精品解析：河北省保定市第一中学贯通创新实验班2025-2026学年九年级上学期10月考数学试题

保定一中第十届贯通创新实验班数学测试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 如图，在菱形中，，，是边的中点，，分别是，上的动点，连接，，则的最小值是（ ） A. 6 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了轴对称——最短路径问题，涉及到菱形的性质、勾股定理等，解题的关键是掌握以上性质． 作点关于的对称点，连接，则，当，且点在上时，则取得最小值，利用求解可得答案． 【详解】解：如图，作点关于的对称点，连接， ∴， ∴， 当时，点在上，则取得最小值， 四边形是菱形， 点在上， ， ， 由， 得， 解得：， 即的最小值是； 故选：B． 2. 如图，在边长为8的菱形中，为锐角，E是边上一点，过点E作与边交于点F，与边交于点G，且，连接．若，菱形的面积为48，则的长为（ ） A. 6 B. 8 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由菱形的面积公式可求，等腰直角三角形的判定和性质可得出，由可证，可得，通过证明四边形是矩形，可得，，由勾股定理可求的长，即可求解． 【详解】解：如图，延长交的延长线于M，过点E作于H，于N， ∵菱形的面积为48，， ∴， ∴， ∵，，， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∵是菱形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ， ， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， 故选：C 【点睛】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，矩形的判定和性质，等腰三角形的判定与性质添加恰当辅助线是解题的关键． 3. 如图，已知矩形的边，，为边上一点．将沿所在的直线翻折，点恰好落在边上的点处，过点作，垂足为点，取的中点，连接，则的长为（ ） A. 3 B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先由折叠的性质得出，则F，M，C三点共线，再由勾股定理求出，然后利用三角形的中位线定理求解． 【详解】解：如图所示连接，． ∵将沿所在的直线翻折，点恰好落在边上的点处， ∴垂直平分线段， ∴， 又∵， ∴F，M，C共线， ∴， ∵四边形是矩形，， ∴，， ∵， ∴， ∵N是的中点，M是的中点， ∴是的中位线， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查了用勾股定理解三角形，与三角形中位线有关的求解问题，根据矩形的性质求线段长，矩形与折叠问题等知识，解题关键是添加适当的辅助线，构造三角形中位线求解． 4. 如图，四个全等的直角三角形围成正方形和正方形，连接，交，于点M，N．已知，正方形的面积为，则图中非阴影部分的面积之和为（　　） A. B. C. D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了用勾股定理解三角形，根据正方形的性质求线段长，以弦图为背景的计算题，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 根据正方形的面积可得正方形边长的平方，设，则，根据勾股定理可得x的平方的值，再根据题意可得，然后可得阴影部分的面积之和为梯形的面积，再求出图中非阴影部分的面积之和． 【详解】解：， ， 设， 则， ∴， ， 根据题意可知： ，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴阴影部分的面积之和为： ． ∴图中非阴影部分的面积之和为， 故选：A． 5. 如图，在中，，，，以其三边为边向外作正方形，点是 边上的一个动点，连结并延长交于点， 连结．当 时 ，的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了正方形的性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，理解正方形的性质，矩形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键． 过点作，交的延长线于，过点作，交的延长线于，证出，再利用全等三角形的性质证出，即可通过勾股定理求解． 【详解】解：过点作，交的延长线于，过点作，交的延长线于，如图所示： ∵四边形，，均为正方形， ∴，，， ∴四边形为矩形， ∴， ∵，, ∴，, ∴ ∴在和中， ， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 故选：A． 6. 设关于x的方程有两个不相等的实数根，，且，那么实数的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，以及不等式的综合应用．根据一元二次方程的根的判别式，建立关于a的不等式，求出a的取值范围．又因为，所以，即，利用根与系数的关系， 【详解】解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴且， ∴， 解得， ∵，， 又∵， ∴，， ∴， ∴，即， 解得， ∴a的取值范围是． 故选：D． 7. 已知方程有两个相等实根，则的值为（ ） A. 0 B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的情况求参数，解题关键是一元二次方程的根的判别式并能熟练运用． 先根据一元二次方程有两个相等的实根，计算判别式，求得，代入化简即可． 【详解】解：∵方程有两个相等实根， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ 故选：B． 8. 若满足，，则的值是（　　） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了配方法的应用、非负数的性质、代数式求值等知识点，求得的值成为解题的关键． 三式相加可得，再运用配方法可得，由非负数的性质可得，然后代入求值即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选B． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 关于的一元二次方程，下列说法正确的有（ ） A. 此方程总有两个不相等实数根 B. 此方程必有一根是2 C. 当为整数时，方程两根均是整数 D. 当时， 【答案】BCD 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式的意义，以及一元二次方程根的定义，因式分解解一元二次方程；对于方程，分析各选项：计算判别式，当时，方程有相等实根，故A错误；代入验证，方程恒成立，故B正确；方程可分解为，当为整数时，根和均为整数，故C正确；当时，方程化简为，两根均为2，故D正确． 【详解】解：A、判别式，当时，方程有两个相等实数根，故本选项不符合题意； B、代入，得，等式成立，说明是方程的根，故本选项符合题意； C、通过因式分解得，则，，当为整数时，两根均为整数，故本选项符合题意； D、代入，方程变为，解得，故本选项符合题意； 综上，正确选项为BCD． 故选：BCD． 10. 我们发现：，，……；一般地，对于正整数a，b，如果满足时，称为一组完美方根数对．如上面是一组完美方根数对，则下面结论正确的是（ ） A. 是完美方根数对 B. 是完美方根数对 C. 若是完美方根数对，则 D. 若是完美方根数对，则点P在函数的图象上 【答案】ACD 【解析】 【分析】本题主要考查了求一个数的算术平方根，解一元二次方程，根据完美方根数对的定义，逐项验证是否满足条件，并推导相关结论． 【详解】解：A．验证，成立，故A正确； B．，不成立，故B错误； C．由得：， 解得：，（不符合题意舍去），故C正确； D．由得：， 整理得：，点在该函数图象上，故D正确． 故选：． 11. 如图，四边形中，，，，若恰好平分，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 四边形的面积为8 【答案】ACD 【解析】 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质和判定、勾股定理等知识，过点D作交的延长线于点E，则，证明，是等腰直角三角形，再证明，得到，则，即可 ，四边形的面积,即可判断选项C、D；过点D作于点F，根据等腰直角三角形的性质得到，即可得到，，由勾股定理得到，即可判断选项A；根据三角形外角的性质和等量代换即可判断选项B. 【详解】解：过点D作交的延长线于点E，则， ∵， ∴ ∵，恰好平分， ∴ ∴， ∴，是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴，四边形的面积, 故选项C、D正确； 过点D作于点F， 则， ∴，， ∴ 故选项A正确； ∵，， ∴， 故选项B错误， 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若一元二次方程有实数根，则m的取值范围是______． 【答案】且 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，根的判别式．一元二次方程根的判别式．一元二次方程有两个不相等的实数根，；一元二次方程有两个相等的实数根，；一元二次方程没有实数根，．熟练掌握是解决问题的关键． 根据一元二次方程有实数根，求解，结合即可得到答案． 【详解】解：∵一元二次方程有实数根， ∴，． ∴，且． 故答案为：且． 13. 如图所示，在菱形中，对角线与交于点，且，，则菱形的边长为___． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了​​菱形的性质​​和​​勾股定理的应用​​，熟练掌握​​菱形对角线互相垂直平分​​是解题的关键．由可得，再根据得；利用菱形对角线垂直平分的性质，在直角三角形中，利用勾股定理即可求出边长． 【详解】解：∵菱形中，对角线与交于点， ∴， 又∵， ∴， 从而， 在中，， ∴， 代入，， 即， ∴． 14. 已知关于x的方程至少有一个整数解．则整数k的值为______． 【答案】2或10 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的整数解、一元二次方程的整数解及参数分离法求整数参数，解题的关键是分“”和“”讨论，对一元二次方程通过正确整理方程分离参数，将表示为关于整数解的代数式，再根据为整数的条件，确定的可能值，进而求出． 分和：时方程为一元一次方程，求解判断是否为整数解；时，将一元二次方程整理为（关键是正确移项整理），分离参数得；根据一元二次方程根的判别式得出解得，因为整数，得出，，即可求出的整数解，列举的整数解代入计算，并验证方程是否有整数解即可得答案． 【详解】解：分两种情况讨论： 1. 当时，方程化为， 即，解得，不是整数，舍去； 2.当时，方程为一元二次方程，移项整理：， 即，因式分解得， ∵时，左边，右边，故， ∴， ∵方程至少有一个整数解， ∴， 解得， ∵为整数，， ∴， ∴，， 解得， ∴整数可以为、、、、、， 当时，（整数，有效）； 当时，（整数，有效）； 当时，（与时重复）； 经检验，当取其它整数时，的值均不为整数，故舍去， 验证：时，方程，解为或（均为整数）； 时，方程，解为或（为整数）． 综上，整数的值为2或10． 故答案为：2 或10． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，在平行四边形中，，过点作交的延长线于点，连接交于点． （1）求证：四边形是矩形； （2）连接，若，，求的长． 【答案】（1） 证明：， ， ， ， 四边形是平行四边形，点在的延长线上， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形． （2） 【解析】 【分析】（1）由，，得，由四边形是平行四边形，点在的延长线上，得，则四边形是平行四边形，即可由，根据矩形的定义证明四边形是矩形； （2）由平行四边形的性质和矩形的性质得，，，因为，所以是等边三角形，则，，所以，即可根据勾股定理求得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：四边形是矩形，四边形是平行四边形， ，， ， 是等边三角形， ，， 是等边三角形， ∴， ，， ， 的长是． 【点睛】此题重点考查平行四边形的性质、矩形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识，证明及是等边三角形是解题的关键． 16. 已知关于x的方程． （1）试说明：无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程有一个根为3，求的值． 【答案】（1） 解：， 无论取何值，方程总有两个不相等的实数根； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的解，代数式求值，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． （1）根据一元二次方程根的判别式，进行证明即可； （2）根据方程有一个根为3，得出，然后整体代入求值即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：方程有一个根为3， ， 整理，得：， ． 17. 方程是关于x的一元二次方程，该方程的两个实数根分别为，． （1）求m的取值范围； （2）若，求m的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，以及完全平方公式的变形，掌握相关知识是解题的关键． （1）直接利用一元二次方程根的判别式求解即可； （2）根据一元二次方程根与系数的关系，利用完全平方公式代入进行变形计算即可． 【小问1详解】 解：由题意得：， 即， 解得， 则m的取值范围为； 【小问2详解】 由韦达定理可知：，， 若， 由可得， 即， 将，代入得：， 即， 解得， 由（1）可知，故符合题意， 因此，m的值为． 18. 如图1，正方形的边长为2．E、F分别为边、上的动点，的周长为4，是延长线上的一点，且． （1）求证：； （2）试问的大小是否为定值，如果是，请求出该定值；如果不是，请说明理由； （3）如图2，若为边的中点，过点作，垂足为．求的最小值． 【答案】（1） 证明：∵正方形， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）的大小是定值，定值为 （3） 【解析】 【分析】（1）利用正方形的性质证明，得到，再利用角的和差得到，即可证明； （2）由的周长为4，得到，由正方形的边长为2得到，得到，进而利用线段的和差推出，通过证明得到，结合即可得出结论； （3）连接，利用全等三角形的性质得到，利用三角形的面积公式得到，利用勾股定理求出的长，再根据即可求出的最小值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵的周长为4， ∴， ∵正方形的边长为2， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 由（1）得，， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴， ∴的大小是定值，定值为； 【小问3详解】 解：连接， ∵正方形的边长为2， ∴，， ∴是的高， ∵， ∴是的高， 由（2）得，， ∴， ∴， 由（2）得，， ∴， ∵为边的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴的最小值为． 【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的性质与判定、勾股定理、三角形的面积公式、线段最值问题，正确找出全等三角形并证明是解题的关键． 19. 阅读材料：材料1：类比解一元二次方程，解一元二次不等式， 解：，可化为， 由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”，有 （1）或（2）解不等式组（1），得，解不等式组（2），得， 故的解集为或，即一元二次不等式的解集为或． 材料2：对于一个关于的二次三项式，除了可以利用配方法求该多项式的取值范围外，还可以用其他的方法：比如先令，然后移项可得：，再利用一元二次方程根的判别式来确定的取值范围，请仔细阅读下面的例子：例：求的取值范围： 解：令 即 解决问题：请根据上述材料，解答下列问题． （1）直接写出不等式的解集是__________； （2）求出代数式的取值范围； （3）若关于的代数式（其中、为常数，且）的最小值为，最大值为4，请求出满足条件的、的值． 【答案】（1）或 （2）或 （3）或 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系及解不等式组，读懂阅读材料中的方法并明确一元二次方程的根的情况与判别式的关系是解题的关键． （1）根据题意有理数乘法法则列不等式组求解即可得到答案； （2）根据材料，令，根据判别式转化为关于y的一元二次方程，解不等式即可得到代数式的取值范围； （3）根据材料，令根据判别式转化为关于y的不等式根据根与系数的关系，列出方程组，即可得到满足条件的a、b的值． 【小问1详解】 解：∵ 或 解得：或 ∴不等式的解集是或； 【小问2详解】 解：，令 ∴． ∴． ∴． 令， ，． ∴或 【小问3详解】 解：令 ， 当时，，且， 存在一个，使得， 当时，有解， ， ， 最小值为，最大值为， ，是方程的解， 或 ∴或 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 保定一中第十届贯通创新实验班数学测试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 如图，在菱形中，，，是边的中点，，分别是，上的动点，连接，，则的最小值是（ ） A. 6 B. C. D. 2. 如图，在边长为8的菱形中，为锐角，E是边上一点，过点E作与边交于点F，与边交于点G，且，连接．若，菱形的面积为48，则的长为（ ） A. 6 B. 8 C. D. 3. 如图，已知矩形的边，，为边上一点．将沿所在的直线翻折，点恰好落在边上的点处，过点作，垂足为点，取的中点，连接，则的长为（ ） A. 3 B. 2 C. D. 4. 如图，四个全等的直角三角形围成正方形和正方形，连接，交，于点M，N．已知，正方形的面积为，则图中非阴影部分的面积之和为（　　） A. B. C. D. 5 5. 如图，在中，，，，以其三边为边向外作正方形，点是 边上的一个动点，连结并延长交于点， 连结．当 时 ，的长为（ ） A. B. C. D. 6. 设关于x的方程有两个不相等的实数根，，且，那么实数的取值范围是（　　） A. B. C. D. 7. 已知方程有两个相等实根，则的值为（ ） A. 0 B. C. D. 2 8. 若满足，，则的值是（　　） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 关于的一元二次方程，下列说法正确的有（ ） A. 此方程总有两个不相等实数根 B. 此方程必有一根是2 C. 当为整数时，方程两根均是整数 D. 当时， 10. 我们发现：，，……；一般地，对于正整数a，b，如果满足时，称为一组完美方根数对．如上面是一组完美方根数对，则下面结论正确的是（ ） A. 是完美方根数对 B. 是完美方根数对 C. 若是完美方根数对，则 D. 若是完美方根数对，则点P在函数的图象上 11. 如图，四边形中，，，，若恰好平分，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 四边形的面积为8 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若一元二次方程有实数根，则m的取值范围是______． 13. 如图所示，在菱形中，对角线与交于点，且，，则菱形的边长为___． 14. 已知关于x的方程至少有一个整数解．则整数k的值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，在平行四边形中，，过点作交的延长线于点，连接交于点． （1）求证：四边形是矩形； （2）连接，若，，求的长． 16. 已知关于x的方程． （1）试说明：无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程有一个根为3，求的值． 17. 方程是关于x的一元二次方程，该方程的两个实数根分别为，． （1）求m的取值范围； （2）若，求m的值． 18. 如图1，正方形的边长为2．E、F分别为边、上的动点，的周长为4，是延长线上的一点，且． （1）求证：； （2）试问的大小是否为定值，如果是，请求出该定值；如果不是，请说明理由； （3）如图2，若为边的中点，过点作，垂足为．求的最小值． 19. 阅读材料：材料1：类比解一元二次方程，解一元二次不等式， 解：，可化为， 由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”，有 （1）或（2）解不等式组（1），得，解不等式组（2），得， 故的解集为或，即一元二次不等式的解集为或． 材料2：对于一个关于的二次三项式，除了可以利用配方法求该多项式的取值范围外，还可以用其他的方法：比如先令，然后移项可得：，再利用一元二次方程根的判别式来确定的取值范围，请仔细阅读下面的例子：例：求的取值范围： 解：令 即 解决问题：请根据上述材料，解答下列问题． （1）直接写出不等式的解集是__________； （2）求出代数式的取值范围； （3）若关于的代数式（其中、为常数，且）的最小值为，最大值为4，请求出满足条件的、的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $