精品解析：湖南省常德市第一中学2025-2026学年高二上学期第一次月水平检测数学试题

常德市一中2025年下学期高二年级第一次月水平检测考试试卷 数 学 时量：120分钟 满分：150分 命题人：高二数学备课组 审题人：高二数学备课组 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，利用复数的运算法则，准确计算，即可求解. 【详解】根据复数的运算法则，可得. 故选：B. 2. 已知直线，，则是的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】 由两直线平行或重合的方程系数关系，求出，进而求出平行时的值，即可求出结论. 【详解】当或重合时，， 或， 当时，，此时， 当时，，此时重合， 当时，. 故选:D. 【点睛】本题考查命题的充分必要条件的判断，其实质是考查两直线方程为一般式时，位置关系的判定，属于中档题. 3. 在空间直角坐标系中，关于轴的对称点为点，若点关于平面的对称点为点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】写出关于轴的对称点，点关于平面的对称点，再计算的值． 【详解】空间直角坐标系中，关于轴的对称点为， 点关于平面的对称点为点， 所以． 故选：B． 4. 已知中，角所对的边分别为，设向量，若，则是（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等边三角形 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量共线的坐标运算得，利用正弦定理以及两角差的正弦公式得到，即可判断. 【详解】在中，因为，且， 所以，由正弦定理得， 所以，即， 又，则，则， 所以，所以该三角形为等腰三角形. 故选：A 5. 如图，三棱柱的所有棱长都为，且，、、分别为、、的中点，则异面直线和所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】连接、，推导出，可知异面直线和所成角等于或其补角，利用余弦定理求出、的长，推导出，可求出的余弦值，即为所求. 【详解】连接、，如下图所示： 因为、分别为、的中点，所以，且， 因为且，所以，四边形为平行四边形， 所以，且， 因为为的中点，所以，且， 所以，四边形为平行四边形，则， 故异面直线和所成角等于或其补角， 在菱形中，，，， 由余弦定理可得， 在中，，，， 由余弦定理可得， 在中，，，，所以，，故， 所以，. 因此，异面直线和所成角的余弦值为. 故选：D. 6. 设两条直线的方程分别为，，已知a，b是方程的两个实根，且，则这两条直线之间的距离的最大值和最小值分别是（ ） A. 1， B. ， C. ， D. 1， 【答案】C 【解析】 【分析】利用韦达定理求出，由可求得，再由平行线间的距离公式得到，即可求出两条平行直线之间的距离的最大值和最小值. 【详解】因为a，b是方程的两个实根， 所以，， 所以． 又，所以，所以． 由于直线与直线平行， 所以它们之间的距离， 所以，即所求距离的最大值和最小值分别为，． 故选：C． 7. 已知正三棱锥的底面的边长为6，直线AB与底面BCD所成角的余弦值为，则正三棱锥外接球的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】作面，因为三棱锥为正三棱锥，所以是正三角形的中心，连接，设球心为，则在上，连接.由，求出 ，设外接球半径为，由，解得，即可求解． 【详解】 如图所示，作面，因为三棱锥为正三棱锥， 所以是正三角形的中心，连接，设球心为，则在上，连接. 正三棱锥的底面的边长为6，所以， 因为直线AB与底面BCD所成角的余弦值为，即， 所以， 设外接球半径为，则，， 所以在中，可得， 解得，则外接球体积为. 故选：B. 8. 已知圆锥和圆柱的底面半径均为，高均为，若圆锥与圆柱的表面积之比为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题中的圆锥和圆柱的表面积的比值可得答案. 【详解】设圆锥的表面积为，圆柱的表面积为，由圆锥和圆柱的底面半径均为，高均为， 则圆锥的母线，圆柱的母线为， 则，. 由，得， 化简得，即， 所以或（舍去），所以，即. 故选：C. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 直线的方程为，若在轴上的截距为，且，则下列说法正确的是（ ） A. 直线关于点对称的直线经过点 B. 直线与的交点坐标为 C. 已知直线经过与的交点，且在轴上的截距是在轴上的截距的2倍，则的方程为 D. 已知动直线经过与的交点，当原点到的距离最大时，点到的距离为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，由题可得方程，可得过点，据此可判断选项正误；对于B，由A分析可得交点坐标；对于C，考虑直线过原点及直线横纵截距全不为0两种情况，可判断选项正误；对于D，由题可得方程，然后由点到直线距离公式可判断选项正误. 【详解】对于A，由，可知，由在轴上的截距为知过点， 所以直线的方程为，即．令，得，即直线过点， 所以直线关于点对称的直线经过点，故A正确； 对于B，联立，解得，即直线与的交点坐标为．故B正确； 对于C，当直线经过与的交点且过原点时，方程为，即，满足题意； 当直线不过原点时，设直线的方程为，将点代入可得，所以直线的方程为． 综上，满足条件的直线的方程为或．故C错误； 对于D，由题意过点的动直线中，到原点距离最大的直线与原点和的连线垂直，故此时直线的斜率为， 所以直线为，即，所以点到的距离为，故D正确. 故选：ABD 10. 中，，BC边上的中线，则下列说法正确的有（ ） A. 为定值 B. C. D. 的最大值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】A利用向量的加减法及向量的数量积公式运算即可，B根据余弦定理及角的互补运算即可求值，C利用余弦定理及基本不等式求出范围即可，D根据余弦定理及基本不等式求出的最小值即可. 【详解】对于A，，为定值，A正确； 对于B， ，故B正确； 对于C，由余弦定理及基本不等式得（当且仅当时，等号成立）,由A选项知，， 解得，故C错误； 对于D，（当且仅当时，等号成立），因为， 所以，又，所以的最大值，D选项正确. 故选：ABD 【点睛】本题主要考查了向量的数量积运算，余弦定理，基本不等式，考查了推理能力，属于难题. 11. 在长方体中，，，M为BC的中点．动点P满足，，，则下列说法正确的是（ ） A. 点P一定在平面内 B. 当时，点P的轨迹长度为 C. 当，P，M三点共线时， D. 当时，的最大值为 【答案】BC 【解析】 【分析】A利用及平面向量基本定理即可；B取的中点N，即可得出，计算长度即可；C由共线性质即可；D利用基底化简得出，再化简得出，当，时，取最大值，但此时不满足. 【详解】对于A选项，易得，故，则共面，又有公共点，故点P在平面内，故A错误； 对于B选项，取的中点N，连接， 则，，则，， 则四边形为平行四边形， 则当时，，， 可知此时点P的轨迹为线段AN，其长度为， 故B正确； 对于C选项，由，与三点共线，可知，故C正确； 对于D选项，显然为一组正交基底， 而， 故 ， 而， 故， 因，，故当，时，最大为， 此时不满足，故的最大值不为，故D错误． 故选：BC． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知点，则直线的倾斜角为________________ 【答案】 【解析】 【分析】求出直线的斜率，根据直线的斜率与倾斜角的关系，即可求得答案. 【详解】由题意得直线的斜率， 设直线的倾斜角为α，则； 因为，所以； 故答案为： 13. 已知向量满足，，且，则________． 【答案】2 【解析】 【分析】由，平方后结合，可得，解方程即可. 【详解】由，得，即， 整理得，解得，或（舍去）． 故答案为：2. 14. 如图，正方形ABCD和正方形ABEF的边长都是1，且它们所在的平面所成的二面角的大小是，M，N分别是AC，BF上的动点，且，则MN的最小值是__________ 【答案】##0.5 【解析】 【分析】利用二面角的定义证得就是二面角的平面角，即为，再利用空间向量将的长转化为的模求解，利用空间向量的线性运算和数量积、一元二次函数的图象与性质运算即可得解. 【详解】连接，如下图， 由题意，，，正方形中， 正方形中，平面，平面， 平面平面， ∴就是二面角的平面角，则， ∴向量与向量夹角为，且，， 设，，，则， 且由题意， ∴， ， ∴， 令，，图象开口向上，且对称轴为， ∴当时，取得最小值， 即最小值为， ∴的最小值是. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，已知是底面边长为2的正四棱柱，为与的交点，O为AC与BD的交点． （1）证明：平面； （2）若点到平面的距离为，求正四棱柱的高． 【答案】（1） 在正四棱柱中，连接， 由，得四边形为平行四边形，则，， 又为与的交点，为与的交点，则，， 因此四边形为平行四边形，，又平面，平面， 所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）连接，可证，根据线面平行的判断定理可得平面. （2）建立如图所示的空间直角坐标系，设，则可用表示平面的法向量，根据距离公式可求. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以为坐标原点，分别为轴正方向建立空间直角坐标系， 则，设，则， 设平面的一个法向量为，而， 则，令，得，又， 由点到平面的距离为，得，解得， 所以正四棱柱的高为. 16. 已知△ABC的顶点，边AB的中线CM所在直线方程为，边AC的高BH所在直线方程为． （1）求点B的坐标； （2）若入射光线经过点，被直线CM反射，反射光线过点，求反射光线所在的直线方程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设，分析可知的中点在直线上，运算即可； （2）求关于直线的对称点为，进而可求反射光线所在的直线方程. 【小问1详解】 由题意可设点， 因为，则的中点在直线上， 可得，解得， 所以点B的坐标为. 【小问2详解】 设关于直线的对称点为， 则，解得，即 所以反射光线所在的直线方程为，可得. 17. 中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若. （1）求角的大小； （2）若，点是上的动点， ①若点满足，求的面积； ②若，求的取值范围. 【答案】（1） （2）①；②. 【解析】 【分析】（1）利用二倍角的余弦公式得，由正弦定理得，最后由两角和的正弦公式即可求解； （2）①利用得，在和利用余弦定理得，在中由余弦定理得，即可求解，进而得，又即可求解； ②记则，在中，由正弦定理得，在等腰中，，由即可求解. 【小问1详解】 由得，， 则，由正弦定理得 ； 【小问2详解】 ①在中，由余弦定理：得： ，化简的：① 由得 即：，代入数据化简得： ②，联立①②得代入②式解得： ， ； ②记则， 在中，由正弦定理得： 在等腰中， 由题意，则， ，即的取值范围为. 18. 如图，已知四棱台，点在底面上的射影落在线段上（不含端点），底面为直角梯形，，，，. （1）求证：平面； （2）若二面角的大小为； （ⅰ）求直线与平面所成的角； （ⅱ）若四边形为等腰梯形，，求平面与平面夹角的正切值. 【答案】（1）证明：连接交于点，，，， ，， 在直角梯形中，，，，， 由勾股定理可得， ， 在中，，， ∴，∴，即， ∵平面，平面，∴， 又，、平面，∴平面. （2）（ⅰ）；（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）连接，交于点，利用勾股定理逆定理证明出，由已知条件得出平面，可得出，再结合线面垂直的判定定理可证得结论成立； （2）（i）过点在平面内作，交于点，连接，推导出平面，可知为二面角的平面角，即，且为直线与平面所成的角，根据可求出的正切值，即可得出的值； （ii）过点作，则，过点在平面内作，垂足为点，过点在平面内作，交于点，连接，推导出平面，可知为平面与平面所成夹角的平面角，求出、的长，即可求出的正切值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （i）过点在平面内作，交于点，连接， ∵平面，平面，∴， ∵，，、平面，∴平面， ∵平面，∴， 则为二面角的平面角，即， 且为直线与平面所成的角， ∵，即， ∵，而在中，， ∴，因为，即. ∴直线与平面所成角为. （ii）在等腰梯形中，∵，，， 则，即， 过点作，则，过点在平面内作，垂足为点， 在平面内，∵，，∴， ∵平面，∴平面， 过点在平面内作，交于点，连接， ∵平面，平面，∴， ∵，，、平面，∴平面， ∵平面，∴， 则为平面与平面所成夹角的平面角， ∵四边形为等腰梯形，∴，，， ∴，， ， 在平面内，∵，，∴， ∴，即， 在平面内，∵，，∴，∴， 故， 在中，. 故平面与平面夹角的正切值为. 19. 如图所示，将一块直角三角形板置于平面直角坐标系中，已知，，点是三角板内一点，现因三角板中阴影部分受到损坏，要把损坏部分锯掉，可用经过点P的任一直线MN将三角形锯成，设直线的斜率为，问： （1）求直线的方程及斜率的范围； （2）若的面积为，求的表达式； （3）若为的面积，问是否存在实数，使得关于的不等式有解，若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由． 【答案】（1）， （2） （3）存在，． 【解析】 【分析】（1）利用点斜式直接写出直线的方程，通过分析直线和的斜率确定的范围. （2）联立直线与，的方程，求出交点的坐标，再结合两点间距离公式和点到直线距离公式计算的面积． （3）先表示出的面积，通过换元法确定其取值范围，再将不等式进行变形，结合面积的取值范围求解的取值范围． 【小问1详解】 依题意，点，直线的斜率为， 由直线的点斜式方程，可得直线MN的方程为． 因为，所以． 【小问2详解】 由已知， 可得直线方程为，直线方程为， 联立方程组，解得， 又由，解得， 由两点距离公式可得， 又由点P到直线OM的距离为， 所以． 【小问3详解】 由题意，可得， 设， 令，即，函数在为单调递增函数， 所以当时，的最小值为，当时，的最大值为， 即，所以， 又且，所以， 可得的最大值为，所以实数的取值范围是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 常德市一中2025年下学期高二年级第一次月水平检测考试试卷 数 学 时量：120分钟 满分：150分 命题人：高二数学备课组 审题人：高二数学备课组 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. （ ） A. B. C. D. 2. 已知直线，，则是的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 在空间直角坐标系中，关于轴的对称点为点，若点关于平面的对称点为点，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知中，角所对的边分别为，设向量，若，则是（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等边三角形 5. 如图，三棱柱的所有棱长都为，且，、、分别为、、的中点，则异面直线和所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 6. 设两条直线的方程分别为，，已知a，b是方程的两个实根，且，则这两条直线之间的距离的最大值和最小值分别是（ ） A. 1， B. ， C. ， D. 1， 7. 已知正三棱锥的底面的边长为6，直线AB与底面BCD所成角的余弦值为，则正三棱锥外接球的体积为（ ） A. B. C. D. 8. 已知圆锥和圆柱的底面半径均为，高均为，若圆锥与圆柱的表面积之比为，则（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 直线的方程为，若在轴上的截距为，且，则下列说法正确的是（ ） A. 直线关于点对称的直线经过点 B. 直线与的交点坐标为 C. 已知直线经过与的交点，且在轴上的截距是在轴上的截距的2倍，则的方程为 D. 已知动直线经过与的交点，当原点到的距离最大时，点到的距离为 10. 中，，BC边上的中线，则下列说法正确的有（ ） A. 为定值 B. C. D. 的最大值为 11. 在长方体中，，，M为BC的中点．动点P满足，，，则下列说法正确的是（ ） A. 点P一定在平面内 B. 当时，点P的轨迹长度为 C. 当，P，M三点共线时， D. 当时，的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知点，则直线的倾斜角为________________ 13. 已知向量满足，，且，则________． 14. 如图，正方形ABCD和正方形ABEF的边长都是1，且它们所在的平面所成的二面角的大小是，M，N分别是AC，BF上的动点，且，则MN的最小值是__________ 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，已知是底面边长为2的正四棱柱，为与的交点，O为AC与BD的交点． （1）证明：平面； （2）若点到平面的距离为，求正四棱柱的高． 16. 已知△ABC的顶点，边AB的中线CM所在直线方程为，边AC的高BH所在直线方程为． （1）求点B的坐标； （2）若入射光线经过点，被直线CM反射，反射光线过点，求反射光线所在的直线方程． 17. 中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若. （1）求角的大小； （2）若，点是上的动点， ①若点满足，求的面积； ②若，求的取值范围. 18. 如图，已知四棱台，点在底面上的射影落在线段上（不含端点），底面为直角梯形，，，，. （1）求证：平面； （2）若二面角的大小为； （ⅰ）求直线与平面所成的角； （ⅱ）若四边形为等腰梯形，，求平面与平面夹角的正切值. 19. 如图所示，将一块直角三角形板置于平面直角坐标系中，已知，，点是三角板内一点，现因三角板中阴影部分受到损坏，要把损坏部分锯掉，可用经过点P的任一直线MN将三角形锯成，设直线的斜率为，问： （1）求直线的方程及斜率的范围； （2）若的面积为，求的表达式； （3）若为的面积，问是否存在实数，使得关于的不等式有解，若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $