4.1数列的概念第1课时同步练习-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

4.1数列的概念第1课时同步练习、解答、细目表 南宁市第三中学 命题教师：陶新军 一、单选题 1．下列说法正确的是（    ） ①数列1，3，5，7与数列7，3，5，1是同一数列；②数列0，1，2，3...的一个通项公式为； ③数列0，1，0，1…没有通项公式；④数列是递增数列 A．①③ B．②④ C．②③ D．②③④ 2．已知数列，2，，，，…，，，…，则是这个数列的（    ） A．第19项 B．第20项 C．第21项 D．第22项 3．已知数列中，，则（    ） A．2 B． C． D．1 4．在数列中，已知，，则（    ） A．11 B．0 C．1 D．2 二、多选题 5．已知数列满足：，则以下说法正确的是（    ） A．数列为单调递减数列 B． C． D． 6．对于数列，令，则下列说法正确的是（　　） A．若数列是单调递增数列，则数列也是单调递增数列 B．若数列是单调递减数列，则数列也是单调递减数列 C．若，则数列有最小值 D．若，则数列有最大值 7．设函数，数列满足，，且数列是递增数列，则实数可取（    ）. A． B． C． D． 三、填空题 8．给出以下数列：①、、、、；②、、、、、；③、、、、；④、、、、、.其中，有穷数列为 ；无穷数列为 ；递增数列为 ；递减数列为 ；常数列为 .（填序号） 9．已知数列的通项公式为，，则它的第项是 . 10．设数列的前n项和为，若，，且．则 ；使得成立的n的最小值为 ． 四、解答题 11．已知数列各项均为正数，为其前项和，且对任意的，都有． （1）求数列的通项公式； （2）若对任意的恒成立，求实数的最大值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 4.1数列的概念第1课时同步解答、细目表 题号 1 2 3 4 5 6 7 答案 B C A C AD CD BC 1．B 【分析】根据数列的概念即可判断A项；代入可判断B项；根据数列中前几项的特点写出通项可说明C项错误；作差法求与0的关系可判断D项. 【详解】数列有顺序，①错误；逐个代入检验，可知数列前几项满足通项公式，②正确； 就是③的一个通项公式，③错误； 设，则， 所以，，所以④正确. 故选：B. 2．C 【分析】令，解出即可得. 【详解】令，解得， 所以是这个数列的第项. 故选：C. 3．A 【分析】根据已知递推公式，求出的值，即可得出数列是一个以3为周期的数列，进而得出答案. 【详解】由已知可得， ，，， ，， 所以，数列是一个以3为周期的数列， . 故选：A. 4．C 【分析】计算数列的前几项得出其是周期数列，并得出周期，由周期可计算各项． 【详解】由，得，所以，，，，又的值以4为周期循环出现，所以数列是以4为周期的数列，所以（项数较大，可先考虑周期性）． 故选：C． 5．AD 【分析】根据数列通项公式判断单调性，写出相关项依次判断其它各项正误. 【详解】因为， 所以， 所以为递减数列，A对； 易知，则，B错； 由，故，C错； 由，故，D对. 故选：AD 6．CD 【分析】对于A，B，取特殊值结合单调性的定义即可判断； 对于C，若，利用数列的单调性即可判断； 对于D，若，分为奇数和偶数，利用数列单调性即可判断 【详解】若，则，，所以，所以A不正确． 若，则，，所以，所以B不正确． 若，则数列为单调递增数列，所以当时，取最小值.又函数在上为增函数， 所以当时，数列取得最小值，所以C正确． 若，则，由于函数在上是增函数． 当为偶数时，，所以，当为奇数时，，显然是单调递减的，因此也是单调递减的， 即，所以的奇数项中有最大值为， 所以是数列中的最大值，所以D正确． 故选：CD. 7．BC 【分析】由一次函数单调递增，可得和，且，即可得出结果. 【详解】且且 故选：BC. 【点睛】本题考查了函数单调递增和数列单调递增的定义，考查了计算能力，属于一般题目. 8． ②④ ①③ ② ④ ③ 【分析】利用数列的概念、单调性判断即可. 【详解】有穷数列为②④；无穷数列为①③；递增数列为②；递减数列为④；常数列为③. 故答案为：②④；①③；②；④；③. 9． 【分析】将代入通项公式即可. 【详解】，. 故答案为：. 10． 【分析】首先赋值求得，再利用数列的周期，讨论，利用周期性求和，即可求解. 【详解】由， 令，得， 又，，所以； 由，得， 所以，所以数列是周期为3的数列，， 如果是3的倍数，设，，，得， 所以最小的为203，此时， 若，，，得， 所以的最小值为，此时， 若，，，得， 所以的最小值为，此时， 所以使成立的的最小值为. 故答案为：； 11．（1）；（2）． 【分析】（1）利用的关系求出通项公式； （2）通过恒成立转化，将问题变成求数列的最小值即可． 【详解】（1）当时， ，又各项均为正数 ； 数列是等差数列，； （2），若对于任意的恒成立，则 令，关于递增， 当时， 因，，所以的最大值为 题号 难度 知识点 一、单选题 1 全部 数列的概念及辨析 2 全部 根据规律填写数列中的某项 3 全部 数列周期性的应用 4 全部 数列周期性的应用 二、多选题 5 容易 判断数列的增减性 6 全部 确定数列中的最大（小）项 7 全部 根据数列的单调性求参数 三、填空题 8 全部 有穷数列和无穷数列 9 全部 判断或写出数列中的项 10 全部 数列周期性的应用 四、解答题 11 全部 判断数列的增减性,根据数列的单调性求参数 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $