精品解析：湖南省长沙市名校联合体2025-2026学年高二上学期10月月考数学试题（A卷）

名校联考联合体2025年秋季高二第二次联考 数 学（A卷） （考试范围：必修一~选择性必修第一章） 时量：75分钟 满分：100分 得分：______________ 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的.） 1. 设，，若，则k=（ ） A. 4 B. C. 17 D. 2. 在空间直角坐标系Oxyz中，若异面直线l，m的方向向量分别为，，则l，m所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 3. 若全集，，，则（ ） A. B. C. D. 4. 在空间直角坐标系Oxyz中，已知平面α，β的法向量分别为，若，则（ ） A. 2 B. -2 C. D. 6 5. 若向量，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 6. 若是空间的一个基底，则下列集合可构成空间的一个基底的是（ ） A. B. } C. D. 7. 已知，则“”是“为常数”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 若关于x的方程在内有两个不同的解，则（ ） A. B. 或 C. 或 D. 或 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若复数，满足，，则（ ） A. B. C. D. 10. 如果为两个事件，那么下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则M，N相互独立 C. 若互斥，，则 D. 若，则 11. 如果正方体的棱长为1，动点M满足,，那么下列说法正确的是（ ） A. 当时，与所成角的最大正切值是 B. 时，的最小值为 C. 当时，所在的平面与平面所成夹角的正切值为 D. 当时，M轨迹的体积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设，在平面上的射影分别为，，则线段的长为____. 13. 若空间三点，则的面积为____. 14. 若，则a，b，c的值依次为____. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 为了了解新入校的高一学生身高情况，学校从1000名男、女新生中采用随机摇号的方法抽取了20名学生进行测量，得到如下数据(单位：cm)： 男生身高：170，170，172，169，175，180，182，171，171，176，177，178; 女生身高：165，160，171，160，166，164，168，170. （1）试估计高一男生的平均身高; （2）试估计高一女生身高的中位数; （3）从这1000名新生中，随机抽取一名，抽到女生的概率约为多少? 16. 在空间直角坐标系中，已知平面的法向量为，直线的方向向量为，且. （1）求与所成角的正弦值; （2）求空间一点到的距离. 17. 已知. （1）将改写为的形式; （2）求的最小正周期，并写出单调递增区间; （3）若，求的值. 18. 如左图，在平行四边形，已知，将三角形沿着折起得到右图中的二面角，使得. （1）求证：平面; （2）求平面与平面夹角的余弦值; （3）设，判断三棱锥外接球的球心O与B所连线段和平面是否有交点，并求此外接球的半径. 19. （1）已知，求证：; （2）设函数的定义域均为，若，则称是上的“和有界函数对”. ①求证：若是上的“和有界函数对”，证明：； ②时，若是上的“和有界函数对”，是上的“和有界函数对”，请判断是否是上的“和有界函数对”，若是，请给出证明；若不是，请给出反例. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 名校联考联合体2025年秋季高二第二次联考 数 学（A卷） （考试范围：必修一~选择性必修第一章） 时量：75分钟 满分：100分 得分：______________ 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的.） 1. 设，，若，则k=（ ） A. 4 B. C. 17 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间向量平行的性质进行求解即可. 【详解】因为，所以， 故选：B 2. 在空间直角坐标系Oxyz中，若异面直线l，m的方向向量分别为，，则l，m所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间向量夹角公式进行求解即可. 【详解】l，m所成角的余弦值为==. 故选：D 3. 若全集，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据子集的定义、补集的定义、交集的定义、并集的定义逐一判断即可. 