学案26 椭圆及其标准方程-【智学校本学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册（人教A版）

椭圆及其标准方程学案26 第三章圆锥曲线的方程 听 学案26椭圆及其标准方程 记 昆学习任务 1.理解椭圆的定义及椭圆的标准方程，（数学抽象） 2.掌提用定义和待定系数法求椭圆的标准方程.（数学运算） 今课堂活动 3.已知P,Q为椭圆上两点且F:,F2为椭圆的两 个焦点，当PF,|=4时，|PF,=8.求Q在运 活动一理解椭圆的定义 动过程中，|QF,I·QF,I的最大值. 词新知导学 阅读教材第105,106页，完成下列问题. 问题1教材椭圆的定义中规定了常数大于 |F,F,,只有满足此条件才是椭圆，若平面内 与两个定点F1,F:的距离的和等于|F:F2 时，点的轨迹是什么？ 「方法总结」(1)判定点的轨迹是否为椭圆，关： 键是看是否符合椭圆的定义. (2)椭圆上所有的点一定满足定义的条件（即到两 焦点的距离之和为常数)，可用作性质运用， 问题2若平面内与两个定点F:,F,的距离的和 活动二求椭圆的标准方程 小于F,F:时，点的轨迹存在吗？ 洞新知导学 阅读教材第105,106,107页，完成下列问题. 问题3在教材所给出的两种椭圆标准方程中， 新知生成 如何区分椭圆焦点的位置？ 把平面内与两个定点F:,F,的距离的和等于 的点的轨迹叫做椭圆，这两个 定点叫做椭圆的 叫 做椭圆的焦距，焦距的 称为半焦距。 仓新知应用 新知生成 1.平面内到点A(0,一3)和B(3,1)距离的和为6 的动点轨迹为 ( ) 焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 A.椭圆B.圆 C.线段 D.射线 2.到点(0，一4)和(0,4)距离之和为8的点的轨迹 标准方程 b =1( 为 771■ 人教A版数学选择性必修第一册 续表 活动三椭圆定义的综合应用 课 今新知应用 记 图形 1精圆高+希1上一点P到它的-个级点的 距离等于4，则点P到另一个焦点的距离等于 焦点坐标 () a,b.c A.2 B.6 C.8 D.16 的关系 ,2.设点P为椭圆C:。大山 4=1(a>2)上一点， 今新知应用 F1,F,分别为C的左、右焦点，且∠F,PF2= 1.平面内点P到F1(-3,0),F,(3,0)的距离之 60°，则△PF1F2的面积为 () 和是10，则动点P的轨迹方程是 ( 22 A.4√3 B.23 C③ 3 D23 3 c若+ 母题变式：)在第1题中，椭圆千石一1阿 =1 =1 左、右焦点分别为F,F2,点P在椭圆上，则 2.经过A2,),B巨，）两点且焦点在x轴 △PF,F2的周长为 上的椭圆的标准方程为 3.已知椭圆的两个焦点的坐标分别是(0，一2)， 2)已知R,R,是椭周C,号+芳=1 (0,2),并且椭圆经过点（←号，》，求它的标准 35 (a>b>0)的两个焦点，P为椭圆C上一点，且 方程， ∠F,PF:=行，若△PF,R的面积为9尽，则 b= 「方法总结」椭圆定义的应用技巧 (1)椭圆的定义能够对椭圆上的点到焦点的距离 进行转化 (2)椭圆上一点P与椭圆的两个焦点F1,F,构成 的△PF,F,称为焦点三角形，可以利用椭圆的定 义，结合正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式 等知识求解。 (3)若椭圆中焦点三角形的顶角∠F,PF,=0,则 ·「方法总结」确定椭圆标准方程的方法 焦点三角形的面积S=btan2 (1)“定位”：确定与坐标系的相对位显，在中心为 原点的前提下，确定焦点位于哪条坐标轴上，以判 课堂小结 断方程的形式. 定义 应用 (2)“定量”：确定a2,b2的具体数值，常根据条件 、 椭圆及其 标准方程 !列方程（组）求解. 标准方程 1178 椭圆及其标准方程学案26 课堂达标 7.已知点A(0,2),B(0,一2)，动点P满足直线 听 PA与PB的斜率之积为一2，则点P的轨迹方 1.已知椭圆后+苦-1上有一点P到右熊点的 程为 笔 距离为4，则点P到左焦点的距离为() 8已知FR,分别为椭圆后+-1的左，有焦 A.6 B.3 C.4 D.2 点，P为椭圆上一点且|PF,|=2PF:,则 2.焦点在x轴上，中心为坐标原点，经过点 △PFFg的面积为 (1,》,0,-).则椭圆的标准方程为 9.求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)a=3,c=√7，焦点在y轴上： +号 （2②与椭圆写+y=1有相同的焦点，且经过 n号+- 点1，) 3.已知△ABC的周长为12，且BC|=4,则 △ABC的顶点A的轨迹为 ( A.椭圆B.直线C.圆 D.线段 4.椭圆的两个焦点的坐标分别是（一4,0）和 (4,0),椭圆上的点M到两个焦点的距离之和 等于10，则椭圆的标准方程是 () 10.已知两定点F1(一1,0)，F,(1,0),动点P满 +号- 足PF,|+|PF,|=2|F,F2. (1)求点P的轨迹方程； 22 (2)若∠FPF,=60°，求△PF1F:的面积. 5.已知F,E,是椭圆C:6+21的两个焦 点，点P在C上，且|PF|=3,则△PFFz的 面积为 () A.3 B.4 C.6 D.10 6.若椭圆C:g+ 6 =1的两个焦点为F1,F2,点 P在椭圆C上，且PF:|=2,则∠F,PFz= ( A B C. 后反思 提示请完成《分层作业（二十）》 791当AB为所求国的直径时，圆的面积最小， AB的中点为(-2,1)， |AB|=/(-4-0)+(0-2)=25, 则所求图的方程为(x+2)+(y一1)=5. 第三章圆锥曲线的方程 学案26椭圆及其标准方程 课堂活动 活动一理解椭圈的定义 新知导学 问题1提示：线段 问题2提示：不存在。 新知生成 常数（大于F:F:)焦点两焦点间的距离一半 新知应用 1.A[设动点为M,则IMA1十[MB=6, |AB|=√32+4F=5. ,6>5,∴，动点M的轨速为椭圆.] 2.线段[国为动点到两定点距离的和为定值8，等于两定点间 的距离，故为线段.门 3.解：由题充QF1+{QFg|=|PF,+1PF:1=4+8=12, 由卷本不等式得1QF,1·QF,≤(QF+|QF)'= 2 (号)°=36. 当且仅当|QF,=QF:|■6时，等号成立， 故|QF,|·|QF,|的最大值为36. 活动二求椭圆的标准方程 新知导学 问题3提示：x项和y2项谁的分母大，焦点就在对应的坐标 轴上 新知生成 a>b>0a>b>0F1(-c,0),F2(e,0)F1(0,-c),F2(0,c) a-c 新知应用 1.B[由题意，平面内点P到F,(一3,0)，F,(3,0)的距离之 和是10， .动点P的轨证E为椭圆，焦点在x轴上，c=3,2a=10 解得a=5, b2-a2-c2-16, y 六动底P的航选方程为2污十61.故选B] 、之工+七y二1上设猫国方程为十石一1(a>6一0)， 2 2 b =1, 代入两点得 解得a2=8,b=1. (2) 2 =1, b 故模国的标准方程为写+y=1.门 3.解：因为椭国的焦点在y轴上， 所以使它的排准方程为号+后-1>6>0》。 由辅圆的定义知， 2a=√-)+(g+2)+√(-)+(-2) 138 =2/10,即a=10, 又c=2,所以b2=a2-e2=6, 所以所案精周的标准方程为品+后-1 活动三椭圆定义的综合应用 新知应用 1.D[由题意知a2=100,所以a=10, 由椭圆的定义可得|PF,十|PF:一2a=20, 又|PF,1=4,所以|PF:|=16, 即点P到另一个焦点的距离是16.] 2.C[|PF,|=s,lPF:|=t, 根据拥圆的定义以及余弦定理得， |s十t=2a, (2c)2=4c2=4(a'-4)=s3+2-2st·cos60°， 基理得一号中PE,P,-5 所以△P原，的语银为宁×号×血6的-4】 母题变式：(1)36[由题意得a=10,c=8,|FF2|=2c-16, 由椭图定义得1PF1|+|PF:|=2a=20, 故△PF,F:的周长为|PF,|+|PF,|+|F,F:|-20+16 =36.] (2)3[法-：设|PF,|=m,|PF,|=n, 剥m十n=2a, (2e)-m+2mnc0s m-mn.mn. 又名m血警-9月六2×号-9后，解得6-2 法二：由焦点三角形西积公式得S△，P,=btan2 -6an吾-95e6=3.] 课堂达标 1D【由满国号+号1，得。=9，中a=3设在么点为R 右焦点为F: 则1PF,1+PF:|=2a=6,周为PF:=4, 所以|PF,=2,即，点P到左焦点的距离为2.] 2,A〔由于辚国焦底在工轴上，设椭圆的标准方程为若十 1 =1a>b>0),代入两点得。十6 =1, (-3)2 6 =1, 解得。=2，b=5,所以精的桥准方程为4十三1 故选A,] 3.A[由题意可得|BA|+|AC|=12-4=8>|BC|=4, 故A的轨迹满是拥圆的定义，A在以B,C为焦点，去抨与 B,C共线的两个点的椭围上。故远A.] 4.C[由辅国定义可知，2a=10,得a=5, 又描圆的两个焦点的坐标分别是（一4,0）和(4,0)， 所以辅圆焦，点在x轴上，且c=4, 所以b2=a2-c2=25-16=9, 所以：所表精国的标谁方在为雾+苦-1] 5.C[由辅图定义可得|PF1|+|PF:|■2a■8， 故|PF,=8-3=5, 又|F:F,|=2c=2√16-12=4， 则|PF,=|PF:|3+|F1F2|, 即△PF,F,为直角三角形，∠PF:F:=90° 故So听，-B,RPF,-合×4x8-6] 6.B[由题意得a=3,c=5,则|PF:|=4, 在△F,PF:中，由余孩定理的推论可得 2+4-(23)21 cos∠F1PF,= 2×2×4 =2 又∠F,PF,∈0，，所以∠FPF,=号] 2苦+号-140[tP=2. rg=十2 x≠0， 因为k1·质8=-2，啊y二2×十2--2. 教理得十 +2=1， 所以点P的轨连方整为号+号-1G0.门 2压[由箱周后+若-1可知g=3E6-而， c=√18-10=22， 故|PF,|+|PF:|=2a=6vE,结合|PF,|=2|PF,I 可得|PF:|=42,|PF:|=22,而|F1F|=2c=42, 故△PF:F,为等腰三角形， 共面教为号×2EX√aW2P-2=2V压.] 9.解：(1)焦点在y轴上，由a=3,c=V7,可得62=a-c3=2 、故圆的桥雅方程为号十一工、 (②满国号+y=1的线点生标为（士1.0， 则所求椭国的焦点坐标也为（士1,0）， 设其方程为十行一1，则“一际二1， 又满国楼址(，)此宁十品=1联立-时= 解得a=4,b=3, 的标准方为+号1 10.解：(D依题意如|FF|=2, IPF:+PF:I=21FF:1=4, 点P的轨迹是焦，点在x轴上的椭圆，且2a=4,2c=2, .a=2,c=1,b=√3. 武点P的软莲方粒为后+号1 (2)设|PF,=m,PF:=n,别m十n=2a=4 在△PF:F2中，由余弦定理得 |F,F,|2=m1十n2-2 nncos∠F1PF:, ∴.4=(m十n)2-2mm(1十cos60°)，解得mn=4. Sa,=2 nsin∠F,PF,=zmni60'=尽. 学案27椭圆的简单几何性质 课堂活动 活动一掌握椭圆的简单几何性质 新知导学 问题提示：范国：一a≤x≤a,一b≤y≤b: 对称性：对称轴为工轴，y轴，对称中心为原点： 顶点：A(-a,0),A2(a,0),B,(0,-b),B2(0,b) 新知生成 1.a>b>0a>b>0-a≤x≤a,-b≤y≤b-b≤x≤b, -a≤y≤aA,(-a,0),A:(a,0),B1(0,-b),B2(0,b) A1(0,-a),A:(0,a),B1(-b,0),B2(b,0)2b2a 2 e 新知应用 1.ABD[由椭周方程知a=3,b=2,c=√5，故长轴长为6，短 轴长为4，焦距为25，离心率为5.所以A,B,D正确，C 错误，] 2.解：因为m>0,椭圆的焦点在y轴上且a2=2(m十3)， 62=2, 人国为：号可得01--12可-子 2 解得m=1, 所以机周方复为管+号-1，可得a=2,26=反， 别cma-b=√6， 所以精圆的长轴长为2=4区，焦点坐标为(0，士√6). 活动二掌握由椭圆几何性质求方程的方法 新知应用 1.C[当椭图的焦点在x轴上时，长半轴长为3，则短平仙长为 1所以着国的帮准方框为号+y-1 当椭圈的焦点在y轴上时，短丰轴长为3，则长半轴长为9， 所以桃圈的标准方程为十之 98十9=1， 所以样周的标准方程为后+y-1k荷+号-1门 2.D[当剂司的焦点在x袖上时， 爱铺国的方程为怎+卡1a>>0), 由商心率为宁可得6=a2-=号 1 :椭图过点(2,0)a=2,b=5, 六横国的标准方程为女十义 有+3=1 网理，当描圈的焦成在y轴上时，6=2，a=4 3 可得精圈的稀准方机为关+三 6+=1.] 活动三掌握求椭圈离心率的一般方法 新知应用 1.C[由题意得2b=2→b=1,2c=25→c=3, 所以a=VB+2=2,所以离心率为二-号故选C.] 2.D[因为P是C上的点，且PF:⊥F,F:∠PF:F:=30, 所以1PF,-1R,E,-2。 3c, 391