第2章 分式（知识清单）数学新教材湘教版八年级上册

第二章 分式 1、分式的概念 形如 的式子叫做分式，其中A，B是两个 ，且 中含有字母 2、分式有意义：分母不为 3、分式的值为零： 分式值为零时要求 且 4、分式的基本性质 分式的分子与分母都 同一个不等于零的 ，分式的值不变 5、约分 把一个分式的分子和分母的 约去，当分子，分母是多项式时，先 ，再约分 6、最简分式 分子和分母没有 7、分式乘除法 两个分式相乘，把分子相乘的积作为 ，把分母相乘的积作为 ；两个分式相除，把除式的 后再与被除式相乘，结果应化为最简分式或整式 8、分式的乘方 分子、分母分别 9、通分 根据分式的 ，异分母的分式可以化为 分式，这一过程称为分式的通分 异分母分式通分时，通常取 （简称为 ）作为它们的共同分母 10、分式的加减法 同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减；异分母分式相加减，先 ，化为 ，然后再按 法则进行计算 11、整式的除法 （1） 同底数幂的除法： （a‡0 , m , n都是正整数，并且m>n） 即：同底数幂相除， 不变， 相减； （2） 规定：即：任何不等于0的数的 ； （4）同底数的幂的除法：( a≠0，m,n是正整数，m＞n)； 12、零指数幂与负整数指数幂 一般地，当n是正整数时，这就是说，是的倒数。 12、科学记数法 小于1的正数可以用科学计数法表示为 的形式，其中是整数数位只有一位的正数，n是正整数，n=原数中左起第一个非零数字前 （含整数位上的0）。这种形式更便于比较数的大小。 13、分式方程 分母中含有 的方程 14、解分式方程 先将方程两边同乘一个适当的整式（通常是各分式的最简公分母），约去分母，从而转化为整式方程，然后再解这个整式方程 15、增根 解分式方程可能产生 ，所以解分式方程必须 。通常只需检验所得的根是否使 就可以了。如果所得的是原方程的增根， 。 在方程变形中如果产生了不适合原方程的根，那么我们称它为原方程的增根。 16、列分式方程解决实际问题的一般步骤 一、分式的基本性质 易错点：分子分母同乘（除）的整式未强调不为零。策略：严格确保所乘（除）的整式不为零，运算后保持分式值不变。 1．（25-26八年级上·河北邢台·阶段练习）要使分式的值扩大为原来的9倍，则下列变化正确的是（    ） A．x的值不变，y的值扩大为原来的9倍 B．x，y的值都扩大为原来的9倍 C．x，y的值都扩大为原来的3倍 D．y的值不变，x的值扩大为原来的9倍 2．（25-26八年级上·北京通州·阶段练习）若将分式中的x，y都扩大10倍，则分式的值 （填“扩大”“缩小”或“不变”） 3．（25-26八年级上·全国·课后作业）不改变分式的值，使下列分式的分子与分母都不含“”号． (1)； (2)； (3)； (4)． 4．（25-26八年级上·全国·课后作业）利用分式的基本性质填空： (1)； (2)； (3)； (4)． 二、分式的概念 易错点：误判分母含π的式子为分式（π是常数）。 策略：紧扣定义，分母必须含有字母才是分式，注意区分常数与字母。 5．（25-26八年级上·湖南岳阳·阶段练习）代数式 中，属于分式的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 6．（25-26八年级上·河北邢台·阶段练习）若是分式，则“”可以是（    ） A．1 B． C．0.001 D．x 7．（25-26八年级上·全国·课后作业）设A、B都是整式，若表示分式，则（   ） A．A，B都必须含有字母 B．A必须含有字母 C．B必须含有字母 D．A，B都必须不含有字母 8．（11-12八年级下·福建·期中）观察：①②③④⑤⑥，其中是分式的有（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 三、使分式有（无）意义的判定 易错点：忽略分母整体不为零，仅考虑分母中部分因式。 策略：令整个分母等于零，求出使分式无意义的字母取值，再取反。 9．（21-22八年级上·广西桂林·期中）若分式的值不存在，则需x的值为（   ） A．0 B．1 C．－1 D．2 10．（2025八年级上·全国·专题练习）若式子无意义，则的值为（   ） A． B． C． D． 11．（25-26八年级上·湖南·阶段练习）要使分式无意义，则 ． 12．（25-26八年级上·全国·课后作业）（1）若分式有意义，则分母 0，则a应满足 ； （2）若分式没有意义，则分母 0，则x应满足 ． 四、分式的值为零问题 易错点：只考虑分子为零，忽略分母同时不能为零的隐含条件。 策略：先令分子=0，解出值后代入分母检验，确保分母≠0。 13．（2022·四川眉山·模拟预测）使分式的值等于0的条件是（   ） A．且 B．且 C．且 D．且 14．（24-25八年级上·广西桂林·期中）若分式的值为零，则的值为 ． 15．（2021·黑龙江鸡西·一模）若分式在时无意义，在时值为0，则 ． 16．（25-26八年级上·河北邢台·阶段练习）已知当时，分式无意义；当时，此分式的值为0． (1)求a，b的值． (2)当分式的值为正整数时，直接写出整数x的值． 五、分式的约分与通分 易错点：约分不彻底；通分时最简公分母找错。 策略：约分需将分子分母彻底因式分解；通分找所有因式的最高次幂乘积。 17．（25-26九年级上·福建福州·开学考试）若．则（   ） A． B． C．2 D．1 18．（20-21八年级上·海南省直辖县级单位·期末）下列各式中，不能化简的分式是（    ） A． B． C． D． 19．（11-12八年级下·福建·期中）化简分式： ． 20．（25-26八年级上·全国·课后作业）通分： (1)，，； (2)，，． 六、分式的加减法 易错点：异分母分式直接相加减；分子为多项式时，通分后忘加括号。 策略：先通分化为同分母；加减时分子是整体，务必带括号参与运算。 21．（2024·广东·模拟预测）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 22．（2025·湖北·模拟预测）化简： ． 23．（24-25九年级下·广东中山·期中）计算的结果是 ． 24．（2020·辽宁沈阳·二模）化简： ． 25．（25-26八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)． 七、分式的加减运算 易错点：符号错误，特别是分数线充当括号作用时。 策略：分数线有括号作用，分子相减时注意各项符号变化，去括号看负号。 26．（12-13八年级下·山东·阶段练习）化简：等于（    ） A． B． C． D． 27．（2022·浙江杭州·中考真题）照相机成像应用了一个重要原理，用公式表示，其中f表示照相机镜头的焦距，u表示物体到镜头的距离，v表示胶片（像）到镜头的距离．已知f，v，则u＝（    ） A． B． C． D． 28．（25-26八年级上·湖南娄底·阶段练习）化简的结果为 ． 29．（20-21八年级下·江苏宿迁·期末）定义：若两个分式的和为n（n为正整数），则称这两个分式互为“n阶分式”．例如，分式与为“3阶分式”． (1)当满足条件______时，分式与为“5阶分式”； (2)设正数x，y互为倒数，求证：分式与为“2阶分式”； (3)若分式与为“1阶分式”（其中a，b为正数），求的值． 30．（24-25七年级下·浙江宁波·期末）在分式中，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，假分式可以化成“带分式”，即整式与真分式的和的形式，如：． (1)判断下列“假分式”化成“带分式”的结果是否正确（填写“是”或者“否”）． ①（   ）；②（   ）． (2)若分式的值为整数，求满足条件的所有正整数a的值； (3)若分式和的值同时为整数，求满足条件的所有实数x的值． 31．（24-25七年级下·安徽安庆·阶段练习）著名数学教育家波利亚曾说：“对于一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则．” 【阅读材料】通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数．如：．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如：这样的分式就是假分式；这样的分式就是真分式．类似地，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）． 如：． 解决下列问题： 【理解知识】（1）分式是 分式（选填“真”或“假”）； 【掌握知识】（2）将下列假分式化为带分式： ①； ②； 【运用知识】（3）求所有符合条件的整数的值，使得分式的值为整数． 八、分式加减运算的实际应用 易错点：未能正确列出分式运算式，或结果未结合实际检验。 策略：仔细审题建立正确数量关系式，计算后检验结果是否符合实际意义。 32．（2024九年级下·安徽宣城·竞赛）甲、乙两人同时从同一地点出发沿同一条路线去终点另一地点，若甲一半的时间以x千米/小时的速度行走，另一半的时间以y千米/小时的速度行走；而乙一半的路程以x千米/小时的速度行走，另一半的路程以y千米/小时的速度行走（均大于0且），则（    ） A．甲先到达B地 B．乙先到达地 C．甲乙同时到达地 D．不确定 33．（25-26八年级上·全国·单元测试）甲、乙两人同时从A地出发沿同一条路线去B地，若甲用一半的时间以的速度行走，另一半时间以的速度行走；而乙用的速度走了一半的路程，另一半的路程以的速度行走（a，b均大于0，且），则（    ） A．甲先到达 B．乙先到达 B地 C．甲、乙同时到达B地 D．甲、乙谁先到达B地不确定 34．（24-25七年级下·浙江金华·阶段练习）【阅读理解】 我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或代数式的大小，解决问题的策略一般都是进行一定的转化，其中“作差法”就是常用的方法之一．作差法：就是通过作差、变形，利用差的符号确定它们的大小．即要比较代数式的大小，只要算的值，若，则；若，则；若，则． 【知识运用】 （1）请用上述方法比较下列代数式的大小（直接在空格中填写“”或“”）： ①当时，_______；②若，，________ （2）试比较与的大小，并说明理由； 【拓展运用】（3）已知甲、乙两船同时从A港出发航行，设甲、乙两船在静水中的速度分别为，，水流速度为，且，两船同时顺流航行后立即返航，甲、乙两船返航所用时间分别为，，请通过比较，的大小，判断哪条船先返回A港？并说明理由． 35．（24-25八年级下·四川成都·期中）【阅读理解】“作差法”是解决某些数学问题常用的方法之一：比较代数式M，N的大小，作差，若，则；若，则；若，则． 【方法尝试】 （1）试比较大小，______填“>”、“<”或“=”； （2）若，试比较与的大小； 【解决问题】 （3）原有糖水a克，其中含糖b克，则原糖水的“甜度”可用表示，现向糖水中加入n克糖，糖水的“甜度”可用表示，请你用数学知识解释为什么“在一定质量的糖水中，加入一定质量的糖，糖水会变得更甜呢”？ 36．（24-25七年级下·安徽淮南·阶段练习）【问题提出】我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或式的大小．其中，“作差法”就是常用方法之一，即要比较M与N的大小，只要作出它们的差．若，则；若，则；若，则． 【尝试应用】 （1）已知长方形A的长为，宽为；长方形B的长为，宽为a．试比较两个长方形周长的大小； （2）若，，试比较代数式与的大小； 【联系生活】 （3）甲、乙两人分别用不同方式购买苹果和香蕉，两种水果的单价分别为元/千克和元/千克．甲共购买了千克水果，其中苹果m千克，香蕉m千克；乙共花费了元，其中买苹果n元，买香蕉n元．若甲和乙的花费相同，试比较甲、乙两人购买水果的总重量大小． 九、分式的乘除法运算 易错点：运算顺序错误，混淆乘除法则与加减法则。 策略：除法统一转换为乘法运算；分子分母是多项式时，先因式分解再约分。 37．（25-26八年级上·全国·课后作业）若运算的结果为整式，则“”中的式子可能是（   ） A． B． C． D． 38．（25-26八年级上·河北邢台·阶段练习）若，则“？”表示的是（    ） A． B． C． D．8 39．（25-26八年级上·湖南娄底·阶段练习）计算： ． 40．（25-26八年级上·山东淄博·阶段练习）计算： ． 41．（25-26八年级上·山东淄博·阶段练习）小刚同学不小心弄污了练习本的一道题，这道题是：“化简”其中“”处被弄污了，但他知道这道题的化简结果是，则“”处的式子为 ． 解：根据题意得：， 又 则“”处的式子为． 故答案为：． 42．（25-26八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 十、分式的混合运算 易错点：运算顺序混乱，急于约分导致错误。 策略：严格遵守“先乘除，后加减，括号优先”的顺序，确保每一步运算准确。 43．（25-26八年级上·山东淄博·阶段练习）已知对于正数x，我们规定： ，例如：，则 ． 44．（25-26八年级上·吉林长春·阶段练习）先化简，再求值：，其中． 45．（23-24九年级上·贵州遵义·阶段练习）先化简：，再从，2，0，1中选出合适的数代入求值． 46．（25-26八年级上·山东淄博·阶段练习）分式的化简： (1)； (2)． 47．（25-26八年级上·山东淄博·阶段练习）（1）先化简，再从中选一个适合的整数代入求值． （2）已知，求实数A，B． 十一、同底数幂的除法运算 易错点：指数相减时符号错误，或底数不同时强行相除。 策略：确保底数相同；运用法则“底数不变，指数相减”，注意符号处理。 48．（25-26八年级上·山西临汾·阶段练习）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 49．（25-26八年级上·吉林长春·阶段练习）已知，，则的值为（    ） A．5 B． C．23 D． 50．（25-26八年级上·河南南阳·阶段练习）若，则 ． 51．（湖南省衡阳市第八中学教育集团2025-2026学年八年级上学期第一次月考数学试题）（1）已知，，求①；②的值． （2）已知，求的值． 十二、零指数幂 易错点：忽略底数不为零的前提条件，错误应用公式。 策略：牢记a⁰=1成立的前提是a≠0，解题时首先验证底数是否为零。 52．（25-26七年级上·上海·阶段练习）已知：，则x的值是 ． 53．（25-26八年级上·安徽阜阳·阶段练习）若分式有意义，则的取值范围是 ． 54．（25-26九年级上·湖南长沙·阶段练习）计算：； 十三、负指数幂 易错点：混淆负指数幂的运算法则，与正指数幂计算混淆。 策略：掌握公式a⁻ⁿ=1/aⁿ (a≠0)，熟练进行正向和逆向转换应用。 55．（25-26九年级上·陕西西安·阶段练习）计算：． 56．（25-26九年级上·重庆·阶段练习）计算的结果是 ． 57．（10-11七年级下·全国·阶段练习）＝ ． 十四、绝对值小于1的数的科学记数法 易错点：10的指数确定错误，小数点移动位数与指数关系混淆。 策略：写成a×10⁻ⁿ形式，其中1≤|a|<10，指数n等于原数第一个非零数字前所有零的个数（含小数点前一位的零）。 58．（25-26七年级上·陕西西安·阶段练习）氧原子的直径是0.000000000148米，用科学记数法表示为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 59．（25-26八年级上·上海·阶段练习）水由氢、氧两种元素组成，一个水分子包含两个氢原子和一个氧原子，1个氢原子的质量约为，一个氧原子的质量约为，一个水分子的质量大约是 ．（结果用科学记数法表示） 60．（25-26八年级上·上海·阶段练习）的小数点与左起第一个非零数字之间有 个0． 十五、整数指数幂的混合运算 易错点：运算法则混淆，运算顺序错误，负号处理不当。 策略：先算乘方，再算乘除，最后算加减；负指数先化正，有括号先算括号内。 61．（2025八年级上·全国·专题练习）计算： ． 62．（25-26八年级上·全国·课后作业）计算：（用科学记数法表示结果） (1)； (2)． 十六、解分式方程 易错点：忘记最关键的检验增根步骤，导致答案错误。 策略：解方程后必须将根代入最简公分母检验，若为零则为增根需舍去。 63．（25-26九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知分式 （，为常数）满足表格中的信息，则下列结论中错误的是（    ） x的取值 分式的值 无意义 A． B． C． D． 64．（25-26八年级上·山东淄博·阶段练习）解方程： (1) (2) 65．（25-26八年级上·山东淄博·阶段练习）解方程： (1) (2) 重难点01 分式的取值问题 66．（12-13八年级下·山东·阶段练习）使分式的值为负数的条件是（    ） A． B． C． D． 67．（2023八年级下·甘肃平凉·竞赛）若分式的值是负数，则的取值范围是（     ） A． B．或 C．或 D．且 68．（2024八年级下·江西上饶·竞赛）已知分式的值为负数，则x的取值范围是 ． 69．（25-26八年级上·山东淄博·阶段练习）分式的值为整数，则所有符合条件的整数x的值为 ． 70．（25-26八年级上·全国·课后作业）阅读下面的材料：当x满足什么条件时，分式的值为正？ 根据有理数的除法法则：同号两数相除得正数，异号两数相除得负数，瑶瑶的解题思路如下．原式可转化为下面两个不等式组： ①或②， 解不等式组①，得_________， 解不等式组②，得_________， 故当x满足______时，分式的值为正． 解答问题： (1)请将瑶瑶的解题思路补充完整； (2)若分式的值为负，求x的取值范围． 71．（24-25八年级下·河北张家口·期中）数学活动课上，老师在黑板上写了两个代数式，，请同学们利用两个代数式提出问题，并解决问题． (1)嘉嘉：求的最小值； (2)琪琪：若的值为正整数，求整数的值． 重难点02 同底数幂除法的逆运算 72．（25-26八年级上·全国·课后作业）已知，则的值是（    ） A． B． C． D．4 73．（24-25七年级下·山东·开学考试）已知，，则的值为 ． 74．（25-26八年级上·重庆万州·阶段练习）计算下面各题： (1)已知，，求的值； (2)已知，求的值． 重难点03 分式方程解的讨论 75．（20-21八年级上·山东泰安·期中）关于x的方程  去分母转化为整式方程后产生增根，则m的值是（   ） A． B．4 C．或 D．或4 76．（20-21九年级下·重庆沙坪坝·开学考试）如果关于的分式方程有正整数解，且关于的一元一次不等式组的解集为，则所有满足条件的整数的和为（　　） A． B． C． D． 77．（2024·广东广州·二模）如果关于x的不等式组有且只有两个奇数解，且关于y的分式方程的解为非负整数，则符合条件的所有整数a的和为（　　） A．12 B．16 C．18 D．20 78．（25-26八年级上·山东淄博·阶段练习）若关于x的分式方程无解，则a的值为 ． 79．（23-24九年级上·重庆九龙坡·期中）如果关于的不等式组至少有个整数解，且关于的分式方程的解是非负数，则符合条件的所有整数的和是 ． 重难点04 分式方程的应用题 80．（24-25八年级上·福建厦门·期末）小梧善于从数学的角度发现问题．在一次数学建模活动中，小梧提出：在意外事件发生时，建筑物内的人员如何才能尽快地疏散撤离？他的思考引起了大家对安全疏散问题的研究兴趣． 数学建模小组对某教学楼第一层楼两间相同的教室（如图，左边是化学实验室，右边是器材室）展开研究．为简化问题，他们提出如下模型假设： ①疏散时有秩序地从前、后门撤离出教学楼； ②出于安全考虑，按单列行进撤离，当从后门撤离的第一个学生到达前门时，若从前门撤离的学生还未疏散完毕，此时，从后门撤离的学生需在前门左侧等，待从前门撤离的学生全部撤出教室后，他们的队伍再继续前进； ③队列中学生间隔（单位：）是均匀的，队列中人员身体的平均厚度为（单位：）； ④队列匀速地撤出教学楼； ⑤疏散队伍行进速度ν（单位：）受队列密集程度的影响，队列越密集，行进的最大速度越慢； ⑥教室内人群到教室门口的时间和学生出门时与门框的距离忽略不计． 设化学实验室内的学生数为，其中为正整数，每间教室的长度为（单位：），前后门的宽度均为（单位：）． (1)求从化学实验室前门撤离的第一个学生到达安全出口所用的时间； (2)查阅资料，得知初中生身体的平均厚度为．经测量，每间教室的长度为，前后门的宽度为． ①在一次疏散演练中，化学实验室内有名学生，其中名学生从前门撤离，其余学生从后门撤离，撤离过程中保持队列学生间隔为．请你判断从后门撤离的第一个学生到达前门时是否需要等待，并说明理由； ②本学期学校组织了两次疏散演练．两次演练，化学实验室内均有名学生，且均有名学生从前门撤离，其余学生从后门撤离在第一次演练中学生间隔为，第二次学生间隔为，第一次的行进速度比第二次的一半多，两次演练中化学实验室最后一名学生撤离到安全出口所用的时间相同，求第一次疏散演练队伍的行进速度； (3)若化学实验室内有x名学生从前门撤离，其余学生从后门撤离，求化学实验室内的学生全部撤离到安全出口所用的时间．（用含字母的式子表示） 81．（2025八年级上·全国·专题练习）某小区计划购置单枪、双枪两款新能源充电桩，相关信息如下表： 单枪充电桩 花费：50000元 单价：x元/个 双枪充电桩 花费：45000元 单价：元/个 (1)若本次购买单枪充电桩的数量比双枪充电桩的数量多20个，求单枪、双枪两款新能源充电桩的单价； (2)在（1）的条件下，根据居民需求，小区决定再次购进单枪、双枪两款新能源充电桩共20个，已知单枪新能源充电桩的单价比上次购买时提高了，双枪新能源充电桩的单价比上次购买时降低了，如果此次加购小区预备支出不超过25000元，求小区最少需要购买单枪新能源充电桩的数量． 82．（24-25七年级下·浙江衢州·期末）综合实践：如何设计运动会奖品购买方案及抵扣方式？ 如何设计运动会奖品购买方案及抵扣方式？ 素材1 某校运动会准备购买排球和篮球作为奖品，已知篮球的单价比排球的单价贵20元，用800元购买排球的数量是用480元购买篮球数量的2倍． 素材2 学校花费1680元购买篮球和排球作为奖品颁发给“优秀运动员”，其中购买的排球数量比篮球数量多8个． 素材3 学校花费1680元后，商家赠送若干张抵扣券（满100元抵扣20元，每件商品限用1张），学校准备花费1260元再次购买这种篮球和排球，其中购买的篮球中没有使用抵扣券的数量是两种球总数的． 问题解决 任务1 探求商品单价 请运用适当的方法，求出篮球与排球的单价． 任务2 求商品的数量 利用素材2，求出该校花费1680元购买的篮球和排球的数量， 任务3 确定抵扣方式 基于素材3，求出排球中使用抵扣券的数量． 83．（24-25七年级下·浙江金华·阶段练习）根据素材，完成任务． 如何设计雪花模型材料采购方案？ 素材一 学校组织同学参与甲、乙两款雪花模型的制作．每款雪花模型都需要用到长、短两种管子材料．某同学用6根长管子、48根短管子制作了1个甲雪花模型与1个乙雪花模型．已知制作一个甲、乙款雪花模型需要的长、短管子数分别为1：7与1：9． 素材二 某商店的店内广告牌如右所示．5月，学校花费320元向该商店购得的长管子数量比花200元购得的短管子数量少80根． 1．短管子售价：m元/根，长管子售价：2m元/根 2．6月起，购买3根长管子赠送1根短管子． 3．本店库存数量有限，长管子仅剩267根，短管子仅剩2130根，先到先得! 素材三 6月，学校有活动经费1280元，欲向该商店采购长、短管子各若干根全部用来制作甲、乙雪花模型（材料无剩余），且采购经费恰好用完． 问题解决 任务一 分析雪花模型结构 求制作一个甲、乙款雪花模型分别需要长、短管子多少根？ 任务二 确定采购费用 试求m的值． 任务三 拟定采购方案 求出所有满足条件的采购方案． 84．（24-25八年级下·河南郑州·期末）以下素材，完成相关任务． 素材1 某果园有布鲁克斯和明5-5两种樱桃供游客采摘，采摘布鲁克斯比明5-5每千克少3元，小智采摘两种樱桃均花费120元，但采摘布鲁克斯的重量是明5-5的1.25倍． 素材2 该果园提供运送服务，从果园寄送到A市按重量收费，当樱桃重量不超过6千克时，需要运费30元；当重量超过6千克时，超过部分另收m元/千克． (1)任务1：求在该果园采摘明的单价， (2)任务2：若寄送8千克樱桃运费为42元，求出m的值； (3)任务3：若使用该果园运送服务，小智将15千克采摘的樱桃寄送给A市的朋友，则运费最少需________元．（可一次寄送也可分多次寄送） 85．（25-26九年级上·重庆·阶段练习）列方程解答问题： 2025年9月第二十三届中国摩博会在重庆举行，本届摩博会参展企业数量创下历史新高，超过3000款摩托车型集中亮相．8月某摩托车专卖店售出、两款摩托车共120辆，其中款的销售额是20万元，款的销售额是80万元．已知每辆款摩托车售价是每辆款摩托车售价的2倍． (1)求款摩托车与款摩托车的售价分别为每辆多少万元； (2)该摩托车专卖店想在9月摩博会期间提高销量，决定对（1）中两款车进行降价促销，款每辆售价在8月的基础上降低了万元，销量增加了40辆；款每辆售价在8月的基础上降低了万元，销量增加了20辆；若两款摩托车的总销售额是8月的1.5倍还少万元，求的值． 86．（25-26八年级上·全国·期末）由于受到手机更新换代的影响，某手机店经销的A型号手机四月售价比三月售价每台降价元．如果卖出相同数量的A型号手机，那么三月销售额为元，四月销售额只有元． (1)填表： 销售额（元） 单价（元/台） 销售手机的数量（台） 三月 x 四月 (2)三、四月A型号手机每台售价各为多少元？ (3)为了提高利润，该店计划五月购进B型号手机销售，已知A型号手每台进价为元，B型号手机每台进价为元，调进一部分资金购进这两种手机共台（其中A型号手机有m台），在销售中决定在四月手机售价基础上每售出一台A型号手机再返还顾客现金元，而B型号手机按售价元销售，若将这台手机全部售出共获得多少利润？ 试卷第2页，共63页 13 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 分式 1、分式的概念 形如 的式子叫做分式，其中A，B是两个整式，且B中含有字母 2、分式有意义：分母不为 零 3、分式的值为零： 分式值为零时要求分子为零且分母不为零 4、分式的基本性质 分式的分子与分母都乘（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变 5、约分 把一个分式的分子和分母的公因式约去，当分子，分母是多项式时，先因式分解，再约分 6、最简分式 分子和分母没有公因式 7、分式乘除法 两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母；两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘，结果应化为最简分式或整式 8、分式的乘方 分子、分母分别乘方 9、通分 根据分式的基本性质，异分母的分式可以化为同分母的分式，这一过程称为分式的通分 异分母分式通分时，通常取最简单的公分母（简称为最简公分母）作为它们的共同分母 10、分式的加减法 同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减；异分母分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法法则进行计算 11、整式的除法 （1） 同底数幂的除法：（a‡0 , m , n都是正整数，并且m>n） 即：同底数幂相除，底数不变，指数相减； （2） 规定：即：任何不等于0的数的0次幂都等于1； （4）同底数的幂的除法：( a≠0，m,n是正整数，m＞n)； 12、零指数幂与负整数指数幂 由分式的约分可知， 一般地，当n是正整数时，这就是说，是的倒数。 12、科学记数法 小于1的正数可以用科学计数法表示为的形式，其中是整数数位只有一位的正数，n是正整数，n=原数中左起第一个非零数字前0的个数（含整数位上的0）。这种形式更便于比较数的大小。 13、分式方程 分母中含有未知数的方程 14、解分式方程 先将方程两边同乘一个适当的整式（通常是各分式的最简公分母），约去分母，从而转化为整式方程，然后再解这个整式方程 15、增根 解分式方程可能产生增根，所以解分式方程必须检验。通常只需检验所得的根是否使原方程中分式的分母的值等于零就可以了。如果所得的是原方程的增根，应当舍去。 在方程变形中如果产生了不适合原方程的根，那么我们称它为原方程的增根。 16、列分式方程解决实际问题的一般步骤 审、找、设、列、解、检、答 一、分式的基本性质 易错点：分子分母同乘（除）的整式未强调不为零。策略：严格确保所乘（除）的整式不为零，运算后保持分式值不变。 1．（25-26八年级上·河北邢台·阶段练习）要使分式的值扩大为原来的9倍，则下列变化正确的是（    ） A．x的值不变，y的值扩大为原来的9倍 B．x，y的值都扩大为原来的9倍 C．x，y的值都扩大为原来的3倍 D．y的值不变，x的值扩大为原来的9倍 【答案】D 【分析】本题主要考查分式的基本性质，能够正确利用分式的性质变形是解题的关键．根据分式的性质，逐一判断各个选项，即可得到答案． 【详解】解：A．x的值不变，y的值扩大为原来的9倍，得到的分式的值是原来的倍，故不符合题意； B．x，y的值都扩大为原来的9倍，得到的分式的值是原来的1倍，故不符合题意； C．x，y的值都扩大为原来的3倍，得到的分式的值是原来的1倍，故不符合题意； D．y的值不变，x的值扩大为原来的9倍，，得到的分式的值是原来的9倍，故符合题意， 故选：D． 2．（25-26八年级上·北京通州·阶段练习）若将分式中的x，y都扩大10倍，则分式的值 （填“扩大”“缩小”或“不变”） 【答案】不变 【分析】本题主要考查分式的性质，熟练掌握分式的性质是解题的关键；因此此题可根据分式的性质进行求解即可． 【详解】解：将中的x，y都扩大10倍，为， ∴分式的值不变； 故答案为：不变． 3．（25-26八年级上·全国·课后作业）不改变分式的值，使下列分式的分子与分母都不含“”号． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】此题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解本题的关键． （1）利用分式的基本性质，把分子负号放到分式外面，即可解答； （2）利用分式的基本性质，把分母负号放到分式外面，即可解答； （3）利用分式的基本性质，分子、分母同乘，即可解答； （4）利用分式的基本性质，把分子负号放到分式外面，即可解答． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 4．（25-26八年级上·全国·课后作业）利用分式的基本性质填空： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了分式的基本性质，以及因式分解，熟练掌握分式的基本性质是解决本题的关键． （1）根据分式的基本性质，即分式的分子与分母同时乘以求解即可； （2）根据分式的基本性质，即分式的分子与分母同时乘以求解即可； （3）先对进行因式分解，再根据分式的基本性质，即分式的分子与分母同时除以x求解即可； （4）先对进行因式分解，再根据分式的基本性质，即分式的分子与分母同时除以求解即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 二、分式的概念 易错点：误判分母含π的式子为分式（π是常数）。 策略：紧扣定义，分母必须含有字母才是分式，注意区分常数与字母。 5．（25-26八年级上·湖南岳阳·阶段练习）代数式 中，属于分式的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查了分式的定义：一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式，根据分式的定义判断即可． 【详解】解：分式有：，共3个， 故选：B． 6．（25-26八年级上·河北邢台·阶段练习）若是分式，则“”可以是（    ） A．1 B． C．0.001 D．x 【答案】D 【分析】本题考查分式的定义，根据分式的分母中含有字母，进行求解即可． 【详解】解：若是分式，则“”中必须含有字母，故可以是； 故选D． 7．（25-26八年级上·全国·课后作业）设A、B都是整式，若表示分式，则（   ） A．A，B都必须含有字母 B．A必须含有字母 C．B必须含有字母 D．A，B都必须不含有字母 【答案】C 【分析】本题主要考查了分式的定义，关键是掌握分式的分母必须含有字母，而分子可以含字母，也可以不含字母．利用分式的概念：一般地，如果、表示两个整式，并且中含有字母，那么式子叫做分式，据此分析即可． 【详解】解：设A、B都是整式，若表示分式， 则B必须含有字母， 故选：C． 8．（11-12八年级下·福建·期中）观察：①②③④⑤⑥，其中是分式的有（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】B 【分析】本题考查了分式的定义，熟练掌握分式的定义是解题的关键． 一般地，如果A、表示两个整式，且B中含有字母，那么式子就叫做分式，由此判断即可． 【详解】解：分式有∶ 、、、，共4个， 故选∶B 三、使分式有（无）意义的判定 易错点：忽略分母整体不为零，仅考虑分母中部分因式。 策略：令整个分母等于零，求出使分式无意义的字母取值，再取反。 9．（21-22八年级上·广西桂林·期中）若分式的值不存在，则需x的值为（   ） A．0 B．1 C．－1 D．2 【答案】B 【分析】本题考查的是分式无意义的条件，根据分式的值不存在即分式无意义可得，进一步求解即可. 【详解】解：∵分式的值不存在， ∴， 解得：. 故选：B 10．（2025八年级上·全国·专题练习）若式子无意义，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了分式无意义的条件，解题的关键是熟练掌握分式无意义的条件． 根据分式无意义的条件，即分母为0，进行求解即可． 【详解】解：分式无意义的条件是分母为零，由，得， 故选：C． 11．（25-26八年级上·湖南·阶段练习）要使分式无意义，则 ． 【答案】 【分析】本题考查分式无意义的条件，即分母为0时分式无意义.的分母即为所求. 【详解】解：分式无意义， ∴ 解得：． 故答案为：1． 12．（25-26八年级上·全国·课后作业）（1）若分式有意义，则分母 0，则a应满足 ； （2）若分式没有意义，则分母 0，则x应满足 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式有无意义的条件， 对于（1），根据分式有意义可知，可得答案； 对于（2），根据分式没有意义可得，可得答案. 【详解】解：∵有意义， ∴， 解得； ∵没有意义， ∴， 解得. 故答案为：；；=，. 四、分式的值为零问题 易错点：只考虑分子为零，忽略分母同时不能为零的隐含条件。 策略：先令分子=0，解出值后代入分母检验，确保分母≠0。 13．（2022·四川眉山·模拟预测）使分式的值等于0的条件是（   ） A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】D 【分析】此题主要考查了分式的值为零的条件，直接利用分式的值为零则分子为零且分母不为零，进而得出答案． 【详解】解：使分式的值等于0的全部条件是且， 解得且， 故选：D． 14．（24-25八年级上·广西桂林·期中）若分式的值为零，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的值为零的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：①分子的值为0，②分母的值不为0，这两个条件缺一不可． 根据分式的值为零的条件作答即可． 【详解】解：∵分式的值为零， ∴，， 解得：，， 即， 故答案为：． 15．（2021·黑龙江鸡西·一模）若分式在时无意义，在时值为0，则 ． 【答案】7 【分析】此题主要考查了分式有意义的条件，分式值为零的条件，掌握相关知识是解决问题的关键．根据分式无意义的条件和值为零的条件可得a、b的值，从而可得答案． 【详解】解：时无意义， ， 解得：， 时值为0， ，且， ， ， 故答案为：7． 16．（25-26八年级上·河北邢台·阶段练习）已知当时，分式无意义；当时，此分式的值为0． (1)求a，b的值． (2)当分式的值为正整数时，直接写出整数x的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查分式有意义，分式的值为零的条件，分式的值，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据分式的分母为0时，分式无意义，分式的分子为0，分母不为0时，分式的值为0，求出的值，即可； （2）根据分式的值为正整数，且x为整数，得到，进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意，， 解得； （2）解：由（1）可知：， ∵分式的值为正整数，且x为整数， ∴， ∴． 五、分式的约分与通分 易错点：约分不彻底；通分时最简公分母找错。 策略：约分需将分子分母彻底因式分解；通分找所有因式的最高次幂乘积。 17．（25-26九年级上·福建福州·开学考试）若．则（   ） A． B． C．2 D．1 【答案】B 【分析】本题主要考查分式的值，熟练掌握分式的性质是解题的关键；由分式变形为，然后代值进行求解即可． 【详解】解：∵时，， ∴， 当时，原式． 故选B． 18．（20-21八年级上·海南省直辖县级单位·期末）下列各式中，不能化简的分式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式的约分，运用平方差公式进行因式分解，运用完全平方公式进行因式分解，正确的化简分式是解题的关键． 对各选项进行化简，然后判断作答即可． 【详解】解：A、，故该选项不符合题意； B、，故该选项不符合题意； C、，无法化简，故该选项符合题意； D、，故该选项不符合题意； 故选：C． 19．（11-12八年级下·福建·期中）化简分式： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式化简，先将分子因式分解，然后约分即可，熟练掌握分式的基本性质，是解题的关键． 【详解】解：． 故答案为：． 20．（25-26八年级上·全国·课后作业）通分： (1)，，； (2)，，． 【答案】(1)， ， (2)，， 【分析】本题考查了通分的定义，异分母分式的通分，关键是确定它们的最简公分母． （1）先求出最简公分母是，然后根据分式的基本性质进行计算，即可解答； （2）先对原分式的分母用提公因式法、平方差公式进行因式分解，求出最简公分母是，然后根据分式的基本性质进行计算，即可解答． 【详解】（1）解：最简公分母为， ， ， ； （2）解：，，， 最简公分母为， ， ， ． 六、分式的加减法 易错点：异分母分式直接相加减；分子为多项式时，通分后忘加括号。 策略：先通分化为同分母；加减时分子是整体，务必带括号参与运算。 21．（2024·广东·模拟预测）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了分式加减运算，熟练掌握分式加减运算法则，是解题的关键．根据同分母分式加减运算法则，进行计算即可． 【详解】解：． 故选：A． 22．（2025·湖北·模拟预测）化简： ． 【答案】 【分析】原式第一项分子利用平方差公式分解因式，约分后合并即可得到结果． 此题考查了分式的加减法，分式的加减法的关键是通分，通分的关键是找最简公分母． 【详解】解：原式 ． 故答案为：． 23．（24-25九年级下·广东中山·期中）计算的结果是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的减法运算，根据同分母分式减法法则计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 24．（2020·辽宁沈阳·二模）化简： ． 【答案】 【分析】本题主要考查分式化简；先通分，再进行加减，最后约分化简即可． 【详解】解： ； 故答案为：． 25．（25-26八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查分式的化简，异分母化简时要注意通分，上下要同时乘以同一个代数式． （1）先通分，再加减合并； （2）先因式分解，再约分，最后加减； （3）先因式分解，再通分，最后加减合并． 【详解】（1） （2） （3） 七、分式的加减运算 易错点：符号错误，特别是分数线充当括号作用时。 策略：分数线有括号作用，分子相减时注意各项符号变化，去括号看负号。 26．（12-13八年级下·山东·阶段练习）化简：等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式的运算，解题的关键是熟练掌握运算法则进行解题． 先通分，然后合并，即可得到答案． 【详解】解： 故选A． 27．（2022·浙江杭州·中考真题）照相机成像应用了一个重要原理，用公式表示，其中f表示照相机镜头的焦距，u表示物体到镜头的距离，v表示胶片（像）到镜头的距离．已知f，v，则u＝（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用分式的基本性质，把等式恒等变形，用含f、v的代数式表示u． 【详解】解：∵， ∴ ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查分式的加、减法运算，关键是异分母通分，掌握通分法则． 28．（25-26八年级上·湖南娄底·阶段练习）化简的结果为 ． 【答案】 【分析】本题考查了异分母分式加减法，掌握以上知识是解答本题的关键． 本题先对两个分式进行化简，化简成同分母分式，然后进行加减，即可求解． 【详解】解：． 故答案为：． 29．（20-21八年级下·江苏宿迁·期末）定义：若两个分式的和为n（n为正整数），则称这两个分式互为“n阶分式”．例如，分式与为“3阶分式”． (1)当满足条件______时，分式与为“5阶分式”； (2)设正数x，y互为倒数，求证：分式与为“2阶分式”； (3)若分式与为“1阶分式”（其中a，b为正数），求的值． 【答案】(1) (2)见详解 (3) 【分析】本题主要考查了分式的加减，因式分解，熟练掌握分式的通分约分运算知识是解决此类问题的关键． （1）根据提议，计算与的和即可； （2）根据题意首先利用倒数关系，将进行消元，然后通过分式的加法化简即可得解； （3）根据1阶分式的要求对两者相加进行分式加法化简，通过通分化简即可得解． 【详解】（1）解：∵分式与为“5阶分式”， ∴， ∴， ∴， 即当满足，时，分式与为“5阶分式”； （2）解：∵正数互为倒数， ， ， ∴分式与互为“2 阶分式”； （3）解：∵分式与互为“1 阶分式”， ， 去分母，得， 则， ， ， ∴， ∵为正数， ， 解得：． 30．（24-25七年级下·浙江宁波·期末）在分式中，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，假分式可以化成“带分式”，即整式与真分式的和的形式，如：． (1)判断下列“假分式”化成“带分式”的结果是否正确（填写“是”或者“否”）． ①（   ）；②（   ）． (2)若分式的值为整数，求满足条件的所有正整数a的值； (3)若分式和的值同时为整数，求满足条件的所有实数x的值． 【答案】(1)①是；②否 (2)2或8 (3)或 【分析】本题主要考查分式化简，新定义运算，熟练掌握分式的性质是解题的关键． （1）①根据题中所给新定义和所给方法进行计算判断即可； ②根据题中所给新定义和所给方法进行计算判断即可； （2）由题中所给方法化为带分式的形式即可； （3）设，则，且a为整数，，则有，然后根据或解方程，进而可求解． 【详解】（1）解：①由题意可得：，①正确， 故答案为：是； ② ，②错误， 故答案为：否； （2）解：， ∵该分式的值为整数， ∴的值可为，， 又∵a为正整数， ∴a的值为2或8； （3）解：∵分式和的值同时为整数， ∴设，则，且a为整数，， ∴ ∴或， 解得或（舍去）或或（舍去）， ∴或． 31．（24-25七年级下·安徽安庆·阶段练习）著名数学教育家波利亚曾说：“对于一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则．” 【阅读材料】通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数．如：．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如：这样的分式就是假分式；这样的分式就是真分式．类似地，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）． 如：． 解决下列问题： 【理解知识】（1）分式是 分式（选填“真”或“假”）； 【掌握知识】（2）将下列假分式化为带分式： ①； ②； 【运用知识】（3）求所有符合条件的整数的值，使得分式的值为整数． 【答案】（1）真；（2）①；②；（3）或或或． 【分析】本题主要考查了分式的化简运算，分式的性质；正确理解题意中的新定义、掌握分式的化简方法是解题的关键． （1）根据“真分式”和“假分式”定义判断即可； （2）①将分子写成，然后进行变形即可解答；②将分子写成，然后进行变形即可解答； （3）先将分式化为带分式，根据为整数，分式的值为整数即可得到x的值． 【详解】解：（1）∵的次数为0，x的次数为1， ∴是真分式． 故答案为：真； （2）①； ② （3） ， ∵与x均为整数， ∴或， ∴或或或． 八、分式加减运算的实际应用 易错点：未能正确列出分式运算式，或结果未结合实际检验。 策略：仔细审题建立正确数量关系式，计算后检验结果是否符合实际意义。 32．（2024九年级下·安徽宣城·竞赛）甲、乙两人同时从同一地点出发沿同一条路线去终点另一地点，若甲一半的时间以x千米/小时的速度行走，另一半的时间以y千米/小时的速度行走；而乙一半的路程以x千米/小时的速度行走，另一半的路程以y千米/小时的速度行走（均大于0且），则（    ） A．甲先到达B地 B．乙先到达地 C．甲乙同时到达地 D．不确定 【答案】A 【分析】本题考查了列代数式，准确熟练地进行计算是解题的关键． 设从地到地的路程为千米，甲走完全程所用的时间为小时，乙走完全程所用的时间为小时，根据题意可得：，从而可得：小时，再根据题意可得：小时，然后进行计算即可解答． 【详解】解：设从地到地的路程为千米，甲走完全程所用的时间为小时，乙走完全程所用的时间为小时， 由题意得：， 解得：小时， 由题意得：小时， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴甲先到达地， 故选：A． 33．（25-26八年级上·全国·单元测试）甲、乙两人同时从A地出发沿同一条路线去B地，若甲用一半的时间以的速度行走，另一半时间以的速度行走；而乙用的速度走了一半的路程，另一半的路程以的速度行走（a，b均大于0，且），则（    ） A．甲先到达 B．乙先到达 B地 C．甲、乙同时到达B地 D．甲、乙谁先到达B地不确定 【答案】A 【分析】本题考查分式的应用．设从A地到B地的路程为s，甲走完全程所用时间为，乙走完全程所用时间为，根据题意，分别表示出甲、乙所用时间的代数式，然后再作比较即可． 【详解】解：设从A地到B地的路程为s，甲走完全程所用时间为，乙走完全程所用时间为， 由题意得，， 解得，， a，b均大于0，且， ， ， 甲先到达， 故选A． 34．（24-25七年级下·浙江金华·阶段练习）【阅读理解】 我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或代数式的大小，解决问题的策略一般都是进行一定的转化，其中“作差法”就是常用的方法之一．作差法：就是通过作差、变形，利用差的符号确定它们的大小．即要比较代数式的大小，只要算的值，若，则；若，则；若，则． 【知识运用】 （1）请用上述方法比较下列代数式的大小（直接在空格中填写“”或“”）： ①当时，_______；②若，，________ （2）试比较与的大小，并说明理由； 【拓展运用】（3）已知甲、乙两船同时从A港出发航行，设甲、乙两船在静水中的速度分别为，，水流速度为，且，两船同时顺流航行后立即返航，甲、乙两船返航所用时间分别为，，请通过比较，的大小，判断哪条船先返回A港？并说明理由． 【答案】（1）①；②；（2），理由见解析；（3）甲船返航先返回A港 【分析】本题主要考查行程问题，整式的混合运算，分式加减混合运算的综合，理解行程中的数量关系，掌握整式的混合运算的方法，“作差法”的计算与比较方法是解题的关键． （1）根据材料提示，运用“作差法”即可求解； （2）运用“作差法”，乘法公式，不等式的性质，即可求解； （3）根据题意可得甲、乙船顺流速度与路程，分别求出返航时间，再用“作差法”比较即可求解． 【详解】解：（1）①由题意得：由于， 则， ， 故答案为：； ②由于，，则 ， ， 故答案为：； （2），理由如下： 由题意得： ， 则； （3）甲船返航先返回A港，理由如下： 由题意得：甲船顺流速度为，则甲船顺流的路程为， 乙船顺流速度为，则乙船顺流的路程为， 返航时甲船速度为，则， 返航时乙船速度为，则， ， 由于， ， ， 则甲船返航先返回A港． 35．（24-25八年级下·四川成都·期中）【阅读理解】“作差法”是解决某些数学问题常用的方法之一：比较代数式M，N的大小，作差，若，则；若，则；若，则． 【方法尝试】 （1）试比较大小，______填“>”、“<”或“=”； （2）若，试比较与的大小； 【解决问题】 （3）原有糖水a克，其中含糖b克，则原糖水的“甜度”可用表示，现向糖水中加入n克糖，糖水的“甜度”可用表示，请你用数学知识解释为什么“在一定质量的糖水中，加入一定质量的糖，糖水会变得更甜呢”？ 【答案】（1）；（2）；（3）见解析． 【分析】（1）作差计算即可； （2） “作差”计算出结果，再根据结果的符号判断即可； （3）比较与的大小即可． 本题考查有理数的大小比较，分式的加减，理解“作差法”是正确解答的关键． 【详解】解：（1）， ， 故答案为：<； （2）， ； （3），即， ， ， 即后来的糖水的“甜度”较大，也更甜． 36．（24-25七年级下·安徽淮南·阶段练习）【问题提出】我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或式的大小．其中，“作差法”就是常用方法之一，即要比较M与N的大小，只要作出它们的差．若，则；若，则；若，则． 【尝试应用】 （1）已知长方形A的长为，宽为；长方形B的长为，宽为a．试比较两个长方形周长的大小； （2）若，，试比较代数式与的大小； 【联系生活】 （3）甲、乙两人分别用不同方式购买苹果和香蕉，两种水果的单价分别为元/千克和元/千克．甲共购买了千克水果，其中苹果m千克，香蕉m千克；乙共花费了元，其中买苹果n元，买香蕉n元．若甲和乙的花费相同，试比较甲、乙两人购买水果的总重量大小． 【答案】（1）当时，长方形A的周长大于B的周长；当时，长方形A的周长等于B的周长；当时，长方形A的周长小于B的周长；（2）；（3）乙购买水果的总重量更大 【分析】本题主要考查了分式混合运算的应用，熟练掌握分式混合运算法则，是解题的关键． （1）先表示出两个长方形的周长，然后作差，再根据a的取值范围判断即可； （2）先求出，然后根据，，进行判断即可； （3）先根据甲和乙的花费相同，得出，再表示出乙购买的水果总量，，然后作差比较大小即可． 【详解】解：（1）长方形A的周长为：， 长方形B的周长为：， ， 当时，，此时长方形A的周长大于B的周长； 当时，，此时长方形A的周长等于B的周长； 当时，，此时长方形A的周长小于B的周长． （2）， ∵，， ∴， ∵，即， ∴． （3）∵甲和乙的花费相同， ∴， ∴， 乙购买水果总重量为， ， ∵，，，且， ∴， ∴， ∴乙购买水果的总重量更大． 九、分式的乘除法运算 易错点：运算顺序错误，混淆乘除法则与加减法则。 策略：除法统一转换为乘法运算；分子分母是多项式时，先因式分解再约分。 37．（25-26八年级上·全国·课后作业）若运算的结果为整式，则“”中的式子可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了分式的混合运算，解题的关键是掌握分式混合运算的法则． 将四个选项答案逐一代入原式，进行分式的混合运算即可． 【详解】解：A. ，不符合题意； B. ，不符合题意； C. ，符合题意； D. ，不符合题意； 故选：C． 38．（25-26八年级上·河北邢台·阶段练习）若，则“？”表示的是（    ） A． B． C． D．8 【答案】C 【分析】本题考查分式的乘方运算，根据分式的乘方法则进行计算即可． 【详解】解：； 故“？”表示的是； 故选C． 39．（25-26八年级上·湖南娄底·阶段练习）计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式乘法、约分等知识点，掌握分式的乘法运算法则是解题的关键． 根据分式乘法的运算法则（分子和分子相乘、分母和分母相乘）运算，然后再约分即可解答． 【详解】解：． 故答案为：． 40．（25-26八年级上·山东淄博·阶段练习）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查分式的乘除，分式的乘方，掌握相关运算法则是解题关键．根据分式的运算法则，先算乘方，再算乘除即可解答． 【详解】解： ． 41．（25-26八年级上·山东淄博·阶段练习）小刚同学不小心弄污了练习本的一道题，这道题是：“化简”其中“”处被弄污了，但他知道这道题的化简结果是，则“”处的式子为 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的乘除法，熟练掌握相关运算法则是解本题的关键． 根据题意列出算式，计算即可得到结果． 【详解】 解：根据题意得：， 又 则“”处的式子为． 故答案为：． 42．（25-26八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查分式的乘除混合运算，熟练掌握分式的混合运算法则，是解题的关键： （1）除法变乘法，约分化简即可； （2）根据分式的乘方，乘除法则进行计算即可． 【详解】（1）解：原式． （2）原式． 十、分式的混合运算 易错点：运算顺序混乱，急于约分导致错误。 策略：严格遵守“先乘除，后加减，括号优先”的顺序，确保每一步运算准确。 43．（25-26八年级上·山东淄博·阶段练习）已知对于正数x，我们规定： ，例如：，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了以实数运算为背景的新定义题型，涉及分式的化简，确定是解题的关键． 根据新定义，利用进行求解即可． 【详解】解：由题干中已知条件可得， ， 原式 ， 故答案为：． 44．（25-26八年级上·吉林长春·阶段练习）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查了分式的化简求值，掌握相关运算法则是解题关键．先对括号内通分计算，再将除法化为乘法约分化简，最后代入计算求值即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 45．（23-24九年级上·贵州遵义·阶段练习）先化简：，再从，2，0，1中选出合适的数代入求值． 【答案】， 【分析】此题考查了分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的有意义和相关运算法则．直接将括号里面进行加减运算，再利用分式的除法运算法则计算得出答案，注意分式的有意义 ． 【详解】解： ， 要使原式有意义，则要满足且， ， 当时，原式． 46．（25-26八年级上·山东淄博·阶段练习）分式的化简： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）先计算括号内的减法，再计算括号外除法即可； （2）先计算括号内的加减法，再计算括号外除法即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 47．（25-26八年级上·山东淄博·阶段练习）（1）先化简，再从中选一个适合的整数代入求值． （2）已知，求实数A，B． 【答案】（1），；（2） 【分析】本题考查了分式化简求值和二元一次方程的求解，准确的计算是解决本题的关键． （1）先对括号内运用通分和平方差公式，再将括号外的除法变为乘法进行化简，再将其中一个符合分式条件的整数，代入求解即可； （2）将等式右边进行通分合并跟等式左边进行对比列二元一次方程组求解即可． 【详解】解：（1） ， 由上得， ∴， ∴当时，原式 ． （2）∵ ， ∴， 比较两边分子的系数得，， 解得， ∴． 十一、同底数幂的除法运算 易错点：指数相减时符号错误，或底数不同时强行相除。 策略：确保底数相同；运用法则“底数不变，指数相减”，注意符号处理。 48．（25-26八年级上·山西临汾·阶段练习）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了多项式乘多项式，同底数幂的乘除，积的乘方，直接利用多项式乘多项式、同底数幂的乘除，积的乘方，分别对选项进行计算判断即可． 【详解】解：A项：，原式计算正确，符合题意； B项：，原式计算不正确，不符合题意； C项：，原式计算不正确，不符合题意； D项：，原式计算不正确，不符合题意． 故选：A． 49．（25-26八年级上·吉林长春·阶段练习）已知，，则的值为（    ） A．5 B． C．23 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了同底数幂的除法以及幂的乘方．逆用幂的乘方以及同底数幂的除法法则计算即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴． 故选：D． 50．（25-26八年级上·河南南阳·阶段练习）若，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查同底数幂的除法的逆运算，解答的关键是对同底数幂的除法的逆运算法则的掌握与灵活运用； 先将化成，代入即可求值. 【详解】解：∵ 故答案为：. 51．（湖南省衡阳市第八中学教育集团2025-2026学年八年级上学期第一次月考数学试题）（1）已知，，求①；②的值． （2）已知，求的值． 【答案】（1）①12；②；（2）16 【分析】本题主要考查了同底数幂除法及其逆运算，幂的乘方及其逆运算，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）分别根据同底数幂乘法和同底数幂除法的逆运算求解即可； （2）先根据幂的乘方得到原式，再根据同底数幂除法的法则求解即可． 【详解】解：（1）∵，， ①； ②； （2）∵， ∴， ∴ ． 十二、零指数幂 易错点：忽略底数不为零的前提条件，错误应用公式。 策略：牢记a⁰=1成立的前提是a≠0，解题时首先验证底数是否为零。 52．（25-26七年级上·上海·阶段练习）已知：，则x的值是 ． 【答案】或2 【分析】本题考查零指数幂的性质和有理数的乘方运算，正确分类讨论是解题的关键． 利用的偶次幂等于1，1的任意次幂等于1，任意非零数的零次幂等于1，分别列出方程，进一步可求出x的值． 【详解】解：∵， ∴或或， 当时，即，此时，故舍去； 当时，即，此时，满足等式； 当时，即， 时，，满足等式； 时，，无意义，不满足等式； ∴的值为：或2． 故答案为：或2 ． 53．（25-26八年级上·安徽阜阳·阶段练习）若分式有意义，则的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题主要考查了分式有意义的条件，零指数幂有意义的条件，分式有意义的条件是分母不为0，零指数幂有意义的条件是底数不为0，据此求解即可． 【详解】解：∵分式有意义， ∴， ∴且， 故答案为：且． 54．（25-26九年级上·湖南长沙·阶段练习）计算：； 【答案】5 【分析】本题考查了零指数幂、算术平方根、立方根，熟练掌握实数的运算法则是解题的关键． 根据零指数幂、绝对值、算术平方根、立方根的性质化简，再计算加减即可． 【详解】解： ． 十三、负指数幂 易错点：混淆负指数幂的运算法则，与正指数幂计算混淆。 策略：掌握公式a⁻ⁿ=1/aⁿ (a≠0)，熟练进行正向和逆向转换应用。 55．（25-26九年级上·陕西西安·阶段练习）计算：． 【答案】 【分析】本题考查实数的混合运算、负整数指数幂与零指数幂． 先化简绝对值，计算负整数指数幂与零指数幂，再计算加减法即可． 【详解】解： ． 56．（25-26九年级上·重庆·阶段练习）计算的结果是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了实数的混合运算、零指数幂、负整数指数幂等知识点，掌握相关运算法则是解题的关键． 先运用零次幂、负整数次幂化简，然后再计算即可． 【详解】解：． 故答案为：． 57．（10-11七年级下·全国·阶段练习）＝ ． 【答案】 【分析】本题考查零次幂，负整数指数幂，先根据零次幂，负整数指数幂计算，再计算减法即可． 【详解】解：． 故答案为：． 十四、绝对值小于1的数的科学记数法 易错点：10的指数确定错误，小数点移动位数与指数关系混淆。 策略：写成a×10⁻ⁿ形式，其中1≤|a|<10，指数n等于原数第一个非零数字前所有零的个数（含小数点前一位的零）。 58．（25-26七年级上·陕西西安·阶段练习）氧原子的直径是0.000000000148米，用科学记数法表示为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】C 【分析】此题考查科学记数法，科学记数法的表示形式为，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数． 【详解】解：米米． 故选：C． 59．（25-26八年级上·上海·阶段练习）水由氢、氧两种元素组成，一个水分子包含两个氢原子和一个氧原子，1个氢原子的质量约为，一个氧原子的质量约为，一个水分子的质量大约是 ．（结果用科学记数法表示） 【答案】 【分析】本题主要考查科学记数法—表示较小的数，读懂题意是解题的关键．根据一个水分子的质量两个氢原子的质量一个氧原子的质量，列式计算即可得出答案． 【详解】解： ， 故答案为：． 60．（25-26八年级上·上海·阶段练习）的小数点与左起第一个非零数字之间有 个0． 【答案】5 【分析】本题考查科学记数法表示较小的数，将科学记数法表示的较小的数还原，即可得出答案． 【详解】解：， ∴的小数点与左起第一个非零数字之间有5个0． 故答案为：5． 十五、整数指数幂的混合运算 易错点：运算法则混淆，运算顺序错误，负号处理不当。 策略：先算乘方，再算乘除，最后算加减；负指数先化正，有括号先算括号内。 61．（2025八年级上·全国·专题练习）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查幂的混合运算，注意负整数指数幂的运算法则，注意符号． 【详解】解：． 故答案为：． 62．（25-26八年级上·全国·课后作业）计算：（用科学记数法表示结果） (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了整数指数幂的运算，用科学记数法表示结果，熟练掌握相关幂的运算法则是解题的关键． （1）根据同底数幂的乘法计算出结果，最后用科学计算法表示即可． （2）先根据幂的乘方、积的乘方运算法则计算，然后根据同底数幂的除法计算出结果，最后用科学记数法表示即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 十六、解分式方程 易错点：忘记最关键的检验增根步骤，导致答案错误。 策略：解方程后必须将根代入最简公分母检验，若为零则为增根需舍去。 63．（25-26九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知分式 （，为常数）满足表格中的信息，则下列结论中错误的是（    ） x的取值 分式的值 无意义 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查分式有无意义的条件，分式值为0的条件，以及解分式方程，理解基本定义，以及解分式方程后注意检验是解题关键．首先根据已知条件分别确定和的值，然后确定出分式，最后根据时，原分式值为1，通过解分式方程确定，即可得出结论． 【详解】解：∵时，原分式无意义， ∴，解得：，B选项正确，不符合题意； ∴此分式为， ∵当时，原分式值为0， ∴，解得：， A选项正确，不符合题意； 由上分析，原分式为， 当时，原分式值为，D选项正确，不符合题意； 当时，解得：， 经检验，是原分式方程的解，C选项错误，符合题意； 故选：C． 64．（25-26八年级上·山东淄博·阶段练习）解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2)无解 【分析】本题考查了解分式方程． （1）先去分母，再去括号，移项合并同类项，系数化为1，最后检验即可； （2）先去分母，再去括号，移项合并同类项，系数化为1，最后检验即可． 【详解】（1）解： 去分母得 去括号得 移项合并同类项得 系数化为1得 检验：当时，， ∴是原分式方程的解； （2）解： 去分母得 去括号得 移项合并同类项得 系数化为1得 检验：当时，， ∴原方程无解． 65．（25-26八年级上·山东淄博·阶段练习）解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2)原方程无解 【分析】本题考查了分式方程的解法，解题的关键是通过去分母将分式方程转化为整式方程求解，并严格检验根的有效性（排除增根）． （1）利用分式方程分母的关系确定最简公分母，去分母转化为整式方程求解，再检验分母不为零，确定根的有效性； （2）先对分母因式分解确定最简公分母，去分母转化为整式方程求解，再检验分母是否为零，判断是否为增根． 【详解】（1）解：去分母，得：， 去括号，得：， 移项，合并同类项得：， 检验：当时，， ∴是分式方程的根； （2）解：去分母，得，去括号， 得， 合并同类项，得，化系数为1，得， 检验：当时， 则是分式方程的增根，故原方程无解． 重难点01 分式的取值问题 66．（12-13八年级下·山东·阶段练习）使分式的值为负数的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查分式值的正负性问题，解题的关键是掌握：若对于分式时，说明分子分母同号；分式时，分子分母异号． 根据分式的值为负，得到，解不等式即可． 【详解】解：∵使分式的值为负数，， ∴， 解得：， 故选：A． 67．（2023八年级下·甘肃平凉·竞赛）若分式的值是负数，则的取值范围是（     ） A． B．或 C．或 D．且 【答案】C 【分析】本题主要考查分式的值及一元一次不等式组的解法，熟练掌握分式的值及一元一次不等式组的解法是解题的关键；由题意易得或，然后进行求解即可． 【详解】解：由分式的值是负数，可分： 当时，解得：； 当时，解得：； 综上所述，满足条件x的取值范围为：或 故选C． 68．（2024八年级下·江西上饶·竞赛）已知分式的值为负数，则x的取值范围是 ． 【答案】或 【分析】此题考查了解一元一次不等式组的应用和分式的值，解题的关键是根据题意列出不等式组． 根据题意列出不等式，求出不等式的解集即可确定出的范围． 【详解】解：∵的值为负数， ∴， 解得：； 或， 解得：， ∴x的取值范围是或； 故答案为：或． 69．（25-26八年级上·山东淄博·阶段练习）分式的值为整数，则所有符合条件的整数x的值为 ． 【答案】或0或2或8 【分析】本题考查了分式的值，原式变形为，根据题意可得是7的因数，则或，求解即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：， 要使分式的值是整数，则是7的因数， ∴或， ∴或0或2或8， 故答案为：或0或2或8． 70．（25-26八年级上·全国·课后作业）阅读下面的材料：当x满足什么条件时，分式的值为正？ 根据有理数的除法法则：同号两数相除得正数，异号两数相除得负数，瑶瑶的解题思路如下．原式可转化为下面两个不等式组： ①或②， 解不等式组①，得_________， 解不等式组②，得_________， 故当x满足______时，分式的值为正． 解答问题： (1)请将瑶瑶的解题思路补充完整； (2)若分式的值为负，求x的取值范围． 【答案】(1)，不等式组无解， (2) 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． （1）分别求出两个不等式组的解集，即可解答； （2）先根据有理数的除法法则得出③或④，分别求解即可得出答案． 【详解】（1）解：解不等式组①，得， 解不等式组②，得不等式组无解， 故当x满足时，分式的值为正． 故答案为：；不等式组无解；； （2）解：∵分式的值为负， ∴分子、分母异号， 原式可转化为③或④， 解不等式组③： 由，得，由，得， ∴不等式组③无解； 解不等式组④： 由，得，由，得， ∴不等式组④的解集为． 综上所述，若分式的值为负，则x的取值范围为． 71．（24-25八年级下·河北张家口·期中）数学活动课上，老师在黑板上写了两个代数式，，请同学们利用两个代数式提出问题，并解决问题． (1)嘉嘉：求的最小值； (2)琪琪：若的值为正整数，求整数的值． 【答案】(1)的最小值是． (2)整数的值为或． 【分析】本题主要考查了整式的加减、配方法的应用、分式的化简以及分式值为正整数的条件．熟练掌握整式的运算法则、配方法、分式的化简方法是解题的关键． （1）先求出的表达式，再将其化为顶点式，根据二次函数的性质求出最小值． （2）先求出的表达式，再根据其为正整数以及为整数来确定的值． 【详解】（1）解： ∴当且仅当，即时取等号，的最小值是． （2）解： ∵分式有意义时，分母不为，即，解得． 当时，． ∵的值为正整数，为整数． 当，即时，； 当，即时，． ∴整数的值为或． 重难点02 同底数幂除法的逆运算 72．（25-26八年级上·全国·课后作业）已知，则的值是（    ） A． B． C． D．4 【答案】A 【分析】本题考查了幂的运算，涉及幂的乘方和同底数幂的乘除法逆运算等知识； 先根据幂的乘方逆运算法则和同底数幂的乘除法逆运算法则将原式变形为，再代入已知数据计算即可. 【详解】解：∵， ∴ ； 故选：A. 73．（24-25七年级下·山东·开学考试）已知，，则的值为 ． 【答案】64 【分析】本题考查了同底数幂的除法，幂的乘方与积的乘方，先根据同底数幂的除法法则得出，结合已知条件即可求出的值，再将变形为，然后代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：64． 74．（25-26八年级上·重庆万州·阶段练习）计算下面各题： (1)已知，，求的值； (2)已知，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查同底数幂的乘除运算，幂的乘方逆运算法则，熟练掌握同底数幂的乘除运算是解题的关键． （1）根据同底数幂的除法逆用结合幂的乘方逆运算法则，进行求解； （2）根据幂的乘方逆运算法则可得，再代入计算即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴． 重难点03 分式方程解的讨论 75．（20-21八年级上·山东泰安·期中）关于x的方程  去分母转化为整式方程后产生增根，则m的值是（   ） A． B．4 C．或 D．或4 【答案】C 【分析】本题主要考查分式方程的解法和增根的定义，根据分式方程的解法，化简成整式方程，再根据增根的定义算出增根代入整式方程，即可求得答案； 【详解】解：， 方程两边同时乘以， ， ， ， 令时，是方程的增根； ∴或 故答案选：C． 76．（20-21九年级下·重庆沙坪坝·开学考试）如果关于的分式方程有正整数解，且关于的一元一次不等式组的解集为，则所有满足条件的整数的和为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了分式方程和一元一次不等式组，熟练掌握以上知识是解题的关键． 先求解分式方程，得出，再求解一元一次不等式组，结合题意可得，或，分别代入求解计算即可． 【详解】解：， 去分母：， 解得：，为正整数，且， 解不等式， 可得：， 解不等式：， 可得：， ∵关于的一元一次不等式组的解集为， ∴， 又∵，为正整数，且， ∴或， 若，则， 得， 若，则， 得， ∴所有满足条件的整数的和为：， 故选：D． 77．（2024·广东广州·二模）如果关于x的不等式组有且只有两个奇数解，且关于y的分式方程的解为非负整数，则符合条件的所有整数a的和为（　　） A．12 B．16 C．18 D．20 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次不等式组的解法和分式方程的解法，解不等式组可得，解分式方程可得，再结合已知不等式组和分式方程解的情况即可求解． 【详解】解：不等式组整理得：， 解得：， 由不等式组有且只有两个奇数解，得到， 解得：， 即整数，3，4，5，6，7，8，9， 分式方程去分母得：， 解得：， 由分式方程解为非负整数， 得到，6，8，之和为16， 故选：B． 78．（25-26八年级上·山东淄博·阶段练习）若关于x的分式方程无解，则a的值为 ． 【答案】0.5或 【分析】本题考查了分式方程无解．熟练掌握分式方程无解产生的原因和解法，是解题的关键． 直接解分式方程，再分类讨论当时，当时，分别得出答案． 【详解】解：原方程去分母得， 整理得：． 当，即时， ． 该方程无解． 则原分式方程无解． 符合题意． 当，即时， 若原方程无解， 那么它有增根． 则． 解得：． 综上，a的值为0.5或． 故答案为：0.5或． 79．（23-24九年级上·重庆九龙坡·期中）如果关于的不等式组至少有个整数解，且关于的分式方程的解是非负数，则符合条件的所有整数的和是 ． 【答案】 【分析】本题考查了由不等式组的解的情况求参数的取值范围，由分式方程解的情况求参数的取值范围，有理数的加法运算，先求出不等式组的解集，根据解的情况可得，再求出分式方程的解，根据分式方程解的情况可得且，进而得到的取值范围，即可求出符合条件的所有整数的值，最后相加即可求解，正确计算是解题的关键． 【详解】解：解不等式组，得， ∵不等式组至少有个整数解， ∴， 解分式方程，得， ∵分式方程的解是非负数， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴且， ∴符合条件的整数的值为，，，， ∴符合条件的所有整数的和是， 故答案为：． 重难点04 分式方程的应用题 80．（24-25八年级上·福建厦门·期末）小梧善于从数学的角度发现问题．在一次数学建模活动中，小梧提出：在意外事件发生时，建筑物内的人员如何才能尽快地疏散撤离？他的思考引起了大家对安全疏散问题的研究兴趣． 数学建模小组对某教学楼第一层楼两间相同的教室（如图，左边是化学实验室，右边是器材室）展开研究．为简化问题，他们提出如下模型假设： ①疏散时有秩序地从前、后门撤离出教学楼； ②出于安全考虑，按单列行进撤离，当从后门撤离的第一个学生到达前门时，若从前门撤离的学生还未疏散完毕，此时，从后门撤离的学生需在前门左侧等，待从前门撤离的学生全部撤出教室后，他们的队伍再继续前进； ③队列中学生间隔（单位：）是均匀的，队列中人员身体的平均厚度为（单位：）； ④队列匀速地撤出教学楼； ⑤疏散队伍行进速度ν（单位：）受队列密集程度的影响，队列越密集，行进的最大速度越慢； ⑥教室内人群到教室门口的时间和学生出门时与门框的距离忽略不计． 设化学实验室内的学生数为，其中为正整数，每间教室的长度为（单位：），前后门的宽度均为（单位：）． (1)求从化学实验室前门撤离的第一个学生到达安全出口所用的时间； (2)查阅资料，得知初中生身体的平均厚度为．经测量，每间教室的长度为，前后门的宽度为． ①在一次疏散演练中，化学实验室内有名学生，其中名学生从前门撤离，其余学生从后门撤离，撤离过程中保持队列学生间隔为．请你判断从后门撤离的第一个学生到达前门时是否需要等待，并说明理由； ②本学期学校组织了两次疏散演练．两次演练，化学实验室内均有名学生，且均有名学生从前门撤离，其余学生从后门撤离在第一次演练中学生间隔为，第二次学生间隔为，第一次的行进速度比第二次的一半多，两次演练中化学实验室最后一名学生撤离到安全出口所用的时间相同，求第一次疏散演练队伍的行进速度； (3)若化学实验室内有x名学生从前门撤离，其余学生从后门撤离，求化学实验室内的学生全部撤离到安全出口所用的时间．（用含字母的式子表示） 【答案】(1)； (2)①从后门撤离的第一个学生到达前门时需要等待，理由见解析；② (3)当时，时间；当时，时间． 【分析】本题主要考查了行程问题中的时间、路程、速度的关系，分式方程的应用，列代数式，以及分情况讨论的数学思想．熟练掌握行程问题的基本公式时间路程速度时间路程速度，并能根据实际情况分情况讨论是解题的关键． （1）确定第一个学生从教室前门到安全出口所经过的路程，根据速度公式时间路程速度时间路程速度来计算时间． （2）①要判断从后门撤离的第一个学生到达前门时是否需要等待，需分别计算从后门撤离的第一个学生到达前门的时间和从前门撤离的学生全部撤出教室的时间，然后比较这两个时间的大小．②设第一次疏散演练队伍的行进速度为，根据两次演练中化学实验室最后一名学生撤离到安全出口所用的时间相同这一条件，列出方程求解． （3）化学实验室内有名学生从前门撤离，其余学生从后门撤离，需要分情况讨论，根据不同的情况计算全部学生撤离到安全出口所用的时间． 【详解】（1）解：∵ 从化学实验室前门撤离的第一个学生到达安全出口所走的路程为教室的长度，行进速度为， ∴时间； （2）解：①化学实验室内有名学生，名学生从前门撤离，从前门撤离的学生队列长度为． 从前门撤离的学生全部撤出教室的路程是队列长度加上学生身体的总厚度，学生身体的总厚度为， ∴总路程为． 从后门撤离的第一个学生到达前门的路程是教室的长度． ∵速度相同，路程， ∴从后门撤离的第一个学生到达前门的时间小于从前门撤离的学生全部撤出教室的时间， ∴从后门撤离的第一个学生到达前门时需要等待． ②设第一次疏散演练队伍的行进速度为，则第二次的行进速度为． 第一次演练中，从前门撤离的学生队列长度为，学生身体总厚度为，从前门撤离的学生全部撤出教室的路程为，时间为． 从后门撤离的学生有名，队列长度为，学生身体总厚度为，从后门撤离的学生全部撤出教室的路程为，时间为．后门的第一名撤离学生到前门的时间是， ∵， ∴第一次演练时间为． 第二次演练中，学生间隔为，从前门撤离的学生队列长度为，学生身体总厚度为，从前门撤离的学生全部撤出教室的路程为，时间为． 从后门撤离的学生队列长度为，学生身体总厚度为，从后门撤离的学生全部撤出教室的路程为，后门的第一名撤离学生到前门的时间是． ∵， ∴第二次演练时间为． 由两次时间相同 ∴， 解得， 经检验是原方程的解， ∴第一次疏散演练队伍的行进速度为． （3）解：化学实验室内有名学生，名学生从前门撤离，名学生从后门撤离． 从前门撤离的学生队列长度为，学生身体总厚度为， ∴从前门撤离的学生全部撤出教室的路程为，时间为． 从后门撤离的学生队列长度为，学生身体总厚度为， ∴从后门撤离的学生全部撤出教室的路程为，时间为． 当时，时间． 当时，时间． 81．（2025八年级上·全国·专题练习）某小区计划购置单枪、双枪两款新能源充电桩，相关信息如下表： 单枪充电桩 花费：50000元 单价：x元/个 双枪充电桩 花费：45000元 单价：元/个 (1)若本次购买单枪充电桩的数量比双枪充电桩的数量多20个，求单枪、双枪两款新能源充电桩的单价； (2)在（1）的条件下，根据居民需求，小区决定再次购进单枪、双枪两款新能源充电桩共20个，已知单枪新能源充电桩的单价比上次购买时提高了，双枪新能源充电桩的单价比上次购买时降低了，如果此次加购小区预备支出不超过25000元，求小区最少需要购买单枪新能源充电桩的数量． 【答案】(1)单枪新能源充电桩的价格为1000元/个，双枪新能源充电桩的价格为1500元/个 (2)小区最少需要购买单枪新能源充电桩8个 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，根据题意列出方程与不等式是解题的关键． （1）根据表格信息以及本次购买单枪充电桩的数量比双枪充电桩的数量多20个列出分式方程求解即可； （2）先分别求出两种充电桩调价后的单价，设再次购进单枪新能源充电桩a个，则购进双枪新能源充电桩个，总花费为元，再根据此次加购小区预备支出不超过25000元列出不等式求解并取最小整数解即可解答． 【详解】（1）解：根据题意可列方程， 解得， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， （元/个）． 答：单枪新能源充电桩的价格为1000元/个，双枪新能源充电桩的价格为1500元/个． （2）解：单枪新能源充电桩的单价比上次购买时提高了，则现在单枪新能源充电桩的单价为（元/个）， 双枪新能源充电桩的单价比上次购买时降低了，则现在双枪新能源充电桩的单价为（元/个）， 设再次购进单枪新能源充电桩a个，则购进双枪新能源充电桩个，总花费为元． ∵此次加购小区预备支出不超过25000元， ，解得， 的最小值为8， ∴小区最少需要购买单枪新能源充电桩8个． 82．（24-25七年级下·浙江衢州·期末）综合实践：如何设计运动会奖品购买方案及抵扣方式？ 如何设计运动会奖品购买方案及抵扣方式？ 素材1 某校运动会准备购买排球和篮球作为奖品，已知篮球的单价比排球的单价贵20元，用800元购买排球的数量是用480元购买篮球数量的2倍． 素材2 学校花费1680元购买篮球和排球作为奖品颁发给“优秀运动员”，其中购买的排球数量比篮球数量多8个． 素材3 学校花费1680元后，商家赠送若干张抵扣券（满100元抵扣20元，每件商品限用1张），学校准备花费1260元再次购买这种篮球和排球，其中购买的篮球中没有使用抵扣券的数量是两种球总数的． 问题解决 任务1 探求商品单价 请运用适当的方法，求出篮球与排球的单价． 任务2 求商品的数量 利用素材2，求出该校花费1680元购买的篮球和排球的数量， 任务3 确定抵扣方式 基于素材3，求出排球中使用抵扣券的数量． 【答案】任务1：排球的单价为100元，篮球的单价为120元；任务2：购买篮球4个，购买排球12个；任务3：1 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，二元一次方程组的实际应用，二元一次方程的实际应用，正确理解题意列出方程组和方程是解题的关键． 任务1：设排球的单价为x元，则篮球的单价为元，根据用800元购买排球的数量是用480元购买篮球数量的2倍建立方程求解即可； 任务2：设购买篮球m个，购买排球n个，根据学校花费1680元购买篮球和排球作为奖品颁发给“优秀运动员”，其中购买的排球数量比篮球数量多8个建立方程组求解即可； 任务3：设第二次购买了a个篮球，b个排球，且购买的排球中使用抵扣券的数量是c个，根据题意可得，则可得，可求出一定是3的倍数，设（k为正整数），则，即，解之即可得到答案． 【详解】解：任务1：设排球的单价为x元，则篮球的单价为元， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：排球的单价为100元，篮球的单价为120元； 任务2：设购买篮球m个，购买排球n个， 由题意得，， 解得， 答：购买篮球4个，购买排球12个． 任务3：设第二次购买了a个篮球，b个排球，且购买的排球中使用抵扣券的数量是c个， ，则第二次购买的篮球中没有使用抵扣券的数量是个， ∴第二次购买的篮球中使用抵扣券的数量是个， ∴， ∴ ∴， ∵一定是正整数， ∴一定是3的倍数， 设（k为正整数）， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， 当时，， 当时，，此时不符合题意； 随着k的继续增大，的结果只会越来越小，即的结果只会越来越大， ∵当时，，此时， ∴当时， ， ∴只有，满足题意， 答：排球中使用抵扣券的数量为1． 83．（24-25七年级下·浙江金华·阶段练习）根据素材，完成任务． 如何设计雪花模型材料采购方案？ 素材一 学校组织同学参与甲、乙两款雪花模型的制作．每款雪花模型都需要用到长、短两种管子材料．某同学用6根长管子、48根短管子制作了1个甲雪花模型与1个乙雪花模型．已知制作一个甲、乙款雪花模型需要的长、短管子数分别为1：7与1：9． 素材二 某商店的店内广告牌如右所示．5月，学校花费320元向该商店购得的长管子数量比花200元购得的短管子数量少80根． 1．短管子售价：m元/根，长管子售价：2m元/根 2．6月起，购买3根长管子赠送1根短管子． 3．本店库存数量有限，长管子仅剩267根，短管子仅剩2130根，先到先得! 素材三 6月，学校有活动经费1280元，欲向该商店采购长、短管子各若干根全部用来制作甲、乙雪花模型（材料无剩余），且采购经费恰好用完． 问题解决 任务一 分析雪花模型结构 求制作一个甲、乙款雪花模型分别需要长、短管子多少根？ 任务二 确定采购费用 试求m的值． 任务三 拟定采购方案 求出所有满足条件的采购方案． 【答案】任务一：制作一个甲款雪花模型需要长管子3根，则短管子21根，制作一个乙款雪花模型需要长管子3根，则短管子27根；任务二：；任务三：方案①购买258根长管子，2130根短管子；方案②购买267根长管子，2115根短管子 【分析】本题主要考查了二元一次方程组、分式方程和不等式组的应用，解题的关键是根据等量关系和不等关系列出方程或不等式． 任务一：设制作一个甲款雪花模型需要长管子根，则短管子根，制作一个乙款雪花模型需要长管子根，则短管子根，根据用6根长管子、48根短管子制作了1个甲雪花模型与1个乙雪花模型，列出方程组，解方程组即可； 任务二：根据题意列出关于m的方程，解方程即可； 任务三：设学校中采购了根长管子，根短管子，根据总费用1280元列出方程，得出，根据商店中长管子仅剩267根，短管子仅剩2130根，列出不等式组，求出，根据a必须能被3整除，得出，261，264，267，四种情况分别检验，从而得出购买方案． 【详解】解：任务一：设制作一个甲款雪花模型需要长管子根，则短管子根，制作一个乙款雪花模型需要长管子根，则短管子根， 由题意得： 解得：， 则，， 答：制作一个甲款雪花模型需要长管子3根，则短管子21根，制作一个乙款雪花模型需要长管子3根，则短管子27根； 任务二：5月，学校花费320元向该商店购得的长管子数量比花200元购得的短管子数量少80根， ， 解得：， 经检验是原方程的根； 任务三：设学校中采购了根长管子，根短管子， 由题意得：， 解得：， 根据商店中长管子仅剩267根，短管子仅剩2130根可得： 解得：， 必须能被3整除， ，261，264，267， 设可制作甲模型X个，乙模型Y个， 当时，， 此时， 解得：，； 费用为：（元）， 符合题意； 当时，， 此时， 解得：，； 由于甲、乙模型只能取整数，则有材料剩余，不符合题意，舍去； 当时，， 此时， 解得：，； 由于甲、乙模型只能取整数，则有材料剩余，不符合题意，舍去； 当时，， 此时， 解得：，； 费用为：（元）， 符合题意； 综上所述，有以下两种采购方案： 方案①：采购长管258根，短管2130根； 方案②：采购长管267根，短管2115根． 84．（24-25八年级下·河南郑州·期末）以下素材，完成相关任务． 素材1 某果园有布鲁克斯和明5-5两种樱桃供游客采摘，采摘布鲁克斯比明5-5每千克少3元，小智采摘两种樱桃均花费120元，但采摘布鲁克斯的重量是明5-5的1.25倍． 素材2 该果园提供运送服务，从果园寄送到A市按重量收费，当樱桃重量不超过6千克时，需要运费30元；当重量超过6千克时，超过部分另收m元/千克． (1)任务1：求在该果园采摘明的单价， (2)任务2：若寄送8千克樱桃运费为42元，求出m的值； (3)任务3：若使用该果园运送服务，小智将15千克采摘的樱桃寄送给A市的朋友，则运费最少需________元．（可一次寄送也可分多次寄送） 【答案】(1)该果园采摘明5-5的单价是15元/千克 (2)m的值为6 (3)78 【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次方程的应用以及有理数的混合运算，解题的关键是：任务一：找准等量关系，正确列出分式方程；任务二：找准等量关系，正确列出一元一次方程；任务三：根据各数量之间的关系，求出分一次、二次及三次寄送所需费用． 任务一：设在该果园采摘明的单价是x元/千克，则在该果园采摘布鲁克斯的单价是元/千克，利用数量=总价÷单价，结合“小智采摘两种樱桃均花费120元，但采摘布鲁克斯的重量是明的1.25倍”，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，即可得出结论； （2）根据寄送8千克樱桃运费为42元，可列出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论； （3）分一次、二次及三次寄送所需费用，比较后，即可得出结论． 【详解】（1）解：设在该果园采摘明的单价是x元/千克，则在该果园采摘布鲁克斯的单价是元/千克， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意． 答：在该果园采摘明5-5的单价是15元/千克； （2）解：根据题意得：， 解得：． 答：m的值为6； （3）解：分一次寄送所需运费为（元）； 分两次寄送（且两次均不低于6千克）所需运费为（元）； 分三次寄送（且每次均不超过6千克）所需运费为（元）， ∵， ∴运费最少需78元． 故答案为：78． 85．（25-26九年级上·重庆·阶段练习）列方程解答问题： 2025年9月第二十三届中国摩博会在重庆举行，本届摩博会参展企业数量创下历史新高，超过3000款摩托车型集中亮相．8月某摩托车专卖店售出、两款摩托车共120辆，其中款的销售额是20万元，款的销售额是80万元．已知每辆款摩托车售价是每辆款摩托车售价的2倍． (1)求款摩托车与款摩托车的售价分别为每辆多少万元； (2)该摩托车专卖店想在9月摩博会期间提高销量，决定对（1）中两款车进行降价促销，款每辆售价在8月的基础上降低了万元，销量增加了40辆；款每辆售价在8月的基础上降低了万元，销量增加了20辆；若两款摩托车的总销售额是8月的1.5倍还少万元，求的值． 【答案】(1)款摩托车的售价为每辆万元，款摩托车的售价为每辆1万元 (2) 【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次方程的应用等知识，找准等量关系，正确建立方程是解题关键． （1）设款摩托车的售价为每辆万元，则款摩托车的售价为每辆万元，根据两款摩托车共120辆建立方程，解方程即可得； （2）先求出9月份，款摩托车的售价和销量，再根据两款摩托车的总销售额是8月的倍还少万元建立方程，解方程即可得． 【详解】（1）解：设款摩托车的售价为每辆万元，则款摩托车的售价为每辆万元， 由题意得：， 解得， 经检验，是所列分式方程的解， 所以， 答：款摩托车的售价为每辆万元，款摩托车的售价为每辆1万元． （2）解：由（1）可知，在8月份，款摩托车的销量为辆，款摩托车的销量为辆， 则在9月份，款每辆售价为万元，销量为辆；款每辆售价为万元，销量为辆， 由题意得：， 解得， 答：的值为20． 86．（25-26八年级上·全国·期末）由于受到手机更新换代的影响，某手机店经销的A型号手机四月售价比三月售价每台降价元．如果卖出相同数量的A型号手机，那么三月销售额为元，四月销售额只有元． (1)填表： 销售额（元） 单价（元/台） 销售手机的数量（台） 三月 x 四月 (2)三、四月A型号手机每台售价各为多少元？ (3)为了提高利润，该店计划五月购进B型号手机销售，已知A型号手每台进价为元，B型号手机每台进价为元，调进一部分资金购进这两种手机共台（其中A型号手机有m台），在销售中决定在四月手机售价基础上每售出一台A型号手机再返还顾客现金元，而B型号手机按售价元销售，若将这台手机全部售出共获得多少利润？ 【答案】(1) (2)三月A型号手机每台售价为元，四月A型号手机每台售价为元 (3)元 【分析】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． （1）设三月A型号手机每台售价为元，则四月A型号手机每台售价为元，三月售出手机台，四月售出手机台，此问得解； （2）根据数量等于总价除以单价，结合三、四月份A型号手机的销售量相等，即可得出关于的分式方程，解方程后检验是否为增根得出答案； （3）根据总利润等于单台利润乘以销售数量，即可求出获得的总利润． 【详解】（1）解：设三月A型号手机每台售价为x元，则四月A型号手机每台售价为元，三月售出手机台，四月售出手机台， 故答案为：； （2）解：依题意，得， 解得， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， ， 答：三月A型号手机每台售价为元，四月A型号手机每台售价为元． （3）解：总利润为： ， ， 元． 答：若将这台手机全部售出共获得元利润． 试卷第2页，共63页 40 / 64 学科网（北京）股份有限公司 $