精品解析：四川省南充市南部中学2025-2026学年八年级上学期第一次月考数学试卷

2025--2026上期八年级第一次质量监测数学试卷 （满分150分 时间100分钟） 一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分） 1. 下列各组线段中，能构成三角形的是（ ） A. 6，8，10 B. 4，3，7 C. 3，5，9 D. 4，5，9 2. 下面四个图形中，线段是的高的是（ ） A. B. C. D. 3. 数学兴趣小组要利用所学知识，自己制作一个工具测量一个锥形瓶的内径．如图，用螺丝钉将两根木棒，的中点固定，利用全等三角形知识，测得的长就是锥形瓶内径的长．其中，判定和全等的方法是（ ） A. SSS B. ASA C. SAS D. AAS 4. 如图，已知为上一点，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，平分是上一点，于点，若，则点与射线上某一点连线的长度可以是（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 11 6. 如图，AD，BE是△ABC的高线，AD与BE相交于点F．若AD＝BD＝6，且△ACD的面积为12，则AF的长度为（　　） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1.5 7. 如图：①②③中，∠A＝42°，∠1＝∠2，∠3＝∠4，则∠O1+∠O2+∠O3＝（　　）度． A. 84 B. 111 C. 225 D. 201 8. 数学活动课上，小明在正方形网格中一笔画成了一个“字图”，如图所示的图形，则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，，，，为的中点，点在线段上以的速度由点向点匀速运动，同时，点在线段上由点向点匀速运动．当点的运动速度为（ ）时，能够在某一时刻使与全等． A. 2 B. 4 C. 2或3 D. 4或6 10. 如图，，，，下列结论中：①，②，③，④平分，⑤平分，其中正确的有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 二、填空题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分） 11. 在巴黎奥运会射击10米气步枪混合团体决赛中，射击队员在瞄准目标时，手、肘、肩构成托枪三角形，这种方法应用的几何原理是______． 12. 一副三角尺，如图所示叠放在一起，则图中的度数是___________． 13. 在中，，D为的中点，中线的长为4，则边的取值范围是___________． 14. 已知等腰三角形一条腰上的高与另一条腰的夹角为，则该等腰三角形的顶角为_____． 15. 若a，b，c是的三边，则_____． 16. 如图，垂直于的平分线交于点D，交于点E，，若的面积为6， 则的面积为_______． 17. 如图，已知点在第二象限角平分线上，，两边与x轴，y轴分别交P于A点，B点，则的值为______． 18. 如图，在中，，的平分线，交于点，于点，于点．有下列结论：平分；；；．其中正确的结论有____________．（填序号） 三、解答题（共7题，共78分） 19. 如图，在△ABC中，已知AD是△ABC的角平分线，DE是△ADC的高，∠B＝60°，∠C＝40°，求∠ADB和∠ADE的度数． 20. 如图，在中，点、分别在边、上，，，．若，求的周长． 21. 如图，点、、、在同一条直线上，，，．求证：； 22. 如图，在四边形中，，，于点．求证：平分． 23. 如图，在 中， 点在的延长线上，于点，，平分 （1）求证：； （2）若是的中点，，，求的面积． 24. 如图，在△ABC中，AC＞AB，D是BA延长线上一点，点E是∠CAD的平分线上一点，EB=EC，过点E作EF⊥AC于F，EG⊥AD于G． （1）求证：△EGB≌△EFC； （2）若AB=3，AC=5，求AF的长． 25. 【问题背景】（1）如图1，直线经过点，，，过点，分别向直线作垂线，垂足分别为，，求证：； 【变式探究】（2）如图2，点，，在直线上，若，，求证：； 【拓展应用】（3）如图3所示，在和中，，，，连接，，作边上的高，延长交于点．若，，求的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025--2026上期八年级第一次质量监测数学试卷 （满分150分 时间100分钟） 一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分） 1. 下列各组线段中，能构成三角形的是（ ） A. 6，8，10 B. 4，3，7 C. 3，5，9 D. 4，5，9 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查构成三角形的条件．根据两短边之和大于第三边时，三条线段能构成三角形，进行判断即可． 【详解】解：A，，能构成三角形； B，，不能构成三角形； C，，不能构成三角形； D，，不能构成三角形； 故选：A． 2. 下面四个图形中，线段是的高的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的高的定义，即从三角形的一个顶点到它的对边作一条垂线，顶点到垂足之间的线段叫做三角形的高． 根据三角形的高的定义逐项分析即可求解． 【详解】解：A、B、D选项中线段不能表示任何边上的高， C选项中线段表示中边上的高． 故选：C． 3. 数学兴趣小组要利用所学知识，自己制作一个工具测量一个锥形瓶的内径．如图，用螺丝钉将两根木棒，的中点固定，利用全等三角形知识，测得的长就是锥形瓶内径的长．其中，判定和全等的方法是（ ） A. SSS B. ASA C. SAS D. AAS 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定．根据题意确定全等三角形的判定条件即可求解． 【详解】解：在和中， ∵， ∴， ∴判定和全等的方法是是， 故选：C． 4. 如图，已知为上一点，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理的应用，根据，得出，结合已知条件，即可求解． 【详解】解：∵， ∴ ∵，， ∴ 故选：B． 5. 如图，平分是上一点，于点，若，则点与射线上某一点连线的长度可以是（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 11 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的性质定理， 根据角平分线的性质可知点P到的距离为10，进而得出答案． 【详解】解：∵平分，， ∴点P到的距离为10， ∴点P与射线上某点连线的长度大于等于10，可以是11． 故选：D． 6. 如图，AD，BE是△ABC的高线，AD与BE相交于点F．若AD＝BD＝6，且△ACD的面积为12，则AF的长度为（　　） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1.5 【答案】C 【解析】 【分析】利用ASA证明△ACD≌△BFD，得DF＝DC，再根据三角形面积可得CD的长，从而可得答案． 【详解】∵AD，BE是△ABC的高线， ∴∠ADB＝∠ADC＝∠AEB＝90°， ∵∠BFD＝∠AFE， ∴∠DBF＝∠CAD， 在△ACD和△BFD中， ， ∴△ACD≌△BFD（ASA）， ∴DF＝DC， ∵△ACD的面积为12， ∴， ∴CD＝4， ∴DF＝4， ∴AF＝AD﹣DF＝2， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，三角形的面积等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 7. 如图：①②③中，∠A＝42°，∠1＝∠2，∠3＝∠4，则∠O1+∠O2+∠O3＝（　　）度． A. 84 B. 111 C. 225 D. 201 【答案】D 【解析】 【分析】在图①②③中，分别根据三角形的内角和、外角性质及互补关系推导出∠O1、∠O2、∠O3的度数，再相加即可得答案． 【详解】解：∵①②③中，∠A＝42°，∠1＝∠2，∠3＝∠4， ∴①中，∠2+∠4＝（∠1+∠2+∠3+∠4）＝（180°﹣42°）＝69°，故∠O1＝180°﹣69°＝111°； ②中，∠O2＝∠4﹣∠2＝ [（∠3+∠4）﹣（∠1+∠2）]＝∠A＝21°； ③中，∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝180°﹣42°＝138°，则∠1+∠2+∠3+∠4＝180°+180°﹣138°＝222° 故∠O3＝180°﹣（∠2+∠3）＝180°﹣×222°＝69° ∴∠O1+∠O2+∠O3＝111°+21°+69°＝201° 故选D． 【点睛】本题考查了三角形的内角和、三角形的外角性质、互补概念及其相关应用，本题难度中等，属于中档题． 8. 数学活动课上，小明在正方形网格中一笔画成了一个“字图”，如图所示的图形，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质、三角形外角．根据在和在正方形网格中的位置可以证明，根据全等三角形对应角相等可证，根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和可以得到． 【详解】解：如下图所示， 在和中 ， ， ， 又是的外角， ， ． 故选：B． 9. 如图，在中，，，，为的中点，点在线段上以的速度由点向点匀速运动，同时，点在线段上由点向点匀速运动．当点的运动速度为（ ）时，能够在某一时刻使与全等． A. 2 B. 4 C. 2或3 D. 4或6 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问题的关键；选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件．也考查了等腰三角形的性质．设点的运动速度为，运动的时间为，则，，，根据等腰三角形的性质得到，再利用全等三角形的判定方法得到当，时，，即，；当，时，，即，，然后分别解方程即可． 【详解】解：设点的运动速度为，运动的时间为，则，，， 点为的中点， ， ， ， 当，时，， 即，，解得，； 当，时，， 即，，解得，， 综上所述，点的运动速度为或． 故选：D． 10. 如图，，，，下列结论中：①，②，③，④平分，⑤平分，其中正确的有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理以及角平分线的判定．通过证明三角形全等，得出对应角相等，再结合三角形内角和定理等知识，逐一分析各个结论即可． 【详解】解：①：∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴，故①正确； ②：∵， ∴，故②正确； ③：∵， ∴， 设与相交于点O， 在和中，， 根据三角形内角和定理，，， ∵，， ∴， 又∵， ∴， 即，故③正确； ④：假设平分，则， 由，得，， ∵，， ∴， ∴， 若平分，则， 但仅根据已知条件无法得出，故④错误； ⑤：如图，过点A作于点M，于点N， ∵，根据全等三角形的性质，全等三角形的面积相等，且对应边上的高也相等， ∴， 根据角平分线的判定定理：到角两边距离相等的点在角的平分线上， ∵，，， ∴平分，故⑤正确， 综上所述，①②③⑤正确，共4个． 