精品解析：湖南省长沙市麓山国际实验学校2025-2026学年高一上学期10月月考数学试题

共同体学校25级高一10月学情检测数学试卷 总分：150分 时量：120分钟 麓山国际 麓山滨江 麓山梅溪湖 麓山慈利 长沙六中 长郡湘府 长郡浏阳 长郡金洲 珺璀高级中学 津市一中 联合参与 一、单选题（每小题5分，共40分） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由集合的并集、补集的运算即可求解. 【详解】由，则， 集合， 故 故选：D. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】根据存在量词命题的否定是全称量词命题即可求解. 【详解】命题“，”的否定是，； 故选：D 3. 设，则“且”是“”的（　　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据不等式的性质及充分不必要的定义判断即可. 【详解】且，则， 但，不能推出且， 例如：，满足，但. 故选：. 4. 若，则的最小值为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】利用基本不等式可求和的最小值. 【详解】因为，所以，当且仅当，即时等号成立. 所以的最小值为4. 故选：D 5. 下列函数中与函数y＝x表示同一个函数的是（　　） A. y＝|x| B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用函数概念，分析函数的三要素是否相同即可求解. 【详解】对于选项,值域与函数不同，所以不是同一个函数，故排除； 对于选项，函数的定义域不同，所以不是同一个函数，故排除； 对于选项，函数定义域不同，所以不是同一个函数，故排除； 对于选项，因为函数与函数是同一个函数，故正确， 故选：. 6. 若函数是R上的单调递增函数，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】结合一次函数和二次函数的单调性即可求得. 【详解】由题意可知，在上单调递增，则，即， 在上单调递增，则， 又是R上的单调递增函数，则，即， 综上可得，实数a的取值范围是. 故选：C 7. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可得的范围为，求解的范围，再结合分母不为0即可得解． 【详解】由题意得，解得， 由，解得， 故函数的定义域是， 故选：B． 8. 定义在上的函数满足：对任意，且，，若，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】构造函数，判断函数的单调性，根据函数单调性解不等式，可得所求不等式的解集. 【详解】不妨设，因为，所以， 所以. 设，则， 所以在上单调递增，因为，所以， 所以的解集为， 所以的解集为. 故选：B 二、多选题（每小题6分，全部选对得6分，部分选对得部分分，有错选得0分，共18分） 9. 已知均为实数，下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若， 【答案】AB 【解析】 【分析】结合不等式的性质逐项分析即可. 【详解】选项A，若，则，，即，选项A正确； 选项B，若，，则，，，即，选项B正确； 选项C，若，，取，，，，则，，，选项C错误； 选项D，若，，则，选项D错误. 故选：AB. 10. 若函数的定义域为，则实数可以是（ ） A. 0 B. 3 C. 6 D. 8 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据题意，转化为对任意，结合二次函数的性质，即可求解. 【详解】函数的定义域为， 则对任意，恒成立， 当时，显然不成立； 当时，则恒成立， 当时，则满足，解得， 综上可得：实数取值范围是，结合选项，可得ABC符合题意. 故选：ABC. 11. 设正实数x，y满足，则（ ） A. xy有最大值为 B. 有最小值为 C. 有最小值为5 D. 有最大值为 【答案】BC 【解析】 【分析】利用基本不等式求出最值判断AB;利用基本不等式“1”的妙用求出最小值判断C；利用基本不等式等号成立的条件判断D即可. 【详解】对于A，由，，得，当且仅当时取等号，A错误； 对于B，，当且仅当时取等号，B正确； 对于C，， 当且仅当，即时取等号，C正确； 对于D， ，当且仅当，即时取等号， 而，因此不能取等号，D错误. 故选：BC 三、填空题（每小题5分，共15分） 12. 已知是一次函数且，则的解析式______. 【答案】 【解析】 【分析】由题意设，利用待定系数法求解. 【详解】是一次函数，下设， 由，则， 化简可得：， 由对应系数相等可知，，解得， 则. 故答案为： 13. 存在，使得不等式成立，则实数的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】利用分离参数法，结合函数的单调性求实数的取值范围. 【详解】因为存在，所以， 又当，单调递减，所以的最大值为. 所以. 故答案为： 14. 若关于的方程的两个根都在区间上，则a的值范围为____________． 【答案】 【解析】 【分析】结合二次函数根的区间分布，列出不等式组，解出即可. 【详解】设，由题可知，若都在区间内， 则需满足，所以解得． 故答案为：. 四、解答题（共5个大题，77分） 15. 已知集合，集合. （1）求集合和； （2）求. 【答案】（1），或 （2） 【解析】 【分析】（1）利用分式不等式的解法可得出集合，利用一元二次不等式的解法可得出集合； （2）利用补集的定义可得出集合. 【小问1详解】 由得，即， 即，解得，所以， 因为，解得或， 所以或. 【小问2详解】 因为或，由补集的定义可得. 16. 设全集，集合，，其中． （1）若“”是“”的必要而不充分条件，求实数a的取值范围； （2）若命题“，使得”是真命题，求实数a的取值范围． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（1）根据条件可知，列不等式，即可求解； （2）首先求当时的取值范围，再求其补集. 【小问1详解】 ， “”是“”的必要而不充分条件，  ，解得， 即实数的取值范围为； 【小问2详解】 若命题“，使得”是假命题，则， ，或， ①当时，，解得， ②当时，则，无解， 即命题为假命题时，实数的取值范围为， 命题为真命题时，实数的取值范围为． 17. （1）已知正数，满足.求的最小值； （2）已知，，均为正实数，且，求证：. 【答案】（1）； （2）证明: 因为，，均为正实数，且， 代入得， 根据基本不等式可知， 代入得，当且仅当时，等号成立，原命题得证. 【解析】 【分析】（1）根据基本不等式的概念，和换元法，对代数式进行消元，再根据基本不等式，求出最小值即可. （2）根据基本不等式的概念，对原不等式进行化简，进而求出最小值. 【详解】（1）由，得. 因为，，所以，即， 所以 ， 当且仅当，即时取等号，故的最小值为. （2）略. 18. 已知函数对于任意的都有. （1）求的解析式； （2）设函数，若对任意的，总存在，使得成立，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据解方程组法求解析式； （2）根据题意可得函数在上的值域是在上的值域的子集，根据二次函数性质，求出参数范围即可. 【小问1详解】 已知，用替换得， 联立方程组，得， 解得. 【小问2详解】 若对任意的，总存在，使得成立，可得在上的值域是在上的值域的子集， 由（1）可得，当时，； 为二次函数，对称轴为，开口向上，在上单调递增； 所以在上的最小值为，最大值为； 可得，即，解得，所以的取值范围为. 19. 已知定义在上的函数满足对任意的，，，当时，，. （1）求和的值. （2）判断在上的单调性并证明. （3）求不等式的解集. 【答案】（1）. （2） 在上单调递减； 设，因为， 所以， 所以，因为，所以， 所以，故在上单调递减. （3） 【解析】 【分析】（1）结合函数的性质，利用赋值法求函数值. （2）利用函数单调性的定义，证明函数在给定区间上的单调性. （3）利用（1）、（2）的结论，把函数不等式转化为代数不等式求解. 【小问1详解】 令，则，所以， 令，，得，所以 令，，得，所以， 令，，得，所以. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（1）知， 不等式化为， 因为在上单调递减，所以， 即，解得， 即不等式的解集是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 共同体学校25级高一10月学情检测数学试卷 总分：150分 时量：120分钟 麓山国际 麓山滨江 麓山梅溪湖 麓山慈利 长沙六中 长郡湘府 长郡浏阳 长郡金洲 珺璀高级中学 津市一中 联合参与 一、单选题（每小题5分，共40分） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 设，则“且”是“”的（　　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 若，则的最小值为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 4 5. 下列函数中与函数y＝x表示同一个函数的是（　　） A. y＝|x| B. C. D. 6. 若函数是R上的单调递增函数，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 8. 定义在上的函数满足：对任意，且，，若，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（每小题6分，全部选对得6分，部分选对得部分分，有错选得0分，共18分） 9. 已知均为实数，下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若， 10. 若函数的定义域为，则实数可以是（ ） A. 0 B. 3 C. 6 D. 8 11. 设正实数x，y满足，则（ ） A. xy有最大值为 B. 有最小值为 C. 有最小值为5 D. 有最大值为 三、填空题（每小题5分，共15分） 12. 已知是一次函数且，则的解析式______. 13. 存在，使得不等式成立，则实数的取值范围为______. 14. 若关于的方程的两个根都在区间上，则a的值范围为____________． 四、解答题（共5个大题，77分） 15. 已知集合，集合. （1）求集合和； （2）求. 16. 设全集，集合，，其中． （1）若“”是“”的必要而不充分条件，求实数a的取值范围； （2）若命题“，使得”是真命题，求实数a的取值范围． 17. （1）已知正数，满足.求的最小值； （2）已知，，均为正实数，且，求证：. 18. 已知函数对于任意的都有. （1）求的解析式； （2）设函数，若对任意的，总存在，使得成立，求的取值范围. 19. 已知定义在上的函数满足对任意的，，，当时，，. （1）求和的值. （2）判断在上的单调性并证明. （3）求不等式的解集. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $