2.5.2 圆与圆的位置关系 课件-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦圆与圆的位置关系，系统讲解外离、外切、相交、内切、内含五种类型，通过复习回顾旧知，类比直线与圆位置关系的判断方法，引出代数法和几何法，结合思考问题与例题搭建学习支架，帮助学生构建知识脉络。 其亮点在于以问题驱动探究，通过思考Δ=0时内切外切的区分等问题培养数学思维，规范推导公共弦方程和圆系方程强化数学语言表达。采用例题分层训练和方法对比总结，学生能提升逻辑推理与问题解决能力，教师可借助结构化内容高效开展教学。

2.5.2 圆与圆的位置关系 1.理解圆与圆的位置的种类； 2.能根据给定圆的方程，判断两圆的位置关系；（重点）； 3.能综合应用圆与圆的位置关系解决问题。（难点） 复习回顾： 圆与圆有几种不同的位置系？ 圆与圆的位置关系有五种： 外离、外切、相交、内切、内含. 外离 外切 相交 内切 内含 圆与圆的位置关系 (1) 两圆相交，有两个公共点； (2) 两圆相切，包括外切与内切，只有一个公共点； (3) 两圆相离，包括外离与内含，没有公共点. 1. 按位置分有5种： 相离、外切、相交、内切、内含. 2. 按公共点个数分有3种： 相离、相交、相切. 外离 外切 相交 内切 内含 1. 代数法： 利用圆的方程判断圆与圆位置关系： 联立 方程组有两组不同实数解 两圆相交 方程组有一组实数解 两圆相切（包括外切与内切） 方程组没有实数解 两圆相离（包括外离与内含） 思考1 类比运用直线和圆的方程，研究直线与圆的位置关系的方法，如何利用圆的方程，判断它们之间的位置关系? 由两个圆的方程 消去y或x，得关于x或y的一元二次方程. （1）Δ=0 （2）Δ<0 （3）Δ>0 (1) 圆和圆外离 (2) 圆和圆外切 (3) 圆和圆相交 (4) 圆和圆内切 (5) 圆和圆内含 2. 几何法： 设圆C1的半径为r1，圆C2的半径为r2，圆心距d，则 例5 解法1: 将圆C1与圆C2的方程联立，得到方程组 ①-②，得 联立①③，消去y，可得 方程④的根的判别式△>0，所以，方程④有两个不相等的实数根x1，x2. 把x1，x2分别代人方程③，得到y1，y2. 因此圆C1与圆C2有两个公共点A(x1，y1)，B(x2，y2)，这两个圆相交. 说明：本题只要判断两圆 是否有公共点，并不需要 求出公共点的坐标，因此 不必解方程④，具体求出 两根。 例5 解法2: 把圆C1与圆C2的方程分别化成标准方程，得 ∴圆C1与圆C2相交. 思考2 在解法1中，如果两圆方程联立消元后得到的方程的∆＝0，它说明什么?你能据此确定两圆是内切还是外切吗? 如何判断两圆是内切还是外切呢? 当∆<0时，两圆是什么位置关系? 当∆＝0时, 方程组只有一组解, 此时两圆相切, 但不能确定两圆是内切还是外切. 要判断两圆是内切还是外切, 则需看圆心位置, 若较小圆的圆心在另一个圆内, 则两圆内切；否则, 两圆外切. 或者用几何法直接比较圆心距与两圆半径和或差的大小, 若圆心距等于两圆半径和, 则两圆外切, 圆心距等于两圆半径差的绝对值, 则两圆内切. 当∆< 0时, 方程组没有解, 此时两圆相离，但不能确定两圆是外离还是内含. 要判断两圆是外离还是内含, 同样需看圆心位置, 若较小圆的圆心在另一个圆内, 则两圆内含; 否则, 两圆外离. 或者用几何法直接比较圆心距与两圆半径和或差的大小, 若圆心距大于两圆半径和, 则两圆外离, 圆心距小于两圆半径差的绝对值, 则两圆内含. 两种方法的优缺点 几何方法直观，但不能求出交点； 代数方法能求出交点，但Δ=0，Δ<0 时，不能判断圆的确切的位置关系。 探究：在上面例5中，我们已经知道 圆 与圆 相交于A,B两点， 如何求公共弦的方程？ . . A B x y 0 例5 解法1: 将圆C1与圆C2的方程联立，得到方程组 ①-②，得 联立①③，消去y，可得 , 所以A(3,-1) , B(-1,1) 即x+2y-1=0 你发现了什么？ 已知圆 与圆 相交于A,B两点， 由以上探究你能得出求两圆公共弦方程的简便求法吗？ 你的结论是什么？可以证明你的结论吗？ 同理可得 由③④可知 一定在直线 又因为通过两点的直线只有一条，即直线方程唯一， 故公共弦的方程为 那么 证明： 2. 若两圆相切(内切或外切), 则公切线所在直线方程为 总结提升：一般地，已知两圆 1. 若两圆相交， 则公共弦所在直线方程为 类比以上证明过程，你能证明以下结论吗？ 已知圆C1：x2+y2－10x－10y=0和圆C2：x2+y2+6x+2y－40=0相交于A、B 两点，求公共弦AB的方程和公共弦AB的长. 解法一：由两圆的方程相减，消去二次项得到 一个二元一次方程，此方程为4x+3y=10. 即为公共弦AB 所在的直线方程， 由 【巩固训练1】 解得 或 所以两点的坐标是A(－2,6)，B(4,－2)，或A（4，-2）， B（-2,6）， 故|AB|= 圆C1的圆心C1(5，5 )，半径r1= ， 则圆心C1到直线4x+3y=10的距离为： 所以|AB|= 解法二：先求出公共弦所在直线的方程：4x+3y=10. 公共弦长的求法: 1. 代数法： 将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长． 2. 几何法： 求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，根据勾股定理求解． 例6 已知圆O的直径AB＝4，动点M与点A的距离是它与点B的距离的 倍. 试探究点M的轨迹，并判断该轨迹与圆O的位置关系. • P • M x y O • A B 解: 如图示，以线段AB的中点O为原点,AB所在直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系. 由AB=4，得A(一2, 0)，B(2, 0). 因为两圆的圆心距为|PO| =6，两圆的半 径分别为r1=2，r2= ，又r2-r1< |PO| < r2+r1 ， 所以点M的轨迹与圆O相交. 所以点M的轨迹是以P(6, 0)为圆心，半 径为 的一个圆. 解: 把圆C2方程化成标准方程，得 ∴圆C1与圆C2外切. 解法1: 把圆C1与圆C2的方程分别化成标准方程，得 ∴圆C1与圆C2相交. 把圆C1与圆C2的方程相减，得 ∴圆C1与圆C2的公共弦所在直线的方程为 第二课时 直线系方程和圆系方程 l1 M l2 （课本80页第16题） 解：由 3x+4y-2=0 2x+y+2=0 得 x=-2 y=2 l1 M l2 λ=0时，方程为：3x+4y-2=0 λ=1时，方程为：5x+5y=0 λ=-1时，方程为：x+3y-4=0 我们来取特殊值验证一下： （课本80页第16题） 是过直线A1x+B1y+C1=0和直线A2x+B2y+C2=0 共点直线系方程： 的交点的直线系方程(不含第二条直线）. 一般地，方程 2. 过两圆交点的圆系方程： 圆系方程： 说明：当λ＝－1时, 方程表示两圆的公共弦所在直线方程, 即 +C=0 与圆 的交点的圆系方程为 ： +=0 特别地，当直线与圆相切与点P时，上述方程表示与直线都相切与点P的圆。 【教材98页·7】 解1： 【教材98页·7】 解2： 【教材98页·8】 解1： 【教材98页·8】 解2： O • x y A l B C(-1,2) 得直线与圆的交点坐标为 故所求圆方程为： 解1： 【巩固训练2】 【巩固训练2】 设所求圆的方程为 解2： 故面积最小的圆的方程： $