故选：C． 二、填空题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分） 11. 在巴黎奥运会射击10米气步枪混合团体决赛中，射击队员在瞄准目标时，手、肘、肩构成托枪三角形，这种方法应用的几何原理是______． 【答案】三角形具有稳定性 【解析】 【分析】本题考查的是三角形的性质，根据三角形的稳定性进行作答即可． 【详解】解：射击队员在瞄准目标时，手、肘、肩构成托枪三角形，其几何原理是三角形具有稳定性， 故答案为：三角形具有稳定性． 12. 一副三角尺，如图所示叠放在一起，则图中的度数是___________． 【答案】##75度 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形外角的定义和性质，三角板中的角度计算，根据三角尺可知，，由三角形外角的定义可知，进而可求出，再根据角的和差关系即可得出答案． 【详解】解：根据三角尺可知：，， 由三角形外角的定义可知：， 即 ∴， ∴． 故答案为：． 13. 在中，，D为的中点，中线的长为4，则边的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形的三边关系，利用倍长中线法，将已知条件转化到一个三角形中，再根据三角形三边关系来确定边的取值范围即可． 【详解】解：如图，延长至点E，使，连接， ∵D是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵在中，， ∴ ∴的取值范围是． 故答案为： 14. 已知等腰三角形一条腰上的高与另一条腰的夹角为，则该等腰三角形的顶角为_____． 【答案】或 【解析】 【分析】分为当等腰三角形为锐角三角形时和当等腰三角形为钝角三角形时两种情况，分别画图进行讨论． 【详解】解：如图，当等腰三角形为锐角三角形时， ∵，， ∴， 即． 如图，当等腰三角形为钝角三角形时， ∵，， ∴， ∴． 综上，该等腰三角形的顶角为或． 15. 若a，b，c是的三边，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形三边关系的理解及运用，化简绝对值，根据三角形三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，来判定绝对值里的式子的正负，然后去绝对值进行计算即可． 【详解】解：a，b，c是的三边， ， ， 故答案为：． 16. 如图，垂直于的平分线交于点D，交于点E，，若的面积为6， 则的面积为_______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题主要考查的是全等三角形的判定，掌握等高的两个三角形的面积比等于底边长度之比是解题的关键．先证明，从而可得到，然后先求得的面积，可得到的面积． 【详解】解∶平分， ． ， ． 在和中， ． ，的面积为6，， ． 又， 故答案为：1． 17. 如图，已知点在第二象限角平分线上，，两边与x轴，y轴分别交P于A点，B点，则的值为______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形的性质，全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握角平分线上的点的坐标特征及构造两个三角形全等是解题的关键． 根据角平分线的性质定理可得关于m的方程，解方程即可求得点P的坐标，过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为D、E，证明，利用全等三角的性质即可解答． 【详解】解：∵点在第二象限角平分线上， ∴， 解得：， 则点P的坐标为， 过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为D、E，如图， 则， ， ， ， ， 由点的坐标知，， ， ， ， 故答案为：2． 18. 如图，在中，，的平分线，交于点，于点，于点．有下列结论：平分；；；．其中正确的结论有____________．（填序号） 【答案】 【解析】 【分析】过点作，根据角平分线上的点到角两边的距离相等，到角两边的距离相等的点在角平分线上，可证平分；根据三角形内角和定理可得：，根据角平分线的性质可得：，整理可得：；利用可证，根据全等三角形的性质可得：，同理可证，可证；根据三角形外角的性质可证． 【详解】解：如下图所示，过点作， 平分， ， 平分， ， ， 平分， 故正确； 在中，， ， ，， ， ， 平分，平分， ，， 在中，， ， ， 整理可得：， 故正确； 如下图所示，，， ， 平分， ， 在和中，， ， ， 同理可证， ， 故正确； 是的外角， ， 平分， ， ， ， 故错误． 综上所述，正确的结论有． 故答案为：． 【点睛】本题考查了角平分线的定义及性质、全等三角形的判定与性质、三角形外角的性质．解决本题的关键是根据角平分线的性质、全等三角形的性质找角与边之间的关系． 三、解答题（共7题，共78分） 19. 如图，在△ABC中，已知AD是△ABC的角平分线，DE是△ADC的高，∠B＝60°，∠C＝40°，求∠ADB和∠ADE的度数． 【答案】∠ADB＝80°，∠ADE＝50° 【解析】 【分析】根据三角形内角和定理可求∠BAC的度数，根据角平分线的定义可求∠BAD，∠DAC，再根据高线的定义和三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：∵在△ABC中，∠B＝60°，∠C＝40°， ∴∠BAC＝80°， ∵AD是△ABC角平分线， ∴∠BAD＝∠DAC＝∠BAC＝40°， ∴∠ADB＝80°， ∵DE是△ADC的高线， ∴∠DEA＝90°， ∴∠ADE＝50°． 【点睛】考查了角平分线的定义，高线的定义和三角形内角和定理：三角形内角和等于180°． 20. 如图，在中，点、分别在边、上，，，．若，求的周长． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的知识点是全等三角形的性质，解题关键是熟练掌握全等三角形的对应边相等． 根据全等三角形的性质推得，，则根据的周长即可得解． 【详解】解：， ，． ． 的周长． 答：的周长为． 21. 如图，点、、、在同一条直线上，，，．求证：； 【答案】 证明：， ， 即， ，． 在和中， ， ， ， ． 【解析】 【分析】本题考查的是全等三角形的判定和性质、平行线的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．利用定理证明，根据全等三角形的对应角相等得到，根据平行线的性质证明． 【详解】略 22. 如图，在四边形中，，，于点．求证：平分． 【答案】 证明：如图，过点C作，交的延长线于点E， ∵， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴平分． 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，正确添加辅助线是解题的关键．过点C作，交的延长线于点E，先证明，得，再证明，得，即可得出结论． 【详解】略 23. 如图，在 中， 点在的延长线上，于点，，平分 （1）求证：； （2）若是的中点，，，求的面积． 【答案】（1） 根据，， 得， 平分， ， ， 在和中， ， ， ； （2）15 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形的面积，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键． （1）根据，，得，再根据平分得，由此可依据“”判定和全等，然后根据全等三角形的性质即可得出结论； （2）连接，根据点是的中点得，依据“”判定和全等得，由此即可得出的面积． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 连接，如图所示： 点是的中点，， ， 在△和△中， ， ， ， ． 24. 如图，在△ABC中，AC＞AB，D是BA延长线上一点，点E是∠CAD的平分线上一点，EB=EC，过点E作EF⊥AC于F，EG⊥AD于G． （1）求证：△EGB≌△EFC； （2）若AB=3，AC=5，求AF的长． 【答案】（1） 证明：∵EG⊥AD，EF⊥AC， ∴∠EGB=90°=∠EFC， ∴△EGB和△EFC是直角三角形， ∵AE平分∠CAD， ∴∠EAG=∠EAF， ∵EA=EA， ∴△AGE≌△AFE， ∴EG=EF， ∵EB=EC， ∴Rt△EGB≌Rt△EFC(HL)， 得证； （2）AF的长为1 【解析】 【分析】（1）先证明△AGE≌△AFE，即有EG=EF，结合EB=EC，即可得Rt△EGB≌Rt△EFC； （2）根据Rt△EGB≌Rt△EFC，△AGE≌△AFE，可得BG=FC，AG=AF，根据AC=5，AC=AF+FC，BG=AB+AG，可得AF+FC=AF+BG=AF+AB+AG=2AF+AB=5，即可得2AF+3=5，AF可求． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵在（1）中证得：Rt△EGB≌Rt△EFC，△AGE≌△AFE， ∴BG=FC，AG=AF， ∵AC=5，AC=AF+FC，BG=AB+AG， ∴AF+FC=AF+BG=AF+AB+AG=2AF+AB=5， ∵AB=3， ∴2AF+3=5， ∴AF=1， 即AF的长为1． 【点睛】本题主要考查了角平分线的性质、全等三角形的判定与性质等知识，证明△AGE≌△AFE是解答本题的关键． 25. 【问题背景】（1）如图1，直线经过点，，，过点，分别向直线作垂线，垂足分别为，，求证：； 【变式探究】（2）如图2，点，，在直线上，若，，求证：； 【拓展应用】（3）如图3所示，在和中，，，，连接，，作边上的高，延长交于点．若，，求的面积． 【答案】 （1）证明：在中，， ， 又， ， ， 在和中， ， ； （2）证明：，， ， 在和中， ， ， ，， ； （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意得出，利用全等三角形的判定即可证明三角形全等； （2）根据等量代换及三角形内角和定理得出，，由全等三角形的判定和性质即可证明； （3）过作于，的延长线于．利用全等三角形的判定和性质得出，，由此可得，再根据即可求解． 【详解】解：（1）略 （2）略 （3）如图，过点作于点，作，交的延长线于点， ， 由（1）可得，，， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， ∴， ， ， ． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了三角形内角和定理、直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握三角形内角和定理，证明三角形全等是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $