物理强基讲义-第一章7-9节

高中物理强基计划系统讲义 第一章：运动学 1.7抛体运动 1.7.1抛体运动的基本公式 抛体运动是物体在重力作用下以初速度斜抛或平抛的运动。 设初速度为vo,抛射角为日，则： -水平方向：匀速直线运动，x=vocOs6·t -竖直方向：匀变速直线运动，y=vsin6·t-gt 轨迹方程（消去)： gx? y=xtan0- 2v%c0s20 利用sec20=1+tan20,可写为： y=xtan0_ 9 (1+tan0) 2v% 1.7.2抛体运动的特性分析 (1)射程、射高与飞行时间（起落点同一水平面） 飞行时间：T=2vosm0 最大高度：H=血g 2g 水平射程：R=6sm29 问题：以初速度Vo,抛射角日斜抛，求最大水平射程及其对应的角度。 方法一：标准水平竖直分解（推荐方法） 这是最自然、最符合直觉的分解方式，因为重力加速度正好在竖直方向上。 速度分解： 水平初速度：Vox=Vocost0 竖直初速度：Voy=Vosine0 运动方程： 水平方向（匀速）：x=Voxt=Vocost0·t 竖直方向（匀变速）：y=vowt-gr2=-vosin8t-gt 落地条件：当物体落地时，y=0(假设起落点同一高度)。 0-vosing 383 1 t(vosinet=0 解得飞行时间T=o血（舍去t=0的解）。 g 求水平射程：将T代入水平位移公式： R=x(T)=voc0s0.2 vosin9=号·2sin0cos0 利用三角恒等式2sin0cos0=sin20: 高中物理强基计划系统讲义 R=Visin20 求最大射程：由R=62e可知，当sin20最大时，R最大。 sin20max=1=20=90°=0=45° 结论：当抛射角为45”时，水平射程最大，最大值为R=三。 这个过程清晰、直接，一步到位。 方法二：沿初速度及其垂直方向分解（繁琐方法） 我们来看看如果用这种方法会怎样。 建立坐标系： 设ū为初速度方向的单位矢量。 设币为垂直于初速度方向向上的单位矢量。 重力加速度三需要在这两个方向上分解。分解后，三在D方向的分量是-gc0s0(负号是因为重力向下， 而∮向上)，在1方向的分量是-gsin0。 运动方程： 沿i方向：初速度为vo,加速度为一gsin0。s=vot-号(gsin0)t2 沿p方向：初速度为0，加速度为-gcos0。p=0t-(gcos0)t2-gcos0t 落地条件与求射程： 我们需要的是水平位移x和竖直位移y。 通过坐标变换，将（⑧，sp)转换回水平竖直坐标系(，y): 1 x=Sucos0 +sp(-sin0)=(vot-gsine t2)cos+(gcose t2)(-sine) y=4sm0+s,6cos0=oi-gsin0内sine+(-方9cos0t的eos0) 1 1 简化y的表达式： y=vwsm用n0rRcos0t2=wsn036en0+cos02=vwsn0tgr 这又回到了标准分解的竖直位移公式。 令y=0同样得到T=om。 再将T代入简化后的x表达式（过程更复杂），最终才能得到R=5m2。 1.7.3斜抛运动拓展 考虑空气阻力：m业=-k,mg=-mg-kw, dt dt 1.7.4最佳抛射角 ·当0=4灯时，水平射程最大：R= •对于不同高度的目标，最佳抛射角不同（可借助包络线求解） 问题：越过障碍物的最优抛射角 假设从地面以初速度Vo抛射物体，要越过一个高度为h、水平距离为d的障碍物，求所需的最小初速 度和对应的抛射角。 使用沿初速度-重力方向分解的思路： 高中物理强基计划系统讲义 设抛射角为日，建立沿初速度方向的运动分析： 沿初速度方向：s1=vot-gsin0.t 1 沿重力方向：s1=gcos8:t2 关键约束：当物体到达障碍物顶部时（水平距离d,高度h),必须满足：1.沿初速度方向的位移在水 平方向的分量等于d2.沿初速度方向的位移在竖直方向的分量减去重力方向的位移等于h 通过这种分解，可以建立关于t和日的方程组，求解得到最优抛射角日pt和对应的最小初速度Vo,mm。 优势：这种分解直接关联到“瞄准方向？（初速度方向），在涉及障碍物规避的问题中物理图像更清晰。 物体从高h处以Vo斜向上抛出，初速度与水平方向夹角为，落到水平地面，求以多大角度发射时水平射 程最大？ 00 要解决“从高h处斜上抛物体，求水平射程最大的发射角，并证明当初末速度垂直时射程最大”的问题， 可通过机械能守恒和速度矢量三角形的面积分析推导，步骤如下： 步骤1：机械能守恒确定末速度大小 物体初始机械能（动能+重力势能）为：E初-mv+mgh(以地面为零势能面)。落到地面时，机械能 为末动能：E来=m2。 由机械能守恒E初=E末，消去质量m得： v2=vo+2gh 因此，末速度大小v恒定（仅与Vo、h有关）。 步骤2：速度矢量的三角形关系 斜上抛运动中，速度的变化由重力加速度引起。设运动时间为t,则速度变化量为t(竖直向下)。根 据矢量运算法则，末速度、初速度和速度变化量gt满足： 寸=%+(-g) 即t=-,三者可构成矢量三角形(、寸为两边，gt为第三边)。 步骤3：水平射程与矢量三角形面积的关系 水平射程x由水平分速度和时间决定：x=Voxt=Vocost0·t(vox=vocos0为水平初速度)。 观察速度矢量三角形的面积：若以为底，其对应的高与“gcos0”成正比，则面积S可表示为： 8分0 将水平射程公式x=vocos0·t代入，得： 1 S= 即 高中物理强基计划系统讲义 2S X= g 。因此，水平射程x与矢量三角形的面积S成正比一要最大化x,只需最大化S。 步骤4：两边固定时，三角形面积最大的条件 矢量三角形中，（大小固定）和（大小固定，由机械能守恒）为两边，第三边为。根据三角形面 积公式： 1 S=2 absin吨 (其中a=vo,b=v,中为与立的夹角)。 由于o和v大小固定，当sin中=1（即φ=90°）时，面积S最大。此时，⊥寸（初速度与末速度垂 直)。 结论 当初速度与末速度垂直时，速度矢量三角形的面积最大，对应水平射程x最大。 (补充：若用竖直位移公式直接推导，会涉及复杂的三角函数极值求解；而通过“矢量三角形+机械能守 恒”的方法，利用两边固定时垂直面积最大”的几何结论，可更简洁地证明这一规律。) 1.7.5抛体运动的包络线 (1)包络线的概念 包络线是指所有可能的抛体轨迹所形成区域的边界线。对于给定的初速度v,不同的抛射角日会得到 不同的轨迹，这些轨迹的包络线是一个抛物线。 (2)包络线的推导 轨迹方程可写为： y =xtan0_ 1+tan20 令u=tan6,则： y=ux- gx 1+u2) 2v% 整理得： gx u-xu+ gx =0 2v6 y+ 2v 这是一个关于的二次方程，有实根的条件是判别式大于等于零： 4=x2、4.9℃ 2w y+ gx ≥0 2v 化简得： 1+) 0 高中物理强基计划系统讲义 即： vo gx2 y≤2g2% 所以包络线方程为： y gx2 (3)包络线的物理意义 包络线内的任何点都可以被以适当角度抛出的物体击中 包络线外的点无论以什么角度抛出都无法击中 包络线的顶点在0，)，与地面交点在（士运，0） 20 1.7.6斜面抛体运动 当抛体在斜面上抛出时，分析方法类似，但坐标轴需沿斜面方向建立。 例题：在倾角为α的斜面上，以初速度vo、与斜面成θ角抛出物体，求落回斜面的位置。 解： 1.建立坐标系：x轴沿斜面向上，y轴垂直斜面向上 2.加速度分量：·ax=-gsina·ay=-gcosa 3.运动方程：-x=vcos0:t-号gsina·tP-y=vosin6:t-9cosa·t 4.落回斜面时y=0,解得： t= 2vosine gcosa 5.代入x表达式得落点位置： 2vsinecos0 2vsin0-sina X= gcosa gcos-a 1.7.7综合例题 问题：一门炮以初速度。发射炮弹，忽略空气阻力，求炮能击中的最远目标的高度和位置。 解： ·最远目标位于包络线上·包络线方程为y=-g二 2g 2v ·当x=0时，y=,这是最高点 ·当y=0时，解得x=,这是最远射程 ·因此，炮能击中的最远目标位于（总，0，最高目标位于(@》 例题：抛体运动轨迹的曲率半径计算 一个抛射体以初速度。与水平方向成日角抛出，忽略空气阻力。求其抛物线轨迹在最高点的曲率半径。 解答： 抛体运动的轨迹为抛物线。在最高点，垂直速度分量为零，只有水平速度分量vx=vcos0。此时，加速 度为重力加速度g向下，方向垂直于速度方向（速度水平），因此向心加速度a。=g。 曲率半径R与速度v和向心加速度ac的关系为： 高中物理强基计划系统讲义 R= ac 代入最高点的速度v=vocos6和a。=g,得： R=(vocose)2 vocos20 g g 因此，抛体轨迹在最高点的曲率半径为6co。 讨论： 此结果显示了曲率半径与初速度v0、抛射角0和重力加速度g的关系。当日=0时，曲率半径最大： 当日=90°时，曲率半径为零（对应竖直上抛，最高点速度为瞬零，但实际中需考虑点质量模型)。此计算 在物理中常用于分析曲线运动的弯曲程度。 斜抛运动分解方法：沿初速度方向与垂直方向的独特优势 这种沿初速度方向和垂直于初速度方向的分解方法，在解决特定问题时具有意想不到的简化效果。 它特别擅长解决以下几类问题： 1.“一击即中类问题（相对运动问题) 这是最经典、最能体现该方法优势的场景。 典型问题：在空中某一高度，一个目标（如猴子）以初速度：开始自由下落。同时，在地面上某点， 一个抛射体（如子弹）以初速度。射出。问：只要瞄准了目标初始位置，就一定能击中，这是为什么？ -传统方法（水平-竖直分解）：需要分别列出目标和子弹的水平、竖直位移方程，然后联立求解，证明它 们会在某一时刻相遇。计算过程相对繁琐。 一本方法（沿初速度方向分解）： 1.我们站在抛射体上，以抛射体自身为参考系来观察目标。 2.在这个参考系中，抛射体自己是“静止”的。目标的运动，可以看作是： -目标相对于抛射体有一个初始的相对速度-。 -同时，目标还受到重力的作用。但是，在这个非惯性参考系中，为了应用牛顿定律，我们需要引入一个 “惯性力”-mg,这个力作用在目标上。 3.现在，我们沿着抛射体的初速度方向。和与之垂直的方向进行分解。 一在垂直于。的方向上，目标的初始相对速度是而-)1。 -而重力加速度可在这个垂直方向上有一个分量可1。 4.关键洞察：如果我们一开始就瞄准了目标（即。指向目标的初始位置），那么在垂直于。的方向 上，目标的初始相对位移和初始相对速度都为零！它在这个方向上唯一的运动来源就是重力分量可，导致的 匀加速运动。 5.结论：无论目标的初始速度：如何，只要抛射体和目标在重力场中，它们在这个垂直方向上的运动 是完全同步的（都是从静止开始，以相同的加速度可1运动)。因此，抛射体必然会在某个时刻击中目标。 这个方法将一个复杂的相对运动问题，简化为了一个方向上的简单匀加速运动问题。 2.求解特定方向上的最值问题 典型问题：在斜抛运动中，求物体在某一特定方向（例如，与水平面成30°角的方向）上的最大位移。 -传统方法：需要先将运动轨迹方程进行坐标旋转，或者求出任意时刻在该方向上的位移分量函数，然后 再求极值。过程复杂。 一本方法：如果这个“特定方向”恰好就是初速度方向市。，那么问题就变得极其简单。 高中物理强基计划系统讲义 沿。方向是匀速运动，位移为vot。 垂直于此方向，位移为912（其中91是重力加速度在垂直方向的分量）。 物体到抛出点的距离s= (ot)2+(591t2)2。 通过分析这个函数求极值，或者直接分析垂直位移分量，思路非常清晰。当问题与“沿初速度方向”紧密 相关时，这种分解是天然的利器。 3.分析与初速度方向相关的物理量 典型问题：求物体速度方向垂直于初速度方向的时刻；或者求物体相对于抛出点的位移方向与初速度方 向成某一角度的时刻。 -在这种分解下，物体的速度可以自然地表示为： =。+gt -沿初速度方向的速度分量是v。(恒定)，垂直方向的速度分量是g1t。 -当速度方向垂直于初速度方向时，就意味着沿初速度方向的速度分量为零？不对，因为沿初速度方向的 速度分量恒为v,永远不会为零。正确的理解是：当合速度在初速度方向。上的投影为零时，即 ·。=0。用分解的观点看，就是当垂直方向的速度分量“完全抵消”了沿初速度方向的速度分量在另一个方向 上的效果时。虽然这里用点乘更直接，但这种分解为理解速度矢量的旋转提供了清晰的图像。 总结 这种分解方法的核心优势在于： 1.参考系的选择：它本质上是选择了一个“跟随抛射体初始动量”的参考系。在这个参考系中，沿初速度 方向的复杂运动被“冻结”了，问题被简化到只剩下一个垂直方向上的匀加速运动。 2.问题的针对性：当问题强烈地依赖于“初速度方向”这个特定方向时（例如，瞄准、特定方向的位移/ 速度)，这种分解是“量体裁衣”的，可以直接触及问题的物理本质，避免不必要的坐标变换和复杂的代数运算。 3.分析能量转化 问题：斜抛运动中的能量转化分析 考虑以初速度v、抛射角日斜抛的物体。 使用沿初速度-重力方向分解的能量分析： 初始状态(t=0): 总动能：Ek=mv6 沿初速度方向的动能：二mv3 沿重力方向的动能：0 任意时刻t: 沿初速度方向： -速度：v=vo-gsin0·t -动能：E=mvo-gsin6·t) 沿重力方向： -速度：v1=gcos0·t -动能：Ek1=m(gcos6·t护 重力势能：Ep=mgh=mg(s1sin9-s)其中s1=vot-gsin0·t,s1=gcos9·t 高中物理强基计划系统讲义 能量转化过程： 4.上升阶段： -沿初速度方向的动能Ek,逐渐转化为： 沿重力方向的动能Ek1 重力势能E, 5.顶点时刻(，=0)： -沿初速度方向的动能达到最小值 -重力势能达到最大值 一沿重力方向的动能为零 6.下降阶段： -重力势能E。逐渐转化回： 沿初速度方向的动能Ek! 沿重力方向的动能Ek1 验证能量守恒： 总机械能： Etotal=Bk1+Ek1+Ep=mv哈=常数 物理意义：这种分解清晰地展示了：·动能如何在两个特定方向间重新分配·势能与动能之间的转化路 径·为什么尽管速度分量不断变化，但总机械能保持不变 总结 沿初速度-重力方向分解在分析： -约束优化问题（如障碍物规避）时，提供了直接的瞄准”视角 ~能量转化过程时，揭示了动能在不同方向间的重新分配机制 这种方法虽然在某些问题中计算复杂，但提供了独特的物理洞察，有助于深入理解斜抛运动的本质。 1.8追击问题 1.8.1追击问题的基本概念与分类 追击问题是指两个或多个物体在运动中，一个物体追赶另一个物体的运动学问题。这类问题在物理竞赛 和强基计划中占有重要地位。 基本分类：1.直线追击问题2.曲线追击问题3.圆周追击问题4.最速追击问题5.多维空间追击问题 1.8.2直线追击问题 (1)匀速直线追击 基本模型：追击者以速度v1,被追者以速度v2(v,>v2)沿同一直线运动，初始距离为so 追及条件：·追及时间：t=Sov1-v2)-追及距离：s=vt=vS/w1-v2) 例题1：甲车以20m/s匀速前进，乙车在甲车后100m处以30m/s匀速追赶。问乙车何时追上甲车？ 解：t=100(30-20)=10s (2)匀加速直线追击 基本模型：追击者和被追者都做匀加速直线运动，加速度分别为a?、a2,初速度分别为v0v20。 高中物理强基计划系统讲义 追及条件：追击者位移：S1=vot+at2 被追者位移：S2=v2ot+a2t2+S0 追及时：S,=S2 例题2：甲车以10m/s匀速前进，乙车在甲车后50m处由静止以2ms2加速追赶。问乙车何时追上甲车？ 解： -甲车位移：S4=10t ·乙车位移：SB=×2×t2=t -追及条件：t2=10t+50 -解得：t2-10t-50=0 -t=(10+V100+200)/2=(10+10W3)/2=5+5V3≈13.66s 1.8.3曲线追击问题 (1)抛体运动中的追击 例题3：猎人瞄准树上的猴子，在猎人开枪的同时猴子自由下落。证明子弹能击中猴子。 解： ·建立坐标系，原点在枪口 .子弹运动：x=vcs6:t,y=vosine6·t-9t -猴子运动：x=L,y=H-9t ·若瞄准时满足tan9=HL,则子弹轨迹方程为y=an0- 2v6cos2日 ·当x=L时，y=a96=H- ·而此时猴子位置：y=H-gt2,其中t=L/vocosθ》 .代入得猴子y坐标：H-9Um,co9=H- gL2 ·与子弹y坐标相同，故能击中 (2)圆周追击问题 基本模型：两物体在圆形轨道上以不同角速度运动。 追及条件： -同向追击：△w·t=2πkk=,2,3,..) 相向追击：(w1+ω2t=2πk(化=1,2,3，..) 例题4：在周长为400m的圆形跑道上，甲每秒跑6m,乙每秒跑4m。两人从同一点同向出发，问多久后 第一次相遇？ 解： -相对速度：6-4=2m/s -第一次相遇时间：t=400/2=200s 1.8.4最速追击问题 (1)狗追人问题 例题5：人在河边以速度v沿河岸直线行走，狗在河对岸的A点，狗的速度为u(u>)。求狗追上人的最 短时间。 解： 高中物理强基计划系统讲义 -设河宽为d,人初始位置在原点，狗在(Qd) ·设狗的运动方向与y轴夹角为日 -狗的速度分量：Vx=usin,vy=-ucos8 -人的位置：(vt,0) -狗的位置：usin0·t,d-ucos0·t) -追及时：usin0·t=vt且d-ucos6·t=0 -由第二式得：t=d/ucos) -代入第一式：usin0·d/ucos)=vd/(ucos) -化简得：tan0=vhu -最短时间：tmm=d/u·cos0)=d/u·(w/Wu2+v2)=dVu2+v严(u2) (2)狼追羊问题 例题6：狼在原点，羊在(O,d)处。羊以速度v沿x轴正方向逃跑，狼以速度u(u>v)始终朝向羊追。求狼 的轨迹和追及时间。 解： ·建立极坐标，设狼的位置为饣，) -羊的位置：(wt,O) -狼的速度始终指向羊，因此：血=-u+sim日r.d=-vcos0 dt dt 。两式相除：声=Tu-sn6cos0)即可顺利解得轨迹方程。 ·追及时间需要用数值方法求解 1.8.5相对运动法解追击问题 (1)相对速度法 基本思想：以被追者为参考系，分析追击者的相对运动。 例题7：A船以速度v4朝北航行，B船在A船东侧d处，以速度vB朝某个方向航行。求B船相对A船的最 短距离。 解： ·以A船为参考系，A船静止 -B船相对速度：BA=市B-4 -B船相对初始位置：(d,O) ·最短距离发生在相对速度方向垂直于两船连线时 ·最短距离：dmin=d·sina,其中a为相对速度与初始连线的夹角 (2)相对加速度法 例题8：两车在同一直线上，前车以加速度a,做匀加速运动，后车以加速度a2(a2>a)追赶。求追及时间。 解： ·相对加速度：arel=a2一a -相对初速度：Ve1=V20-V10 -相对初距离：Sre1=So -追及条件：relt+aal·t=Sral ·解此二次方程即得追及时间