12.4　分式方程 课件 2025-2026学年 冀教版（2024）八年级数学上册

该初中数学课件聚焦分式方程的概念、解法及增根问题。通过小红上学路程的现实情境导入，衔接整式方程知识，对比引出分式方程，构建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于融入新课标核心素养，情境引入培养数学眼光，错误解法辨析发展数学思维，知识表格与规范步骤强化数学语言。助力学生理解知识本质，教师可高效开展教学。

第十二章　分式和分式方程 12.4　分式方程 1.了解分式方程、分式方程的解和增根的概念.(重点) 2.会解分式方程，会检验根的合理性.(重点) 3.会根据有关增根的性质解决问题.(难点) 学习目标 情境引入 小红家到学校的路程为38 km. 小红从家去学校总是先乘公共汽车，下车后再步行2 km，才能到学校，路途所用时间是1 h. 已知公共汽车的速度是小红步行速度的9倍，求小红步行的速度. 一、分式方程的概念 问题1　某工地调来72人挖土和运土，已知3人挖出的土1人恰好全部运走，问怎样调配劳动力才能使挖出来的土被及时运走且不窝工？ 解决问题，可设派x人挖土，其他人运土. 列方程：(1；(2)72－x＝x； (3)x＋x＝72；(4＝3. 在上述所列方程中，正确的是　　　 　(填序号)，请找出它们的区别.  提示　区别：(1)(4)的分母上含有未知数，(2)(3)分母不含未知数，属于整式方程. (1)(2)(3)(4) 知识梳理 1. 中含有未知数的方程，叫作分式方程.使得分式方程等号两端相等的未知数的值，叫作分式方程的 (也叫作分式方程的 ). 2.分式方程与整式方程的区别与联系. 分母 根 解 名称 关系 分式方程 整式方程 区别 分母中 未知数 分母中 未知数 联系 分式方程可以转化为整式方程 不含有 含有 例1 下列方程中，a，b为已知数，x为未知数. ①；②＝4； ③＝x；④＋2＝； ⑤＝0. 其中是分式方程的个数是 A.5 B.4 C.3 D.2 √ 解析　按分式方程的概念去判断： ①中分母不含未知数x，故①不是分式方程； ③虽然分母中含字母a，b，但a，b不是未知数，故③不是分式方程； ②④⑤的分母中都含有未知数x，故都是分式方程. (1)分式方程有两个重要特征：①是方程；②分母中含有未知数. (2)分式方程的分母中含有未知数，而不是一般的字母参数. 反思感悟 (1)在方程＝5，x，－9＝0，－x＝7中，分式方程有 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 跟踪训练1 √ (2)若x＝3是分式方程 ＝0的根，则a的值是 A.5 B.－5 C.3 D.－3 √ 解析　∵x＝3是分式方程＝0的根， ∴＝0，解得a＝5. 二、解分式方程 问题2　(1)解一元一次方程的一般步骤是什么？ 提示　去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1. (2)解方程：＝1. 提示　去分母，得2(5x＋1)－(7x＋2)＝4， 去括号，得10x＋2－7x－2＝4， 移项，得10x－7x＝4－2＋2， 合并同类项，得3x＝4， 系数化为1，得x＝. 知识梳理 解分式方程的步骤：在解分式方程时，首先通过去分母将分式方程转化为 ，并解这个 ，然后将整式方程的解代入分式方程(或公分母)中检验.当分式方程左右两边 (或公分母不等于0)时，这个整式方程的解就是分式方程的解；当分式方程中某个分式的分母的值等于 (或公分母等于0)时，分式方程无解，我们把这样的根叫作分式方程的 . 整式方程 整式方程 相等 0 增根 知识梳理 注意点：解分式方程时，注意以下易错点： ①忘记验根；②去分母时漏乘整式项；③去分母后不添括号，弄错符号. (课本P22例题)解方程：＝3. 例2 解　方程两边同乘x＋2， 得2－(2－x)＝3(x＋2). 解这个整式方程，得x＝－3. 经检验，x＝－3是原分式方程的解. (1)解分式方程的基本思想是“化整”，即“化分式方程为整式方程”，而“化整”的关键是找最简公分母. (2)解分式方程一定要注意验根，验根是解分式方程必不可少的步骤. (3)在去分母时，方程两边同乘最简公分母，必须每一项都要乘，不能认为有分母的就要乘，没有分母的就不用乘，而是有几项就要乘几项，不能漏乘. 反思感悟 跟踪训练2 (1)如图，在框中解分式方程的4个步骤中，其依据是等式基本性质的是 A.①② B.②④ C.①③ D.③④ √ 解析　①根据等式的两边都乘同一个不为零的整式x－2，结果不变， ③根据等式的两边都加同一个整式3－x，结果不变. (2)解方程： ①＝4； 解　去分母，得x－5＝4(2x－3)， 去括号，得x－5＝8x－12， 移项、合并同类项，得－7x＝－7， 系数化为1，得x＝1. 经检验，x＝1是原分式方程的解. ②＝1. 解　去分母，得3＋x(x＋3)＝(x＋3)(x－3)， 去括号，得3＋x2＋3x＝x2－9， 移项，得x2＋3x－x2＝－9－3， 合并同类项，得3x＝－12， 系数化为1，得x＝－4. 经检验，x＝－4是原分式方程的解. 三、分式方程的增根 问题3　小丁和小迪分别解方程＝1过程如下. 小丁： 解：去分母，得x－(x－3)＝x－2， 去括号，得x－x＋3＝x－2， 合并同类项，得3＝x－2， 解得x＝5， ∴原方程的解是x＝5 小迪： 解：去分母，得x＋(x－3)＝1， 去括号，得x＋x－3＝1， 合并同类项，得2x－3＝1， 解得x＝2， 经检验，x＝2是方程的增根，原方程无解 (1)你认为小丁的解法　 　，小迪的解法　 　；(填“正确”或“错误”) 提示　∵小丁在“去分母”时出现了符号错误，并且没有验根， 小迪在“去分母”时，等号的右边没有乘最简公分母(x－2)，出现了错误， ∴小丁的解法错误，小迪的解法错误. (2)请写出你的解答过程. 提示　＝1， x＋(x－3)＝x－2， x＋x－3＝x－2， x＋x－x＝－2＋3， x＝1， 经检验，x＝1是原分式方程的解. 已知关于x的分式方程＝1. (1)若该方程有增根1，求a的值； 例3 解　去分母并整理，得(a＋2)x＝3. ∵1是原方程的增根， ∴(a＋2)×1＝3，∴a＝1. (2)若该方程有增根，求a的值. 解　∵原分式方程有增根， ∴x(x－1)＝0，x＝0或1. 又∵整式方程(a＋2)x＝3有根， ∴x＝1， ∴原分式方程的增根为1， ∴(a＋2)×1＝3，∴a＝1. (1)方程有增根，一定存在使最简公分母等于0的未知数的值，解这类题的一般步骤为： ①把分式方程化为整式方程； ②令最简公分母为0，求出未知数的值，这里要注意：必须验证未知数的值是不是整式方程的根，如本例题中x＝0就不是整式方程的根； ③把未知数的值代入整式方程，从而求出待定字母的值. 反思感悟 (2)“原分式方程无解”隐含了两种情况，一是求出的x值是分式方程化成整式方程的解，但是这个解使最简公分母的值为0；二是所化成的整式方程无解，所以原分式方程无解. 反思感悟 (1)若解分式方程－3产生增根，则k的值为 A.2 B.1 C.0 D.任何数 跟踪训练3 √ 解析　－3， 去分母，得k＝x－k－3(x－2). 去括号，得k＝x－k－3x＋6. 移项，得－x＋3x＝－k＋6－k. 合并同类项，得2x＝6－2k. x的系数化为1，得x＝3－k. ∵分式方程－3产生增根， ∴3－k＝2，∴k＝1. (2)已知，关于x的分式方程＝1. ①当m＝－1时，请判断这个方程是否有解并说明理由； 解　这个方程无解， 理由：当m＝－1时，方程变为＝1， 化为整式方程，得x2－x－2＋2x＝x2＋x， ∴当m＝－1时，这个方程无解. ②若这个分式方程有解，求m的取值范围. 解　＝1， 化为整式方程，得2(m＋1)x＝m－1， ∵这个分式方程有解，∴m≠－1， ∵当x＝0或－1时，这个分式方程无解， ∴m≠1或－， ∴m的取值范围是m≠±1或－. 课堂小结 1.下列方程中，分式方程是 A.4x2＋xy＝ B. C.＝5ax(a≠0) D.＝1 √ 解析　首先看方程是否含有分母，其次看方程的分母中是否含有未知数；选项A，B，方程分母中没有未知数，是整式方程； 选项C，分母中π是常数，也是整式方程； 选项D，方程符合分式方程的定义. 随堂演练 2.解分式方程＝3时，去分母后变形正确的为 A.2＋(x＋2)＝3(x－1) B.2－x＋2＝3(x－1) C.2－(x＋2)＝3 D.2－(x＋2)＝3(x－1) √ 解析　方程两边同时乘x－1， 得2－(x＋2)＝3(x－1). 随堂演练 3.(2025·邢台临西县期末)小明和小亮解答“解分式方程＝1－”的过程如下， 小亮的解法： 解：去分母，得2x＋3＝x－(x－1)，① 去括号，得2x＋3＝x－x＋1， ② 移项，得2x＝－3＋1， ③ 合并同类项，得2x＝－2， ④ 系数化为1，得x＝－1， 　　　　 ⑤ 经检验，x＝－1是原分式方程的解 ⑥ 随堂演练 对他们的解答过程有以下判断，判断正确的是 A.小明正确，小亮错误 B.小明错误，小亮正确 C.两人都正确 D.两人都错误 √ 解析　根据题意得，小亮的解答正确；小明的步骤①漏乘，错误. 随堂演练 4.若关于x的分式方程有增根，则它的增根是　　. 1 随堂演练 5.解分式方程： (1； 解　方程两边同乘x2－1， 得x＋1＝2，解得x＝1. 检验：当x＝1时，x2－1＝0， 所以原方程无解. 随堂演练 (2＝2； 解　方程两边同乘x－2， 得5＋1＝2(x－2)，解得x＝5. 检验：当x＝5时，x－2＝3≠0， 所以原方程的解是x＝5. 随堂演练 (3＋1＝； 解　方程两边同乘x(x＋1)， 得x2＋x(x＋1)＝(2x＋1)(x＋1)， 解得x＝－. 检验：当x＝－时，x(x＋1)＝－≠0， 所以原方程的解是x＝－. 随堂演练 (4＝2x. 解　方程两边同乘x＋2， 得2x2＋1＝2x(x＋2)，解得x＝. 检验：当x＝时， x＋2＝2≠0， 所以原方程的解是x＝. 随堂演练 本课结束 $