上海市上海师范大学附属中学2025-2026学年高三上学期9月阶段练习数学试题

上师大附中高三数学阶段练习 2025.9 一、填空题： 1.函数y=x-4的驻点是 3 56 7 2.随机变量X的分布是 则瓦灯= 0.20.30.5 3.已知函数f(x)=x2+2f'(2)x+3,则'(2)的值为 4.已知函数y=f)在x=2处的切线斜率为k,且m2+h)-/2-月=-2，则k=」 h0 h 5若函数∫)=x-只x2+2x+1(Q∈R)在区间2，内存在单调减区间，则实数a的取值范围为 2 6设集合A={L,2,…,99},B={2xx∈A,C={x2x∈A},则BnC的元素个数为 7.函数f(x)=2x--2Inx的最小值为 8.有5名同学报名参加暑期区科技馆志愿者活动，共服务两天，每天需要两人参加活动，则恰有1人连续参 加两天志愿者活动的概率为一· 9.已知函数y=f(x)的定义域为{a,b,c},值域为{-1,0,1}的子集，则满足f(a)+f(b)+f(c)=0的函 数y=f(x)的个数为 10.若不等式e≥am对任意x≥-1成立，则a的取值范围是 1l.函数∫(x)=x3+ax+2有3个零点，则a的取值范围是 12.若实数x、y满足x-4V少=2x-y,则x的取值范围是 二、选择题： 13.设函数(x)的导函数∫'(x)图像如下图所示，则函数∫(x)的图像可能是() e,则() 14.对于函数)=x+ A.f(x)有极大值，也有极小值 B.f(x)有极小值，没有极大值 C.函数∫(x)与y=-x+2的图象有两个交点 D商数g创=树 一有两个零点 15.已知方程x2+x+1=0有两个虚根，且：，-x=3,则实数1的值为() A B月 C. D.2 5 16.设正数a,b,c不全相等，abc=1,函数f(x)=(1+a)1+b)(1+c).关于说法 ①对任意a,b,c,∫(x)都为偶函数， ②对任意a,b,c,(x)在[0.01,0.02]上严格单调递增， 以下判断正确的是() A.①、②都正确 B.①正确、②错误 C.①错误、②正确 D.①、②都错误 三、解答题： 17.求下列函数的导数： （1)()=文2+2x sinx (2)f(x)=e3ln(2x+4) 18.设函数∫(x)=lnx-m+1-a-1. (1)当a=1时，求函数y=(x)在点（山，∫(）)处的切线方程. (2)当a=分求函数了()的极值 19.经过多年的运作，“双十一”抢购活动已经演变成为整个电商行业的大型集体促销盛宴.为迎接2018年“双 十一”网购狂欢节，某厂家拟投入适当的广告费，对网上所售产品进行促销.经调查测算，该促销产品在“双 十-的销售量p万件与促销费用x万元满足p=3-2 （其中0≤x≤a,a为正常数).已知生产该产 x+l 20 品还需投入成本10+2p万元（不含促销费用)，每一件产品的销售价格定为 4+ 元，假定厂家的生产 能力完全能满足市场的销售需求， (1)将该产品的利润y万元表示为促销费用x万元的函数： (2)促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？并求出最大利润的值。 20.设a>0,己知函数f(x)=(x-2)3-r. (1)若f(3)=1,求实数a的值： (2)求函数y=f(x)的单调区间： (3)对于函数y=f(x)的极值点x。,存在x(x≠xo),使得(x)=f(x,),试问对任意的正数a,x+2x, 是否为定值？若是，求出这个定值：若不是，请说明理由， 21.已知函数f()=(x-0e-m2(aeR) (1)当a=0时，求曲线y=∫(x)在x=0处的切线方程： (2)当0<a<1时，证明：f(x)有且只有一个零点： (3)求函数f(x)在[1,2上的最小值 参考答案 一、填空题： 1.令y=x2=0,解得x=0. 故答案为：x=0 2.由题意，E[X]=5×0.2+6×0.3+7×0.5=6.3. 故答案为：63 3.由解析式知：'(x)=2x+2f'(2), ∴f'(2)=2×2+2f'(2),解得f'(2)=-4. 故答案为：4. 4®f2+,f2-》-=g2+f+2-f2- h h =四2+月-f2+m伦-月-/包-k+k=2k h-0 h-0 -h 雨吗2+f2-》2,则k1. h 故答案为：-1 5.f'(x)=x2-ax+2, 因为f(x)在(-2，-1)上存在单调区间，故y='(x)在(-2，-1)有部分图象在x轴下方. 若号≤-2即a≤4时，则r(-2)<0即a≤4 6+2a<0'故a≤-4. 若号≥-1即02-2时，则f(-)<0即822 3+a<0'无解 若-4<a<-2,则△>0即 -4<a<-2 a2-8>0,-4<a<-22, 故a<-2W2. 故答案为：a<-2W2. 6.因为集合A={1,2,…,99},B={2xx∈}={2,4，…，198}， c=地e4=行身…} 所以B∩C={2,4,6,…,48}, 则B⌒C的元紫个数为24个. 故答案为：24 7.由题设知：f(x)2x-1川-2lnx定义域为(0，+o), 当0<x≤时，f=1-2x-21hx,此时f)单调递减： 当号<x≤1时，f)=2x-1-2nx,有了()=2-2≤0，此时单调滋减： 当x>1时，)=2x-1-21nx,有=2-2>0，此时f)单调递增： 又f(x)在各分段的界点处连续， 综上有：0<x≤1时，∫(x)单调递减，x>1时，∫(x)单调递增： .f(x)2f()=1 故答案为：1. 8.每天从5名同学中抽取2名参加志愿者活动，一共有C2C?=100种方式， 恰有一人连续参加两天志愿者活动有CC,C?=60种方式， 由古典概型的概率公式可得恰有】人连续参加两天志愿者活动的概率为 603 10051 故答案为： 3-5 9.因为0+0+0=0，所以f(a)=f(b)=f(c)=0,此时是一个函数： 因为0+1+(-1)=0，所以f(a),(b),f(c)的值为0,1，-1其中一个，这样的函数共有3×2=6个： 所以符合条件的函数共有1+6=7个. 故答案为：7. 10.令f(x)=e*-ax,xe[-1,+oo), 依题意(x)20在[-1，+∞)上恒成立， 又f'(x)=e*-a, 当a≤0时，∫'(x)>0恒成立，所以f(x)在[-l1,+∞)上单调递增， 所以/(am=f-=e+a≥0，则a2-所以-日sa≤0： 当a>0时，令f'(x)=0,解得x=lna, 若lna≤-1，即0<a≤二时，f(x)20在[-l,+∞)上恒成立， 所以f(x)在[-l,+∞)上单调递增，则f(x)m=f(-1)=e+a>0,满足题意： 若na>-,即a>时，当-1<x<1na时f'(x)<0,当x>na时f()>0, 所以f(x)在(-l,na)上单调递减，在(Ina,+o)上单调递增， 所以f(x)mn=f(lna）=a-alna=al-lna)之0，解得a≤e,所以。<a≤e, 综上可得-≤a5e,即a的取值范围是 e 故答案为： [] 1l.因为f(x)=x+ax+2,则f'(x)=3x2+a, 若函数f(x)=x+x+2有3个零点，则函数∫(x)要存在极大值和极小值，则a<0, 令-=3x+a=0,解器x=层我同 ae骨得+oro, 当月t<0 所以儿在。，骨儿层+小上单调壁。 层 上单调递减， 所间的限大位为（哥教小值为人同 若∫(x)有3个零点，则 a Fa +230 33-a3 即 ,解得a<-3. 1-a +2<0 故答案为：（-∞，-3)： 12.令VD=a,Vx-y=b(a、b≥0)，此时，x=y+(x-y)=a2+b, 且题设等式化为a2+b2-4a=2b. 于是，ab满足方程(a-2)2+(b-1)2=5(a、b≥0). 如图，在aOb平面内，点(a,b)的轨迹是以D(1,2)为圆心、√5为半径的圆在a、b≥0的部分，即点O与 弧ACB并集. 故Va2+B∈{0U[2,2W5] 从而，x=a2+b2∈{0U[4,20] 二、选择题： 13.由导函数的图像可知，函数y=∫(x),先减再增，再减再增，可排除选项A,C: 又知'(x)=0的根为x<0,0<x2<x,xE(,x2),f(x)>0,y=f(x)单调递增， x∈(x2,x),∫'(x)<0,y=∫(x)单调递减，且x2>0为y=∫(x)极大值点，所以可排除选项B. 故选D a闭=，则= e*-(x+1)e*-x (e") er, 因为e>0在x∈R恒成立. 所以当x>0时，'(x)<0,f(x)在(0，+∞)单调递减： 当x<0时，f'(x)>0,f(x)在(-o,0)单调递增： 所以f(x)在x=0处有极大值，没有极小值，故A错误，B错误： 根据f(x)的单调性，画出函数∫(x)的图象，以及y=一x+2的图象，如图： f(x) -2 y=-+2 由此可知，函数∫(x)与y=-x+2的图象只有一个交点，故C错误： 西数8=)-2023有两个专点等价于函数/创与y-20。 1 的图象有两个交点， 为1似在(-∞0单调递增，在0，+∞单调递碱，所以可得/)≤了0)=。202 eo 又x→∞时，f(x)→0，当x<-1时，f(x)<0, 如下图所示： 彝 2 fx) 2023 -2 y=-x+2 由此可知，函数因与y=一的图象有两个交点，即函数g()=了冈一有两个零点：放D正确 2023 2023 故选：D. 1 15.因为方程有两个虚根，所以△=12-41<0，解不等式可得1> 4 由求根公式可得方程，+x+1=0的两个虚根为：2=±y- 2 设5=1+面，五=1-y面 2 2 则5-为H+ya-可i.1-yH4-i, 根据复数的模的计算公式可得|V41-i=√41-， 已划名-3上3，即、可=3，解得1=满是心分 故选：B 16.函数f(x)=(1+a)1+b)1+c)的定义域为R,而abc=1, 对于0，-)=(1+a*1+b*1+c)=+a0+b1+c2 (abc)* =(1+a)1+b)(1+c)=f(x),因此函数(x)是偶函数，①正确： 对于②，f(x)=(1+a+b+cw)1+c)=2+a+a+b"+br+c+cx, 当x>0时，令g(x)=a+a,求导得g'(x)=(ad-ax)lna, 当0<a<1时，lna<0,函数y=a-ar在(0，o∞)上递减，则ad-a<0,因此g'(x)>0, 当a>1时，lna>0,函数y=a-ar在(0，∞)上递增，则a-a>0,因此g(x)>0, 从而函数g(x)=d+a在(0，∞)上递增，同理y=b+b,y=c+c在(0，+o)上都递增， 于是f(x)在(0+∞)上严格单调增，②正确， 故选：A 三、解答题： 7wW-平2f-s+2nr+2 （x+2x 2例-ea2r+./-h2x+44e3x4=3n2+4到+2 x+2 8（)当a=1时，f(=nx-x-l,则f()=-l, 所以k='(1)=0,而f(1)=-2, 故函数y=∫(x)在点(1，∫()处的切线方程为y+2=0. 2当a写时，)-自x写+会-，商数的定义减为Qo. 村品2.--习 3x2 3x2 令f(x)<0,得0<x<1或x>2:令(x)>0,得1<x<2, 故函数f(x)在(0,1)和(2，+∞)上单调递减，在(1,2)上单调递增， 故品数了()在x=1处取得极小值了0=子： 在x=2处取得授大值了2)=音+la2。 a8-4+9}p-0+2p. 将p=3-2代入化简得：y=16-4 x+1 -x(0≤x≤a): +1 2)y=-1-,4=-x++4-X2+2x-3-(x+30-) (x+1)2(x+1 (x+1)2 (x+1)2 (i)当a≥1时， ①当xe(0,)时，y>0,所以函数y=16-4 x一x在0，)上单调递增： ③当xe化o)时。y<0,所以函数y=16-年x在Lo)上单调港减 从而促销费用投入1万元时，厂家的利润最大： （i)当a<1时，因为函数y=16-4-x在(0,1)上单调递增， x+1 所以在[0，a]上单调递增，故当x=a时，函数有最大值， 即促销费用投入口万元时，厂家的利润最大. 综上，当a≥1时，促销费用投入1万元，厂家的利润最大，为16-，4-1=13万元： 1+1 当a<1时，促销费用投入a万元，厂家的利润最大，为16-- a万元 4 20.(1)由f(x)=(x-2)3-m,x∈R,求导得f'(x)=3(x-2)2-a,则由f'(3)=3-a=1,解得a=2, 所以实数a的值是2. （2)a>0.由e=3-2-a=0,解得x=2-层或x=2+层