3.2.1双曲线及其标准方程第1课时同步练习-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

3.2.1双曲线及其标准方程第1课时同步练习、解答、细目表 南宁市第三中学 命题教师：陶新军 一、单选题 1．设P是双曲线上一点，F1，F2分别是双曲线左、右两个焦点，若|PF1|=9，则|PF2|等于（    ） A．1 B．17 C．1或17 D．8 2．已知双曲线的两个焦点为，，M是此双曲线上的一点，且满足，，则该双曲线的方程是（   ） A． B． C． D． 3．已知点是双曲线右支上的一点，点分别是圆和圆上的点．则的最小值为（    ） A．3 B．5 C．7 D．9 4．方程的图像表示曲线，则以下命题中正确的有（    ） ①若，则曲线为椭圆；       ②若或，则曲线为双曲线； ③曲线不可能是圆；                 ④若曲线表示椭圆，且长轴在轴上，则. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、多选题 5．以下四个命题中，正确的是（ ） A．设，动点P满足，则动点P的轨迹为双曲线 B．若曲线表示椭圆，则 C．方程的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率 D．双曲线与椭圆有相同的焦点 6．在平面直角坐标系xOy中，已知是动点．下列命题正确的是（   ） A．若，则M的轨迹的长度等于2 B．若，则M的轨迹方程为 C．若，则M的轨迹与圆有交点 D．若，则的最大值为3 7．已知双曲线方程为，则（　 ） A．实轴长为 B．虚轴长为4 C．焦距为6 D．离心率为 三、填空题 8．曲线C：表示焦点在轴上的双曲线，则m的取值范围为 . 9．已知双曲线的标准方程为，左、右焦点分别为，且双曲线上有一点使得，则点的坐标为 . 10．已知双曲线E：的左焦点为F，点M是E右支上的动点，点N是圆上的动点，则的最大值为 . 四、解答题 11．已知双曲线的左、右焦点分别为，点是其左顶点，点是双曲线上一点，且位于第一象限，若双曲线的离心率. (1)求双曲线的方程； (2)若三角形是等腰三角形，求点P的坐标. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 3.2.1双曲线及其标准方程第1课时同步练习、解答、细目表 题号 1 2 3 4 5 6 7 答案 B A B B CD AD ABD 1．B 【分析】先求出P点的位置，再根据双曲线的定义求解. 【详解】对于 ， ，所以P点在双曲线的左支，则有 ； 故选：B. 2．A 【分析】由，可得进一步求出，由此得到，则该双曲线的方程可求． 【详解】 ， 即， ． 则． ．即． ，． 则该双曲线的方程是：． 故选：A 3．B 【分析】根据圆的性质分析可得，再结合双曲线的定义运算求解. 【详解】由双曲线可知， 且圆的圆心为，半径， 的圆心为，半径， 由圆的性质可知：， 可得， 可知，为双曲线的焦点，则， 可得， 所以的最小值为5. 故选：B. 4．B 【分析】利用椭圆、双曲线、圆的定义，即可得出结论． 【详解】解：对于①，若，且，解得且，则曲线为椭圆，因此不正确； 对于②，若曲线为双曲线，则，解得或，正确； 对于③，当，即时，曲线表示圆，因此不正确； 对于④，若曲线为焦点在轴上的椭圆，则，解得，正确． 故选：． 【点睛】本题考查了分类讨论的思想方法，考查了椭圆双曲线圆的标准方程及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 5．CD 【分析】根据双曲线的定义判断A；由曲线方程表示椭圆列不等式求参数范围判断B；解一元二次方程，结合双曲线、椭圆离心率的性质判断C；根据方程直接写出双曲线、椭圆的焦点坐标判断D. 【详解】A：由，结合双曲线的定义易知动点P的轨迹为双曲线的左支，错； B：由曲线为椭圆，则，可得且，错； C：，可得或，可分别作为椭圆和双曲线的离心率，对； D：双曲线中，则焦点为， 椭圆中，则焦点为，即焦点相同，对. 故选：CD 6．AD 【分析】根据选项中的的关系，列出关于的等式，分析等式的几何意义即可求解. 【详解】对于A，因为，所以的轨迹为线段， 从而的轨迹的长度等于2，故A正确； 对于B，因为， 由双曲线的定义，知的轨迹是以为焦点的双曲线的右支， 而选项中的方程中未限制范围，故B错误； 对于C，由，得， 化简，得，联立，方程组无解， 所以的轨迹与圆没有交点，故C错误； 对于D，由，得， 化简得，所以的轨迹是以为圆心，半径为的圆， 等于在轴上的投影的长度，由图知其最大值为3，故D正确. 故选：AD． 7．ABD 【分析】根据双曲线的性质判断四个选项即可. 【详解】双曲线方程化为标准方程为， 得，，， 所以双曲线的实轴长为，虚轴长为4，焦距为12，离心率为， 故选：ABD． 8． 【分析】根据双曲线焦点位置，列出不等式组即可求解. 【详解】因为该曲线表示焦点在轴上的双曲线，则有，解得,即. 故答案为： 9． 【分析】设，根据，列出方程，求得，代入双曲线的方程，即可求解. 【详解】由双曲线的方程，可得，则， 设，则，解得， 因为点在双曲线上，代入可得，解得，故. 故答案为：. 10． 【分析】结合双曲线的定义与三角形三边关系可得，再根据定点到圆上一动点的距离最值的解法即可求解. 【详解】设双曲线E：的右焦点为，则，. 由双曲线定义可得，即. ， 当且仅当三点共线时，取得最大值. ∵点N是圆上的动点， ∴圆心设为，半径， ，. 故答案为：. 11．(1) (2)或 【分析】（1）由，得到，结合，求得，即可求得双曲线的方程； （2）设，由点为第一象限，其中，根据为等腰三角形，分或或，三种情况讨论，结合双曲线的几何性质，即可求解. 【详解】（1）解：设双曲线的半焦距为，因为双曲线的离心率， 可得，所以且， 又因为，即，解得， 所以双曲线的方程为. （2）解：由（1）知，双曲线的方程为，可得， 设，因为点为第一象限，其中， 又因为为等腰三角形，可得或或， 若，则在线段的中垂线上，则（舍去）； 若，则，所以， 联立方程组，其中，解得，所以点； 若，同理可得，其中， 解得，所以点， 综上可得，点或. 题号 难度 知识点 一、单选题 1 全部 双曲线定义的理解 2 全部 利用双曲线定义求方程 3 全部 利用定义求双曲线中线段和、差的最值 4 全部 判断方程是否表示双曲线 二、多选题 5 全部 双曲线定义的理解 6 全部 利用双曲线定义求方程 7 全部 根据双曲线方程求a、b、c 三、填空题 8 全部 双曲线的方程与双曲线（焦点）位置的特征 9 全部 根据双曲线方程求a、b、c 10 全部 利用定义求双曲线中线段和、差的最值 四、解答题 11 全部 利用定义解决双曲线中焦点三角形问题 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $