16.3.1平方差公式导学案2025-2026学年人教版数学八年级上册

该初中数学导学案围绕平方差公式展开，通过课前预习回顾多项式乘法法则，设计不同层次的计算问题引导学生发现规律，搭建从多项式乘法到平方差公式的学习支架，帮助学生理解公式的形成过程。 资料注重探究式学习，通过计算观察培养学生抽象能力，结合代数推导与图形面积说明发展几何直观，设置辨析环节强化推理意识，分层练习涵盖基础应用与拓展提升，有效培养学生数学思维和应用意识，适合课堂教学使用。

平方差公式 一、学习目标 1.理解平方差公式，能熟练进行相关计算； 二、课前预习 回顾多项式乘法法则 1.计算下列各式：(1)(a+3)(b-2); (2)(2-3a)(1-4b); 2.计算下列各式：(1)(a+3)(a-2); (2)(2-a)(1-a); 3.计算下列各式：(1)(x+5)(x-5); (2)(2y+3)(2y-3). 你能从上面的计算发现什么规律？ 当a=b时，结果变为三项式 当a=b,p=-q时，结果变为二项式 【探究】 计算下列多项式的积，你能发现什么规律? (1) (x+1)(x-1) =_____; (2) (m+2)(m-2) =_____; (3)(2x+1)(2x-1) =_____. 3、 课堂学习 1.平方差公式 上面的几个运算都是形如a+b的多项式与形如a-b的多项式相乘.因为 (a+b)(a-b)=a²-ab+ab-b²=a²-b², 所以，对于具有与此相同形式的多项式相乘，可以直接写出运算结果，即 (a+b)(a-b)=a²-b². 也就是说，两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差. 这个公式叫作(乘法的)平方差公式. 思考 你能根据图16.3-1中图形的面积说明平方差公式吗? 2.例题讲解 例1运用平方差公式计算： (1) (3x+2)(3x-2); (2)(-x+2y)(-x-2y). 解： (1)(3x+2)(3x-2) =(3x)²-2² =9x²-4; (2)(-x+2y)(-x-2y) =(-x)²-(2y)² =x²—4y². 小结：运用平方差公式关键首先是要辨析清楚谁是a,谁是b. 辨析： 下面的计算能否用平方差公式，计算的是否正确?如果不正确，应当怎样改正? (1)(x+2)(x-2)=x²-2; 分析：可以用平方差公式，计算错误，改正：(x+2)(x-2)=x²-22; (2)(-a-2)(a-2)=a²-4; 分析：可以用平方差公式，计算错误， 改正： 或者：(-a-2)(a-2)=(-2-a)(-2+a)=（-2)²-a2=4-a2=-a2+4; (3)(x+2y)(-x-2y)=x²-4y²; 分析：不可以用平方差公式， 改正：(x+2y)(-x-2y)=-(x+2y)(x+2y)=-（x2+4xy+4y2）=-x2-4xy-4y2 (4)(3a+4b)(4a-3b)=9a²—4b². 分析：不可以用平方差公式， 改正：(3a+4b)(4a-3b)=12a²+7ab-12b². 小结：运用平方差公式其次是要辨析清楚是不是a与b的和乘以a与b的差. 3.公式应用 例2计算： (1)(x-1)(x+1)(x²+1); (2)(y+2)(y-2)-(y-1)(y+5); (3)102×98. 解： (1) (x—1)(x+1)(x²+1) =(x²-1)(x²+1) =x⁴-1; (2) (y+2)(y-2)-(y-1)(y+5) =y²-2²-(y²+4y-5) =y²-4-y²-4y+5 =-4y+1; (3)102×98=(100+2)(100—2) =100²-2² =10000-4 =9996. 变式训练 1.计算： (1)(a+3b)(a-3b); (2)(a+b+c)(a-b-c); (3) (xy+1)(x²y²+1)(xy-1); (4) (3x+4)(3x-4)-(2x+3)(3x-2). 2.运用平方差公式计算： (1)51×49; (2)2005×1995. 4、 课堂练习 1.利用平方差公式计算： (1)(5+6x)(5-6x); (2)(x-2y)(x+2y); (3)(-m+n)(-m-n). 2.利用平方差公式计算： (1)(-4x-y)(-4x+y); (2)(ab+8)(ab-8) 3.利用平方差公式计算： (1)103×97; (2)118×122. 4.计算： (1)a²(a+b)(a-b)+a²b²; (2)(2x-5)(2x+5)-2x(2x-3). (3)(x+2y)(x-2y)+(x+1)(x-1); (4)x(x-1)-(x-)(x+). 5、 课后练习 1.(a+b)(a-b) =______. 2.(2x—3)(2x+3) =______. 3.(-3b+a)(-3-a)=______. 4.(-p-)(-p+) =______. 5.(x²-2y)(-x²-2y)=______. 6.( )(a+1)=1-a². 7.(x+y)( )=y²-x². 8.( )(-x-y)=x²-y². 9.(2x+____)(____-3y)=-9y²+4x². 10.200.5×199.5=__________, 11.下列运算正确的是( ) A.(a-2b)(a-2b)=a²—4b² B.(-a+2b)(a-2b)=-a²+4b² C.(a+2b)(-a+2b)=a²-4b² D.(-a-2b)(-a+2b)=a²-4b² 12.下列各式中能用平方差公式计算的是( ) A.(x-y)(-x-y) B.(2m+3n)(3m-2n) C.(4a-3b)(3b-4a) D.(a-3)(3-a) 13. 计算 (1) a²-(a+3)(a-3) (2) (2x³y⁵-3a²b⁴)(-2x³y⁵-3a²b⁴) (3) (2a-3b)(2a+3b)-(-a+2b)(-a-2b) (4) (a-b)(a+b)(a²+b²)(a⁴+b⁴)(a⁸+b⁸) (5) (a+b-c)(a+b+c) (6) (a+b-c)(a-b+c) (7)102×98 (8)82×78 14. 已知x=2025,(x+3)(3-x)+(x-1)(x+1)的值 15. 已知x²-y²=8,x-y=2,求x²+y²的值. 16. 计算：(2+1)(2²+1)(2⁴+1)(2⁸+1)…(232+1). 17.计算：100²-99²+98²-972+…+4²-3²+2²-1. 学科网（北京）股份有限公司 $