精品解析：福建省龙岩市2025-2026学年高二上学期10月多校联考数学试题

2025-2026学年上学期龙岩市多校联考 高二数学月考试题 （考试时间：120分钟；总分：150分） 一、单选题 : 本大题共 8个小题，每小题 5 分，共 40分. 在每个小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的. 1. 设等比数列的各项均为正数，前n项和，若，，则（ ） A. B. C. 15 D. 40 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意列出关于的方程,计算出,即可求出. 【详解】由题知, 即,即,即. 由题知,所以. 所以. 故选:C. 2. 若直线与直线的交点位于第一象限，则直线的倾斜角的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意结合斜率、倾斜角之间的关系分析求解. 【详解】因为直线恒过点， 直线与坐标轴的交点分别为， 直线的斜率，此时倾斜角为； 直线的斜率不存在，此时倾斜角为； 所以直线的倾斜角的取值范围是. 故选：B. 3. 记为等差数列的前项和．若，则（ ） A. 25 B. 22 C. 20 D. 15 【答案】C 【解析】 【分析】方法一：根据题意直接求出等差数列的公差和首项，再根据前项和公式即可解出； 方法二：根据等差数列的性质求出等差数列的公差，再根据前项和公式的性质即可解出． 【详解】方法一：设等差数列的公差为，首项为，依题意可得， ，即, 又，解得：， 所以． 故选：C. 方法二：，，所以，， 从而，于是， 所以． 故选：C. 4. 记为等差数列的前项和，已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由结合等差中项的性质可得，即可计算出公差，即可得的值. 【详解】由，则， 则等差数列的公差，故. 故选：B. 5. 已知等差数列的前项和为，若，则（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】D 【解析】 【分析】可以根据等差数列的基本量，即将题目条件全转化成和来处理，亦可用等差数列的性质进行处理，或者特殊值法处理. 【详解】方法一：利用等差数列的基本量 由，根据等差数列的求和公式，， 又. 故选：D 方法二：利用等差数列的性质 根据等差数列的性质，，由，根据等差数列的求和公式， ，故. 故选：D 方法三：特殊值法 不妨取等差数列公差，则，则. 故选：D 6. 记为等比数列的前n项和，若，，则（ ）． A. 120 B. 85 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】方法一：根据等比数列的前n项和公式求出公比，再根据的关系即可解出； 方法二：根据等比数列的前n项和的性质求解． 【详解】方法一：设等比数列的公比为，首项为， 若，则，与题意不符，所以； 若，则，与题意不符，所以； 由，可得，，①， 由①可得，，解得：， 所以． 故选：C． 方法二：设等比数列的公比为， 因为，，所以，否则， 从而，成等比数列， 所以有，，解得：或， 当时，，即为， 易知，，即； 当时，， 与矛盾，舍去． 故选：C． 【点睛】本题主要考查等比数列的前n项和公式的应用，以及整体思想的应用，解题关键是把握的关系，从而减少相关量的求解，简化运算． 7. 已知数列的前n项和为，若，则（ ） A. 16 B. 32 C. 54 D. 162 【答案】C 【解析】 【分析】由题意确定该数列为等比数列，即可求得的值. 【详解】当时，，所以，即， 当时，， 所以数列是首项为2，公比为3的等比数列， 则. 故选：C. 8. 已知等差数列的前项和满足：，则数列的最小项是第（ ）项. A. 2026 B. 2027 C. 4048 D. 4049 【答案】A 【解析】 【分析】由题设可得，，，等差数列为递增数列，进而得到，，进而结合单调性分析求解即可. 【详解】由， 则，，， 因此等差数列为递增数列， 而， ， 则时，，，即； 当时，，要使最小，则， 此时，数列为递增数列， 则随着的增大，增大，减小，增大，但，，则增大， 因此，当时，最小. 故选：A. 二、多选题 : 本大题共 3个小题，每小题 6 分，共 18分. 在每个小题给出的四个选项中，有多项符 合题目要求. 全部选对的得 6 分，部分选对的按比例得分，有错选的得 0 分. 9. 记为等比数列的前n项和，为的公比，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】对A，根据等比数列通项公式和前项和公式得到方程组，解出，再利用其通项公式和前项和公式一一计算分析即可. 【详解】对A，由题意得，结合，解得或（舍去），故A正确； 对B，则，故B错误； 对C，，故C错误； 对D，，， 则，故D正确； 故选：AD. 10. 已知为等差数列的前项和，则（ ） A. 若，则 B. 成等差数列 C. 可能成等差数列 D. 可能成等比数列 【答案】BC 【解析】 【分析】利用等差数列的通项公式，求和公式，及等差数列等比数列的定义一一分析，进行求解. 【详解】对于选项A：，当时，； 当时，， 适合，，故选项A错误； 对于选项B：为等差数列的前项和，设的公差为d， 则， ，， ， , ，，，成等差数列，故选项B正确； 对于选项C：设等差数列的公差为，则，，， 若成等差数列，则， 即，解得， ，，，，，，成等差数列，故选项C正确； 对于选项D：设等差数列的公差为，则，，， 若成等比数列，则，即， 解得，将看成是关于的一元二次方程，， 只有当时，方程有解， 且解为，此时，则不可能成等比数列，故选项D错误. 故选：BC. 11. 定义：已知数列的前n项和，若，，使得，则称数列为分解数列．基于上述事实，则（ ） A. 若数列为非零常数列，则数列不可能为分解数列 B. 若，则数列为分解数列 C. 若首项为1的非常数列为分解数列，则 D. 若首项为2的非常数列为分解数列，则数列的前n项和小于1 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据数列新定义，结合及等比数列通项公式，应用裂项相消法计算判断各个选项即可. 【详解】若数列为非零常数列，则，，两式不相等，所以数列不可能为分解数列，A选项正确； 若，当，所以当，所以， 所以， 当，左边为，右边为不相等，B选项错误； 因为首项为1的非常数列为分解数列，则，所以，，C选项正确； 因为首项为2的非常数列为分解数列，则，所以，， 所以数列的前n项和，D选项正确； 故选：ACD. 三、填空题 : 本大题共 3个小题，每小题 5 分，共 15 分. 12. 已知直线l倾斜角的余弦值为，且经过点，则直线l的方程为________． 【答案】. 【解析】 【分析】由同角三角函数的基本关系求出直线斜率，点斜式求出直线方程即可. 【详解】设直线的倾斜角为，由题意知， 则， 所以， 又直线过点， 所以直线方程为， 即直线方程为. 故答案为： 13. 已知数列满足，且数列的前项和为，则______. 【答案】 【解析】 【分析】应用得出，再应用裂项相消法计算求解. 【详解】若，则； 若，则. 所以，，即. 又也满足，所以. 由于， 所以. 故答案为：. 14. 已知为等比数列，，，则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据等比数列公式对化简得，联立求出，最后得. 【详解】设的公比为，则，显然， 则，即，则，因为，则， 则，则，则， 故答案为：. 四、解答题 : 本大题共 5个小题，共 77分. 15. 已知等比数列的前项和为，且. （1）求的通项公式； （2）求数列的前n项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用退位法可求公比，再求出首项后可求通项； （2）利用分组求和法即可求. 【小问1详解】 因为,故， 所以即故等比数列的公比为， 故，故，故. 【小问2详解】 由等比数列求和公式得， 所以数列的前n项和 . 16. 记为等差数列的前项和，已知． （1）求的通项公式； （2）求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意列式求解，进而可得结果； （2）先求，讨论的符号去绝对值，结合运算求解. 【小问1详解】 设等差数列的公差为， 由题意可得，即，解得， 所以， 【小问2详解】 因为， 令，解得，且， 当时，则，可得； 当时，则，可得 ； 综上所述：. 17. 设等差数列的公差为，且．令，记分别为数列的前项和． （1）若，求的通项公式； （2）若为等差数列，且，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据等差数列的通项公式建立方程求解即可； （2）由为等差数列得出或，再由等差数列的性质可得，分类讨论即可得解. 【小问1详解】 ，，解得， ， 又， ， 即，解得或（舍去）， . 【小问2详解】 为等差数列， ，即， ，即，解得或， ，， 又，由等差数列性质知，，即， ，即，解得或（舍去） 当时，，解得，与矛盾，无解； 当时，，解得. 综上，. 18. 记为数列的前项和，已知． （1）求的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用退位法可求的通项公式． （2）利用错位相减法可求. 【小问1详解】 当时，，解得． 当时，，所以即， 而，故，故， ∴数列是以4为首项，为公比的等比数列， 所以. 【小问2详解】 , 所以 故 所以 ， . 19. 已知为公比大于0的等比数列，其前项和为，且． （1）求的通项公式及； （2）设数列满足，其中． （ⅰ）当时，求证：； （ⅱ）求． 【答案】（1） （2）① 由（1）可知，且， 当时，则，即 可知， ， 可得， 当且仅当时，等号成立， 所以； ② 【解析】 【分析】（1）设等比数列的公比为，根据题意结合等比数列通项公式求，再结合等比数列求和公式分析求解； （2）①根据题意分析可知，，利用作差法分析证明；②根据题意结合等差数列求和公式可得，再结合裂项相消法分析求解. 【小问1详解】 设等比数列的公比为， 因为，即， 可得，整理得，解得或（舍去）， 所以. 【小问2详解】 （i）略 （ii）由（1）可知：， 若，则； 若，则， 当时，，可知为等差数列， 可得， 所以， 且，符合上式，综上所述：. 【点睛】关键点点睛：1.分析可知当时，，可知为等差数列； 2.根据等差数列求和分析可得. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年上学期龙岩市多校联考 高二数学月考试题 （考试时间：120分钟；总分：150分） 一、单选题 : 本大题共 8个小题，每小题 5 分，共 40分. 在每个小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的. 1. 设等比数列的各项均为正数，前n项和，若，，则（ ） A. B. C. 15 D. 40 2. 若直线与直线的交点位于第一象限，则直线的倾斜角的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 记为等差数列的前项和．若，则（ ） A. 25 B. 22 C. 20 D. 15 4. 记为等差数列的前项和，已知，，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知等差数列的前项和为，若，则（ ） A. B. C. 1 D. 6. 记为等比数列的前n项和，若，，则（ ）． A. 120 B. 85 C. D. 7. 已知数列的前n项和为，若，则（ ） A. 16 B. 32 C. 54 D. 162 8. 已知等差数列的前项和满足：，则数列的最小项是第（ ）项. A. 2026 B. 2027 C. 4048 D. 4049 二、多选题 : 本大题共 3个小题，每小题 6 分，共 18分. 在每个小题给出的四个选项中，有多项符 合题目要求. 全部选对的得 6 分，部分选对的按比例得分，有错选的得 0 分. 9. 记为等比数列的前n项和，为的公比，若，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知为等差数列的前项和，则（ ） A. 若，则 B. 成等差数列 C. 可能成等差数列 D. 可能成等比数列 11. 定义：已知数列的前n项和，若，，使得，则称数列为分解数列．基于上述事实，则（ ） A. 若数列为非零常数列，则数列不可能为分解数列 B. 若，则数列为分解数列 C. 若首项为1的非常数列为分解数列，则 D. 若首项为2的非常数列为分解数列，则数列的前n项和小于1 三、填空题 : 本大题共 3个小题，每小题 5 分，共 15 分. 12. 已知直线l倾斜角的余弦值为，且经过点，则直线l的方程为________． 13. 已知数列满足，且数列的前项和为，则______. 14. 已知为等比数列，，，则______. 四、解答题 : 本大题共 5个小题，共 77分. 15. 已知等比数列的前项和为，且. （1）求的通项公式； （2）求数列的前n项和. 16. 记为等差数列的前项和，已知． （1）求的通项公式； （2）求数列的前项和． 17. 设等差数列的公差为，且．令，记分别为数列的前项和． （1）若，求的通项公式； （2）若为等差数列，且，求． 18. 记为数列的前项和，已知． （1）求的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 19. 已知为公比大于0的等比数列，其前项和为，且． （1）求的通项公式及； （2）设数列满足，其中． （ⅰ）当时，求证：； （ⅱ）求． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $