17.1.1 提取公因式 学案 2025-2026学年人教版八年级数学上册

该初中数学导学案围绕提取公因式法分解因式展开，课前通过整式乘法计算回顾与跳水比赛得分情境导入，搭建从整式乘法到因式分解的逆向思维支架，帮助学生理解概念联系。 资料以情境化问题激发兴趣，通过“系数找最大，字母找相同，指数找最低”口诀简化公因式确定，结合分层练习（含整体思想、符号处理、简便计算），培养学生的抽象能力、推理意识和应用意识，提升分解因式技能与数学核心素养。

用提取公因式法分解因式 一、学习目标 1.理解因式分解的概念，能辨别因式分解与整式乘法的区别和联系。 2. 理解公因式的概念，能准确、熟练地确定多项式各项的公因式。 3. 掌握用提取公因式法分解因式的基本步骤，并能熟练地运用此法将多项式分解因式。 4. 在探究过程中，体会从“和差化积”的逆向思维，发展逆向思维能力。 二、课前预习 （一） 温故知新，情境导入 1. 计算下列各式： · m(a + b + c) = ______________ · (x + 2)(x - 2) = ______________ · (a + b)² = ______________ 2. 思考与发现： 上面的运算都是___________，即把几个整式化成 一个多项式 的形式。 反过来，如果我们已知一个多项式，比如 ma + mb + mc，能否把它变回几个整式乘积的形式吗？ 即：ma + mb + mc = ______________。 （二） 探究新知，建构概念 探索： 在跳水比赛中，选手每一跳的得分是根据裁判的评分和难度系数计算得出的.某单人跳水选手完成了一个难度系数为p的动作，如果有7名裁判进行评分，按照评分规则，去掉2个最高分和2个最低分后，会剩下3个分数a,b,c,选手的得分有两种计算方法： pa+pb+pc①和p(a+b+c).② 上述两种方式的计算结果相等吗？为什么？ 三、新课讲解 活动一：认识因式分解 1. 定义： 把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做这个多项式的因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。 · 关键词： 多项式 → 整式的积 · 辨一辨： 下列变形中，哪些属于因式分解？为什么？ (1) x² - 4y² = (x + 2y)(x - 2y) （ ） (2) 2x(x - 3y) = 2x² - 6xy （ ） (3) a² - 2a + 1 = (a - 1)² （ ） (4) x² + 3x + 2 = x(x + 3) + 2 （ ） 2. 核心关系： 因式分解与整式乘法是互逆的变形过程。 整式乘法 (x + y)(x - y) ⇄ x² - y² 因式分解 活动二：探索提取公因式法 1. 问题驱动： 如何对多项式 pa + pb + pc 进行因式分解？ · 观察： 这个多项式的每一项都含有一个相同的因式 ______。 · 结论： pa + pb + pc = p( a + b + c ) · 概念形成： · 公因式： 多项式中各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式。 · 提取公因式法： 如果一个多项式的各项含有公因式，那么可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提取公因式法。 2. 核心技能：如何确定公因式？ 例： 找出 8a³b² + 12ab³c 的公因式。 · 定系数： 取各项系数的最大公约数。 8 和 12 的最大公约数是 ______。 · 定字母： 取各项都含有的相同字母。 两项都含有字母 ______ 和 ______。 · 定指数： 取相同字母的最低次幂。 字母 a 的指数最低是 ______ 次，字母 b 的指数最低是 ______ 次。 · 得出结论： 这个多项式的公因式是 ______。 【找公因式口诀】：系数找最大，字母找相同，指数找最低。 （三） 典例精析，掌握步骤 例1： 把下列各式分解因式： (1)3x³ - 6x² + 9x 分析： 第一步：找公因式。 系数：最大公因数是 3 字母：相同字母是 x 指数：x 的最低指数是 1 所以，公因式是：3x 第二步：提取公因式。 解：3x³ - 6x² + 9x = 3x · ( ) - 3x · ( ) + 3x · ( ) = 3x(________________ ) 第三步：检查括号内的多项式不能再分解，且项数与原式一致。 (2) -4a³ + 16a² - 8a 分析： 当多项式第一项的系数是负数时，我们通常将负号一并提出。 公因式是：-4a(或 4a，但提 -4a 能使括号内第一项系数为正) 解：-4a³ + 16a² - 8a = -4a( a² - 4a + 2 ) 【归纳：提取公因式法基本步骤】 1. 找：确定公因式。（系数、字母、指数） 2. 提：提取公因式，用原多项式除以公因式，所得的商作为另一个因式。 3. 查：检查括号内的因式是否还能分解，并且项数是否正确。 例2： 分解因式： （1）2a(b + c) - 3(b + c) （2）4（a-b）2+8(b-a)3 (1)分析： 把 (b + c) 看作一个整体，它就是这两项的公因式。 解： 2a(b + c) - 3(b + c) = (b + c)( 2a - 3 ) (2) 分析： 把 (a-b) 看作一个整体， 系数：最大公因数是4 字母：相同字母是（a-b） 指数：（a-b）的最低指数是2 所以，公因式是：（a-b）2 解： 4（a-b）2+8(b-a)3 =4（a-b）2-8(a-b)3 =4（a-b）2[(1-2(a-b)] =4(a-b)2(1-2a+2b) 变式训练： 1.下列由左边到右边的式子变形，哪些是因式分解?哪些不是?为什么? (1)4a(a+2b)=4a²+8ab; (2)a²—4=(a+2)(a—2); (3)x²—3x+2=x(x-3)+2. 2.分解因式： (1)ax-ay; (2)a²—2a; (3)a²+ab; (4)xy-y²+y. (5)8m²n+2mn; (6)4a²b+10ab—ab²; (7) p(a²+b²)-q(a²+b²); (8)2a(y-z)³—4b(z-y)³. 3.利用因式分解计算： (1)1.99²+1.99×0.01; (2)49×20.22+52×20.22—20.22; (3)5×3⁴+4×3⁴+9×3². 四、课堂练习——学以致用 1. 下列各式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ） A. (x+3)(x-3) = x² - 9 B. x² - 9 + x = (x+3)(x-3) + x C. x² - 4y² = (x + 4y)(x - 4y) D. x²y - y = y(x + 1)(x - 1) 2. 多项式 -8a²b²c + 12ab³c² 的公因式是 ________。 3. 把下列各式分解因式： (1) 6x²y - 9xy² (2) -2m³ + 8m² - 12m (3) 4x(y - 1) - 2(1 - y)2 (提示：1 - y = -(y - 1)) 4. 利用因式分解进行简便计算：12.5 × 7.8 + 1.25 × 20 + 125 × 0.02 5. 先分解因式，再求值：4a²(x+7) - 3a(x+7)，其中 a = -2, x = 3。 5、 课后练习 1.下列由左边到右边的式子变形，哪些是因式分解?哪些不是?为什么? (1)6ax—3ax²=3ax(2—x); (2)a²-b²+1=(a+b)(a-b)+1; (3)x(x-y)-y(x-y)=(x-y)²; (4)a²b—3ab²+ab=ab(a-3b+1). 2.分解因式： (1)x+xy; (2)-2x+3x²; (3)a²b+5ab-b; (4)2mn-n²+8n. 3.利用因式分解计算： (1)999²+999;(2)17×0.11+3.7×1.1-0.46×11. 4.分解因式： (1)2mn²+mn; (2)6xy²—8x²y³; (3)6a²b+9ab²-15ab; (4)3m²n-3mn+6n; (5)4x²y³+8x³y²+12x⁴y; (6)2m(x-y)-3n(x-y); (7)2a(a-b)²-(b-a)³; (8)x²(3y-6)+x(6-3y). 5.先分解因式，再求值： (1)(a-2)²—6(2—a),其中a=-2; (2)4x(y+4)-x(y+4)²,其中x=2,y=5. 6. 已知ab=2,a-4b=-5,求a²b-4ab²+ab的值. 7. 设n为奇数，求证：n²除以8的余数为1. 8.已知一个三角形的三边长分别为a,b,c,且ab-ac=b²-bc,证明这个三角形是等腰三角形. 9.因式分解: (1)-2(x-y)2n—4(y-x)2n+1(n为正整数) (2)a(x-y)n-3b(y-x)n+1+2c(y-x)n+2(n为正整数) 10.先分解因式，再求值 (1)3(x—2)²(x-6)+11(2-x)(6-x),其中x=-1. (2)9xy(x-y)(x+1)-3y(x-y)(3x+2y)+6y²(x-y)(x+1),其中x= - ,y= . 学科网（北京）股份有限公司 $