3.1.2椭圆的简单几何性质（2） 课件-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学课件系统涵盖椭圆的几何性质、第二定义、直线与椭圆位置关系、弦长及中点弦问题，通过电影放映灯反射镜面、“萤火一号”轨道等现实案例导入，搭建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于注重数学思维与实际应用结合，通过点差法推导中点弦斜率公式、焦半径公式证明等培养逻辑推理能力，用判别式判断位置关系体现严谨性。助力学生提升数学建模素养，教师可高效开展教学，落实核心素养。

-椭圆方程及性质的应用 3.1.2 椭圆的简单几何性质(2) 1.会利用椭圆的几何性质求椭圆的标准方程;(重点) 2.了解直线与椭圆的位置关系,并能运用直线和椭圆的方程判断直线和椭圆的位置关系(重点、难点) 3.体会椭圆在实际生产生活中的广泛应用. 焦点位置 x轴 y轴 方程 图形 范围 对称性 顶点 离心率 复习:椭圆的简单几何性质: F1 F2 M • • x y O B2 B1 A1 A2 F1 F2 M • • x y O B2 B1 A1 A2 e越接近1 ,椭圆越扁 e越接近0 ,椭圆越圆 例5 如图示, 一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面(椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面)的一部分, 过对称轴的截口BAC是椭圆的一部分, 灯丝位于椭圆的一个焦点F1上, 片门位于另一个焦点F2上, 由椭圆一个焦点F1发出的光线, 经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点F2 . 已知BC⊥F1F2 , |F1B|=2.8 cm, |F1F2|=4.5 cm. 试建 立适当的平面直角坐标系, 求截口BAC所在椭圆的方程(精确到0.1 cm). 解: 建立如图所示的平面直角坐标系, 设所求椭圆方程为 在Rt BF1F2中, 由椭圆的性质知, 所以,所求的椭圆方程为 变式1:课本115页第7题 彗星“紫金山一号”是南京紫金山天文台发现的,它的运行轨道是以太阳为一个焦点的椭圆。测得轨道的近日点(距离太阳最近的点)距太阳中心1.486天文单位,远日点(距离太阳最远的点)距太阳中心5.563天文单位(1天文单位是太阳到地球的平均距离,约1.5km ),且近日点、远日点及太阳中心在同一直线上,求轨道方程。 解:如图,设F为太阳中心,以近日点A和远日点B的中点为坐标原点,直线AB为x轴,线段AB的中垂线为y轴,建立如图所示的平面直角坐标系。 由题意得a-c=1.486 ,a+c=5.563 例6 动点M(x, y)与定点F(4, 0)的距离和M到定直线l : 的距离的比是常数 求动点M的轨迹. O x y M H F l • d 解: 证明: 平面内的动点M(x, y)到定点F(c, 0)的距离与它到定直线 的距离的比是常数 则点M的轨迹是椭圆. O x y M H F l • d l′ F′ • 椭圆的第二定义:(课本117页) 椭圆的第二定义:(课本117页) O x y M H F l • d l′ F′ • 平面内的动点M(x, y)到定点F(c, 0)的距离与它到定直线 的距离的比是常数 则点M的轨迹是椭圆. 其中,定点F(c,0)是椭圆的焦点; 定直线 叫做椭圆的准线; 常数 是椭圆的离心率. 例7 O x y F2 l • F1 • 解: 解1: 变式: 已知椭圆 直线 椭圆上是否存在一点, 使得 (1) 它到直线l的距离最小?最小距离是多少? (2) 它到直线l的距离最大?最大距离是多少? O x y F2 l • F1 • l1 l2 当m=25时,直线4x-5y+25=0与椭圆的切点到直线l的距离最小, 最小距离为: 当m=-25时,直线4x-5y-25=0与椭圆的切点到直线l的距离最大, 最大距离为 变式: 已知椭圆 直线 椭圆上是否存在一点, 使得 (1) 它到直线l的距离最小?最小距离是多少? (2) 它到直线l的距离最小?最小距离是多少? 解2: O x y F2 l • F1 • P • 总结:判断直线与椭圆的位置关系的方法 [注意] 方程组解的个数与直线与椭圆的公共点的个数之间是等价关系. 1. 求下列直线与椭圆的交点坐标: 如图示,若直线l:y=kx+b0)与椭圆交于A, B两点,将直线方程与椭圆方程联立消元,得到关于x(或y)的一元二次方程,然后运用两点间距离公式及根与系数的关系,即可求弦长,具体公式为: 弦长问题: O x y F2 l • F1 • A B 复习回复:你还记得圆的弦长是怎么求的吗? 2. 经过椭圆 的左焦点F1作倾斜角为60 的直线l,直线l与椭圆相交于A, B两点,求线段AB的长. 解: 例1 .已知椭圆 过点P(2,1)引一弦,使弦在这点被 平分,求此弦所在直线的方程. 解: 韦达定理法:利用韦达定理及中点坐标公式求k 中点弦问题 例 1 已知椭圆 过点P(2,1)引一弦,使弦在这点被 平分,求此弦所在直线的方程. 点差法:利用端点在曲线上,坐标满足方程,作差得到 出中点坐标和斜率的关系. 点 作差 中点弦问题 点差法:利用弦的两个端点在曲线上,将两点坐标带入方程,作差构造出中点坐标和斜率的关系. 设而不求 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 中点弦问题 : (点差法) O x y F2 l • F1 • P • B A 变式1 过椭圆 内一点 引一条弦,使弦被P点平分,则这条弦所在直线l的方程为_. 解: 变式2 (新课标全国卷 ) 已知椭圆E: 的右焦点为F(3,0), 过点F的直线交E于A, B两点. 若AB的中点坐标为(1,-1), 则E的方程为 ( ) D 变式3.已知椭圆=1, 一组平行直线的斜率为 (1)这组直线何时与椭圆有两个公共点? (2)当它们与椭圆有两个公共点时,证明这些直线被椭圆截得的线段的中点在同一条直线上。 变式3.已知椭圆=1, 一组平行直线的斜率为 (1)这组直线何时与椭圆有两个公共点? (2)当它们与椭圆有两个公共点时,证明这些直线被椭圆截得的线段的中点在同一条直线上。 变式3.已知椭圆=1, 一组平行直线的斜率为 (1)这组直线何时与椭圆有两个公共点? (2)当它们与椭圆有两个公共点时,证明这些直线被椭圆截得的线段的中点在同一条直线上。 因此,当它们与椭圆有两个公共点时,这些直线被椭圆截得的线段的中点在直线3x+2y=0上。 弦长公式 弦长公式 练习1 若直线y=kx+1与曲线 有两个不同的交点, 则k的取值范围是_. O x y l A(0,1) 解: 练习2 已知椭圆C: 过点(0, 2)作圆x2+y2=1的切线l交椭圆C于A, B两点. (1) 求椭圆C的焦点坐标和离心率;(2) O为坐标原点, 求 OAB的面积. 解: 32 作业及练习 33 作业及练习 2. 焦点三角形面积公式: 椭圆上除长轴端点外任意一点与两个焦点F1, F2构成的三角形PF1F2叫焦点三角形, 且 1. 通径: 若过椭圆 的其中一个焦点垂直于焦点所在坐标轴的直线与椭圆交于P, Q两点, 则| PQ|叫做椭圆的通径, 且 几个常用结论: 3. 弦长公式: 若直线 与椭圆 交于A(x1, y1), B(x2, y2)两点, 则 4. 中点弦斜率公式: 若直线 与椭圆 交于A(x1, y1), B(x2, y2)两点, 且AB的中点为M(x0, y0), 则 证明: 说明:|PF1|, |PF2|称为椭圆的焦半径,此公式称为焦半径公式 . 焦半径公式: y x F2 F1 O P • • • 焦半径公式: y x F2 F1 O P • • • y x F2 F1 O M • • • 巩固训练 (高考题)把椭圆 的长轴AB分成8等分, 过每个分点作x轴的垂线, 交椭圆的上半部于P1、P2、... P7七个点, F是椭圆的一个焦点, 则 |P1F| + |P2F| + + |P7F| = _. O x y F • P1 B • • • • • • • A P2 P3 P4 P6 P5 P7 35 解1: 解2: F′ • 思维挑战题: 试确定实数 的取值范围,使得椭圆 上存在关于直线 对称的点. $