2.5.1直线与圆的位置关系 课件-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦直线与圆的位置关系，系统涵盖位置关系判断（代数法、几何法）、切线方程求解、弦长计算及实际应用。课堂导入先复习初中几何位置关系，类比直线方程研究方法，搭建从几何直观到代数运算的学习支架，衔接前后知识。 其亮点在于通过代数法与几何法对比（如例1联立方程与圆心距判断），培养数学思维的严谨推理。结合圆拱桥支柱高度、轮船触礁等实例（例3、4），引导学生用数学眼光观察现实问题，用坐标法（数学语言）构建模型解决问题。总结提炼方法步骤（如求切线分点在圆上圆外讨论），帮助学生形成结构化知识。学生能提升逻辑推理与应用能力，教师可借助分层练习和清晰思路提高教学效率。

2.5 直线与圆、圆与圆的位置关系 前面我们学习了直线的方程和圆的两种类型的方程。 我们知道利用直线的方程可以研究两条直线的位置关系. 本节我们将类比用直线方程研究两条直线位置关系的方法， 进一步学习如何利用直线和圆的方程，通过定量计算研究直线与圆、圆与圆的位置关系. 2.5.1 直线与圆的位置关系 1.理解并掌握直线与圆的位置关系的两种判断方法；（重点） 2.会求过一个定点的圆的切线方程；（重点） 3.当直线与圆相交时，会求直线被圆截得的弦长；（重点） 4.掌握直线和圆的方程在实际生活中的应用．（难点） 复习回顾：初中学过的平面几何中，直线与圆有哪几种位置关系？ 相交 相切 相离 （1） （3） （2） 课堂探究 怎样判断直线与圆的位置关系？ 你能利用直线和圆的方程来判断直线和圆的位置关系吗？ 先来看一个具体的例子. (有两个公共点） (有一个公共点） (没有公共点） 例1 已知直线l: 3x＋y－6＝0和圆心为C的圆x2＋y2－2y－4＝0, 判断直线l与圆C的位置关系; 如果相交, 求直线l被圆C所截得的弦长. 解1:(代数法) 判断直线与圆位置关系的方法： (1) 代数法： ① △＞0 消去y(或x), 得到关于x(或y)的一元二次方程. 利用一元二次方程的判别式△确定解的情况, 判断直线与圆位置关系： 直线l与圆C相交； 方程有两不等实根 ② △＝0 直线l与圆C相切； 方程有两个相等实根 ③ △＜0 直线l与圆C相离. 方程无实数根 在平面直角坐标系中, 要判断直线l: Ax+By+C=0与圆C: x2+y2+Dx+Ey+F=0的位置关系, 可以联立它们的方程, 通过方程组 若相交, 可以由方程组(1)解得两交点坐标利用两点间的距离公式求得弦长. 例1 已知直线l: 3x＋y－6＝0和圆心为C的圆x2＋y2－2y－4＝0, 判断直线l与圆C的位置关系; 如果相交, 求直线l被圆C所截得的弦长. 解2:(几何法) x O y 6 2 1 B A d l C • ③ d＞r 已知直线l: Ax+By+C=0, 圆C: (x－a)2 + (y－b)2=r2. 设圆心C到直线l的距离为d，则有 ① d＜r 直线l与圆C相交； ② d＝r 直线l与圆C相切； 直线l与圆C相离. 判断直线与圆位置关系的方法： (2) 几何法： 根据圆的方程求得圆心坐标与半径r, 从而求得圆心到直线的距离d, 通过比较d与r的大小, 判断直线与圆的位置关系. 若相交, 则可利用勾股定理求得弦长. x y O A B d C 若直线l与圆C相交, 则弦长公式为 r 9 直线与圆相交时弦长的两种求法： (2)代数法：将直线方程与圆的方程联立，设直线与圆的两交点分别是A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 (1)几何法：如图示，直线l与圆C交于A，B两点，设弦心距为d，圆的半径为r，弦长为|AB|，则有 其中k为直线l的斜率, a是方程组消元后的二次方程的二次项系数, ∆是判别式. • x O y l C d A B r 例2 过点P(2, 1)作圆O: x2＋y2＝1的切线l, 求切线l的方程. 解1:(几何法) • -1 x O y 1 1 2 • P(2,1) r 例2 过点P(2, 1)作圆O: x2＋y2＝1的切线l, 求切线l的方程. 解2:(代数法) • -1 x O y 1 1 2 • P(2,1) r 变式： 过点P(1, 2)作圆O: x2＋y2＝1的切线l, 求切线l的方程. • -1 x O y 1 1 2 • P(1,2) r 解：当过点P的直线斜率不存在时，其方程为x=1,易知圆心到此直线的距离等于半径，所以直线x=1为圆的一条切线 当过点P的直线斜率存在时，设其方程为y-2=k(x-1) 即kx-y-k+2=0 综上，所求切线方程为x=1或3x-4y+5=0 巩固训练1： 1. 过点P(3,－1)与圆C: (x－4)2+(y－2)2=1相切的 切线方程为_________________. x=3或4x-3y-15=0 2. 过点P(1, 3)与圆C: (x－4)2＋(y－2)2＝10相切的 切线方程为____________. 3x－y＝0 • x O y • P(3,-1) C(4,2) • x O y C(4,2) P(3,-1) (1)求过已知点的圆的切线的方法 ①如果已知点在圆上，那么圆心和已知点的连线和切线垂直，从而求得切线的斜率，用直线的点斜式方程可求得切线方程． ②如果已知点在圆外，过这点的切线将有两条，但在设斜率解题时要先判定斜率是否存在，否则可能会漏解.　 总结： 过圆(x－a)2＋ (y－b)2＝r2上一点M(x0 , y0)的切线方程： 补充结论： P(x, y) y x O C(a, b) 特别地，过圆x2＋y2＝r2上点M(x0 , y0)的切线方程： P(x, y) y x O 1. 判断下列各组直线l与圆C的位置关系, 如果相交, 求直线l被圆C所截得的弦长. 解:(1) 2. 已知直线4x＋3y－35＝0与圆心在原点的圆C相切, 求圆C的方程. 3. 判断直线2x－y＋2＝0与圆(x－1)2＋(y－2)2＝4的位置关系；如果相交，求直线被圆截得的弦长. 求圆心坐标及半径r（配方法） 圆心到直线的距离d （点到直线距离公式） 消去y（或x） 几何方法 代数方法 复习回顾：判断直线和圆的位置关系 |AB| 解得： 所以，圆的方程为： 点P（0,4），B（10,0）在圆上，所以，有 把 的横坐标 代入 圆的方程得： 由题可知y＞0，解得：y≈3.86(m) 答：支柱A2P2的高度约为3.86米。 那么圆的方程为：x2＋（y－b）2＝r2， 解：建立如图所示的直角坐标系，使圆心在y轴上，设圆心的坐标是（0，b），圆的半径为r A B P A1 A2 A3 A4 P2 O 例3 如图是某圆拱形桥一孔圆拱的示意图. 圆拱跨度AB=20m, 拱高OP=4m, 建造时每间隔4m需要用一根支柱支撑, 求支柱A2P2的高度(精确到0.01m). x y 思考：不建立坐标系,如何解决这个问题?由此比较综合法与坐标法的特点。 C B H 作 即 得 在 中， 得 又 在 中 所以支柱A2P2的高度约是3.86m. 解法如下 C B H 孔隆教育 http://mykonglong.taobao.com 孔隆教育 http://mykonglong.taobao.com 23 23 例4 一个小岛的周围有环岛暗礁, 暗礁分布在以小岛中心为圆心, 半径为20km的圆形区域内. 已知小岛中心位于轮船正西40km处, 港口位于小岛中心正北30km处. 如果轮船沿直线返港, 那么它是否会有触礁危险? • 港口 • 轮船 • 解：以小岛的中心为原点O，东西方向为x轴，建立如图所示的直角坐标系，为了运算的简便，我们取10km为单位长度，则港口所在位置的坐标为(0, 3)，轮船所在位置的坐标为(4, 0). 这样，受暗礁影响的圆形区域的边缘所对应的圆的方程为 轮船航线所在直线l的方程为 联立直线l与圆O的方程，消去y，得 由△<0，可知直线l与圆O相离，所以轮船沿直线返港不会有触礁危险. x y O 用坐标法解决几何问题时，先用坐标和方程表示相应的几何元素: 点、直线、圆，将几何问题转化为代数问题；然后通过代数运算解决代数问题；最后解释代数运算结果的几何含义，得到几何问题的结论. 这就是用坐标法解决平面几何问题的“三步曲”: 第一步：建立适当的平面直角坐标系, 用坐标和方程表示问题中的几何要素, 如点、直线、圆, 把平面几何问题转化为代数问题; 第二步：通过代数运算, 解决代数问题; 第三步：把代数运算的结果“ 翻译”成几何结论. 思考：你还能用其他方法解决上述问题吗？ 1. 赵州桥的跨度是37.4m，圆拱高约为7.2m. 求这座圆拱桥的拱圆的方程. A B P O x y 解: 建立如图所示的直角坐标系. 设圆拱所在圆的圆心坐标为(0, b)，圆的半径为r，则圆的方程为 由题意，点P, B在圆上，且它们的坐标分别为(0, 7.2), (18.7, 0)，则有 故所求圆拱的方程为 解得 2. 某圆拱桥的水面跨度20m, 拱高4m. 现有一船, 宽10m, 水面以上高3m. 这条船能否从桥下通过? A B P O x y C F E D 解: 建立如图所示的直角坐标系. 设圆拱的圆心坐标为(0, b)，圆的半径为r，则圆的方程为 由题意，点P, B在圆上，且它们的坐标分别为(0, 4), (10, 0)，则有 故所求圆拱的方程为 解得 把点D的横坐标x=5 代入上式，得 因为船在水面以上的高度为3m，3<3.1， 所以该船可以从船下穿过. 3. 在一个平面上, 机器人从与点C(5, －3)的距离为9的地方绕点C顺时针而行, 在行进过程中保持与点C的距离不变, 它在行进过程中到过点A(－10, 0)与B(0, 12)的直线的最近距离和最远距离分别是多少? 2 2 l B(0,12) • C(5,-3) x O y • A(-10,0) • 解：依题意得, 机器人在以C(5,－3)为圆心, 9为半径的圆上运动, 其圆的方程为 经过点A(－10, 0)与B(0, 12)的直线方程为 ∴点C到直线AB的距离为 ∴圆C上的点到直线AB的最近距离为d-r＝4.44, 最远距离为d+r＝22.44. $