【详解】A：显然，因此不成立，故本选项不成立； B：因为，所以本选项不成立； C：因为，，所以，故本选项不成立； D：因为，，所以，因此本选项成立， 故选：D 4. 在空间直角坐标系Oxyz中，已知平面α，β的法向量分别为，若，则（ ） A. 2 B. -2 C. D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】根据空间向量数量积的坐标表示公式，结合面面垂直的性质进行求解即可. 【详解】因为， 所以， 故选：A 5. 若向量，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据投影向量公式计算即可. 【详解】在上的投影向量为. 故选：C 6. 若是空间的一个基底，则下列集合可构成空间的一个基底的是（ ） A. B. } C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据空间向量基底的概念进行判断. 【详解】对A：假设在同一个平面内，则，， 所以，， 所以共面，这与是空间的一个基底矛盾， 所以假设不成立，所以不共面.所以可构成空间的一个基底.所以A正确； 对B：因为，所以共面，所以不能构成空间的一个基底，故B错误； 对C：因为，故共面，所以不能构成空间的一个基底，故C错误； 对D：因为，所以共面，所以不能构成空间的一个基底，故D错误. 故选：A 7. 已知，则“”是“为常数”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据充分性、必要性的定义进行求解即可. 【详解】设 ，所以是必要的； 因为，，所以， 为常数，所以是充分的， 故选：C 8. 若关于x的方程在内有两个不同的解，则（ ） A. B. 或 C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】利用换元法，结合二次函数和余弦函数的图象进行求解即可. 【详解】，，，分别作出它们的图象如下， 要使得关于x的方程在内有解，必须. 当时，，此时方程，只有一个解，不符合题意； 当时，，此时方程，有两个不同的解； 当时，，此时，只有一个解，不符合题意； 当时，，此时方程，有两个不同的解； 当时，，此时方程，只有一个解，不符合题意， 综上，或. 故选：D 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若复数，满足，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】由题意，根据复数的加减乘以及模长公式，可得答案. 【详解】因为，，所以，， 所以，. 故选：ABD. 10. 如果为两个事件，那么下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则M，N相互独立 C. 若互斥，，则 D. 若，则 【答案】BC 【解析】 【分析】根据相互独立事件的概率公式、互斥事件的概率公式、概率加法公式逐一判断即可. 【详解】A.显然错误; B.因为，所以， 所以相互独立，所以B正确; C.因为与互斥，， 所以，所以C正确; D.因为， 所以，所以D错误。 故选：BC. 11. 如果正方体的棱长为1，动点M满足,，那么下列说法正确的是（ ） A. 当时，与所成角的最大正切值是 B. 时，的最小值为 C. 当时，所在的平面与平面所成夹角的正切值为 D. 当时，M轨迹的体积为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A项，得，则点的轨迹为线段，即可求解；对于B项，M点在三角形的边上及其内部，进行求解；对于C项，则M在线段上运动，所以所在平面与平面所成夹角即为所在平面与平面的夹角，进行求解；对于D项，M的轨迹为以A为球心，半径为的球与正方体所交成的八分之一球，进行求解． 【详解】 当时，则，得， 得， 则点的轨迹为线段， 与所成角为∠BAM，其最大正切值是=，所以A正确; 当时，因为， 所以四点共面，则M点在三角形的边上及其内部， 所以的最小值为≠，所以B错误; 当时，得，则M在线段上运动， 所以所在的平面为，因为平面与平面平行， 所以所在平面与平面所成夹角即为所在平面与平面的夹角. 取的中点为O，连接， 由于， 则， 得为所在平面与平面的夹角， 则， 所以C正确; 当时，M的轨迹为以A为球心，半径为的球与正方体所交成的八分之一球， 所以M的轨迹的体积为，所以D正确. 故答案为：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设，在平面上的射影分别为，，则线段的长为____. 【答案】 【解析】 【分析】根据射影的概念以及两点距离公式，可得答案. 【详解】由已知得：，，则. 故答案为：. 13. 若空间三点，则的面积为____. 【答案】 【解析】 【分析】利用空间向量模及夹角的坐标表示，结合三角形面积公式求解. 【详解】依题意，，，则，， ，在中，， 所以的面积为. 故答案为： 14. 若，则a，b，c的值依次为____. 【答案】 【解析】 【分析】根据的整数部分与小数部分进行求解即可. 【详解】因为,所以, ，所以， 由, 设,故, 即， ， 因为， 所以， 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 为了了解新入校的高一学生身高情况，学校从1000名男、女新生中采用随机摇号的方法抽取了20名学生进行测量，得到如下数据(单位：cm)： 男生身高：170，170，172，169，175，180，182，171，171，176，177，178; 女生身高：165，160，171，160，166，164，168，170. （1）试估计高一男生的平均身高; （2）试估计高一女生身高的中位数; （3）从这1000名新生中，随机抽取一名，抽到女生的概率约为多少? 【答案】（1）174.25 cm （2）165.5 cm （3） 【解析】 【分析】（1）根据平均数的运算公式进行求解即可； （2）根据计算中位数的步骤进行求解即可； （3）根据概率和频率的关系进行求解即可. 【小问1详解】 抽样的12名男生的平均身高为 170+， 所以估计高一男生的平均身高为174.25 cm; 【小问2详解】 女生身高从矮到高排列为:160，160，164，165，166，168，170，171， 抽样的8名女生身高的中位数为， 所以可以估计高一女生身高的中位数为165.5 cm; 【小问3详解】 从20个学生样本中，随机抽取一个，抽到女生的频率为， 用频率估计概率，从1000名新生中，随机抽取一名，抽到女生的概率约为0.4 16. 在空间直角坐标系中，已知平面的法向量为，直线的方向向量为，且. （1）求与所成角的正弦值; （2）求空间一点到的距离. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由向量法线面夹角公式即可求解； （2）由点到线向量法距离公式即可求解. 【小问1详解】 设与所成的角为， 则， 即与所成角的正弦值； 【小问2详解】 因为，所以， ， 因为，所以在上的射影长度为|， 所以到的距离为， 即点到的距离为. 17. 已知. （1）将改写为的形式; （2）求的最小正周期，并写出单调递增区间; （3）若，求的值. 【答案】（1） （2）， （3） 【解析】 【分析】（1）由诱导公式及辅助角公式进行求解； （2） 由周期公式及单调性求解； （3）由，由两角和的余弦公式求解． 【小问1详解】 . 【小问2详解】 的最小正周期为， 令，得， 单调递增区间为 【小问3详解】 因为，所以，即， 因为，所以，所以， 所以 . 18. 如左图，在平行四边形，已知，将三角形沿着折起得到右图中的二面角，使得. （1）求证：平面; （2）求平面与平面夹角的余弦值; （3）设，判断三棱锥外接球的球心O与B所连线段和平面是否有交点，并求此外接球的半径. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）有交点， 【解析】 【分析】（1）由线面垂直的判定定理进行求解； （2） 建立空间直角坐标系，进行求解； （3）求出，三角形的外心为的中点，设外接球的球心为，由，求解，即可求解． 【小问1详解】 在题左图中， 因为，所以， 所以， 在题右图中， 因为，所以， 所以， 因为平面， 所以平面. 【小问2详解】 过A点在平面内作一条直线， 因为，所以直线两两垂直， 分别以直线为轴建立空间直角坐标系， 则， 所以， 设平面的法向量为， 所以， 不妨取， 设平面的法向量为， 所以， 不妨取， 所以平面与平面夹角的余弦值为==; 【小问3详解】 因为， 所以， 得， 而的中点坐标为， 因为，所以三角形的外心为的中点， 所以可以设外接球的球心为， 因为， 所以， 解得，所以O和B位于平面的异侧，故线段与平面有交点， 外接球半径为． 19. （1）已知，求证：; （2）设函数的定义域均为，若，则称是上的“和有界函数对”. ①求证：若是上的“和有界函数对”，证明：； ②时，若是上的“和有界函数对”，是上的“和有界函数对”，请判断是否是上的“和有界函数对”，若是，请给出证明；若不是，请给出反例. 【答案】（1）证明见解析；（2）①证明见解析；②是，证明见解析 【解析】 【分析】（1）结合绝对值的几何意义取绝对值，再利用不等式的性质证明即可； （2）①根据题干所给定义证明即可； ②根据题干所给定义，结合（1）的结论证明即可. 【详解】（1）因为，所以， 所以，所以. （2）①因为是上的“和有界函数对”， 所以， 令，则， 由的任意性，得. ②是上的“和有界函数对”，证明如下： 因为是上的“和有界函数对”，是上的“和有界函数对”， 所以. （i）若任取，由，易知存在，不妨令， 所以（*）， 由（1）的结论的推广，式 ， 由①得，，又， 所以， 即， 同理可得，当时，， 令，即， 所以. （ii）若任取，则； 若任取，则. 综上，，即是上的“和有界函数对”. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $