精品解析：吉林省吉林市吉林毓文中学2025-2026学年高一上学期第一次（9月）月考数学试题

吉林毓文中学2025-2026学年度上学期高一年级第一次月考考试 数学试题 一、单项选择题：本大题共8题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解不等式求得集合，再由交集的运算求得结果. 【详解】集合， 则， 故选：B. 2. 命题“”的否定是（ ） A. B. C D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用全称量词命题的否定直接判断. 【详解】命题“”是全称量词命题，其否定是存在量词命题， 所以所求否定是. 故选：A 3. 下列函数为同一函数的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 【答案】C 【解析】 【分析】利用同一函数的定义逐项判断. 【详解】对于A，函数值域为R，函数的值域为，A不是； 对于B，函数定义域为R，函数的定义域为，B不是； 对于C，函数与定义域都为R，且，即两个函数的对应法则相同，C是； 对于D，函数定义域为R，函数的定义域为，D不是. 故选：C 4. 若“”是真命题，则a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元二次不等式恒成立的解法求解. 【详解】“”是真命题， 当时，得，符合题意； 当时，则，解得， 综上，的取值范围是． 故选：B． 5. 托马斯曾说“函数是近代数学思想之花”，根据函数的概念判断：下列对应关系是集合到集合的函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用函数的概念判断即可． 【详解】对于A，，当时，，但不在集合中，因此这不是一个函数，故A错误； 对于B，，当时，，但6不在集合中，因此这不是一个函数，故B错误； 对于C，，当时，，在集合中； 当时，，在集合中；当时，，在集合中， 符合函数的概念，故C正确； 对于D，，当时，，但不在集合中，因此这不是一个函数，故D错误， 故选：C． 6. 若函数在区间上是减函数，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数的对称轴得到不等式，求出答案. 【详解】的对称轴为， 要想函数在区间上是减函数，则， 解得， 故选：D 7. 数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设一个三角形的三边长分别为a，b，c，三角形的面积S可由公式求得，其中p为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦—秦九韶公式．现有一个三角形的周长为12，，则此三角形面积的最大值为（ ） A. 4 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意得，，代入化简后利用基本不等式可求得答案 【详解】由题意得，， 则， 当且仅当时，等号成立，此时三角形的面积有最大值，且最大值为． 故选：C 8. 已知定义域为的增函数满足，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用函数的单调性，再求解不等式. 【详解】因为，且， 令，得； 又因为， 所以即 因为在为增函数. 所以解得或. 即不等式的解集为 故选：A 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求． 9. 已知集合，且，则实数的取值不可以为（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据可得出或，解出的值，然后对集合中的元素是否满足互异性进行检验，综合可得结果. 【详解】因为集合，且，则或，解得. 当时，集合中的元素不满足互异性； 当时，，集合中的元素不满足互异性； 当时，，合乎题意. 综上所述，. 故选：ACD. 10. 已知函数，关于函数的结论正确的是（ ） A. 的定义域为 B. 的值域为 C. 若，则的值是 D. 的解集为 【答案】BC 【解析】 【分析】 根据分段函数的形式可求其定义域和值域，从而判断A、 B的正误，再分段求C、D中对应的方程的解和不等式的解后可判断C、D的正误． 【详解】由题意知函数的定义域为，故A错误； 当时，的取值范围是 当时，的取值范围是， 因此的值域为，故B正确； 当时，，解得（舍去)， 当时，，解得或（舍去），故C正确； 当时，，解得，当时，，解得-， 因此的解集为，故D错误. 故选：BC． 【点睛】本题考查分段函数的性质，对于与分段函数相关的不等式或方程的解的问题，一般用分段讨论的方法，本题属于中档题． 11. 已知且，则下列结论正确的是（ ） A. 的最大值为 B. 的最大值为 C. 的最小值为 D. 的最小值为10 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用基本不等式直接判断A；利用基本不等式求得最大值可判断B；利用基本不等式“1”的代换可判断C；利用二次函数的性质可判断D. 【详解】∵且，∴，可得. 对于A，利用基本不等式得，化简， 当且仅当，即时取等号，所以的最大值，故A错误； 对于B，， 当且仅当，即时取等号，所以的最大值，故B正确； 对于C，， 当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为，故C正确； 对于D，， 利用二次函数的性质知，当时，取最小值10，故D正确， 故选：BCD. 三、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，则________． 【答案】100 【解析】 【分析】利用换元法求出解析式，进而求出函数值. 【详解】令，则，，因此， 所以，. 故答案为：100 13. 已知，且，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】，根据不等式的性质求解． 【详解】∵，∴， ∵，又， ∴，即， ∴的取值范围是. 故答案为：. 14. 对于任意实数a，b，定义，设函数，，函数，若成立，则m的取值范围是___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意求得函数的解析式，结合一次、二次函数的图象与性质，求得函数的最小值，根据，即可求解. 【详解】因为函数，， 令，即，解得或， 根据题意，可得， 当时，函数递减函数，所以； 当时，函数为递增函数，所以； 当时，函数为递增函数，所以， 所以当时，取得最小值，最小值为， 又因为对任意的x都有成立，所以，即. 故答案为： 四、解答题：共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知集合或． （1）当时，求； （2）若，且“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 【答案】（1）或，. （2） 【解析】 【分析】（1）当时，求得，结合集合的交集与补集的运算，即可求解； （2）根据题意，转化为，根据集合之间的包含关系，列出不等式组，即可求解． 【小问1详解】 当时，集合， 又因为集合或， 所以或，． 【小问2详解】 若，则，， 又， ∵“”是“”的充分不必要条件，∴， ∴，解得， 即实数a的取值范围是． 16. 已知二次函数，且． （1）求的解析式； （2）若，求函数的值域； （3）解关于的不等式． 【答案】（1） （2） （3）答案见解析 【解析】 【分析】（1）根据已知条件建立关于的方程组，解方程组即可求出函数的解析式； （2）首先确定二次函数的对称轴，然后根据对称轴与给定区间的位置关系，分析函数在区间上的单调性，进而求出函数的值域． （3）需要对m进行分类讨论，将不等式化简，结合一元二次不等式的求解方法，求出不等式的解集． 【小问1详解】 ∵二次函数，且， ∴，解得， 因此解析式为． 【小问2详解】 对于二次函数，其图象开口向上，对称轴为， 在区间上，函数单调递减；在区间上，函数单调递增． 当时，函数取得最小值， 当时，函数取得最大值． 因此，函数的值域为． 【小问3详解】 关于的不等式． 当时，不等式可化为，解得． 当时，不等式可化为，即， 由于时，，解得， 因此，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为． 17. 已知关于的不等式的解集为 （1）求的值； （2）当且满足时，有恒成立，求k的取值范围； （3）当时，求函数的最小值． 【答案】（1） （2） （3）4 【解析】 【分析】（1）根据不等式解集与对应方程根的关系，利用韦达定理求解的值； （2）先根据的值确定的具体形式，再利用基本不等式求的最小值，最后根据不等式恒成立求解的取值范围； （3）通过换元法将函数进行变形，然后利用基本不等式求出函数的最小值． 【小问1详解】 因为不等式的解集为， 所以1和2是方程的两个根，且． 根据韦达定理得，解得． 【小问2详解】 因为，所以． 因为，且， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为8． 因为恒成立，所以， 即，解得， 所以的取值范围是． 【小问3详解】 令，因，所以，且， 则 ， 当且仅当，即时取等号． 所以当，即时，取得最小值4． 18. 某乡镇响应“绿水青山就是金山银山”的号召，因地制宜的将该镇打造成“生态水果特色小镇”．经调研发现：某珍稀水果树的单株产量W（单位：千克与施用肥料x（单位：（千克）满足如下关系：，肥料成本投入为10x元，其它成本投入（如培育管理、施肥等人工费）20x元．已知这种水果的市场售价大约为15元/千克，且销路畅通供不应求．记该水果树的单株利润为（单位：元）． （1）求的函数关系式； （2）当施用肥料为多少千克时，该水果树的单株利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1） （2）当时取得最大利润，最大利润为480元. 【解析】 【分析】（1）利用销售额减去成本投入可得出利润解析式； （2）利用分段函数的单调性及基本不等式计算最值即可. 【小问1详解】 由已知 ； 【小问2详解】 由（1）得， 即由二次函数的单调性可知，当时，， 由基本不等式可知，当时， ， 当且仅当，即时取得最大值， 综上，当时取得最大利润，最大利润为480元. 19. 对于四个正数，若满足，则称有序数对是的“下位序列”． （1）对于，有序数对是的“下位序列”吗？请简单说明理由； （2）设均为正数，且是的“下位序列”，试证明：； （3）设正整数n满足条件：对集合内的每个m，总存在正整数k，使得是的“下位序列”，且是的“下位序列”，求正整数n的最小值． 【答案】（1）是的“下位序列，理由见解析； （2）证明见解析； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据新定义，代入计算判断即可. （2）根据新定义得到，再利用不等式的性质，结合作差法证明即得. （3）由题意可得，，进而得到，从而求出最小值. 【小问1详解】 由，得是的“下位序列”. 【小问2详解】 由是的“下位序列”，得，又均为正数， 则，即；又，即. 所以. 【小问3详解】 由是的“下位序列”，得，而均为正整数，则， 由是的“下位序列”，得，则， 因此，即， 于是对集合内的每一个都成立，则， 所以正整数的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 吉林毓文中学2025-2026学年度上学期高一年级第一次月考考试 数学试题 一、单项选择题：本大题共8题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求． 1 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“”的否定是（ ） A B. C. D. 3. 下列函数为同一函数的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 4. 若“”是真命题，则a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 5. 托马斯曾说“函数是近代数学思想之花”，根据函数的概念判断：下列对应关系是集合到集合的函数的是（ ） A. B. C. D. 6. 若函数在区间上是减函数，则实数取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设一个三角形的三边长分别为a，b，c，三角形的面积S可由公式求得，其中p为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦—秦九韶公式．现有一个三角形的周长为12，，则此三角形面积的最大值为（ ） A. 4 B. C. D. 8. 已知定义域为的增函数满足，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求． 9. 已知集合，且，则实数的取值不可以为（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数，关于函数的结论正确的是（ ） A. 的定义域为 B. 的值域为 C. 若，则的值是 D. 的解集为 11. 已知且，则下列结论正确是（ ） A. 的最大值为 B. 的最大值为 C. 的最小值为 D. 的最小值为10 三、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，则________． 13. 已知，且，则的取值范围是________． 14. 对于任意实数a，b，定义，设函数，，函数，若成立，则m的取值范围是___________. 四、解答题：共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知集合或． （1）当时，求； （2）若，且“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 16. 已知二次函数，且． （1）求的解析式； （2）若，求函数的值域； （3）解关于的不等式． 17. 已知关于的不等式的解集为 （1）求的值； （2）当且满足时，有恒成立，求k的取值范围； （3）当时，求函数的最小值． 18. 某乡镇响应“绿水青山就是金山银山”号召，因地制宜的将该镇打造成“生态水果特色小镇”．经调研发现：某珍稀水果树的单株产量W（单位：千克与施用肥料x（单位：（千克）满足如下关系：，肥料成本投入为10x元，其它成本投入（如培育管理、施肥等人工费）20x元．已知这种水果的市场售价大约为15元/千克，且销路畅通供不应求．记该水果树的单株利润为（单位：元）． （1）求的函数关系式； （2）当施用肥料为多少千克时，该水果树的单株利润最大？最大利润是多少？ 19. 对于四个正数，若满足，则称有序数对是的“下位序列”． （1）对于，有序数对是的“下位序列”吗？请简单说明理由； （2）设均为正数，且是的“下位序列”，试证明：； （3）设正整数n满足条件：对集合内的每个m，总存在正整数k，使得是的“下位序列”，且是的“下位序列”，求正整数n的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $