第15讲 植树问题（知识点梳理+例题讲解+提升练习）-三年级奥数培优讲义

三年级奥数培优讲义：第15讲 植树问题 知识点梳理 一、核心概念与方法 1.基本概念 植树问题是研究在一定长度的线路上，按一定的距离植树时，所植树的棵数与间隔数之间关系的问题。 关键要素：总长（线路总长度）、间距（相邻两棵树之间的距离）、间隔数（总长中包含的间距数量）、棵数（植树的总数量）。 2.基本方法 ① 公式法：根据不同情况直接运用对应的数量关系公式 ② 画图法：通过线段图直观表示植树情况，帮助理解数量关系 ③ 分段计算法：对于复杂问题，将线路分段分析计算 ④ 转化法：将类似植树问题（如锯木头、爬楼梯）转化为基本植树模型 二、核心题型与技巧 题型1：两端都植树问题 技巧：棵数=间隔数+1，间隔数=总长÷间距，总长=间距×(棵数-1) 题型2：一端植树问题（封闭图形植树） 技巧：棵数=间隔数，间隔数=总长÷间距，总长=间距×棵数 题型3：两端都不植树问题 技巧：棵数=间隔数-1，间隔数=总长÷间距，总长=间距×(棵数+1) 题型4：特殊类型植树问题（锯木头、爬楼梯） 技巧：锯木头时，锯的次数=段数-1；爬楼梯时，楼层数-1=楼梯段数 三、常见错误提醒 1.间隔数与棵数关系混淆：忘记根据不同情况加1或减1 2.单位不统一：计算前未将总长和间距的单位统一 3.封闭图形误解：认为封闭图形植树需要加1或减1 4.题意理解偏差：未准确判断题目属于哪种植树类型 5.特殊问题转化错误：无法将锯木头、爬楼梯等问题转化为植树模型 例题讲解 一、两端都植树问题 例题1：在一条长20米的小路一旁植树，每隔5米栽一棵，两端都要栽，一共要栽多少棵树？ 跟踪练习1：在一条长30米的公路一旁安装路灯，每隔6米安装一盏，两端都要安装，一共要安装多少盏路灯？ 二、一端植树问题 例题2：一个圆形花坛的周长是24米，在花坛周围每隔3米栽一棵月季花，一共要栽多少棵月季花？ 跟踪练习2：在一个正方形操场的四周插彩旗，每边插5面，四个角都要插，一共要插多少面彩旗？ 三、两端都不植树问题 例题3：在两座教学楼之间有一条长40米的小路，在小路两旁每隔4米栽一棵杨树，两端都不栽，一共要栽多少棵杨树？ 跟踪练习3：一根木头长15米，要把它锯成每段3米的小段，一共要锯几次？ 四、特殊类型植树问题 例题4：小明从1楼爬到3楼用了6分钟，照这样计算，他从1楼爬到6楼需要多少分钟？ 跟踪练习4：时钟6点敲6下，10秒钟敲完，那么12点敲12下，多少秒钟敲完？ 提升练习 1.在一条长50米的小路两旁栽树，每隔5米栽一棵，两端都要栽，一共要栽多少棵树？ 2.一个圆形池塘的周长是36米，在池塘周围每隔4米栽一棵柳树，每两棵柳树之间栽2棵桃树，一共要栽多少棵桃树？ 3.一根木头长18米，要把它锯成3米长的小段，每锯一次需要2分钟，全部锯完需要多少分钟？ 4.学校要在一条长24米的走廊上摆花，每隔3米摆一盆，两端都要摆。如果改为每隔2米摆一盆，有多少盆花不需要移动？ 5.小红从1楼走到5楼用了8分钟，照这样计算，她从1楼走到10楼需要多少分钟？ 6.在一个长方形操场的四周插彩旗，长边上插6面，短边上插4面，四个角都要插，一共要插多少面彩旗？ 7.一条路长100米，在路的两侧从头到尾每隔10米栽一棵树，共栽多少棵树？ 8.一个圆形池塘周围每隔2米种一棵柳树，共种了40棵，池塘的周长是多少米？ 9.两栋楼之间相距30米，每隔5米栽一棵桂花树，一共要栽多少棵桂花树？ 10.公园里有一条小径长60米，在小径一旁从头到尾等距离放了7个垃圾桶，每两个垃圾桶之间相距多少米？ 11.一个挂钟，1点敲1下，3点敲3下，12点敲12下，当这个挂钟3点时敲3下总共用了4秒钟。当12点时敲12下，要用多少秒钟？ 12.同学们在操场上做游戏，围成一个正方形，每边有8个同学，一共有多少个同学在做游戏？ 13.一根钢管长12米，要把它锯成每3米一段，锯1次要6分钟，锯完这根钢管一共要多少分钟？ 14.在一条公路的两旁安装路灯，每隔20米安装一盏，两端都要安装，一共安装了52盏路灯，这条公路长多少米？ 15.一个圆形操场的周长是180米，在操场周围每隔9米栽一棵梧桐树，在每两棵梧桐树之间栽2棵银杏树，一共要栽多少棵银杏树？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 三年级奥数培优讲义：第15讲 植树问题 知识点梳理 一、核心概念与方法 1.基本概念 植树问题是研究在一定长度的线路上，按一定的距离植树时，所植树的棵数与间隔数之间关系的问题。 关键要素：总长（线路总长度）、间距（相邻两棵树之间的距离）、间隔数（总长中包含的间距数量）、棵数（植树的总数量）。 2.基本方法 ① 公式法：根据不同情况直接运用对应的数量关系公式 ② 画图法：通过线段图直观表示植树情况，帮助理解数量关系 ③ 分段计算法：对于复杂问题，将线路分段分析计算 ④ 转化法：将类似植树问题（如锯木头、爬楼梯）转化为基本植树模型 二、核心题型与技巧 题型1：两端都植树问题 技巧：棵数=间隔数+1，间隔数=总长÷间距，总长=间距×(棵数-1) 题型2：一端植树问题（封闭图形植树） 技巧：棵数=间隔数，间隔数=总长÷间距，总长=间距×棵数 题型3：两端都不植树问题 技巧：棵数=间隔数-1，间隔数=总长÷间距，总长=间距×(棵数+1) 题型4：特殊类型植树问题（锯木头、爬楼梯） 技巧：锯木头时，锯的次数=段数-1；爬楼梯时，楼层数-1=楼梯段数 三、常见错误提醒 1.间隔数与棵数关系混淆：忘记根据不同情况加1或减1 2.单位不统一：计算前未将总长和间距的单位统一 3.封闭图形误解：认为封闭图形植树需要加1或减1 4.题意理解偏差：未准确判断题目属于哪种植树类型 5.特殊问题转化错误：无法将锯木头、爬楼梯等问题转化为植树模型 例题讲解 一、两端都植树问题 例题1：在一条长20米的小路一旁植树，每隔5米栽一棵，两端都要栽，一共要栽多少棵树？ 答案：5棵 解析：先求间隔数：20÷5=4（个），因为两端都要栽，所以棵数=间隔数+1=4+1=5（棵）。 跟踪练习1：在一条长30米的公路一旁安装路灯，每隔6米安装一盏，两端都要安装，一共要安装多少盏路灯？ 答案：6盏 解析：间隔数=30÷6=5（个），盏数=间隔数+1=5+1=6（盏）。 二、一端植树问题 例题2：一个圆形花坛的周长是24米，在花坛周围每隔3米栽一棵月季花，一共要栽多少棵月季花？ 答案：8棵 解析：圆形属于封闭图形，棵数=间隔数，间隔数=24÷3=8（个），所以棵数=8棵。 跟踪练习2：在一个正方形操场的四周插彩旗，每边插5面，四个角都要插，一共要插多少面彩旗？ 答案：16面 解析：先按每边5面计算，4×5=20（面），但四个角的彩旗重复计算了，所以实际彩旗数=20-4=16（面）。也可使用公式：(每边数量-1)×4=16（面）。 三、两端都不植树问题 例题3：在两座教学楼之间有一条长40米的小路，在小路两旁每隔4米栽一棵杨树，两端都不栽，一共要栽多少棵杨树？ 答案：18棵 解析：先求一旁的间隔数：40÷4=10（个），一旁的棵数=间隔数-1=10-1=9（棵），两旁共栽：9×2=18（棵）。 跟踪练习3：一根木头长15米，要把它锯成每段3米的小段，一共要锯几次？ 答案：4次 解析：先求段数：15÷3=5（段），锯的次数=段数-1=5-1=4（次）。 四、特殊类型植树问题 例题4：小明从1楼爬到3楼用了6分钟，照这样计算，他从1楼爬到6楼需要多少分钟？ 答案：15分钟 解析：从1楼到3楼爬了3-1=2（层）楼梯，每层用时6÷2=3（分钟），从1楼到6楼爬了6-1=5（层）楼梯，共需3×5=15（分钟）。 跟踪练习4：时钟6点敲6下，10秒钟敲完，那么12点敲12下，多少秒钟敲完？ 答案：22秒 解析：敲6下有6-1=5（个）间隔，每个间隔用时10÷5=2（秒），敲12下有12-1=11（个）间隔，共需2×11=22（秒）。 提升练习 1.在一条长50米的小路两旁栽树，每隔5米栽一棵，两端都要栽，一共要栽多少棵树？ 【答案】22棵 【分析】先计算一旁的植树数量，再乘以2得到两旁的总数量。 【详解】间隔数：50÷5=10（个） 一旁棵数：10+1=11（棵） 两旁总棵数：11×2=22（棵） 答：一共要栽22棵树。 2.一个圆形池塘的周长是36米，在池塘周围每隔4米栽一棵柳树，每两棵柳树之间栽2棵桃树，一共要栽多少棵桃树？ 【答案】18棵 【分析】先求出柳树的棵数，也就是间隔数，再计算桃树的数量。 【详解】柳树棵数（间隔数）：36÷4=9（棵） 桃树棵数：9×2=18（棵） 答：一共要栽18棵桃树。 3.一根木头长18米，要把它锯成3米长的小段，每锯一次需要2分钟，全部锯完需要多少分钟？ 【答案】10分钟 【分析】先求锯成的段数，再求锯的次数，最后计算总时间。 【详解】段数：18÷3=6（段） 锯的次数：6-1=5（次） 总时间：5×2=10（分钟） 答：全部锯完需要10分钟。 4.学校要在一条长24米的走廊上摆花，每隔3米摆一盆，两端都要摆。如果改为每隔2米摆一盆，有多少盆花不需要移动？ 【答案】5盆 【分析】先找出3和2的最小公倍数，公倍数位置的花不需要移动。 【详解】3和2的最小公倍数是6 不需要移动的位置：0米、6米、12米、18米、24米 共5盆花不需要移动 答：有5盆花不需要移动。 5.小红从1楼走到5楼用了8分钟，照这样计算，她从1楼走到10楼需要多少分钟？ 【答案】18分钟 【分析】先求出爬一层楼梯需要的时间，再计算从1楼到10楼需要的时间。 【详解】从1楼到5楼爬的层数：5-1=4（层） 每层用时：8÷4=2（分钟） 从1楼到10楼爬的层数：10-1=9（层） 总时间：9×2=18（分钟） 答：她从1楼走到10楼需要18分钟。 6.在一个长方形操场的四周插彩旗，长边上插6面，短边上插4面，四个角都要插，一共要插多少面彩旗？ 【答案】16面 【分析】注意四个角的彩旗是重复计算的，需要减去重复部分。 【详解】方法一：(6+4)×2-4=16（面） 方法二：(6-1)×2+(4-1)×2=10+6=16（面） 答：一共要插16面彩旗。 7.一条路长100米，在路的两侧从头到尾每隔10米栽一棵树，共栽多少棵树？ 【答案】22棵 【分析】先计算一侧的植树数量，再乘以2得到两侧的总数量。 【详解】一侧间隔数：100÷10=10（个） 一侧棵数：10+1=11（棵） 两侧总棵数：11×2=22（棵） 答：共栽22棵树。 8.一个圆形池塘周围每隔2米种一棵柳树，共种了40棵，池塘的周长是多少米？ 【答案】80米 【分析】圆形植树问题，棵数=间隔数，周长=间隔数×间距。 【详解】周长：40×2=80（米） 答：池塘的周长是80米。 9.两栋楼之间相距30米，每隔5米栽一棵桂花树，一共要栽多少棵桂花树？ 【答案】5棵 【分析】两栋楼之间植树属于两端都不栽的情况。 【详解】间隔数：30÷5=6（个） 棵数：6-1=5（棵） 答：一共要栽5棵桂花树。 10.公园里有一条小径长60米，在小径一旁从头到尾等距离放了7个垃圾桶，每两个垃圾桶之间相距多少米？ 【答案】10米 【分析】从头到尾放垃圾桶属于两端都栽的情况，先求间隔数，再计算间距。 【详解】间隔数：7-1=6（个） 间距：60÷6=10（米） 答：每两个垃圾桶之间相距10米。 11.一个挂钟，1点敲1下，3点敲3下，12点敲12下，当这个挂钟3点时敲3下总共用了4秒钟。当12点时敲12下，要用多少秒钟？ 【答案】22秒 【分析】敲钟问题中，时间间隔数=敲的次数-1。 【详解】3下的间隔数：3-1=2（个） 每个间隔时间：4÷2=2（秒） 12下的间隔数：12-1=11（个） 总时间：11×2=22（秒） 答：要用22秒钟。 12.同学们在操场上做游戏，围成一个正方形，每边有8个同学，一共有多少个同学在做游戏？ 【答案】28个 【分析】正方形四周的人数计算，注意四个角的同学重复计算。 【详解】方法一：8×4-4=28（个） 方法二：(8-1)×4=28（个） 答：一共有28个同学在做游戏。 13.一根钢管长12米，要把它锯成每3米一段，锯1次要6分钟，锯完这根钢管一共要多少分钟？ 【答案】18分钟 【分析】先求锯成的段数，再求锯的次数，最后计算总时间。 【详解】段数：12÷3=4（段） 锯的次数：4-1=3（次） 总时间：3×6=18（分钟） 答：锯完这根钢管一共要18分钟。 14.在一条公路的两旁安装路灯，每隔20米安装一盏，两端都要安装，一共安装了52盏路灯，这条公路长多少米？ 【答案】500米 【分析】先求一旁的路灯数量，再求间隔数，最后计算公路长度。 【详解】一旁路灯数量：52÷2=26（盏） 间隔数：26-1=25（个） 公路长度：25×20=500（米） 答：这条公路长500米。 15.一个圆形操场的周长是180米，在操场周围每隔9米栽一棵梧桐树，在每两棵梧桐树之间栽2棵银杏树，一共要栽多少棵银杏树？ 【答案】40棵 【分析】先求梧桐树的数量（即间隔数），再计算银杏树的数量。 【详解】梧桐树数量（间隔数）：180÷9=20（棵） 银杏树数量：20×2=40（棵） 答：一共要栽40棵银杏树 1 学科网（北京）股份有限公司 $