精品解析：海南省海口市海南华侨中学2025-2026学年高三上学期第二次考试（10月）数学试题

2023级高三年级第一学期第二次考试 数学试题 命题人：林五虚 审题人：成早秀 吕晓平 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将答题卡交回. （第Ⅰ卷） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据集合的并集运算，即可得答案. 【详解】，， . 故选：C. 2. 已知：；：.则是的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】由不等式性质依次分析充分性和必要性即可得解. 【详解】当时，，故充分性不成立； 当时，或或，故必要性不成立. 所以是的既不充分也不必要条件. 故选：D 3. 已知，则的虚部是（ ） A. B. C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】利用复数除法运算求出，再根据虚部的定义求解即可. 【详解】，，虚部为， 故选：C. 4. 已知函数，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先判断的单调性,再根据函数的单调性将转化为一元二次不等式求解即可. 【详解】 ， 当时,,则在时,单调递增； 当时,,根据幂函数单调性可知,在时,单调递增； 又在处,， ,是定义域为单调增函数， ， ，即 ， 解得:， 故不等式的解集为:. 故选：B. 5. 设函数，则曲线在点处的切线方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用分式求导法则求出，代入求出与，即可得点处的切线方程. 【详解】， ，， 则在点处的切线方程为即. 故选：A. 6. 设函数，则下列函数中为奇函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求函数定义域，看是否关于原点对称，不对称则不是奇函数，定义域关于原点对称再看是否满足定义即可得解. 【详解】令，则函数的定义域为不关于原点对称， 所以该函数不是奇函数，A错； 令，则函数的定义域为不关于原点对称， 所以该函数不是奇函数，B错； 令，则函数的定义域为关于原点对称， 且，所以该函数是奇函数，C正确； 令，则函数的定义域为关于原点对称， 但，所以该函数不是奇函数，D错. 故选：C 7. 若“，（）成立”是假命题，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，得，为真命题，代入，初步得出的范围，再验证即可. 【详解】由题意，，为真命题， 则时，成立，得； 当时， 的对称轴，则在单调递增，成立； 综上实数的取值范围是， 故选：D. 8. 函数有三个零点，，（），有两个极值点，（），则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出导函数，利用两个极值点和韦达定理得即可判断A，根据函数有3个零点及性质得即可判断BC，举反例判断D. 【详解】由得， 由题意，即的两根为且， 则，所以或（舍去）， 由韦达定理可知，故不成立，A选项错误； 当和时，，当时，， 所以在和上单调递增；在上单调递减； 若， 则， 故当为的零点时，则也为的零点， 易知，则，所以极大值，极小值. 所以，且，所以， 所以选项B错误，C正确； 因为及，所以， 若，则有，当时，矛盾， 故不一定成立，D错误. 故选：C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 学校为了解学生的课外阅读情况，随机统计了1000名学生每个月的课外阅读时间，所得数据都在中，其频率分布直方图如图所示，则下列选项正确的是（ ） A. B. 这1000名学生的课外阅读时间的众数为 C. 这1000名学生的课外阅读时间的中位数为 D. 若对阅读时间高于100小时的学生采取分层抽样抽取30人，则阅读时间在区间内的学生应抽取10人 【答案】ABD 【解析】 【分析】在频率分布直方图中，各组面积之和为1，可求出的值，可判断A；利用众数的定义可判断B；利用中位数的定义求解可判断C；利用分层抽样可判断D. 【详解】对于A选项，在频率分布直方图中，各组面积之和为1， 可得，解得，A正确； 对于B选项，由图可知这1000名学生的课外阅读时间的众数为，B正确； 对于C选项，设1000名学生的课外阅读时间的中位数为， 则，解得，C错误； 对于D选项，由图知，阅读时间高于100小时的学生有人， 随机抽取30人，抽样比为， 故阅读时间在区间内的学生应抽取人，D正确. 故选：ABD 10. 已知实数，满足，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】CD 【解析】 【分析】由题干所给等式与变形即可判断B选项，结合即可判断A选项；由基本不等式判断CD选项. 【详解】由可得， 由可得，则，故A选项错误； 由可得，故B选项错误； 由基本不等式得，解得，当且仅当时等号成立，故C选项正确； 由基本不等式可得，当且仅当时等号成立，故D选项正确； 故选：CD. 11. 函数是定义在R上的奇函数，且当时，，则（ ） A. 当时， B. 是的一个极值点 C. D. 当时， 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用函数奇偶性求函数解析式判断A；利用极值点的求法判断B；利用奇函数性质和复合函数导数法则求得判断C；结合的奇偶性分析函数值的符号，作差后利用导数法研究单调性，求解值域即可比较大小判断D. 【详解】是定义在R上的奇函数，且当时，， 故当时，，则，故A错误； 当时，，令得，令得，令得，故在上单调递增，在上单调递减，所以是的一个极大值点，故B正确； 因为是定义在R上的奇函数，所以，两边取导数得，即，故C正确； 对于D,当时，，则， 所以当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增，所以当时，，根据是定义在R上的奇函数，所以当时，， 当时，，即， 故当即时，，所以， 当即时，， 由于， 则 ，令， 则，令，则，由于，故，所以在上单调递增，所以，所以在上单调递减，所以，又，所以，即； 综上，所以，故D正确. 故选：BCD （第Ⅱ卷） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 数列满足，，则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据递推公式，代入即可求得. 【详解】由题意， 故答案为：. 13. 已知定义在上的奇函数满足，且当时，，则______；______. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】由奇函数定义在上，结合奇函数性质，则代入可得；结合可推得周期为，根据奇函数、周期性以及的解析式求解即可. 【详解】由于是定义在上的奇函数，则， 代入得，得； 由于，得，代入得， 由，得， 则， 则， 故； 故答案为：①0；②. 14. 若函数满足：，，且在上有且仅有一个零点，记在上的所有零点之和为，则的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意推得周期为，再设上的零点为，分类讨论即可得在上的所有零点之和. 【详解】由可得， 则，周期为， 由于在上有且仅有一个零点，则不会是0和200，设其为， 则零点为，， 由于， 则在上的所有零点之和为， 若，则， 若，则， 则的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，在直三棱柱中，，. （1）证明：平面平面； （2）求直线与平面所成角的余弦值. 【答案】（1） 在直三棱柱中，，故， 又因为， 所以，即， 又因为，，，平面， 所以平面， 因为平面，所以平面平面； （2） 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理得，然后利用线面垂直的判定定理证得平面，最后利用面面垂直的判定定理证明即可； （2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，代入线面角的向量公式求得正弦值，然后利用同角三角函数基本关系求得余弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可得平面，又因为所以， 所以可建立空间直角坐标系如图所示. 则，，，，故，， 设平面的一个法向量为，则， 取得，则， 又因为，所以, 设直线与平面的夹角为，则， 所以. 16. 数列、的前项和分别为、，若数列是等差数列，且，，数列满足. （1）求数列的通项公式； （2）若，问2025是否是数列的项. 【答案】（1） （2）2025不是数列的项. 【解析】 【分析】（1）由等差数列的基本量求解即可； （2）利用等差、等比数列的求和公式求出，再结合单调性判断即可. 【小问1详解】 设等差数列的公差为，由得， 解得，所以 【小问2详解】 由（1），所以，所以， 即数列是等比数列，且首项，公比， 所以， 所以，易知数列是递增数列， 又因为，， 所以不存在，使得，即2025不是数列的项. 17. 已知函数 （1）当时，求的单调区间与极值； （2）当时，求的最小值. 【答案】（1）单调递增区间为，单调递减区间为，，无极大值； （2） 当时取得最小值， 当时，取得最小值， 当时取得最小值. 【解析】 【分析】（1）研究导函数正负情况即可求解； （2）利用导数工具分当、、、四种情况研究函数的单调性即可求解. 【小问1详解】 当时，，定义域为，， 令，即，解得，可得，，的变化如下表所示， 0 － 0 ＋ ↘ 极小值 ↗ 所以的单调递增区间为，单调递减区间为， 所以，无极大值 【小问2详解】 为增函数， ①当时，在上，函数单调递增， 此时； ②当时，令解得 若，即，在上，函数单调递增， 此时； 若，即，在上，，的变化如下表所示， － 0 ＋ ↘ 极小值 ↗ 此时； 若，即，在上，函数单调递减， 此时； 综上所述，当时取得最小值， 当时，取得最小值， 当时取得最小值. 18. 已知双曲线：，点为双曲线右支上第一象限内的一个点，过点且与双曲线相切的直线分别与双曲线的两条渐近线交于，两点，是坐标原点. （1）求双曲线的实轴长和离心率； （2）证明：直线的方程为； （3）求的面积. 【答案】（1）实轴长，离心率. （2）证明： 第一象限内双曲线的右支对应的方程可以表示为， 则，， 所以在点的切线斜率， 所以切线的方程为：，整理得 因为在双曲线上，所以， 所以，即直线的方程为； （3）2 【解析】 【分析】（1）由方程标准形式即可求解； （2）由导数工具求出点处切线斜率即可由点斜式求解化简即可. （3）设直线与轴的交点为，联立直线l与渐近线方程，利用韦达定理依次求出和即可由计算求解. 【小问1详解】 方程可化为， 所以，，， 故，，， 所以实轴长，离心率. 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 因为双曲线方程为，所以其渐近线方程为， 由（2）直线的方程为，联立，消整理得， 由题意，设，，则，， 设直线与轴的交点为，在方程为中，令得， 所以， 所以 . 19. 若数列（，，）满足，则称数列为“项二元数列”，由所有“项二元数列”组成的集合记为. （1）若数列，满足当且仅当（，）时，，求数列的所有项之和. （2）从中随机任取一个数列，记数列的所有项和为，求“”的概率. （3）从集合中任意取出两个不同的数列，，随机变量. ①若，求随机变量的分布列与数学期望； ②猜想“（）”的概率.（直接写出计算公式即可） 【答案】（1）300 （2） （3）①的分布列为： 1 2 3 期望为；②（）. 【解析】 【分析】（1）根据“项二元数列”的定义求出数列的项，然后根据并项求和法求解即可. （2）根据组合数公式和古典概型概率公式求解即可. （3）①根据题意求出随机变量的值并求出对应的概率，即可求出分布列，代入期望公式求解即可； ②根据组合数公式和古典概型概率公式求解即可. 【小问1详解】 ∵是“30项二元数列”， 当且仅当（，）时，， ∴当和（，）时，， ∴ ，∴数列的所有项的和为300. 【小问2详解】 由题意数列有且只有4项，且、、、， 所以从中任意取一个数列共有个样本点，记“”为事件， 则事件包含个样本点，所以. 【小问3详解】 ①若，则中的数列有0，0，0；1，0，0；0，1，0；0，0，1；1，1，0；1，0，1；0，1，1；1，1，1；共有8个数列. 从集合中任意取出两个不同数列，，即从8个数列中任选2个，共有种情况 ∵，∴的取值有1，2，3，其中当时， 若选择0，0，0，可从1，0，0；0，1，0；0，0，1任选1个，共有3种情况， 若选择1，1，1，可以从1，1，0；1，0，1；0，1，1任选1个，共有3种情况， 另外1，0，0和1，0，1；1，1，0两者之一满足要求， 0，1，0和1，1，0；0，1，1两者之一满足要求，0，0，1和1，0，1，0，1，1两者之一满足要求，共有种情况， 我们也换个角度理解为：当时，选出的两个3项的数列中，对应3项有其中1项数值不同， 而剩下的2项数值相同（都为0都为1），所以共有种， 故; 当时，0，0，0和1，1，1满足要求，1，0，0和0，1，1满足要求，0，1，0和1，0，1满足要求， 0，0，1和1，1，0满足要求，共有4种情况， ∴，∴， ∴随机变量的分布列为： 1 2 3 所以随机变量的数学期望为； ②∵数列，是从集合中任意取出的两个数列， ∴数列，为项数列，∴的可能取值为：. 根据数列中0的个数可得，集合中元素的个数共有个， 当（）时，则数列，中有项取值不同，有项取值相同， 从项中选择项，和在项的某一项数字相同，其余项， 两者均在同一位置数字相反，∵，这个问题是组合问题， ∴所有的情况会重复1次，∴一共有种情况， ∴（）. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023级高三年级第一学期第二次考试 数学试题 命题人：林五虚 审题人：成早秀 吕晓平 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将答题卡交回. （第Ⅰ卷） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知：；：.则是的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知，则的虚部是（ ） A. B. C. D. 1 4. 已知函数，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 5. 设函数，则曲线在点处的切线方程是（ ） A. B. C. D. 6. 设函数，则下列函数中为奇函数的是（ ） A. B. C. D. 7. 若“，（）成立”是假命题，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 函数有三个零点，，（），有两个极值点，（），则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 学校为了解学生的课外阅读情况，随机统计了1000名学生每个月的课外阅读时间，所得数据都在中，其频率分布直方图如图所示，则下列选项正确的是（ ） A. B. 这1000名学生的课外阅读时间的众数为 C. 这1000名学生的课外阅读时间的中位数为 D. 若对阅读时间高于100小时的学生采取分层抽样抽取30人，则阅读时间在区间内的学生应抽取10人 10. 已知实数，满足，，则（ ） A. B. C. D. 11. 函数是定义在R上的奇函数，且当时，，则（ ） A. 当时， B. 是的一个极值点 C. D. 当时， （第Ⅱ卷） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 数列满足，，则______. 13. 已知定义在上的奇函数满足，且当时，，则______；______. 14. 若函数满足：，，且在上有且仅有一个零点，记在上的所有零点之和为，则的取值范围是______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，在直三棱柱中，，. （1）证明：平面平面； （2）求直线与平面所成角的余弦值. 16. 数列、的前项和分别为、，若数列是等差数列，且，，数列满足. （1）求数列的通项公式； （2）若，问2025是否是数列的项. 17. 已知函数 （1）当时，求的单调区间与极值； （2）当时，求的最小值. 18. 已知双曲线：，点为双曲线右支上第一象限内的一个点，过点且与双曲线相切的直线分别与双曲线的两条渐近线交于，两点，是坐标原点. （1）求双曲线的实轴长和离心率； （2）证明：直线的方程为； （3）求的面积. 19. 若数列（，，）满足，则称数列为“项二元数列”，由所有“项二元数列”组成的集合记为. （1）若数列，满足当且仅当（，）时，，求数列的所有项之和. （2）从中随机任取一个数列，记数列的所有项和为，求“”的概率. （3）从集合中任意取出两个不同的数列，，随机变量. ①若，求随机变量的分布列与数学期望； ②猜想“（）”的概率.（直接写出计算公式即可） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $