精品解析：安徽省大联考2025-2026学年高二上学期10月调研考试数学试题

安徽省大联考2025-2026学年高二上学期10月调研考试 数学试题 考生注意： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 如图所示的几何体是一个平行六面体，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知为直线的一个方向向量，则直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 3. 已知数据，，平均数为2，数据，，，，的平均数为10，则数据的平均数为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 4. 已知正方体的棱长为1，若，，，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 4 5. 甲、乙两人投篮命中率分别为和，且他们投篮互不影响，若两人分别投篮一次，则至少有一人投中的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 已知E，F分别为正方体的上底面和侧面的中心，若，则（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在正三棱柱中，，若，则直线与平面所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知直线与平行，则的最小值为（ ） A B. C. 0 D. 1 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知直线，，，为坐标原点，则下列说法正确的是（ ） A. B. 与过同一个定点 C. 若，则与关于轴对称 D. 若与交于点，则为定值 10. 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，且，，则（ ） A. B. C. D. △ABC面积为 11. 对于两个向量，，定义为，的“向量积”，该运算的结果是一个向量：，则下列说法正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，是非零向量，且为零向量，则一定有 C. 若，是平面内的两个不共线的向量，则平面的法向量可以是 D. 若，是非零向量，且，则，的夹角为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知复数，则______， 13. 已知点A，B都在直线上，且点A，B的横坐标之差为2，点，则△ABC的面积为__________. 14. “直线系”是具有某一共同性质的直线的集合，通常用含参数的直线方程来表示，当参数取不同值时，方程表示该直线系中的某一条直线.已知，是直线系A：（）中的两条直线，若，则，之间的距离为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知点，，直线l经过点. （1）若l与直线AB垂直，求l的方程； （2）若l与线段AB有交点，求l倾斜角的取值范围. 16. 已知点，点在轴负半轴上，直线在两坐标轴上的截距相等. （1）求直线的方程； （2）已知点和，点在直线上运动，求的最小值. 17. 如图，在四棱锥中，侧面为正三角形，底面为菱形，且. （1）证明：； （2）若平面底面，，求平面与平面的夹角的余弦值. 18. 在直角坐标系xOy中，直线l：与x，y轴分别交于点A，B，直线与线段AB交于点C，与x轴交于点D. （1）求与l平行且距离为2的直线的方程； （2）若△OCD与△AOB在某种对应方式下相似，求实数t的值； （3）若点满足△MCD为等腰直角三角形，求实数m的值. 19. 如图，已知正方体的棱长为1，过直线的平面分别与棱，交于点E，F（点E，F均与所在棱的端点不重合）. （1）若，求直线EF与所成角的余弦值； （2）求的余弦值的最大值； （3）设平面与平面，平面，平面的夹角分别为，，，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 安徽省大联考2025-2026学年高二上学期10月调研考试 数学试题 考生注意： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 如图所示的几何体是一个平行六面体，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先利用平行六面体的性质得出和的关系，进而得出向量关系，再根据向量加法计算求解． 【详解】六面体是平行六面体， ， ， ． 故选：C． 2. 已知为直线一个方向向量，则直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据方向向量与直线的倾斜角的关系进行求解即可. 【详解】因为为直线的一个方向向量， 所以直线的斜率为， 所以直线的倾斜角为. 故选：C. 3. 已知数据，，的平均数为2，数据，，，，的平均数为10，则数据的平均数为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】D 【解析】 【分析】根据平均数的概念和公式进行求解即可. 【详解】数据，，的平均数为2，数据，，，，的平均数为10， 数据的平均数为. 故选：D. 4. 已知正方体的棱长为1，若，，，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间向量数量积的定义和运算律求值. 【详解】由题意知，，两两互相垂直，故， 又，所以. 故选：B 5. 甲、乙两人投篮的命中率分别为和，且他们投篮互不影响，若两人分别投篮一次，则至少有一人投中的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据相互独立事件的概率和对立事件的概率公式计算. 【详解】至少有一人投中的概率为. 故选：D 6. 已知E，F分别为正方体的上底面和侧面的中心，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用空间向量的加法运算，结合相等向量，由空间向量的基本定理求解. 【详解】因为， ， 所以，即，， 所以. 故选：D. 7. 如图，在正三棱柱中，，若，则直线与平面所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由于,且，可得,从而求出三棱柱的高，取的中点,连接,, 可证为直线与平面所成角，利用边长关系即可求解. 【详解】设正三棱柱的高为,即, 由于,,， 则,即,则,所以， 取的中点,连接,, 由于底面为等边三角形，,则, 由于平面,，平面,所以,，且 由于,平面,所以平面， 所以为直线与平面所成角，则, 故选：B 8. 已知直线与平行，则的最小值为（ ） A. B. C. 0 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】根据平行得到，且，消元得到，求出最小值，检验后得到答案. 【详解】因为两条直线平行，两直线平行的充要条件是，即且. 所以， 即当，，时取得最小值，为， 此时直线与平行，满足要求. 故选：A 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知直线，，，为坐标原点，则下列说法正确是（ ） A. B. 与过同一个定点 C. 若，则与关于轴对称 D. 若与交于点，则为定值 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据系数关系判断直线垂直判断A，计算直线定点判断B，判断直线关于轴对称判断C，应用垂直关系得出定值判断D. 【详解】直线，，， 对于A：因为，所以，A选项正确； 对于B：直线过定点，过定点，与不过同一个定点，B选项错误； 对于C：若，，，则与关于轴对称，C选项正确； 对于D：若与交于点，直线过定点，过定点， 因为，则，为定值，D选项正确； 故选：ACD. 10. 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，且，，则（ ） A. B. C. D. △ABC的面积为 【答案】AD 【解析】 【分析】先由题设条件依次求出，即可判断AB；再由正弦定理结合题设条件以及射影定理依次求出即可判断C，再由正弦定理面积公式即可求解判断D. 【详解】对于A，因为，所以，故A正确； 对于B，由A可知，所以， 又，所以，故B错误； 对于C，由正弦定理可得，整理得， 又因为，所以，，，故C错误； 对于D，，故D正确. 故选：AD 11. 对于两个向量，，定义为，的“向量积”，该运算的结果是一个向量：，则下列说法正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，是非零向量，且为零向量，则一定有 C. 若，是平面内的两个不共线的向量，则平面的法向量可以是 D. 若，是非零向量，且，则，的夹角为 【答案】ABC 【解析】 【分析】由空间向量新定义，结合空间向量共线、垂直的坐标表示，及特殊向量夹角计算逐个判断即可. 【详解】对于A，由定义可得：，正确， 对于B，由为零向量，可得， 因为，是非零向量，所以存在非零常数，使得， 即 ，B正确， 对于C，由， 则， ， 由于，是平面内的两个不共线的向量，所以平面的法向量可以是，正确； 对于D，取 ， 则，则， ， 满足， 而此时，夹角为，D错误， 故选：ABC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知复数，则______， 【答案】2 【解析】 【分析】利用复数乘法运算及模长公式计算即可. 【详解】由，所以. 故答案为：2 13. 已知点A，B都在直线上，且点A，B的横坐标之差为2，点，则△ABC的面积为__________. 【答案】5 【解析】 【分析】利用点到直线的距离求高，再结合三角形的面积公式求三角形面积. 【详解】点C到直线AB的距离， 又， 故. 故答案为：5 14. “直线系”是具有某一共同性质的直线的集合，通常用含参数的直线方程来表示，当参数取不同值时，方程表示该直线系中的某一条直线.已知，是直线系A：（）中的两条直线，若，则，之间的距离为__________. 【答案】4 【解析】 【分析】改写直线方程形式，根据点到直线的距离公式，得到直线到点的距离为定值，再结合，可得，之间的距离. 【详解】方程可改写为， 无论取何值，该直线系中的直线到点的距离，为定值， 因为，所以，之间的距离为4. 故答案为：4 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15 已知点，，直线l经过点. （1）若l与直线AB垂直，求l的方程； （2）若l与线段AB有交点，求l的倾斜角的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先由两点间斜率公式结合垂直直线斜率关系求出所求直线的斜率，再由点斜式即可得解； （2）依次求出和，数形结合斜率与直线倾斜角的关系即可求解. 【小问1详解】 由题， 因为l与直线AB垂直，所以， 所以l的方程为. 【小问2详解】 依题意，， 若l与线段AB有公共点，如图，则l的斜率k的取值范围是， 设直线倾斜角为，则， 故倾斜角的取值范围是. 16. 已知点，点在轴负半轴上，直线在两坐标轴上的截距相等. （1）求直线的方程； （2）已知点和，点在直线上运动，求的最小值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设出直线的截距式方程，代入点的坐标可得答案； （2）求出点关于直线的对称点，利用两点间直线段最短可求最小值. 【小问1详解】 因为点在轴的负半轴上，所以设直线的方程为， 将点的坐标代入，得，解得， 所以直线的方程为. 【小问2详解】 设点关于直线对称点为， 则，故只需求出即可. 由（1）知直线的方程为，其斜率为， 则，解得，即. 所以， 所以的最小值为10. 17. 如图，在四棱锥中，侧面为正三角形，底面为菱形，且. （1）证明：； （2）若平面底面，，求平面与平面的夹角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由等边三角形的性质求得和，利用线面垂直的判定定理证得平面，从而利用线面垂直的性质定理证明即可； （2）根据面面垂直的性质定理得线面垂直，然后建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，根据面面角向量公式求解即可. 【小问1详解】 取的中点，连接，，. 因为底面是菱形，，所以是正三角形，所以. 又为正三角形，所以. 因为，平面，所以平面， 又平面，所以. 【小问2详解】 由平面底面，，平面底面，平面， 所以底面，底面， 所以，，又，可得，，两两互相垂直， 以为坐标原点，，，的方向分别为，，轴的正方向建立空间直角坐标系，如图. 设，则，，，， 所以，，， 所以. 设平面的法向量为， 则得可取. 易知平面的一个法向量为， 则， 故平面与平面的夹角的余弦值为. 18. 在直角坐标系xOy中，直线l：与x，y轴分别交于点A，B，直线与线段AB交于点C，与x轴交于点D. （1）求与l平行且距离为2的直线的方程； （2）若△OCD与△AOB在某种对应方式下相似，求实数t的值； （3）若点满足△MCD为等腰直角三角形，求实数m的值. 【答案】（1）或 （2）或 （3）或或 【解析】 【分析】（1）根据直线平行，设出所求直线的方程，然后根据平行线间的距离公式，即可求解； （2）根据图形，△OCD与△AOB有两种相似情况，分别求解即可； （3）分三种情况利用向量表示直线垂直，以及线段相等列方程组，分别求解即得 【小问1详解】 设与l平行的直线方程为， 由平行线间的距离公式可得，解得或， 即所求的直线方程为或. 【小问2详解】 由l：，令得；令得 ∴ 由条件知CD与x轴垂直，所以，要使两个三角形相似，只需再确定另一组相等的角即可. ①若，则, ∴直线OC的方程为：， 由，解得，所以，此时. ②若，则 ∴直线OC的方程为：， 由，解得，所以，此时. 综上，或. 小问3详解】 由题知，，点坐标为，则，,. 若为等腰直角三角形，且为直角，则，解得；若为等腰直角三角形，且为直角，则， 即，解得或（舍去） 若为等腰直角三角形，且为直角，则， 即，解得 综上，若满足△MCD为等腰直角三角形，则或或. 19. 如图，已知正方体的棱长为1，过直线的平面分别与棱，交于点E，F（点E，F均与所在棱的端点不重合）. （1）若，求直线EF与所成角的余弦值； （2）求的余弦值的最大值； （3）设平面与平面，平面，平面的夹角分别为，，，证明：. 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）先由面面平行的性质得到截面是平行四边形，接着建立适当空间直角坐标系根据计算即可求解； （2）设，，向量法计算结合基本不等式得，再由基本不等式即可分析求解； （3）先由向量法求出平面的法向量为，平面、平面、平面的法向量分别可取、、，再由面面角的向量法公式依次计算、、即可分析求证. 【小问1详解】 由正方体结构性质可知平面平面，平面平面，平面平面， 所以，同理可得，所以截面是平行四边形， 所以EF与的交点为正方体的中心. 以D为坐标原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，如图. 则，，，， 则，， 所以， 即直线EF与所成角的余弦值为. 【小问2详解】 设，，则且， 则，，故由（1）得，， 故， 又，所以，所以，当且仅当时等号成立， 故的最大值为. 【小问3详解】 设平面的法向量为，由（2）得，， 则，不妨令，得. 又平面，平面，平面的法向量分别可取，，， 于是， ， ， 于是， 即. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $