2.2二次函数的图象与性质（第4课时）教学设计2025-2026学年北师大版数学九年级下册

该初中数学教学设计聚焦二次函数一般式y=ax²+bx+c的图象与性质，重点探究对称轴、顶点坐标的确定方法及应用。通过复习顶点式y=a(x-h)²+k的顶点和对称轴，结合具体函数y=x²+4x+3让学生尝试配方，搭建旧知到新知的学习支架，实现从顶点式到一般式的自然过渡。 此设计以引导发现法通过问题链引导学生自主配方推导顶点坐标公式，体现数学思维中的推理意识，借助数形结合法直观展示公式与图像特征的对应，发展数学眼光中的几何直观，例1具体函数配方、例2公式推导及例4实际问题应用，结合小组讨论与分层练习，提升学生抽象能力与运算能力，为教师提供清晰教学路径，助力高效课堂实施。

2.2二次函数的图象与性质（第4课时） 教学设计 一、内容与内容解析 （一）教学内容 本节课是北师大版初中数学九年级（下册）第2章“二次函数”的第2节。内容包括二次函数一般式 y=ax²+bx+c 的性质探究 （二）教学内容解析 这是在学生学习了二次函数顶点式和图像的基础上，对一般式的进一步研究，从"配方法"到"公式法"，是数学思维从具体操作到抽象概括的提升，为后续解决二次函数的综合应用问题奠定理论和计算基础。基于以上分析，确定本节课的教学重点为： 【教学重点】掌握二次函数y=ax2+bx+c图象对称轴与顶点坐标的确定方法，能运用其性质解决实际问题。 二、目标与目标解析 （一）教学目标 1. 学生能通过配方法将二次函数一般式转化为顶点式，理解顶点坐标公式的推导过程 2. 学生能熟练运用顶点坐标公式求二次函数的顶点、对称轴，并判断函数的最大（小）值 3. 学生能结合函数图像，综合运用一般式的性质解决简单的数学问题 （二）教学目标解析 目标1 是过程性目标，重在让学生体验知识的形成过程，而不是死记硬背公式 目标2 是技能性目标，要求学生将公式内化为计算工具，提升运算能力 目标3 是应用性目标，强调知识的综合运用，培养学生的数学思维和解题能力 三、学生学情分析 已有基础：学生已经掌握了二次函数的概念、图像和顶点式 y=a(x-h)²+k 的性质学生具备一定的代数变形能力，如去括号、合并同类项，学生初步接触过用配方法解一元二次方程 潜在困难：对 y=ax²+bx+c 进行配方时，系数 a 不为1，变形过程容易出错，顶点坐标公式形式复杂，符号容易混淆，从代数表达式到函数图像性质的转化，数形结合能力有待加强基于以上分析，确定教学难点如下： 【教学难点】将y=ax2+bx+c转化为顶点式，理解并应用其性质解决复杂实际问题。 四、教学策略分析 1. 引导发现法：通过设置问题链，引导学生自主完成配方过程，发现顶点坐标公式 2.讲练结合法：教师精讲关键步骤和易错点，学生通过练习巩固知识和技能 3.数形结合法：借助函数图像，直观展示公式与图像特征的对应关系，帮助理解 4.小组讨论法：对于综合性问题，组织小组讨论，促进思维碰撞和合作学习 五、教学过程分析 （一）复习引入 活动：提问二次函数顶点式 y=a(x-h)²+k 的顶点和对称轴是什么？ 给出一个具体函数如 y=x²+4x+3，让学生尝试用配方法转化为顶点式 设计意图：回顾相关知识，唤起先前记忆，为本节的学习奠定基础和创造条件. （二）主动参与、感悟新知 例1 求二次函数 y = 2x2 - 8x + 7 图象的对称轴、顶点坐标和增减性. 解：y = 2x2 - 8x + 7 = 2(x2 - 4x) + 7 = 2(x2 - 4x + 4) - 8 + 7 = 2(x - 2)2 - 1 因此，二次函数 y = 2x2 - 8x + 7 图象的对称轴是直线 x = 2，顶点坐标为 (2,-1)，当 x＜2 时，y 随 x 的增大而减小，当 x＞2 时，y 随 x 的增大而增大. 练习1：确定下列二次函数图象的对称轴和顶点坐标： (1) y = 3x2 - 6x + 7； (2) y = 2x2 - 12x + 8. 例2：求二次函数图象的对称轴和顶点坐标。 我们来研究一般形式的二次函数：（其中），用配方法将其化为顶点式。 第一步：提取二次项系数： 第二步：配方： 第三步：把前三个项合成一个完全平方： 第四步：展开括号，整理常数项： 整理常数项： 所以： 或者： 因此可以得出： 对称轴是直线 ，顶点坐标是 例3：求函数y＝2x2－4x＋1的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标及函数的最大值或最小值. 解：y＝2x2－4x＋1＝2(x－1)2－1， ∵a＝2＜0， ∴该函数的开口向上，对称轴是直线x＝1，顶点坐标为(1，－1)， ∴y有最小值，当x＝1时，y的最小值为－1 练习2：确定下列二次函数图象的对称轴和顶点坐标： (1) (2) 例4：两条钢缆具有相同的抛物线形状.按照图中的直角坐标系,左面的一条抛物线可以用 表示,而且左右两条抛物线关手y轴对称． ⑴钢缆的最低点到桥面的距离是少？ ⑵两条钢缆最低点之间的距离是多少？ ⑶图中右面钢缆的表达式是什么吗? 你是怎样计算的？与同伴交流。 （三）课堂总结 1、本节课研究了什么问题？ 2、本节课经历了怎样的研究过程？用到了哪些数学思想？ 3、对今后数学研究的启发？你还有哪些疑惑呢？ 【设计意图】梳理知识脉络，提炼核心方法，帮助学生形成系统的认知，同时加深对代数式价值的理解。 （四）布置作业、巩固提高 1. 抛物线y＝x2－2x－3的对称轴和顶点坐标分别是(　　) A. 直线x＝1，(1，－4) B. 直线x＝1，(1，4) C. 直线x＝－1，(－1，4) D. 直线x＝－1，(－1，－4) 2.求下列函数图象的开口方向、对称轴及顶点坐标. （1）y＝x2－4x－1；2）y＝－2x2＋4x－3. 3、 抛物线y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，下列判断中不正确的是( ) A.a<0 B．b<0 C．c>0 D．a＋b＋c<0 4、 已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，其对称轴为x＝－1，给出下列结论：①abc＞0；②2a＋b＝0；③a＋b＋c＞0；④a－b＋c＜0，其中正确的结论是__________(只填序号). 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $