第1-3章常考易错检测卷-2025-2026学年北师大版数学九年级上册

第1-3章常考易错检测卷-2025-2026学年数学九年级上册北师大版 一、单选题 1．从两名男生和两名女生中任选两人担任节目主持人，恰好为一男一女的概率为（   ） A． B． C． D． 2．若方程是关于x的一元二次方程，则“□”可以是（   ） A． B． C． D． 3．在一个不透明的袋子里有红球、白球共10个，这些球除颜色外都相同，从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，再从中随机摸出一个球，不断重复这一过程．小明通过多次试验发现，摸到红球的频率稳定在0.4左右，则袋子里红球的个数大约是（   ） A．8 B．6 C．4 D．2 4．用配方法解一元二次方程，配方后得到的方程是(   ) A． B． C． D． 5．已知四边形是平行四边形，添加下列一个条件，能判定为矩形的是（    ） A． B． C． D． 6．关于的一元二次方程有实数根，则满足（　　） A． B．且 C．且 D． 7．在菱形中，，，则（   ） A． B． C． D． 8．江西省某景区在2022年共接待游客100万人．当地政府对该景区进一步开发建设，该景区2024年游客量达到121万人，则该景区这两年游客量的年平均增长率为（    ） A． B． C． D． 9．如图，菱形的对角线，相交于点，过点作于点，连接．若，菱形的面积为48，则的长为（   ） A．4 B．3 C． D． 10．如图，正方形中，点E是边上一点，连接，将沿直线翻折到正方形所在的平面内，得，连接并延长交于点．线段与交于点G，若，则的长为（  ） A． B． C． D． 二、填空题 11．“五泄”、“白塔湖”、“千柱屋”和“西施故里”是诸暨著名的旅游景点，若小明从这四个景点中随机选择两个景点游览，则这两个景点恰好是“西施故里”和“五泄”的概率是 ． 12．已知实数满足，则 ． 13．王师傅对某批零件的质量进行了随机抽查，并将抽查结果绘制成如下表格（n为随机抽取的零件个数，m为合格的零件个数），根据表格，若从该批零件中任取1个，取出的零件合格的概率约为 ．（结果精确到0.1） n 20 50 100 500 1000 m 18 49 91 450 910 合格率 0.9 0.92 0.91 0.9 0.91 14．如图，在矩形中，以为边作等边，点E恰好在边上，若的边长为4．则的面积为 ． 15．若a使得关于x的分式方程有整数解，且使得关于y的一元二次方程有实数根，那么满足条件的所有整数a的和为 ． 16．如图，在菱形中，，，E是边的中点，P，M分别是，上的动点，连接，，则的最小值是 ． 三、解答题 17．解方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 18．互联网的进步，改变着人们的生活方式，购物支付也有着巨大变化．在一次购物中，小红和小星都想从微信、支付宝、现金三种支付方式中随机任选一种进行支付． (1)小红在支付中，选用微信支付的概率是______； (2)利用画树状图或列表的方法求出两人恰好选择同一种支付方式的概率． 19．关于x的一元二次方程． (1)若该方程有一个根是，求m的值及方程的另一个根； (2)若，分别是方程的两个实数根，且，求m的值． 20．如图，为矩形的边上的点，连接，，过点作垂足为点．求证：． 21．某超市购进一批进价为每千克10元的脐橙，并以15元的价格进行销售，平均每月能售出5000千克．调查表明：销售价格在10~20元范围内，这种脐橙的售价每上涨1元，平均每月销量就减少500千克． (1)当脐橙销售价格上涨元时，平均每月销售量为_____千克． (2)为了实现销售这种脐橙平均每月的利润为27000元，并且最大限度地去库存，请你帮助超市经理确定一下售价应定为多少元，平均每月能售出这种脐橙多少千克． 22．如图，在四边形中，，、分别是对角线、的中点，连接 (1)求证：． (2)若，，求周长． 23．安阳某初中数学小组在学完一元二次方程章节的内容后，对一道试题展开了交流，请你仔细阅读，并完成任务． 试题：已知，求的值． 小明：对于这道试题，我想到了一种“换元法”：设， 则原方程可变形为． 即；解得，，或． 小亮：你的这种方法非常有趣，而且它也是数学学习中常用的一种思想方法． 任务： (1)已知x、y满足，求的值． (2)若a、b满足，求的值． 24．综合与探究 如图，在正方形中，，，为边上的一点，连接，过点作，交于点，点在边上，且． (1)求证：． (2)求证：． (3)如图2，，，动点从点出发，运动至点，速度为；动点从点出发，沿运动，速度为．当点到达点时，两点停止运动，过点作于点，过点作于点．问：点运动了多少秒时，与全等？请直接写出结果． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《第1-3章常考易错检测卷-2025-2026学年数学九年级上册北师大版》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C C C D B C B B B A 1．C 【分析】本题主要考查列表法求概率，熟练掌握列表法列出所有等可能结果并运用概率公式计算是解题的关键．通过列表法列出从两名男生（记为男、男）和两名女生（记为女、女）中任选两人的所有可能结果，再找出恰好为一男一女的结果数，最后根据概率公式计算概率． 【详解】解：列表如下： 男 男 女 女 男 - （男，男） （男，女） （男，女） 男 （男，男） - （男，女） （男，女） 女 （女，男） （女，男） - （女，女） 女 （女，男） （女，男） （女，女） - 总共有种等可能的结果，其中恰好为一男一女的结果有种． 所以恰好为一男一女的概率． 故选：C． 2．C 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键．根据一元二次方程的定义判断作答即可． 【详解】解：方程是关于的一元二次方程， 则“□”含，可以是， 故选：C． 3．C 【分析】本题主要考查了利用频率估计概率，解答本题的关键是熟练掌握概率的求法；根据大量反复试验下，频率的稳定值即为概率值，可得摸到红球的概率约为 ，再用球的总数乘以摸到红球的概率即可求出红球的个数． 【详解】解：∵小明通过多次试验后发现，摸到红球的频率稳定在左右， ∴从这10个球中摸出一个球，摸到红球的概率约为 ， ∴袋子里红球的个数估计是（个）． 故选：C． 4．D 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程．先将常数项移到等号右边，再在两边同时加上一次项系数一半的平方，最后根据完全平方公式即可完成配方，即可求解． 【详解】解：， ∴， ∴， 即， 故选：D． 5．B 【分析】本题主要考查了矩形的判定，菱形的判定， 根据判定定理逐项判断即可. 【详解】解：∵， ∴是菱形，则A不符合题意； ∵， ∴是矩形，则B符合题意； 当四边形是时，，则C不符合题意； ∵， ∴是菱形，则D不符合题意. 故选：B. 6．C 【分析】本题考查了一元二次方程的定义、一元二次方程根的判别式，根据一元二次方程的定义可知，根据一元二次方程有实数根，可知，解不等式可得：． 【详解】解：是一元二次方程， ， 解得：， 一元二次方程有实数根， ， 解得：， 满足且． 故选：C． 7．B 【分析】本题主要考查了菱形的性质，等腰三角形的性质，运用知识准确计算是解决问题的关键． 利用菱形的性质可得，再根据等腰三角形的性质可得答案． 【详解】解：在菱形中，， ， ， 故选：B． 8．B 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设该景区这两年接待游客的年平均增长率为，利用该景区2024年接待游客人次数该景区 2022年接待游客人次数该景区这两年接待游客的年平均增长率，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】解：设年平均增长率为， 可得方程， 解得或（舍去负值）， 所以该景区这两年接待游客的年平均增长率为， 故选：B． 9．B 【分析】本题主要考查了菱形的性质、直角三角形斜边上的中线性质等知识点． 由菱形的性质可得，由菱形的面积可得，然后根据直角三角形斜边上的中线性质即可解答． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 10．A 【分析】本题主要考查了正方形的性质，翻折的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握以上性质． 根据正方形和翻折的性质证明，根据勾股定理及等面积法求出相关线段的长度，然后进行求解即可． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， 由翻折的性质得，垂直平分线段， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理得， 由等面积法得， ∴， ∴， 故选：A． 11． 【分析】本题主要考查了利用树状图或列表法求概率，根据题意，列出表格或画出树状图是解题的关键． 设“五泄”、“白塔湖”、“千柱屋”和“西施故里”分别用A，B，C，D表示，根据题意，列出表格，可得一共有12种等可能结果，其中这两个景点恰好是“西施故里”和“五泄”的有2种，再根据概率公式计算，即可求解． 【详解】解：设“五泄”、“白塔湖”、“千柱屋”和“西施故里”分别用A，B，C，D表示， 根据题意，列出表格如下： A B C D A B，A C，A D，A B A，B C，B D，B C A，C B，C D，C D A，D B，D C，D 一共有12种等可能结果，其中这两个景点恰好是“西施故里”和“五泄”的有2种， 这两个景点恰好是“西施故里”和“五泄”的概率是． 故答案为： 12．2 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程以及一元二次方程根的判别式的应用，解题的关键是通过设元将复杂的四次方程转化为简单的一元二次方程，再结合判别式检验解的合理性，确定最终答案． 设，将原方程转化为；解这个一元二次方程得的两个可能值，再分别将代入，通过计算一元二次方程的判别式检验是否有实数解，排除无实数解的情况，得到的值． 【详解】解：设， 则原方程可化为； 因式分解得， 解得，； ①当时，即，整理为， 判别式，方程有实数解； ②当时，即，整理为， 判别式，方程无实数解，舍去； 故， 故答案为： 13．0.9 【分析】本题考查了通过观察数据变化趋势来估计概率的方法．随着试验次数的增加，合格零件的频率逐渐稳定在一个值附近，这个值即为所求的概率． 【详解】解：∵随着试验次数的增多，合格零件的频率逐渐接近0.9， ∴从该批零件中任取一个，为合格零件的概率为0.9． 故答案为：0.9． 14． 【分析】本题考查了矩形的性质、等边三角形的性质、直角三角形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．根据矩形的性质得，根据等边三角形的性质得，推出，根据 30 度角所对的直角边是斜边的一半得出，利用勾股定理求出，再利用三角形的面积公式即可求解． 【详解】解：∵矩形， ， ∵等边的边长为 4 ， ， ， 在中，， ， ， 故答案为：． 15． 【分析】本题考查了根据分式方程的解的情况求参数，一元二次方程根的判别式，先解分式方程，可得，根据分式方程有整数解可得或或或或或，即可得到或或或或或，再根据分式方程有意义可得，最后再根据一元二次方程有实数根及定义可得且，进而得到满足条件的所有整数，进而即可求解，根据分式方程和一元二次方程求出满足条件的所有整数的值是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵分式方程有整数解， ∴或或或或或， 即或或或或或， 又∵， ∴， ∴， ∴或或或或， 又∵关于的一元二次方程有实数根， ∴且， ∴且， ∴或或， ∴满足条件的所有整数的和为， 故答案为：． 16． 【分析】本题考查了菱形的性质、勾股定理、最短路径问题、二次根式的应用，掌握相关知识点是解题的关键． 在上取一点使得，连接，，根据菱形的性质和勾股定理得到，，通过证明得到，则，根据两点之间线段最短的性质得到的最小值为当时的长，最后利用菱形的面积公式即可求解． 【详解】解：在上取一点使得，连接，， ∵菱形， ∴，，，平分， ∴，，， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴当共线且时，有最小值， 当时，则， ∴， ∴的最小值是． 故答案为：． 17．(1)； (2)； (3)； (4)． 【分析】本题考查了解一元二次方程； （1）利用直接开平方法解一元二次方程即可得； （2）利用因式分解法解一元二次方程即可得； （3）利用配方法解一元二次方程即可得； （4）利用公式法解一元二次方程即可得． 【详解】（1）解： 移项：， ∴， ∴， ； （2）解：， ∴， ∴， ∴， ∴或， ； （3）解：， ∴， ∴， ∴， ∴； （4）解：， 这里， ，， 则； 18．(1) (2)，详见解析 【分析】本题主要考查列表法与树状图法、概率公式等知识点，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． （1）由题意知，共有3种等可能的结果，其中选用微信支付的结果有1种，利用概率公式可得答案； （2）列表可得出所有等可能的结果数以及两人恰好选择同一种支付方式的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】（1）解：由题意知，共有3种等可能的结果，其中选用微信支付的结果有1种， ∴小红在支付中，选用微信支付的概率是， 故答案为：； （2）解：令微信、支付宝、现金三种支付方式分别为，列表如下： 由表可知，共有9种等可能的结果，其中两人恰好选择同一种支付方式的结果有共3种， ∴两人恰好选择同一种支付方式的概率为． 19．(1)的值为，另一个根为； (2) 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，一元二次方程解的定义，熟知一元二次方程的相关知识是解题的关键． （1）直接把代入方程中，求出m的值，再根据根与系数的关系求出另一个根即可； （2）根据根与系数的关系得到，再利用判别式求出，结合已知条件推出，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：将代入方程得，， 解得 设另一个根为，则， 解得 ∴的值为，另一个根为； （2）解：由题意得：， 同时满足即， ∴， ∵， ∴ ∴ 解得． 20．见解析 【分析】本题考查了矩形的性质和全等三角形的判定，熟知矩形性质和全等三角形的判定和性质是解题关键． 根据四边形是矩形，得，，得，进而证明，从而得证． 【详解】证明：∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， 在和中，， ∴， ∴． 21．(1) (2)售价应定为16元，这时售出脐橙4500千克． 【分析】此题考查的是一元二次方程的应用，掌握实际问题中的等量关系是解决此题的关键． （1）根据“这种脐橙的售价每上涨1元，其销量就减少500千克”即可得出结论； （2）根据“总利润=每千克的利润×千克数”列出一元二次方程即可求出结论． 【详解】（1）解：由题意可知：当售价上涨x元时，那么销售量为千克， 故答案为：； （2）解：设售价上涨x元， 根据题意可得， 解得：，， 当时，销量为千克；当时，销量为千克．为了最大限度地去库存，应取 此时每千克脐橙的售价为元 ∴这时售出脐橙千克， 答：为了实现销售这种脐橙平均每月27000元的销售利润，售价应定为16元，这时售出脐橙4500千克． 22．(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形三线合一的性质，垂直平分线的性质． （1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，再根据等腰三角形三线合一的性质证明即可； （2）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，根据垂直平分线的性质可知，进而可知周长． 【详解】（1）证明：如图，连接、， ，是的中点， ， 点是的中点， ； （2）， ， ∵， ， ． 23．(1) (2)或 【分析】本题主要考查换元法解一元二次方程和整式的混合运算，掌握换元法解一元二次方程的一般步骤是解题的关键． （1）设，则原方程可变为，解方程即可得到结论； （2）设，则原方程可变为，解方程即可得到结论． 【详解】（1）解：设， ， ， ， 因式分解得， 解得，（舍去）， ． （2），设， ， ， 因式分解得， 解得，， 或． 24．(1)见解析 (2)见解析 (3)点运动1秒或秒时，与全等 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质以及角的等量代换， （1）结合正方形的性质和己知条件，利用证明， （2）先根据全等三角形的性质得到相关角的关系，再利用角的等量代换来证明； （3）欲证,结合己知条件还需要，再由点，点均为动点且运动路径不同，设点运动的时间为，分两种情况讨论：当动点在上时，当动点在上时，分别列出式子解得值，即可得到答案． 【详解】（1）证明：∵四边形为正方形，， 在和中， ∴， （2）证明：∵， ∴, ∵, ∴, ∴, ∵, ∴, ∴, ∴. （3）解：∵，，， ∴,, ∵, ∴, ∵, ∴, ∵，，动点运动速度为；动点运动速度为, 设点运动的时间为， 当动点在上时，，， ∴， 解得：， 当动点在上时，，， ∴, 解得：， 综上所述：点运动1秒或秒时，与全等． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $