精品解析：四川省金堂中学校2025-2026学年高二上学期10月月考数学试题

金堂中学2025-2026学年高二上学期10月月考 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的. 1. 某中学为了了解500名学生的身高，从中抽取了30名学生的身高进行统计分析，在这个问题中，500名学生身高的全体是（ ） A. 总体 B. 个体 C. 从总体中抽取的一个样本 D. 样本的容量 2. 抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件“第一枚硬币正面朝上”，事件“第二枚硬币反面朝上”，下列结论中正确的是（ ） A. 与互为对立事件 B. 与互斥 C. D. 与相等 3. 是空间的一个基底，则下列各组向量中，不共面的一组是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 4. 高一年级举行“校园安全伴你行”知识能力竞赛，男生队40人，女生队60人，按照比例分配的分层抽样的方法从两队共抽取20人，相关统计情况如下：男生队答对题目的平均数为5，方差为1；女生队答对题目的平均数为4，方差为2，则这20人答对题目的方差为（    ） A. 1.8 B. 1.82 C. 1.84 D. 1.86 5. 如图，在三棱锥中，，，，点，，满足，，，则直线与所成的角余弦值为（    ） A. B. C. D. 6. 甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为，乙的中靶概率为，则甲乙中恰有一人中靶的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 在两块平行放置的木板之间放有4个半径均为的球，4个球两两相切，且其中3个球均与同一块木板相切，则两木板之间的最小距离为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在四面体OABC中，，，，若，且∥平面ABC，则实数（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分. 9. 下列调查中，适宜采用抽样调查的是（ ） A. 调查某市小学生每天的运动时间 B. 某公司初步发现一位职员患有甲肝，对此公司职员进行检查 C. 农业科技人员调查某块地今年麦穗的单穗平均质量 D. 调查某快餐店中全部8位店员的生活质量情况 10. 为响应校团委发起的“青年大学习”号召，某班组织了有奖知识竞答活动.决赛准备了4道选择题和2道填空题，每位参赛者从6道题中不放回地随机抽取三次，每次抽取1道题作答.设事件为“第次抽到选择题”，则下列结论中正确的是（ ） A. 与互斥；与互斥 B. 不管第几次抽取，抽到选择题的概率都相同 C. D. 11. 已知正方体的棱长为2，点P满足，，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则平面 B. 若，则点P的轨迹长度为 C. 若，则线段长度的最小值为 D. 若，则与平面所成角的余弦的最小值为 三、填空题：本题共3个小题，每题5分，共15分. 12. 在空间直角坐标系中，点关于x轴对称的点坐标为_________． 13. 总体由编号为1，2，⋯，99，100的100个个体组成，现用随机数法选取60个个体，利用电子表格软件产生的若干个1~100范围内的整数随机数的开始部分数据，如下表，则选出来的第5个个体的编号为______ 8 44 2 17 8 31 57 4 55 6 88 8 31 47 7 21 76 33 50 63 14. 从集合中任取一个元素a，使得只有整数解的概率为_________． 四、解答题：本题共5小题，共计77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知． （1）求向量的坐标及的值； （2）若，求k的值． 16. 第24届冬奥会于2022年2月在北京举行，志愿者的服务工作是冬奥会成功举办的重要保障．某高校承办了北京志愿者选拔的面试工作．现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图2所示的频率分布直方图．已知第三、四、五组的频率之和为0.7，第一组和第五组的频率相同． （1）求a，b的值； （2）估计这100名候选者面试成绩的平均数和第分位数（分位数精确到0.1）； （3）在第四、第五两组志愿者中，现采用分层抽样的方法，从中抽取5人，然后再从这5人中选出2人，以确定组长人选，求选出的两人来自不同组的概率． 17. 甲、乙两位同学进行中国象棋比赛，约定赛制如下：一人累计获胜2局，此人最终获胜，比赛结束；4局比赛后，没人累计获胜2局，比赛结束，获胜局数多的人最终获胜；两人获胜局数相同为平局.已知每局比赛中甲获胜、平局、乙获胜的概率分别为，且每局比赛的结果相互独立. （1）求比赛3局结束的概率； （2）求甲最终获胜的概率. 18. 如图，在四棱锥中，平面平面，底面是直角梯形，，，且，，，为的中点. （1）证明：平面； （2）求三棱锥的体积； （3）求二面角的余弦值. 19. n个有次序的实数，，…，所组成的有序数组称为一个n维向量，其中称为该向量的第i个分量.特别地，对一个n维向量，若，称为n维信号向量.设，，则和的内积定义为，且. （1）直接写出4个两两垂直的4维信号向量； （2）证明：不存在10个两两垂直的10维信号向量； （3）已知k个两两垂直的2024维信号向量，，…，满足它们的前m个分量都是相同的，求证：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 金堂中学2025-2026学年高二上学期10月月考 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的. 1. 某中学为了了解500名学生的身高，从中抽取了30名学生的身高进行统计分析，在这个问题中，500名学生身高的全体是（ ） A. 总体 B. 个体 C. 从总体中抽取的一个样本 D. 样本的容量 【答案】A 【解析】 【分析】 根据总体、个体、样本和样本容量的知识选出正确选项. 【详解】500名学生身高的全体是总体；每名学生的身高是个体；所抽取的名学生的身高是从总体中抽取的一个样本；是样本容量. 故选：A 【点睛】本小题主要考查对随机抽样中总体、个体、样本和样本容量的理解，属于基础题. 2. 抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件“第一枚硬币正面朝上”，事件“第二枚硬币反面朝上”，下列结论中正确的是（ ） A. 与互为对立事件 B. 与互斥 C. D. 与相等 【答案】C 【解析】 【分析】列举出所有基本事件，再结合互斥事件、对立事件的意义及古典概型逐项判断即得. 【详解】抛掷两枚质地均匀的硬币的所有结果是：(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)， 事件A包含的结果有：(正，正)，(正，反)，事件B包含的结果有：(正，反)，(反，反)， 对于AB，事件与能同时发生，不是互斥事件，不是对立事件，AB错误； 对于C，，C正确； 对于D，事件与事件不是同一个事件，D错误． 故选：C 3. 是空间的一个基底，则下列各组向量中，不共面的一组是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】A 【解析】 【分析】利用空间向量共面定理逐项判断即可得. 【详解】对A：由是空间的一个基底，故不共面， 则不能由、表示出，故，，不共面，故A正确； 对B：有，故，，共面，故B错误； 对C：，故，，共面，故C错误； 对D：，故 ，，共面，故D错误. 故选：A. 4. 高一年级举行“校园安全伴你行”知识能力竞赛，男生队40人，女生队60人，按照比例分配的分层抽样的方法从两队共抽取20人，相关统计情况如下：男生队答对题目的平均数为5，方差为1；女生队答对题目的平均数为4，方差为2，则这20人答对题目的方差为（    ） A. 1.8 B. 1.82 C. 1.84 D. 1.86 【答案】C 【解析】 【分析】借助分层抽样的平均数与方差公式计算即可得. 【详解】根据题意，按照比例分配分层抽样的方法从男生队中抽取人， 从女生队中抽取人， 这20人答对题目的平均数为， 所以这20人答对题目的方差为. 故选：C. 5. 如图，在三棱锥中，，，，点，，满足，，，则直线与所成的角余弦值为（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，，，利用空间向量运算得，，利用数量积的运算律求解数量积，即可解答. 【详解】设，，，则 ，， ， ， 所以 ， 故直线与所成的角余弦值为0. 故选： D. 6. 甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为，乙的中靶概率为，则甲乙中恰有一人中靶的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先分析事件“甲乙中恰有一人中靶”包含的两种互斥情况，分别计算两种情况的概率，再利用互斥事件概率加法公式求和即可． 【详解】甲乙中恰有一人中靶，事件包含两种情况：①甲中靶乙未中靶；②乙中靶甲未中靶， 设情况①的概率为，情况②的概率为， 甲的中靶概率为，乙的中靶概率为， ， ． 故选：C． 7. 在两块平行放置的木板之间放有4个半径均为的球，4个球两两相切，且其中3个球均与同一块木板相切，则两木板之间的最小距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据正四面体的几何性质，利用勾股定理求解高，即可求解. 【详解】小球两两相切，其中3个小球与同一块木板相切， 则四个球心的连线构成棱长为2的正四面体，如图：为球心，是三棱锥的高，则 即正四面体高为， 故两木板之间的最小距离为， 故选：C 8. 如图，在四面体OABC中，，，，若，且∥平面ABC，则实数（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由条件可知，延长与交于，连接，则由题意可得∥，令，，则利用不同的方法将用表示，可求出，然后利用三角形相似可求得结果. 【详解】由条件可知，延长与交于，连接， 因为平面， 平面，平面平面， 所以∥， 令，， 则有， ， 根据向量基底表示法的唯一性， 得解得 ∥， ，， ． 故选：D． 二、多选题：本题共3小题，每题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分. 9. 下列调查中，适宜采用抽样调查的是（ ） A. 调查某市小学生每天的运动时间 B. 某公司初步发现一位职员患有甲肝，对此公司职员进行检查 C. 农业科技人员调查某块地今年麦穗的单穗平均质量 D. 调查某快餐店中全部8位店员的生活质量情况 【答案】AC 【解析】 【分析】根据普查和抽样调查各自的特点进行选择． 【详解】A．调查某市小学生每天的运动时间的工作量很大，抽样调查； B．某公司初步发现一位职员患有甲肝，甲肝具有传染性，危害大，对此公司职员进行检查适合普查的方式； C．农业科技人员调查某块地今年麦穗的单穗平均质量适合采用抽样调查； D．调查某快餐店中全部8位店员的生活质量情况适合普查的方式； 故选：AC． 10. 为响应校团委发起的“青年大学习”号召，某班组织了有奖知识竞答活动.决赛准备了4道选择题和2道填空题，每位参赛者从6道题中不放回地随机抽取三次，每次抽取1道题作答.设事件为“第次抽到选择题”，则下列结论中正确的是（ ） A. 与互斥；与互斥 B. 不管第几次抽取，抽到选择题的概率都相同 C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据互斥事件的定义判断A，由简单随机抽样的性质判断B，根据古典概型的概率公式判断CD. 【详解】由题意可知第1次抽到选择题与第2次抽到选择题可能同时发生， 所以与不是互斥事件，同理与也不是互斥事件，A说法错误； 从6道题中不放回地随机抽取三次，满足简单随机抽样，每次抽取时各个个体被抽到的概率相等，B说法正确； 第二次抽到选择题且第三次也抽到选择题的概率,C说法正确； 第1次抽到选择题或第2次抽到选择题的概率,D说法错误； 故选：BC 11. 已知正方体的棱长为2，点P满足，，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则平面 B. 若，则点P的轨迹长度为 C. 若，则线段长度的最小值为 D. 若，则与平面所成角的余弦的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】由空间向量的基本定理结合面面平行可得A正确；由向量的数量积运算可得B错误；由空间向量的基本定理结合已知得到点的轨迹是线段，再由勾股定理可得C正确；由空间向量的基本定理得到点P的轨迹是线段，当为的中点时可得D正确. 【详解】对于A，若，则点P在线段上，易知平面平面，所以平面，故A正确； 对于B，若， 即， 则点P的轨迹是以为半径的四分之一圆弧，又， 所以点P的轨迹长度是，故B错误； 对于C，设和的中点分别为M，N， 若，则点P的轨迹是线段， 当P是的中点时，的长度最小， 因为是等腰三角形，，， 所以长度的最小值为.，故C正确； 对于D，若，则点P的轨迹是线段， 设与平面所成的角为， 在等边三角形中，边长为，当P为的中点时，取得最小值，为， 而点P到平面的距离恒为2，所以，从而，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3个小题，每题5分，共15分. 12. 在空间直角坐标系中，点关于x轴对称的点坐标为_________． 【答案】 【解析】 【分析】利用空间直角坐标系中关于轴对称的点的性质求解，即横坐标不变，纵坐标和竖坐标变为原来的相反数． 【详解】在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点坐标为， 点关于x轴对称的点坐标为. 故答案为：. 13. 总体由编号为1，2，⋯，99，100的100个个体组成，现用随机数法选取60个个体，利用电子表格软件产生的若干个1~100范围内的整数随机数的开始部分数据，如下表，则选出来的第5个个体的编号为______ 8 44 2 17 8 31 57 4 55 6 88 8 31 47 7 21 76 33 50 63 【答案】31 【解析】 【分析】根据题意，结合随机数表选取的规则，结合题意，即可求解. 【详解】根据随机数表的选取的规则是选出的样本编号为1~100范围内的整数， 且与前面重复的数据不再出现，所以前5个个体编号为：8 44 2 17 31， 所以选出来的第5个个体的编号为31. 故答案为：31. 14. 从集合中任取一个元素a，使得只有整数解的概率为_________． 【答案】##0.03 【解析】 【分析】先根据判别式及韦达定理分析方程存在整数解的条件，再求出满足条件的的个数，最后计算满足条件的概率． 【详解】只有整数解， ，解得（不在已知集合范围内，舍去）或， ， 设方程的两个整数解为（含），根据韦达定理得：，则，代入整理得， ， 的整数因数对有：， 又为集合中的任意元素， ， 需根据计算上述的因数对是否属于集合，且满足， 因数对：，，不符合条件； 因数对：，，不符合条件； 因数对：，，不符合条件； 因数对：，，不符合条件； 因数对：，，不符合条件； 因数对：，，符合条件； 因数对：，，符合条件； 因数对：，，符合条件； 因数对：，，符合条件； 因数对：，，符合条件； 符合条件的的取值为，共3个． 集合中共有个元素，满足条件的共3个， 满足条件的概率， 故答案为：． 四、解答题：本题共5小题，共计77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知． （1）求向量的坐标及的值； （2）若，求k的值． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）先利用向量减法求出，再根据向量夹角的余弦公式求解； （2）先分别求出和的坐标，再利用的坐标表示列方程组求出． 【小问1详解】 ， ， ，，， ． 【小问2详解】 ， ，， 又，则存在满足， ，解得，，经验证，成立， ． 16. 第24届冬奥会于2022年2月在北京举行，志愿者的服务工作是冬奥会成功举办的重要保障．某高校承办了北京志愿者选拔的面试工作．现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图2所示的频率分布直方图．已知第三、四、五组的频率之和为0.7，第一组和第五组的频率相同． （1）求a，b的值； （2）估计这100名候选者面试成绩的平均数和第分位数（分位数精确到0.1）； （3）在第四、第五两组志愿者中，现采用分层抽样的方法，从中抽取5人，然后再从这5人中选出2人，以确定组长人选，求选出的两人来自不同组的概率． 【答案】（1）； （2）估计平均数为69.5，第分位数为71.7； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据频率之和为1，及第三、四、五组的频率之和为0.7列出方程组，求出a，b的值；（2）中间值作代表估计出平均数，利用百分位数求解方法进行求解；（3）先分层抽样求出列举法求出抽取的第四、第五两组志愿者人数，再利用列举法求出古典概型求概率公式. 【小问1详解】 ，解得：，所以； 【小问2详解】 ，故估计这100名候选者面试成绩的平均数为69.5； 前两组志愿者的频率为，前三组志愿者的频率为，所以第分位数落在第三组志愿者中，设第分位数为，则，解得：，故第分位数为71.7 【小问3详解】 第四、第五两组志愿者的频率比为，故按照分层抽样抽得的第四组志愿者人数为4，分别设为，第五组志愿者人数为1，设为，这5人中选出2人，所有情况有，共有10种情况，其中选出的两人来自不同组的有共4种情况，故选出的两人来自不同组的概率为 17. 甲、乙两位同学进行中国象棋比赛，约定赛制如下：一人累计获胜2局，此人最终获胜，比赛结束；4局比赛后，没人累计获胜2局，比赛结束，获胜局数多的人最终获胜；两人获胜局数相同为平局.已知每局比赛中甲获胜、平局、乙获胜的概率分别为，且每局比赛的结果相互独立. （1）求比赛3局结束的概率； （2）求甲最终获胜的概率. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用独立事件概率乘法公式，结合互斥事件概率加法来计算； （2）利用独立事件概率乘法公式，结合分类讨论，可得互斥事件概率加法来计算. 【小问1详解】 根据题意可知，比赛3局结束的事件为前两局中， 甲或乙中有一个人胜了一局且另一局为平局或败局， 第三局由前两局中胜一局的一方获胜， 所以比赛3局结束的概率为； 【小问2详解】 根据题意可知，甲最终获胜的可能性有： ①两局后获胜，即连续胜两局，此时概率为； ②三局后获胜，且前两局有一局没获胜， 此时概率为； ③四局后以胜2局获胜，且前三局只胜一局，另两局没有全败， 此时概率为； ④四局后以胜1局获胜，且另外3局全是平局，此时概率为； 所以设“甲最终获胜”为事件，则. 18. 如图，在四棱锥中，平面平面，底面是直角梯形，，，且，，，为的中点. （1）证明：平面； （2）求三棱锥的体积； （3）求二面角的余弦值. 【答案】（1） 取中点，连接， 为的中点，为中点，所以，且， 又，，，， 所以有，且， 所以四边形为平行四边形， 则，又平面，平面， 所以//平面． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）取中点，通过证明四边形为平行四边形，从而得到，再由线面平行的判定即可证明； （2）由题知，根据面面垂直的性质可证平面，然后利用体积计算公式求解； （3）取的中点，连接，过作于，则为二面角的平面角，在中，可求，再得到即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 底面是直角梯形，，平面，平面， 所以//平面，则点到平面的距离等于点到平面的距离， 所以三棱锥的体积， 又为的中点，则点到平面的距离等于点到平面的距离的一半， 所以， 又，，， 所以，故， 又，，所以， 平面平面，且平面平面， 又平面，所以平面， 故. 【小问3详解】 因为平面平面，且其交线为， 又平面，， 所以平面， 取的中点，连接， 在中，，分别为，的中点， 所以， 则平面， 过作于，连接，则有， 所以为二面角的平面角， 在直角梯形中，，，所以， 所以， 又，所以， 在中，， 所以，又， 解得：， 即二面角的余弦值为． 19. n个有次序的实数，，…，所组成的有序数组称为一个n维向量，其中称为该向量的第i个分量.特别地，对一个n维向量，若，称为n维信号向量.设，，则和的内积定义为，且. （1）直接写出4个两两垂直的4维信号向量； （2）证明：不存在10个两两垂直的10维信号向量； （3）已知k个两两垂直的2024维信号向量，，…，满足它们的前m个分量都是相同的，求证：. 【答案】（1），，，； （2）假设存在10个两两垂直的10维信号向量，，…，， 因为将这10个向量的某个分量同时变号或将某两个位置的分量同时互换位置，任意两个向量的内积不变， 所以不妨设，， 因为，所以有5个分量为， 设的前5个分量中有r个，则后5个分量中有个， 所以，可得，矛盾， 所以不存在10个两两垂直的10维信号向量. （3）任取，计算内积，将所有这些内积求和得到S， 则， 设，，…，的第个分量之和为， 则从每个分量的角度考虑，每个分量为S的贡献为， 所以， 令，所以，所以. 【解析】 【分析】（1）根据题意，结合两两垂直的定义，即可求解； （2）根据题意，不妨设，得到有5个分量为，设的前5个分量中有r个，得到5个分量中有个，进而求得r的值，即可求解； （3）任取，得到，设的第个分量之和为，结合，列出不等式，即可求解. 【小问1详解】 两两垂直的4维信号向量可以为：，，，. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】关键点睛：本题以新定义为背景考查向量的运算，解题的关键是根据所给线性相关的定义进行运算判断. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $