精品解析：江苏省南京市江宁区2025-2026学年高二上学期9月调研考试数学练习卷

江苏省南京市江宁区2025-2026学年高二上学期 9月调研考试数学练习卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 倾斜角为45°的直线方向向量是（ ） A. B. C. D. 2. 已知幂函数的图象过点，则下列说法正确的是（ ） A. 为偶函数 B. 为奇函数 C. 为单调递增函数 D. 为单调递减函数 3. 桂林的象鼻山景区有4个主要景点：象鼻山、水月洞、普贤塔、爱情岛．若游客可以选择游览其中的3个景点，且必须包含景点象鼻山，则不同的游览顺序有（ ） A. 12种 B. 14种 C. 18种 D. 20种 4. 已知双曲线的左、右焦点分别为，点为右支上一点，射线是的外角平分线，其与轴的交点为点的角平分线与直线交于点，若，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 5. 已知命题p：“，”，则为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 6. ⊙C1：(x－1)2＋y2＝4与⊙C2：(x＋1)2＋(y－3)2＝9相交弦所在直线为l，则l被⊙O：x2＋y2＝4截得弦长为（ ） A. B. 4 C. D. 7. 设向量，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 已知平面向量，，均为单位向量，若与的夹角为60°，则的最大值为（ ） A. B. 4 C. D. 5 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 下列两个向量，能作为平面中一组基底的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 10. 已知向量，则下列说法正确的是（　　） A. 若，则 B. 若，则 C. 在上的投影向量为 D. 的最小值为 11. 若函数在上有最小值，则实数a的可能取值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 南开中学高一某班报名数学、物理竞赛班，两科都不参加的占全班的，只参加数学的占全班的，参加物理的比参加数学的少11人，两门都参加的有5人，则全班有______人. 13. 已知函数，则的值为___________． 14. 已知数列满足，，则__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知函数，定义表示不超过的最大整数（如）. （1）若在上单调递增，求实数的取值范围； （2）已知当时，有唯一极大值，此时令. 对，若恒成立，求的取值范围. 16. 已知函数在处的切线方程为．求的值． 17. 在平面直角坐标系中， 已知圆和圆 . （1）若直线过点 ，且被圆截得的弦长为 ， 求直线的方程；（2）设P为平面上的点，满足： 存在过点P的无穷多对互相垂直的直线和 ， 它们分别与圆和圆 相交，且直线被圆 截得的弦长与直线被圆 截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P的坐标． 18. 记是内角，，的对边分别为，，.已知，点在边上，. （1）证明：； （2）若，求. 19. 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，其中分别为的中点，点满足. （1）证明：； （2）若底面，则棱上是否存在点，使得平面与平面的夹角为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省南京市江宁区2025-2026学年高二上学期 9月调研考试数学练习卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 倾斜角为45°的直线方向向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，得到直线的斜率为，由直线的方向向量的定义，结合选项，逐项判定，即可求解. 【详解】因为直线的倾斜角为45°，可得直线的斜率为， 对于A中，若直线的方向向量为，都可直线的斜率为，所以A不符合题意； 对于B中，若直线的方向向量为，都可直线的斜率为，所以B不符合题意； 对于C中，若直线的方向向量为，都可直线的斜率为，所以C不符合题意； 对于D中，若直线的方向向量为，都可直线的斜率为，所以D符合题意. 故选：D. 2. 已知幂函数的图象过点，则下列说法正确的是（ ） A. 为偶函数 B. 为奇函数 C. 为单调递增函数 D. 为单调递减函数 【答案】C 【解析】 【分析】先求得幂函数的解析式，然后根据奇偶性和单调性求得正确答案. 【详解】由幂函数的图象过点，则，解得，故幂函数为， 定义域为，函数为非奇非偶函数，且为增函数. 故选：C 3. 桂林的象鼻山景区有4个主要景点：象鼻山、水月洞、普贤塔、爱情岛．若游客可以选择游览其中的3个景点，且必须包含景点象鼻山，则不同的游览顺序有（ ） A. 12种 B. 14种 C. 18种 D. 20种 【答案】C 【解析】 【分析】根据排列数与组合数计算即可求解. 【详解】因为必须包含景点象鼻山， 所以从剩下的3个景点中选择2个景点与象鼻山组合，有种选法，游览顺序可以不同， 所以共有种不同的游览路线. 故选：C． 4. 已知双曲线的左、右焦点分别为，点为右支上一点，射线是的外角平分线，其与轴的交点为点的角平分线与直线交于点，若，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】过作于点于点于点，利用角平分线的性质，得到，从而可得，再结合条件，可得，即可求解. 【详解】不妨设点在第一象限，由于点为角平分线的交点， 过作于点于点于点， 则，且， 所以， 则， 所以（*），因为，所以， 所以，代入（*）式得. 故选：C. 5. 已知命题p：“，”，则为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】根据含有全称量词命题的否定进行判断即可. 【详解】因为全称量词命题的否定是存在量词命题， 所以“，”的否定是“，”． 故选：C． 6. ⊙C1：(x－1)2＋y2＝4与⊙C2：(x＋1)2＋(y－3)2＝9相交弦所在直线为l，则l被⊙O：x2＋y2＝4截得弦长为（ ） A. B. 4 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由⊙C1与⊙C2的方程相减求出相交弦所在的直线l的方程，然后利用点到直线的距离公式求出圆心O(0，0)到l的距离，再利用勾股定理可求得结果 【详解】解：由⊙C1与⊙C2的方程相减得l：2x－3y＋2＝0. 圆心O(0，0)到l的距离，⊙O的半径R＝2， ∴截得弦长为. 故选：D 【点睛】此题考查两圆的位置关系，直线与圆的位置关系，考查了点到直线的距离公式，属于基础题. 7. 设向量，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用向量的模判断A,利用向量垂直的性质判断B, 利用向量平行的性质判断C，利用向量数量积判断D． 【详解】向量， 对于A，，，故A错误； 对于B，，，∴，故B正确； 对于C，坐标间不存在倍数关系，不平行，故C错误； 对于D，，故D错误． 故选：B． 8. 已知平面向量，，均为单位向量，若与的夹角为60°，则的最大值为（ ） A. B. 4 C. D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】根据，把问题转化为求的最小值，进一步转化为求的值，利用向量的数量积的运算法则求解即可. 【详解】由题意：，. 因为. 又， 当时取“”. 又，所以. 所以. 故选：C 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 下列两个向量，能作为平面中一组基底的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】AC 【解析】 【分析】根据各项中向量的坐标表示判断是否共线，即可得. 【详解】显然各项均为非零向量， A：由，即不共线，满足； B：由，即共线，不满足； C：由，即垂直，故不共线，满足； D：由，即共线，不满足； 故选：AC 10. 已知向量，则下列说法正确的是（　　） A. 若，则 B. 若，则 C. 在上的投影向量为 D. 的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据数量积计算可判断A，由共线向量的坐标表示可判断B，根据投影向量的计算公式可判断C，利用向量模的坐标表示及均值不等式、二次函数的最值可判断D. 【详解】若，，，所以， 所以，故A正确； 若，则，解得，故B错误； 在上的投影向量为，故C正确； 因为，所以， 令，当时，则由均值不等式，，当且仅当时取等号， 当时，，当且仅当时取等号， 则（或）， 所以当时，有最小值，故D正确. 故选：ACD 11. 若函数在上有最小值，则实数a的可能取值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】BC 【解析】 【分析】借助导数可先得到函数的单调性，结合题意与函数单调性计算即可得解. 【详解】， 则当时，，当时，， 故在、上单调递增，在上单调递减， 由函数在上有最小值， 则在上有最小值， 又，故有， 即，解得，故选项中BC符合、AD不符. 故选：BC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 南开中学高一某班报名数学、物理竞赛班，两科都不参加的占全班的，只参加数学的占全班的，参加物理的比参加数学的少11人，两门都参加的有5人，则全班有______人. 【答案】45 【解析】 【分析】引入参数，只参加数学的占参加了竞赛班的比例列方程即可求解. 【详解】设只参加物理的有个人，则只参加数学的有个人， 因为两科都不参加的占全班的，所以参加了竞赛班的占全班的， 所以只参加数学的占参加了竞赛班的， 解得，所以全班有人. 故答案为：45. 13. 已知函数，则的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】由辅助角公式先得到，结合可判断更精确的范围，然后结合两角和的正弦公式求解. 【详解】， 由题知，，即， 由可得，， 注意到，进而， 于是， 故答案为： 14. 已知数列满足，，则__________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据数列的递推公式，确定数列的前几项，由此确定数列的周期，再求 ． 【详解】，， ， ， ， 数列是以为周期的周期数列， 所以． 故答案为：． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知函数，定义表示不超过的最大整数（如）. （1）若在上单调递增，求实数的取值范围； （2）已知当时，有唯一极大值，此时令. 对，若恒成立，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意可得在上恒成立，即得，求出的最大值即得参数范围； （2）先由题意，通过求导分析得到的唯一极大值点满足且，从而得出，之后分别运用分离参数法将其转化为求的最大值问题；或者就参数进行分类讨论，得出参数的取值范围. 【小问1详解】 由题意，在上恒成立， ， 令，则，由可得， 则当时，，当 时，. 即在上单调递增，在上单调递减，故 ， ，即，故实数的取值范围是. 【小问2详解】 当时，，，令则由可得， 当；当， 即在上单调递减，在上单调递增， 而当时，因，故存在唯一的使得 ， 故当当， 则在上单调递减，在上单调递增， 所以即为的唯一极大值点，满足且， 此时， 所以 ， 所以即.，（*） 方法一：（分离参数法） ① 当x=0时，不等式为，显然成立，符合题意； ② 当时，（*） 记，， 令，则，显然在上恒成立， 故函数在上单调递增，则， 即恒成立，故当时，，单调递增； 当时，，单调递减；因此， 综上可得，实数a的取值范围是. 方法二：(团结指数) 原不等式等价于 恒成立， 设函数， 则. （i）若，即，则当时，. 所以在上单调递增，而，故当时，，不合题意. （ii）若，即， 则当时，；当时，. 所以在上单调递减，在上单调递增. 由于，所以当且仅当， 即.所以当时，. （iii）若即，则. 由于，故由（ii）可得. 故当时，. 综上，a的取值范围是. 【点睛】方法点睛：本题主要考查利用函数的单调性以及含参不等式恒成立求参数问题,属于难题. 解决利用函数的单调递增（递减）求参问题，只需要通过求导，使导函数恒为非负（非正）即可转化成不等式恒成立问题； 而对于含参数的不等式恒成立问题，一般方法有： （1）参变分离法：通过等价转化将参数分离，转化为求函数的最值问题； （2）分类讨论法：对不等式对应的函数就参数进行分类讨论，找到符合题意的参数范围. 16. 已知函数在处的切线方程为．求的值． 【答案】 【解析】 【分析】求出函数的导函数，依题意可得，即可得到方程组，解得即可； 【详解】因为， 所以， 依题意可得，即，解得， 所以． 17. 在平面直角坐标系中， 已知圆和圆 . （1）若直线过点 ，且被圆截得的弦长为 ， 求直线的方程；（2）设P为平面上的点，满足： 存在过点P的无穷多对互相垂直的直线和 ， 它们分别与圆和圆 相交，且直线被圆 截得的弦长与直线被圆 截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P的坐标． 【答案】(1)或，(2)点P坐标为或． 【解析】 【详解】(1)设直线l的方程为y＝k(x－4)，即kx－y－4k＝0.由垂径定理，得圆心C1到直线l的距离d＝＝1，结合点到直线距离公式，得＝1，化简得24k2＋7k＝0，解得k＝0或k＝－. 所求直线l的方程为y＝0或y＝－(x－4)，即y＝0或7x＋24y－28＝0. (2)设点P坐标为(m，n)，直线l1、l2的方程分别为y－n＝k(x－m)，y－n＝－(x－m)，即kx－y＋n－km＝0，－x－y＋n＋m＝0. 因为直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等，两圆半径相等．由垂径定理，得圆心C1到直线l1与圆心C2到直线l2的距离相等．故有， 化简得(2－m－n)k＝m－n－3或(m－n＋8)k＝m＋n－5. 因为关于k的方程有无穷多解，所以有 解得点P坐标为或. 18. 记是内角，，的对边分别为，，.已知，点在边上，. （1）证明：； （2）若，求. 【答案】（1）设的外接圆半径为R，由正弦定理， 得， 因为，所以，即． 又因为，所以． （2）. 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理的边角关系有，结合已知即可证结论. （2）方法一：两次应用余弦定理，求得边与的关系，然后利用余弦定理即可求得的值. 【详解】（1）略 （2）[方法一]【最优解】：两次应用余弦定理 因为，如图，在中，，① 在中，．② 由①②得，整理得． 又因为，所以，解得或， 当时，（舍去）． 当时，． 所以． [方法二]：等面积法和三角形相似 如图，已知，则， 即， 而，即， 故有，从而． 由，即，即，即， 故，即， 又，所以， 则． [方法三]：正弦定理、余弦定理相结合 由（1）知，再由得． 在中，由正弦定理得． 又，所以，化简得． 在中，由正弦定理知，又由，所以． 在中，由余弦定理，得． 故． [方法四]：构造辅助线利用相似的性质 如图，作，交于点E，则． 由，得． 在中，． 在中． 因为， 所以， 整理得． 又因为，所以， 即或． 下同解法1． [方法五]：平面向量基本定理 因为，所以． 以向量为基底，有． 所以， 即， 又因为，所以．③ 由余弦定理得， 所以④ 联立③④，得． 所以或． 下同解法1． [方法六]：建系求解 以D为坐标原点，所在直线为x轴，过点D垂直于的直线为y轴， 长为单位长度建立直角坐标系， 如图所示，则． 由（1）知，，所以点B在以D为圆心，3为半径的圆上运动． 设，则．⑤ 由知，， 即．⑥ 联立⑤⑥解得或（舍去），， 代入⑥式得， 由余弦定理得． 【整体点评】(2)方法一：两次应用余弦定理是一种典型的方法，充分利用了三角形的性质和正余弦定理的性质解题； 方法二：等面积法是一种常用的方法，很多数学问题利用等面积法使得问题转化为更为简单的问题，相似是三角形中的常用思路； 方法三：正弦定理和余弦定理相结合是解三角形问题的常用思路； 方法四：构造辅助线作出相似三角形，结合余弦定理和相似三角形是一种确定边长比例关系的不错选择； 方法五：平面向量是解决几何问题的一种重要方法，充分利用平面向量基本定理和向量的运算法则可以将其与余弦定理充分结合到一起； 方法六：建立平面直角坐标系是解析几何的思路，利用此方法数形结合充分挖掘几何性质使得问题更加直观化. 19. 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，其中分别为的中点，点满足. （1）证明：； （2）若底面，则棱上是否存在点，使得平面与平面的夹角为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）证明:过点作的平行线，交于点， 过点作的平行线，交于点，连接， 与交于点，连接.   因为，则四边形为平行四边形， 则，所以为的中点， 又为的中点，所以， 所以，即， 因为，所以， 故四边形为平行四边形，所以. 又为的中点，由， 得，所以， 故. （2）存在，或 【解析】 【分析】（1）利用作辅助线，证明四边形为平行四边形，结合线段成比例，即可证明结论； （2）假设棱上存在点满足题意，建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，根据空间角的向量求法，建立方程，即可求得答案. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 因为底面，面， 所以， 又，所以两两垂直. 因为，所以， 设，则， 故. 以为坐标原点，分别以的方向为轴的正方向， 建立如上图所示的空间直角坐标系. 所以， 设存在点，使得平面与平面的夹角为， 且. 由，得，所以， 故. 设平面的法向量为， 则，可取， 设平面的法向量为， 则 可取， 所以， 解得或. 所以当或时，平面与平面的夹角为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $