情况以不同形式重复出现 3.顺序混乱：没有固定顺序，想到什么列什么 4.分类不当：分类标准不统一或分类有交叉 5.忽略限制条件：未考虑题目中的特殊要求或限制条件 6.计数错误：列举正确但最后计数时出现错误 例题讲解 一、数字排列问题 例题1：用数字1、2、3可以组成多少个不同的两位数？（每个数字只能用一次） 答案：6个，分别是12、13、21、23、31、32 解析：按十位数字从小到大顺序列举 ① 十位是1：12、13（2个） ② 十位是2：21、23（2个） ③ 十位是3：31、32（2个） 总共有2+2+2=6（个） 答：可以组成6个不同的两位数。 跟踪练习1：用数字0、1、2可以组成多少个不同的两位数？（每个数字只能用一次） 答案：4个，分别是10、12、20、21 解析：十位不能为0，按十位数字顺序列举 ① 十位是1：10、12（2个） ② 十位是2：20、21（2个） 总共有2+2=4（个） 答：可以组成4个不同的两位数。 二、搭配问题 例题2：小明有2件不同的上衣和3条不同的裤子，他一共有多少种不同的穿法？ 答案：6种 解析：用连线法或列举法 上衣A可以搭配：裤子1、裤子2、裤子3（3种） 上衣B可以搭配：裤子1、裤子2、裤子3（3种） 总共有3+3=6（种） 答：一共有6种不同的穿法。 跟踪练习2：有3种不同的饮料和2种不同的点心，选一种饮料和一种点心，共有多少种不同的搭配方法？ 答案：6种 解析：按饮料种类列举 饮料1可以搭配：点心1、点心2（2种） 饮料2可以搭配：点心1、点心2（2种） 饮料3可以搭配：点心1、点心2（2种） 总共有2+2+2=6（种） 答：共有6种不同的搭配方法。 三、分配问题 例题3：把5个苹果分给小明和小红，每人至少分1个，有多少种不同的分法？ 答案：4种 解析：按小明分得的苹果数从少到多列举 小明1个，小红4个 小明2个，小红3个 小明3个，小红2个 小明4个，小红1个 共有4种不同分法 答：有4种不同的分法。 跟踪练习3：把7块糖分给小刚和小强，每人至少分2块，有多少种不同的分法？ 答案：4种 解析：按小刚分得的糖数从少到多列举 小刚2块，小强5块 小刚3块，小强4块 小刚4块，小强3块 小刚5块，小强2块 共有4种不同分法 答：有4种不同的分法。 四、路线问题 例题4：从学校到公园有2条路，从公园到图书馆有3条路，那么从学校经过公园到图书馆共有多少条不同的路线？ 答案：6条 解析：用路线编号列举 学校到公园的路：①、② 公园到图书馆的路：③、④、⑤ 所有路线：①→③、①→④、①→⑤、②→③、②→④、②→⑤ 共2×3=6（条） 答：共有6条不同的路线。 跟踪练习4：小明从家到学校有2条路，从学校到少年宫有2条路，从少年宫到体育馆有2条路，那么小明从家经过学校、少年宫到体育馆共有多少条不同的路线？ 答案：8条 解析：用路线编号列举 家到学校：①、② 学校到少年宫：③、④ 少年宫到体育馆：⑤、⑥ 所有路线：①→③→⑤、①→③→⑥、①→④→⑤、①→④→⑥、 ②→③→⑤、②→③→⑥、②→④→⑤、②→④→⑥ 共2×2×2=8（条） 答：共有8条不同的路线。 五、条件限制问题 例题5：用数字2、3、4、5组成没有重复数字的两位数，其中个位是双数的有多少个？ 答案：6个 解析：先确定个位（双数：2、4），再确定十位 个位是2：32、42、52（3个） 个位是4：24、34、54（3个） 总共有3+3=6（个） 答：个位是双数的有6个。 跟踪练习5：用1、3、5、7组成没有重复数字的两位数，其中十位数字大于个位数字的有多少个？ 答案：6个 解析：按十位数字从大到小列举 十位是7：75、73、71（3个） 十位是5：53、51（2个） 十位是3：31（1个） 十位是1：没有符合条件的数（0个） 总共有3+2+1=6（个） 答：十位数字大于个位数字的有6个。 提升练习 1．用数字1、2、3、4可以组成多少个没有重复数字的两位数？ 【答案】12个 【解析】按十位数字列举： 十位1：12、13、14（3个） 十位2：21、23、24（3个） 十位3：31、32、34（3个） 十位4：41、42、43（3个） 共3×4=12（个） 答：可以组成12个没有重复数字的两位数。 2．有红、黄、蓝三种颜色的小旗各一面，从中选两面按不同顺序挂在旗杆上表示不同信号，一共可以表示多少种不同的信号？ 【答案】6种 【解析】按顺序列举： 红黄、红蓝、黄红、黄蓝、蓝红、蓝黄 共6种 答：一共可以表示6种不同的信号。 3．把6个橘子分给甲、乙、丙三个小朋友，每人至少分1个，有多少种不同的分法？ 【答案】10种 【解析】按甲分得的个数列举： 甲1个：乙1丙4、乙2丙3、乙3丙2、乙4丙1（4种） 甲2个：乙1丙3、乙2丙2、乙3丙1（3种） 甲3个：乙1丙2、乙2丙1（2种） 甲4个：乙1丙1（1种） 共4+3+2+1=10（种） 答：有10种不同的分法。 4．3个小朋友互相赠送礼物，每个人都要给另外两个人各送一件礼物，一共要送多少件礼物？ 【答案】6件 【解析】列举每个人送出的礼物： 小明送给小红、小刚（2件） 小红送给小明、小刚（2件） 小刚送给小明、小红（2件） 共2×3=6（件） 答：一共要送6件礼物。 5．用0、1、2、3能组成多少个没有重复数字的两位数？ 【答案】9个 【解析】按十位数字列举： 十位1：10、12、13（3个） 十位2：20、21、23（3个） 十位3：30、31、32（3个） 共3×3=9（个） 答：能组成9个没有重复数字的两位数。 6．从A地到B地有3条路，从B地到C地有2条路，从A地直接到C地有1条路，那么从A地到C地共有多少种不同的走法？ 【答案】7种 【解析】分两类列举： 经过B地：3×2=6（种） 不经过B地：1种 共6+1=7（种） 答：从A地到C地共有7种不同的走法。 7．有4个小朋友，每两个人握一次手，一共要握多少次手？ 【答案】6次 【解析】列举所有握手情况： 小明和小红、小明和小刚、小明和小强、 小红和小刚、小红和小强、小刚和小强 共6次 答：一共要握6次手。 8．用数字1、0、5、8组成没有重复数字的两位数，其中最大的是多少？最小的是多少？ 【答案】最大85，最小10 【解析】按十位数字从大到小列举： 十位8：85、81、80（最大85） 十位5：58、51、50 十位1：18、15、10（最小10） 十位0：不能组成两位数 答：最大是85，最小是10。 9．一个两位数，十位数字与个位数字的和是6，这样的两位数有多少个？ 【答案】6个 【解析】按十位数字从大到小列举： 60、51、42、33、24、15 共6个 答：这样的两位数有6个。 10．有红、黄、蓝三种颜色的球各一个，任意取出两个，有多少种不同的取法？ 【答案】3种 【解析】列举所有取法： 红和黄、红和蓝、黄和蓝 共3种 答：有3种不同的取法。 11．用2、5、7、9组成没有重复数字的两位数，其中单数有多少个？ 【答案】9个 【解析】先确定个位（单数：5、7、9） 个位5：25、75、95（3个） 个位7：27、57、97（3个） 个位9：29、59、79（3个） 共3×3=9（个） 答：其中单数有9个。 12．把10颗糖分给小红和小明，每人至少分2颗，有多少种不同的分法？ 【答案】7种 【解析】按小红分得的糖数列举： 小红2颗，小明8颗 小红3颗，小明7颗 小红4颗，小明6颗 小红5颗，小明5颗 小红6颗，小明4颗 小红7颗，小明3颗 小红8颗，小明2颗 共7种 答：有7种不同的分法。 13．从1写到30，一共写了多少个"3"？ 【答案】4个 【解析】列举含有"3"的数字： 3（1个）、13（1个）、23（1个）、30（1个） 共1×4=4（个） 答：一共写了4个"3"。 14．有3件不同的上衣，2条不同的裤子，2双不同的鞋子，小红想搭配一套衣服（一件上衣、一条裤子、一双鞋子），共有多少种不同的搭配方法？ 【答案】12种 【解析】分步列举： 上衣1：裤子1+鞋子1、裤子1+鞋子2、裤子2+鞋子1、裤子2+鞋子2（4种） 上衣2：同样4种搭配 上衣3：同样4种搭配 共4×3=12（种） 答：共有12种不同的搭配方法。 15．在1~20的自然数中，既是偶数又是质数的数有哪些？既是奇数又是合数的数有哪些？ 【答案】既是偶数又是质数的数：2；既是奇数又是合数的数：9、15 【解析】列举符合条件的数： 偶数质数：只有2（1个） 奇数合数：9（3×3）、15（3×5）（2个） 答：既是偶数又是质数的数有2；既是奇数又是合数的数有9、15。 1 学科网（北京）股份有限公司 $