3.2一定是直角三角形吗 自主学习同步练习题 2025-2026学年鲁教版（五四制）（2024）七年级数学上册

2025-2026学年鲁教版（五四学制2024）七年级数学上册《3.2一定是直角三角形吗》 自主学习同步练习题（附答案） 一、单选题 1．下列各组数中，是勾股数的是（　　） A． B． C． D． 2．若a，b，c为的三条边，满足，则的形状为（ ） A．等边三角形 B．等腰三角形 C．钝角三角形 D．直角三角形 3．若一个三角形的三边长分别为3，4，5，则该三角形的面积为（   ） A．12 B．15 C．6 D．7.5 4．如图，在的正方形网格中，的顶点都在格点上，下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 5．如图，四边形中，，，，，．则（    ） A．是锐角 B．是直角 C．是钝角 D．不确定大小 6．若a，b，c是的三边，且，，，则最长边上的高是（    ）    A． B． C． D． 7．五根小木棒的长度分别为，，，，，现将它们摆成两个直角三角形，下列摆放正确的是（   ） A． B． C． D． 8．如图，在用个边长均为的小正方形构成的网格图中，的顶点均在格点上，则（   ） A． B． C． D． 二、填空题 9．若的三边分别是a．b．c，且a，b，c满足，则 10．如图所示的是正方形网格，则 （点，，，，为网格线交点）． 11．如图，在中，平分，交于点D，，，，则点D到的距离为 ． 12．如图，图中所有三角形都是直角三角形，所有四边形都是正方形，已知最大的正方形的边长为6，则四个正方形的面积之和为 ． 13．如图，，，，，，则这个图形的面积为 ． 14．如图，在四边形中，，．E是的中点，F是上一点，且，则 ． 15．如图P是等边内一点，，把旋转到的位置，则∠ ． 16．如图，中，为边上的一点，连接并延长，过点作，垂足为，若，，，；记的面积为，的面积为，则的值为 ． 三、解答题 17．如图，在边长为1的正方形网格中，分别在格点（网格线的交点）上，连接，．试说明：是直角三角形． 18．古希腊的哲学家帕拉图曾指出，如果m表示大于1的整数，，，，那么a，b，c为勾股数．你认为对吗？如果对，请利用这个结论写出三组勾股数；如果不对，请举出反例． 19．口袋公园，也称袖珍公园，是一种规模较小的城市开放空间，它是对城市中未利用地和再利用地的空间活化和提升．如图所示，四边形是某市一口袋公园的平面示意图．经测量，桂花园在入口的正南方向处，入口在桂花园的正东方向处，玫瑰园与入口相距，玫瑰园与入口相距，求某市口袋公园的面积． 20．如图，在中，分别为边上的点，垂直平分，垂足为，连接． (1)是直角三角形吗？请说明理由； (2)求的长． 21．如图，某港口P位于东西方向的海岸线上，“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里．它们离开港口一个半小时后分别位于Q、R处，且相距30海里，如果知道“远航”号沿北偏东方向航行，则“海天”号沿哪个方向航行？ 22．如图，在一条东西方向铁路的北边有一鸟类巢穴C，铁路上有A、B两处观测点，观测点A距离鸟类巢穴，观测点B距离鸟类巢穴，两观测点A、B相距．火车行驶时会对周围范围造成噪声污染． (1)求点C到铁路的距离； (2)当一列长度为的火车以的速度经过铁路时，会对鸟类巢穴造成噪声污染吗？若不会造成噪声污染，请说明理由；若会造成噪声污染，求出火车对鸟类巢穴造成噪声污染的时长． 参考答案 1．D 【分析】此题考查了勾股数，根据勾股数的定义判断即可求解，掌握勾股数的定义是解题的关键． 【详解】解：、∵， ∴不是勾股数，该选项不合题意； 、∵不是正整数， ∴不是勾股数，该选项不合题意； 、∵， ∴不是勾股数，该选项不合题意； 、∵，且是正整数， ∴是勾股数，该选项符合题意； 故选：． 2．D 【分析】此题考查了完全平方公式，非负数的性质：偶次幂的非负性，以及勾股定理的逆定理，是一道综合性较强的试题．将已知等式适当变形是解本题的关键． 利用完全平方公式化简，根据非负数之和为0，每个加数分别为0得到，及值，再根据勾股定理的逆定理判定出三角形的形状即可． 【详解】解：∵ ∴ ∴，，， 解得：，，， ∵，， ∴ ∴是直角三角形． 故选：D． 3．C 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆应用和三角形面积的计算，解决此题的关键是合理的利用勾股定理的逆定理，先根据勾股定理的逆定理证明三角形是直角三角形，再求出面积即可； 【详解】解：∵一个三角形的三边长分别为3，4，5， 又， ∴这个三角形是直角三角形，且直角边分别为3，4， ∴该三角形的面积为， 故选：C． 4．D 【分析】本题考查勾股定理，勾股定理的逆定理，掌握相关知识是解决问题的关键．利用勾股定理，勾股定理的逆定理逐项判断即刻． 【详解】A、在中，由勾股定理，，故本选项不符合题意； B、由勾股定理可求，，，则，由勾股定理逆定理可得，故本选项不符合题意； C、在中，由勾股定理，，故本选项不符合题意； D、在中，由勾股定理，，故本选项符合题意． 故选：． 5．B 【分析】此题主要考查了勾股定理和勾股定理逆定理，关键是掌握如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形． 直接利用勾股定理可得的长；再根据勾股定理逆定理判定即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B 6．C 【分析】先根据勾股定理的逆定理判断是直角三角形，且，再利用等面积法求解即可. 【详解】解：∵， ∴是直角三角形，且， 作于D，如图， 则， ∴； 故选：C.    【点睛】本题主要考查了勾股定理的逆定理，正确判定是直角三角形是关键. 7．C 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 根据勾股定理的逆定理进行计算，即可解答． 【详解】解：，，，，， ，， 以，，三根木棒能摆成直角三角形，以，，三根木棒能摆成直角三角形， 故选：C 8．C 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，勾股定理及其逆定理的应用；观察网格图形，通过勾股定理计算得，；由判定全等；利用全等三角形对应角相等得，． 【详解】解：连接、． 由题意得：， ， ， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 9．B 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，解题的关键是熟练掌握，如果一个三角形的三条边a、b、c满足，那么这个三角形为直角三角形．根据勾股定理的逆定理进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴为直角三角形，． 故答案为： 10． 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，等腰三角形的性质，解题的关键是掌握相关知识并数形结合．在直线上取点，使得，连接，过点作，交的延长线于点，得到，推出，根据勾股定理的逆定理证明是直角三角形，结合，即可求解． 【详解】解：如图，在直线上取点，使得，连接，过点作，交的延长线于点， 由图可知，， ， ，， ， 是直角三角形， ， ，即 故答案为：． 11．3 【分析】本题考查了勾股定理逆定理以及角平分线的性质，先得出，则，因为平分，所以角平分线上的点到角的两边距离相等，即点到的距离， 【详解】解：∵， ， ∴是直角三角形，且， 过点D作，垂足为E， ∵平分， ∴点到的距离， 故答案为：3． 12． 【分析】本题考查了以直角三角形三边为边长的图形面积，设四个正方形的面积分别为：，由图可知：，即可求解； 【详解】解：设四个正方形的面积分别为：， 由图可知：， 故答案为： 13．24 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理的运用，三角形面积的求法．关键是掌握勾股定理与逆定理．连接，在中，，，可求；在中，由勾股定理的逆定理可证为直角三角形，利用两个直角三角形的面积差求图形的面积． 【详解】解：连接，在中，， ， 在中， ， 为直角三角形； 图形面积为： 故答案为：． 14．/90度 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理的应用，熟练掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键．设出正方形的边长，利用中点及线段比例关系表示出相关线段长度，再通过勾股定理分别求出三角形三边的平方，最后根据勾股定理的逆定理判断三角形是否为直角三角形，从而得出角的度数． 【详解】解：设． E是的中点，， ，，． 在中，由勾股定理可得． 同理可得，， ， 为直角三角形，． 故答案为： 15．/度 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，旋转的性质，勾股定理的逆定理，连接，由旋转的性质得到，，，则可证明是等边三角形，得到，，再利用勾股定理的逆定理得到，则． 【详解】解：如图所示，连接， ∵是等边三角形， ∴， ∵是由旋转得到的， ∴，，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴是直角三角形，且， ∴， 故答案为：． 16．66 【分析】此题考查了勾股定理及其逆定理，直角三角形的面积． 根据勾股定理求出，进而推出，再根据题意推出，根据三角形面积公式求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∵，，， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：66． 17．见解析 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，掌握这两个定理是解题的关键；利用勾股定理分别求出，再利用勾股定理的逆定理即可作出判断． 【详解】解：由勾股定理，得． 因为， 所以， 所以是直角三角形． 18．对，；；（答案不唯一） 【分析】本题考查了勾股数的定义：满足的三个正整数，称为勾股数，掌握完全平方公式、勾股数的定义是解题的关键，先由m表示大于1的整数，得a，b，c为大于1的整数，再利用完全平方公式证明，即可得出结论，再取3个满足条件的m值代入a，b，c计算，即可得三组勾股数． 【详解】解：对，理由如下： ∵m表示大于1的整数，，，， ∴a，b，c为大于1的整数， ∵，， ∴， ∴a，b，c为勾股数． 当时，，，，； 当时，，，，； 当时，，，，． ∴三组勾股数为；；（答案不唯一）． 19． 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，连接，由勾股定理可得，进而由勾股定理的逆定理得到是直角三角形，且，再根据口袋公园的面积解答即可求解，掌握了勾股定理及其逆定理是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， 由题意得，，，，，， ∴， 在中，∵， ∴是直角三角形，且， ∴口袋公园的面积， 答：某市口袋公园的面积为． 20．(1)是直角三角形，理由见解析； (2)的长为5． 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，全等三角形的判定和性质． （1）运用勾股定理逆定理得到是直角三角形，且，再证明，由此即可解答； （2）根据题意得到，，，在中，由勾股定理得，由此列式求解即可． 【详解】（1）解：是直角三角形， 理由：，，， ， 是直角三角形，且， 垂直平分， ，， 在和中， ， ， ， 是直角三角形； （2）解：由（1）知，，， ，，， 在中，由勾股定理得， 即， 解得， 的长为5． 21．“海天”号沿北偏西方向航行 【分析】本题主要考查了勾股定理逆定理的实际应用，根据题意可求出的长，则可证明得到，根据“远航”号的航向得到的度数，进而求出的度数即可得到答案． 【详解】解：由题意得，海里，海里， ∴， ∵海里， ∴， ∴， ∴， ∵“远航”号沿北偏东方向航行， ∴， ∴， ∴“海天”号沿北偏西方向航行， 答：“海天”号沿北偏西方向航行． 22．(1)48米 (2)会造成噪声污染，污染的时间为10秒 【分析】本题考查了勾股定理与勾股定理逆定理的实际应用，解题的关键在于灵活运用相关知识． （1）过点C作于点D，利用勾股定理逆定理推出，再利用三角形面积公式求解，即可解题． （2）以点C为圆心，以为半径画圆弧，分别交于点E、F，连结，则，利用勾股定理求出，进而求出，再根据时间路程速度，即可解题． 【详解】（1）解：过点C作于点D，如图． 由题意，得． ， ． 是直角三角形，， ， ． 答：点C到铁路的距离为． （2）解：， ∴会对鸟类巢穴造成噪声污染． 如图，以点C为圆心，以为半径画圆弧，分别交于点E、F，连结，则． ， ． 在中，由勾股定理，得， ， ∴火车对鸟类巢穴造成噪声污染的时长为． 答：火车对鸟类巢穴造成噪声污染的时长为． 学科网（北京）股份有限公司 $