3.1.1椭圆及其标准方程 课件-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦椭圆及其标准方程，从圆锥曲线的实际应用导入，通过动手实验回顾圆的定义，引导学生探究椭圆的几何特征，建立新旧知识联系，为后续方程推导搭建学习支架。 其亮点在于以数学眼光观察椭圆的形成过程，通过细绳实验和动态演示培养学生探究意识，结合数学思维进行方程严谨推导和多解法例题分析，用表格小结对比焦点位置强化数学语言表达。学生能提升逻辑推理和应用能力，教师可借助系统例题和练习优化教学流程。

第三章 圆锥曲线的方程 1 什么是圆锥曲线 我们知道，用一个垂直于圆锥的轴的平面截圆锥，截口曲线(截面与圆锥侧面的交线)是 一个圆.如果改变圆锥的轴与截平面所成的角，那么会得到怎样的曲线呢?如图，用一个不垂直于圆锥的轴的平面截圆锥，当圆锥的轴与截面所成的角不同时，可以得到不同的截口曲线，它们分别是椭圆、抛物线和双曲线.我们通常把椭圆、抛物线、双曲线统称为圆锥曲线(conic sections). 新课导入 椭圆 抛物线 双曲线 圆 2 圆锥曲线与科研、生产以及人类生活有着紧密的关系.如行星绕太阳运行的轨道是椭圆，发电厂冷却塔的外形线是双曲线，探照灯反射镜面、卫星接收天线是抛物线绕其对称轴旋转所成的抛物面....为什么圆锥曲线有如此广泛的应用呢?我们可以从它们的几何特征及其性质中找到答案. 新课导入 4 圆锥曲线的发现与研究始于古希腊。当时人们用纯几何的方法研究这些与圆密切相关的曲线，它们的几何性质是圆的几何性质的自然推广。17世纪，笛卡尔发明了坐标系，人们开始借助坐标系，运用代数的方法研究圆锥曲线。 本章我们继续采用坐标法，在研究圆锥曲线几何特征的基础上，建立它们的方程，通过方程研究它们的性质，并解决与圆锥曲线有关的几何问题与实际问题。进一步感受数形结合的思想方法，体会坐标法的魅力与威力。 5 1 3.1.1椭圆及其标准方程 6 1.了解椭圆的实际背景，感受椭圆在刻画现实世界和解决 实际问题中的作用．（重点） 2．掌握椭圆的定义，会求椭圆的标准方程.（重点、难点） 新知探究一：椭圆的定义 椭圆是圆锥曲线的一种，具有丰富的几何性质，在科研、生产和人类生活中具有广泛的应用，那么，椭圆到底有怎样的几何特征? 我们该如何利用这些特征建立椭圆的方程，从而为研究椭圆的几何性质奠定基础? 复习回顾：圆的几何特征是什么？我们是如何利用圆的几何特征建立圆的方程的？ 通过建立坐标系，将以上几何特征用坐标表示出来，化简即可得到圆的方程（建设现（限）代化） 下面我们先来探究椭圆的几何特征 你能动手画一个标准的椭圆吗？ r M A • • |AM|=r O x y 8 探究实践 取一条定长的细绳，把它的两端都固定在图板的同一点，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖(动点）画出的轨迹是一个圆．如果把细绳的两端拉开一段距离，分别固定在图板的两点，，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是什么曲线？ 观察：在这一过程中，移动的笔尖（动点）满足的几何条件是什么？ 移动的笔尖M(动点)到固定在图板上的两定点F1, F2的距离之和等于常数（绳长）, 并且这个常数大于两定点间的距离，即 |MF1|+ |MF2|=常数（绳长） 9 平面内与两个定点F1, F2的距离的和等于常数(大于|F1F2 |) 的点的轨迹叫椭圆. 这两个定点F1, F2叫做椭圆的焦点，两焦点之间的距离| F1F2|叫做椭圆的焦距. 焦距的一半称为半焦距. 1. 椭圆的定义: 动点M的轨迹是线段F1F2 ； 动点M的轨迹不存在 . F1 F2 M • • 下面我们根据椭圆的几何特征, 选择适当的坐标系, 建立椭圆的方程. 思考1：为什么定义中要规定常数大于|F1F2|？ 当定义中常数=|F1F2| 时，其轨迹为什么？ 当定义中常数<|F1F2| 时，其轨迹为什么？ |MF1|+ |MF2|=常数（绳长） 设 F1，F2 为定点，|F1F2|＝8，动点 M 满足|MF1| ＋|MF2| ＝8，则动点 M 的轨迹是( ) A．椭圆 B．线段 C．射线 D．不存在 【深化概念】 B 建立平面直角坐标系通常遵循的原则：对称、“简洁” O x y M F1 F2 方案一 F1 F2 方案二 O x y M 新知探究二：求椭圆的标准方程 思考2：观察椭圆的形状，你认为怎样建立坐标系可能使所得的椭圆方程形式简单？ 新知探究二：求椭圆的标准方程 (1)建系设点: (2)写出限制条件: (3)坐标代入: (4)化简方程: 思考3:求椭圆方程的步骤是什么?(以方案一为例) O x y F1 F2 M 方案一 以F1F2所在直线为x轴，F1F2的中点为原点建立平面直角坐标系， 设M(x,y)为所求轨迹上的任意一点，点M与焦点F1、F2的距离的和为2a(a>0) 设椭圆的焦距为2c(c>0) ，则焦点F1、F2的坐标分别为(-c,0)、(c,0), P= {M | | MF1 | + |MF2 | =2a}. 下面怎样化简？ 两边除以 得 两边再平方，得 整理得 将①式移项 平方 整理得 += ① x y O M a c 思考4: 椭圆方程的推导 概念生成 叫做椭圆的标准方程. 思考5: 如果焦点F1(0，-c)、F2在y轴上，且F1、F2的坐标分别为(0，-c)、F2(0，c)，a,b的意义同上，那么椭圆的方程是什么？ 16 两边除以 得 两边再平方，得 整理得 将①式移项 平方 整理得 += ① y (0,c) (0,-c) (x,y) y x x x x x x x x x x y y y y y y y y x y O x y M F1 F2 y y y y x y 这个方程也是椭圆的标准方程 。 椭圆的标准方程 所以得到焦点在y轴上的椭圆方程为： 思 新知讲解 思考6:以上的两种标准方程有怎样的特征？ (1)焦点在x轴上： (2)焦点在y轴上： F1 F2 x y P F1 F2 0 x y 1.方程特征：都表示焦点在坐标轴上，中心在坐标原点的椭圆；方程的左边是平方和，右边是1. 19 概念巩固： 1.（1）已知椭圆的方程为： 则 a=___，b=___，c=____，焦点坐标_________________， 焦距等于____. (2)已知椭圆的方程为： 则 a=___，b=___，c=____，焦点坐标________________， 焦距等于____. 5 4 3 6 (-3,0)、(3,0) 4 3 新知探究 探究三：求椭圆的标准方程 21 例1 已知椭圆的两个焦点坐标分别是(-2,0), (2,0), 并且经过点 .求它的标准方程. 解:因为椭圆的焦点在x轴上,所以设它的标准方程为 由椭圆的定义知 又因为 ,所以 因此, 所求椭圆的标准方程为 所以 能用其他方法求它的方程吗？ 另解:因为椭圆的焦点在x轴上,所以设它 的标准方程为: ① ② 联立①②, 因此, 所求椭圆的标准方程为: 又∵焦点的坐标为 【方法说明】 (3) 求椭圆的标准方程，要先定“位”， 1. 求椭圆标准方程的主要方法有： a, b, c 满足的关系有： 根据焦点位置设方程，代入计算出待定字母的值. 用定义求出a、b、c的值，进而求出方程； (1) 定义法： (2) 待定系数法： 待定系数法更为常用，是解此类问题的通法. 即求 a, b 的大小 . 即确定焦点的位置； 其次是定“量”， 例2 如图，在圆上任取一点P，过点作轴的垂线段，为垂足.当点P在圆上运动时，线段的中点的轨迹是什么？为什么？ 所以点M的轨迹是椭圆. 相关点代入法 25 思考5:由例2我们发现，可以由圆通过“压缩”得到椭圆．你能由圆通过“拉伸”得到椭圆吗？如何“拉伸”？由此你能发现椭圆与圆之间的关系吗？ 26 随堂练习 例3 如图 ，设A，B两点的坐标分别为(5，0)，(5，0)直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积是，求点M的轨迹方程. 直接法 27 例4.求与圆(x＋3)2＋y2=4外切, 且与圆(x－3)2＋y2=100内切的动圆圆心的轨迹方程． 解： 故动圆圆心的轨迹方程为 设动圆的圆心为M(x, y), 半径为r, 它与已知圆O1, O2切于Q, P 两点, 则 y x O1 O2 P M Q O 定义法 方法总结： 求动点轨迹方程的常用方法： （1）相关点代入法：找到所求动点与已知动点的关系，带入已知 动点所在方程； （2）直接法：直接根据题目提供的条件列出方程； （3）定义法：如果由已知条件得出动点的轨迹符合某种曲线的定义，则可以直接写出动点的轨迹方程。 14 y O F1 F2 x A B (1)由题意 故△AF1B的周长为： (2) 如果AB不垂直于x轴，△AF1B的周长不会有变化. 仍然成立. 解： • • ∴△AF1B的周长为： =20 4. 已知A, B两点的坐标分别是(－1,0), (1,0), 直线AM, BM相交于点M, 且直线AM的斜率与直线BM的斜率的商是2, 点M的轨迹是什么? 为什么? 解：设点M的坐标为(x, y), 由已知, 得 直线AM的斜率为 直线BM的斜率为 5. 当椭圆的焦点在x轴上时,设它的标准方程为 将P、Q两点的坐标带入得： 当椭圆的焦点在x轴上时,设它的标准方程为 将P、Q两点的坐标带入得： 又因为a>b>0, 舍去 综上， 巩固训练1. 解2： y O F1 F2 P x 解1： 由已知可得， 巩固训练2 y O F1 F2 P x 解2： y O F1 F2 P x 解得 证明： 椭圆的焦点三角形面积公式： 解： 【巩固训练1】 【巩固训练2】 3 解： 定义 焦点位置 图形 方程 特点 共同点 不同点 F1 F2 M • • x y O F1 F2 M • • x y O 焦点在x轴上 焦点在y轴上 Lavf58.46.101 HandBrake 1.5.1 2022011000 6 （0，-3），（0，+3） $