第二十四章 圆的综合计算专项突破训练-2025-2026学年人教版九年级数学上学期

第二十四章 圆的综合计算专项突破训练 目录概览 题型1 圆的计算（一）求角度 题型2 圆的计算（二）求长度 题型3 圆的计算（三）求阴影部分面积 题型4圆的计算（四）求路径长 题型5圆的计算（五）最值问题 题型6圆的计算（六）折叠圆问题 题型演练 题型1 圆的计算（一）求角度 1．如图，点A，B，C在上，若，则（    ） A． B． C． D． 2．如图，在的内接四边形中，，，则（　　） A． B． C． D． 3．如图，是直径，是的弦，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 4．如图，已知是的直径，B，C，E是上的三个点，连接，，，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 5．如图所示，是的直径，点是上一点，过点作的切线与的延长线交于点．若，则（　　） A． B． C． D． 6．如图，内接于，连接，且平分，D是上一点，连接，．若，则的度数为 ． 7．如图，是的弦，是延长线上的一个点，，，则的度数为 ． 8．如图，四边形内接于，若四边形是平行四边形，则 ．    9．如图，是半圆O的直径，点C、D在半圆O上，若，则的度数为 ． 10．如图，为的直径，D是弦延长线上一点，，的延长线交于点E，连接． (1)求证：． (2)若的度数为，则的度数为________． 题型2 圆的计算（二）求长度 11．如图，已知是的弦，直径，交于点H，连接，若，，则（    ） A．3 B． C． D． 12．如图，已知的半径为，弦的长为，是的延长线上一点，，则等于（　　） A． B． C． D． 13．如图，圆弧形桥拱的跨度米，拱高米，则拱桥的半径为（   ） A．3米 B．10米 C．12米 D．20米 14．如图，的直径垂直于弦，垂足为．若，，则圆半径长是（   ） A．2 B． C． D． 15．如图，已知的半径为3，内接于，，则的长为（    ） A．3 B． C． D．4 16．如图，在中，弦的长为2，，则的半径为 ． 17．如图，已知的弦垂直平分半径，连接并延长交于点，连接，若，则 ． 18．如图，与相切于点A，的延长线与交于点C，若的半径为3，．弦的长为 ． 19．如图所示，中，弦交直径于点，，，且，则 ． 20．已知，如图，为的直径，内接于，，点是的内心，延长交于点，连接． (1)求证：； (2)已知的半径是，，求的长． 题型3 圆的计算（三）求阴影部分面积 21．如图，在中，，，以为直径的交于点，若点恰好为的中点，则图中阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 22．如图，正五边形的边长为，以顶点为圆心，的长为半径画圆，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 23．如图，在中，，过、两点的交于点，与相切于点，为的直径，若，则阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 24．如图，在中，，，，分别以、、为直径向的同侧作半圆，则阴影部分的面积等于（　　） A． B． C．24 D．25 25．如图，在中，，分别以为圆心，以为半径画弧，则三条弧与边所围成的阴影部分的面积是（   ） A． B． C． D． 26．如图，已知，，，以AD为直径的经过点C，图中阴影部分的面积为 ．（结果保留） 27．如图，在边长为2的正方形中，以点B为圆心，的长为半径画弧．点E是边的中点，以点E为圆心，长为半径画弧，则阴影部分的面积为 ．(结果保留) 28．如图，矩形中，，扇形的半径，扇形的半径，则阴影部分的面积为 （π取3） 29．如图，在中，，将绕点A逆时针旋转后得到，则图中阴影部分的面积是 ． 30．如图，是的外接圆，半径为，连接，，， (1)过点作，交于点，若，求的长； (2)若，求阴影部分的面积． 题型4圆的计算（四）求路径长 31．如图，半径为2个单位长度的半圆，从原点沿数轴向右滚动一周，则点所对应的数是（    ） A． B． C． D． 32．如图，在中，，将绕点C按顺时针方向旋转，得到，则下列说法错误的是（    ） A．的长为 B． C． D． 33．如图所示，边长为1的正方形网格中，、、、、是网格线交点，若与所在圆的圆心都为点，那么阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 34．如图所示，圆锥的母线长为4，底面圆半径为1，若一小虫从点开始绕着圆锥表面爬行一圈到的中点，求小虫爬行的最短距离是多少?（　　） A． B． C． D． 35．如图，已知，，，半径为的从点A出发，沿方向滚动到点时停止．则在此运动过程中，扫过的面积是（　　） A． B． C． D． 36．如图，边长为的正方形的顶点A、B在一个半径为的圆上，顶点C、D在圆内，将正方形沿圆的内壁逆时针方向作无滑动的滚动．当点C第一次落在圆上时，点C运动的路径长为 ． 37．如图①所示的弧三角形（也称莱洛三角形）也是“等宽曲线”，如图②，夹在平行线c，d间的莱洛三角形无论怎么滚动，平行线间的距离始终不变．若直线c，d之间的距离等于，则莱洛三角形的周长为 ． 38．如图1，已知扇形，点P从点O出发，以的速度沿的路线运动．图2是点P的运动时间x（单位：s）与的长y（单位：）的函数图象．则扇形的面积为 ． 39．如图，将半径为的圆形纸板，沿着三边分别长、、的的外侧无滑动地滚动一周并回到开始的位置，则圆心所经过的路线长度是 ． 40．如图，把直角三角形的斜边放在直线上，按顺时针方向转动两次，使 它转到″″″的位置，设，，则顶点运动到″的位置时： 点经过的路线有多长？ 点经过的路线与直线所围成的面积是多少？ 题型5圆的计算（五）最值问题 41．如图，已知的直径为，的度数为，点是的中点，在直径上找一点，使的值最小，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 42．如图，在矩形中，，E是边上的一动点，以为直径的经过边上的一点F．若使最小，则的值为（    ）    A．1 B． C． D． 43．在一节数学实践活动课上，老师拿出三个边长都为的正方形硬纸板，他向同学们提出了这样一个问题：若将三个正方形纸板不重叠地放在桌面上，用一个圆形硬纸板将其盖住，这样的圆形硬纸板的最小直径为（单位：）（    ） A． B．100 C． D． 44．如图，某零件由1个长为8，宽为1的矩形工件和1个边长为6的正方形工件组成一个轴对称图形，则能将其完全覆盖的圆形纸片的最小半径r为（   ） A．5 B． C． D． 45．如图，某汽车车门的底边长为，车门侧开后的最大角度为．若将一扇车门侧开，则这扇车门底边扫过区域的最大面积是（   ） A． B． C． D． 46．要用圆形铁片截出边长为8cm的正方形铁片，选用的圆形铁片的直径最小要 cm． 47．已知，经过A，B两点作圆，则所作的圆的半径最小是 ． 48．在中，，点D是以点A为圆心，半径为1的圆上一点，连接BD并取中点M，则线段CM的长最大为 ，最小为 ． 49．如图，点是上一个动点，点在外一个定点，已知是等边三角形．当点在上运动时，点的位置也跟着发生改变，则的最小面积为 ． 50．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是、、． (1)画出关于原点成中心对称的； (2)画出绕点逆时针旋转后的，并求出点旋转到的轨迹的长； (3)在轴上存在一点，使的值最小，则点的坐标为__________． 题型6圆的计算（六）折叠圆问题 51．如图，有一圆形纸片，其圆心为，弦，将纸片沿，折叠交于点，若的半径为1，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 52．如图，是等腰直角三角形的外接圆，，．点D在劣弧上，将劣弧与弦组成的弓形沿弦折叠，点D的对应点为，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 53．如图，在扇形中，，，分别是，上的点．将扇形沿折叠，点恰好落在的中点处，若，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 54．如图，正方形的边长是，E是边的中点．将该正方形沿折叠，点C落在点处．分别与相切，切点分别为F、G、H，则的半径为（   ）cm A． B．2 C．3 D． 55．如图，点C为扇形的半径上一点，将沿折叠，点O恰好落在上的点D处，且，若将此扇形围成一个圆锥，则圆锥的底面半径与母线长的比为（   ） A． B． C． D． 56．如图，是的弦，将劣弧沿弦折叠后，圆弧恰好经过圆心，若，则的半径为 ． 57．如图，在扇形中，，半径，将扇形沿过点的直线折叠，点恰好落在上的点处，折痕交于点，则的长为 ． 58．如图，在中，直径，C是圆上一点，将弧沿折叠，折叠后的弧恰好经过点O，则图中阴影部分的面积为 ． 59．如图，在矩形中，，，点M，N分别为，上一个动点，且，沿直线折叠，点A，B分别落在点E，F处，点P为上一点，且，则的最大值为 ，的最小值为 ． 60．如图1，在中，点C、D在优弧上，将弧沿折叠后，点D的对应点E刚好落在弦上，连接． (1)证明：； (2)连接，若，求的半径． (3)用圆形纸片可以折出各种不同的图形．如图2，点P为内一点，利用直尺和圆规分别作出一条符合要求的折痕，使折叠后圆弧经过点O、P（保留痕迹，给出必要的文字说明）． 第2页，共17页 第1页，共17页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十四章 圆的综合计算专项突破训练 目录概览 题型1 圆的计算（一）求角度 题型2 圆的计算（二）求长度 题型3 圆的计算（三）求阴影部分面积 题型4圆的计算（四）求路径长 题型5圆的计算（五）最值问题 题型6圆的计算（六）折叠圆问题 题型演练 题型1 圆的计算（一）求角度 1．如图，点A，B，C在上，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查圆周角定理，掌握一条弧所对的圆周角等于这条弧所对圆心角的一半是解题的关键． 直接运用圆周角定理求解即可． 【详解】解：∵， ∴． 故选：B． 2．如图，在的内接四边形中，，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，三角形内角和定理，先由圆内接四边形的性质得，再在中，由三角形内角和定理求即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 3．如图，是直径，是的弦，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查圆周角定理，三角形的内角和定理，熟练掌握圆周角定理是解答的关键． 先根据直径所对的圆周角是直角得到,进而利用三角形的内角和定理求得，然后利用同弧所对的圆周角相等即可求解． 【详解】解：连接， ∵是直径， ∴, ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 4．如图，已知是的直径，B，C，E是上的三个点，连接，，，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查圆周角定理，圆内接四边形的性质．根据圆内接四边形对角互补的性质求得的度数，再利用直径所对的圆周角是直角进行求解即可． 【详解】解：连接， ∵四边形内接于，且， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， 故选：D． 5．如图所示，是的直径，点是上一点，过点作的切线与的延长线交于点．若，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查切线的性质和等腰三角形的性质，解决此题的关键是正确的计算；先根据切线的性质得，根据等腰三角形的性质得，根据三角形的内角和进而得到答案； 【详解】解：如图所示，连接， ∵过点作的切线与的延长线交于点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即； 故选：B． 6．如图，内接于，连接，且平分，D是上一点，连接，．若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了圆周角定理、等腰三角形的性质、三角形内角和定理等知识点，掌握圆周角定理是解题的关键． 如图：连接，根据圆周角定理求出，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理求出，根据角平分线的定义求出，再根据圆周角定理解答即可． 【详解】解：如图，连接，由圆周角定理得：， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 7．如图，是的弦，是延长线上的一个点，，，则的度数为 ． 【答案】/108度 【分析】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形外角性质等知识，解题关键是熟练掌握圆周角定理． 先利用等腰三角形的性质得到，再利用三角形外角性质得到，最后利用圆周角定理即可求出． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 8．如图，四边形内接于，若四边形是平行四边形，则 ．    【答案】/60度 【分析】本题重点考查圆内接四边形的性质和圆周角定理的综合应用，通过平行四边形性质将圆心角与圆周角关联并建立方程是解题的关键． 利用圆内接四边形的性质和圆周角定理列方程求解． 【详解】解：设， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是圆内接四边形， ∴， 即， 解得， ∴， 故答案为：． 9．如图，是半圆O的直径，点C、D在半圆O上，若，则的度数为 ． 【答案】/40度 【分析】本题主要考查了圆周角定理，圆的内接四边形性质，熟练掌握圆周角定理是解题的关键． 根据圆内接四边形对角互补，可求得的度数，再根据直径所对的圆周角为直角，三角形内角和定理即可求得的度数． 【详解】解：∵四边形是的内接四边形， ∴， ， ∵是半圆O的直径， ∴， ， 故答案为：． 10．如图，为的直径，D是弦延长线上一点，，的延长线交于点E，连接． (1)求证：． (2)若的度数为，则的度数为________． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题主要考查了圆周角定理和线段垂直平分线的性质，灵活运用所学知识是解题关键． （1）如图：连接，先证明，再根据等腰三角形的性质以及等量代换即可证明结论； （2）连接，根据的度数为可得到，根据且即可解答． 【详解】（1）证明：如图：连接， 是直径， ， 又， ， ， ， ； （2）解：连接， 的度数为， ， 且， ． 题型2 圆的计算（二）求长度 11．如图，已知是的弦，直径，交于点H，连接，若，，则（    ） A．3 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了垂径定理和勾股定理，熟练掌握相关定理是解答本题的关键．根据垂径定理得出，再根据勾股定理解答即可． 【详解】解：∵直径，， ∴， 在中，， ∴， ∴， 故选：D． 12．如图，已知的半径为，弦的长为，是的延长线上一点，，则等于（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理和垂径定理的应用，注意：垂直于弦的直径平分弦．过点O作于点C，根据垂径定理求出，，在中，根据勾股定理求出，在中，根据勾股定理求出即可． 【详解】解：如图，过点O作于点C，则， ，过圆心O， ， 在中，， ， ， 在中，， 故选：D． 13．如图，圆弧形桥拱的跨度米，拱高米，则拱桥的半径为（   ） A．3米 B．10米 C．12米 D．20米 【答案】B 【分析】本题考查了垂径定理的应用和勾股定理等知识，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键． 设圆弧形桥拱的圆心是O，半径为r米，连接，则O、D、C三点共线，根据垂径定理得米，再由勾股定理得出方程，解方程即可． 【详解】解：设圆弧形桥拱的圆心是O，半径为r米，如图，连接，则O、D、C三点共线， ∵拱高为， ∴， ∵米， ∴米， 在中，根据勾股定理，得：， 即， 解得：， 即拱桥的半径为10米， 故选：B． 14．如图，的直径垂直于弦，垂足为．若，，则圆半径长是（   ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了直角三角形的性质，垂径定理等知识点，连接，设半径为，根据垂径定理得出，根据含度角的直角三角形的性质得出，勾股定理求得，进而根据，即可求解． 【详解】解：如图，连接，设半径为 ∵的直径垂直于弦， ∴ ∵，， ∴ ∴ ∵， ∴， 又∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 故选：C． 15．如图，已知的半径为3，内接于，，则的长为（    ） A．3 B． C． D．4 【答案】B 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，勾股定理，解答本题的关键是添加合适的辅助线，合理利用圆内接四边形的性质以及圆周角定理解题．设点D为优弧上一点，连接，，，，根据圆内接四边形的性质求得，再根据圆周角定理求出，最后根据勾股定理求解即可． 【详解】解：设点D为优弧上一点，连接，，，， 四边形是圆内接四边形， ， ， ， ， ． 故选：B． 16．如图，在中，弦的长为2，，则的半径为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了垂径定理，圆周角定理，直角三角形的性质和勾股定理，熟知垂直于弦的直径平分弦是解题的关键．过点O作于点E，连接，由圆周角定理可得，再根据垂径定理可得，进而得到，求出，利用勾股定理即可求解． 【详解】解：过点O作于点E，连接， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴（负值舍去）， 即的半径为． 故答案为：． 17．如图，已知的弦垂直平分半径，连接并延长交于点，连接，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查圆的综合问题，解题的关键是掌握垂径定理，还涉及到勾股定理和三角形中位线定理，综合运用所学知识． 首先连接，由的半径弦于点，根据垂径定理可求得，然后设，利用勾股定理，则可求得半径的长，继而利用三角形中位线的性质，求得的长，又由是直径，可得，继而求得答案． 【详解】解：连接， ∵的半径弦于点， ， 设， ∵弦垂直平分半径， ， 在中，， ， 解得：， ∴， ∵， ， ∵是直径， ， ， 故答案为：． 18．如图，与相切于点A，的延长线与交于点C，若的半径为3，．弦的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查切线的性质，勾股定理，掌握相关知识是解题的关键． 连接，过A作于点D，由切线的性质得到，从而在中根据勾股定理求出，根据的面积求出，进而在中，求出，从而可得的长，再在中求出即可． 【详解】解：连接，过A作于点D， ∵为的切线， ∴， ∵在中，，， ∴， ∵， ∴， ∴在中，， ∴， ∴在中，． 故答案为：． 19．如图所示，中，弦交直径于点，，，且，则 ． 【答案】 【分析】本题考查利用垂径定理和勾股定理，含30度的直角三角形，正确作出辅助线是解题的关键． 过圆心O作于E，连接，先证明，，再求出，，得到，继而求出，根据勾股定理，求出，则，即可解得． 【详解】解：过圆心O作于E，连接，如图 ∴，． ∵ ∴，， ∴， ∵， ∴在中，， ∴， ∴． 故答案为：． 20．已知，如图，为的直径，内接于，，点是的内心，延长交于点，连接． (1)求证：； (2)已知的半径是，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由圆周角定理得出，由内心得出，，，由三角形的外角性质得出，即可得出结论； （2）连接，过点作于，由圆周角定理得出，证出是等腰直角三角形，得出，由，，推出，得到，根据勾股定理可求的长，即可得出结果． 【详解】（1）证明：∵为的直径， ， 点是的内心， ，， ， ，， ， ． （2）解：如图，连接，过点作于， 为的直径，的半径是，， ，是等腰直角三角形， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了三角形的内切圆与内心、圆周角定理、三角形的外角性质、等腰三角形的判定、等腰直角三角形的判定与性质等知识，掌握相关知识是解题的关键． 题型3 圆的计算（三）求阴影部分面积 21．如图，在中，，，以为直径的交于点，若点恰好为的中点，则图中阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆周角定理及其推论、等腰三角形的判定和性质以及扇形的面积公式，证明是等腰三角形，求出的度数是解题的关键． 首先证明是等腰三角形，求出，然后根据圆周角定理求出，再利用扇形的面积公式计算即可． 【详解】解：连接，如图所示， 是直径， ，即， 为的中线， 是等腰三角形， ， ， ， 半径为2， ， 故选：B． 22．如图，正五边形的边长为，以顶点为圆心，的长为半径画圆，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查正多边形的内角和，扇形的面积． 由多边形的内角和可得的度数，根据扇形的面积公式计算即可． 【详解】解：∵正五边形， ∴， ∵， ∴阴影部分的面积为． 故选：D． 23．如图，在中，，过、两点的交于点，与相切于点，为的直径，若，则阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了图形面积计算，关键是连接辅助线和，证明得到为等边三角形． 【详解】解：连接和，作垂足为点如下图所示： 中与相切于点， ， 由圆周角定理可知，， 在中，， 在和中， ， ． ， ，圆半径为． 扇形面积， 在中，， 由勾股定理可知，， 面积， 面积， 半圆面积， ． 故选：． 24．如图，在中，，，，分别以、、为直径向的同侧作半圆，则阴影部分的面积等于（　　） A． B． C．24 D．25 【答案】C 【分析】此题主要考查了勾股定理、扇形面积的计算，阴影部分的面积可以看作是几个规则图形的面积的和或差． 阴影部分面积可以看成是以为直径的两个半圆的面积加上一个直角三角形的面积减去一个以为直径的半圆的面积． 【详解】解：∵， ∴， ∴直径为的半圆的面积直径为的半圆的面积直径为的半圆的面积 ， 故选：C． 25．如图，在中，，分别以为圆心，以为半径画弧，则三条弧与边所围成的阴影部分的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查求不规则图形面积，涉及扇形面积公式、直角三角形面积公式等知识，读懂题意，间接表示出三条弧与边所围成的阴影部分的面积求解是解决问题的关键．如图所示，由题意可得，，即可转化为以为半径的半圆面积，从而求出，由三条弧与边所围成的阴影部分的面积为，代值求解即可得到答案． 【详解】解：如图所示： 由题意可得，， 在中，， 则可转化为以为半径的半圆面积， 即， 在中，，则， 三条弧与边所围成的阴影部分的面积是， 故选：B． 26．如图，已知，，，以AD为直径的经过点C，图中阴影部分的面积为 ．（结果保留） 【答案】 【分析】此题考查了扇形面积公式、平行四边形的性质、圆周角定理等知识．连接，求出，，根据即可得到答案． 【详解】解：连接，如图所示： ∵，， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴ ． 故答案为：． 27．如图，在边长为2的正方形中，以点B为圆心，的长为半径画弧．点E是边的中点，以点E为圆心，长为半径画弧，则阴影部分的面积为 ．(结果保留) 【答案】 【分析】本题考查不规则图形的面积问题，阴影部分的面积为扇形的面积减去半圆的面积，由此可解． 【详解】解：四边形是边长为2的正方形，点E是边的中点， ，，， ，， 阴影部分的面积为：， 故答案为：． 28．如图，矩形中，，扇形的半径，扇形的半径，则阴影部分的面积为 （π取3） 【答案】 【分析】本题考查了矩形的特点和扇形的面积公式，根据题意可得扇形和扇形都为个圆，再根据阴影部分的面积扇形阴影部分面积扇形阴影部分面积，根据图形可知阴影部分的面积扇形面积矩形面积右下空白部分面积扇形面积右下空白部分面积，即可得到阴影部分的面积扇形面积扇形面积矩形面积，代入数据计算即可． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴， 由图可知：阴影部分的面积扇形面积矩形面积右下空白部分面积扇形面积右下空白部分面积， ∴阴影部分的面积扇形面积扇形面积矩形面积 ， ， ， ． 故答案为：． 29．如图，在中，，将绕点A逆时针旋转后得到，则图中阴影部分的面积是 ． 【答案】 【分析】先利用含30度的直角三角形三边的关系计算出，再根据旋转的性质得到，，则，接着在中计算出，从而得到，然后根据扇形的面积公式，利用图中阴影部分的面积进行计算． 【详解】解：∵， ∴，， ∵将绕点A逆时针旋转后得到， ∴，， ∴， 在中，∵， ∴， ∴， ∴图中阴影部分的面积2． 故答案为：． 【点睛】本题考查了扇形面积的计算：设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S，则或（其中l为扇形的弧长）．求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积．也考查了旋转的性质． 30．如图，是的外接圆，半径为，连接，，， (1)过点作，交于点，若，求的长； (2)若，求阴影部分的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用垂径定理得出，再结合勾股定理求出，进而得到． （2）先根据圆周角定理求出圆心角的度数，然后用扇形面积公式得到阴影部分面积． 【详解】（1）解：，， ， 在中，，， ∴， ； （2）解：， ， ∴． 【点睛】本题主要考查了垂径定理、勾股定理、圆周角定理、扇形面积公式，熟练掌握这些定理和公式是解题的关键． 题型4圆的计算（四）求路径长 31．如图，半径为2个单位长度的半圆，从原点沿数轴向右滚动一周，则点所对应的数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆的周长公式以及数轴的认识，关键是理解半圆滚动一周的长度等于半圆的周长．半圆从原点滚动一周，圆心走过的距离是半圆的弧长，等于圆周长的一半，根据圆的周长公式先求出半圆的弧长，除了半圆的弧长，点还经过了一段等于半圆直径的距离，此时半圆的直径为4，所以点对应的数是半圆弧长加上直径即为所求． 【详解】解：由题意知，的长度为半圆的弧长与半圆直径之和， 此时． 故选：D． 32．如图，在中，，将绕点C按顺时针方向旋转，得到，则下列说法错误的是（    ） A．的长为 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是旋转的性质、弧长的计算，掌握旋转变换的性质是解题的关键． 根据旋转变换的性质、弧长公式，逐项分析判断即可． 【详解】解：由旋转的性质可知：，， ∴的长为：，， 则选项A、B、D说法正确，不符合题意；选项C说法错误，符合题意； 故选：C． 33．如图所示，边长为1的正方形网格中，、、、、是网格线交点，若与所在圆的圆心都为点，那么阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理，求扇形的面积，等腰直角三角形的性质， 根据阴影部分的面积解答即可. 【详解】解：∵， ∴， 同理：. 根据勾股定理，得. 阴影部分的面积 . 故选：C. 34．如图所示，圆锥的母线长为4，底面圆半径为1，若一小虫从点开始绕着圆锥表面爬行一圈到的中点，求小虫爬行的最短距离是多少?（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了勾股定理和圆锥的侧面展开图．圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．本题就是把圆锥的侧面展开成扇形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决．将圆锥的侧面展开如图所示，取的中点C，连接，则是小虫爬行的最短路线． 【详解】解：如图，将圆锥侧面沿母线展开，取的中点C，连接，则是小虫爬行的最短路线． ∵， ∴ ，即． ∵， ∴ ． ∴ 小虫爬行的最短距离为． 故选：D 35．如图，已知，，，半径为的从点A出发，沿方向滚动到点时停止．则在此运动过程中，扫过的面积是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查组合图形的面积，解题的关键是掌握圆面积、扇形面积以及矩形面积的计算方法． 【详解】根据圆面积、扇形面积以及矩形面积的计算方法进行计算即可． 【点睛】解：如图，扫过的面积为， ∵，，，半径为， ∴，，，， ∴， 故选：． 36．如图，边长为的正方形的顶点A、B在一个半径为的圆上，顶点C、D在圆内，将正方形沿圆的内壁逆时针方向作无滑动的滚动．当点C第一次落在圆上时，点C运动的路径长为 ． 【答案】 【分析】设圆心为O，连接，，，，易证三角形是等边三角形，确定，再利用弧长公式计算即可． 【详解】解：如图所示：设圆心为O，连接，，，，， ∵，， ∴， ∴是等边三角形， ∴． 同理：是等边三角形，， ∴，， ∵， ∴， 当点C第一次落在圆上时，点C运动的路径长为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质、旋转的性质、等边三角形的判定和性质、勾股定理的运用以及弧长公式的运用，题目的综合性较强，解题的关键是正确的求出旋转角的度数． 37．如图①所示的弧三角形（也称莱洛三角形）也是“等宽曲线”，如图②，夹在平行线c，d间的莱洛三角形无论怎么滚动，平行线间的距离始终不变．若直线c，d之间的距离等于，则莱洛三角形的周长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了新定义问题求弧长，理解题意牢记弧长公式是解题的关键． 由等宽曲线的定义知，即可得，因此可知在以点C为圆心，为半径的圆上，根据弧长公式可求得的长，莱洛三角形的周长为3段等长的弧，据此即可求解． 【详解】解：由题意可得， ， 在以点C为圆心，为半径的圆上， 的长为， ∴莱洛三角形的周长为． 故答案为：． 38．如图1，已知扇形，点P从点O出发，以的速度沿的路线运动．图2是点P的运动时间x（单位：s）与的长y（单位：）的函数图象．则扇形的面积为 ． 【答案】3π 【分析】先根据函数图象得出OB的长，进而得出OA的长，即可得出的长，根据弧长公式可求出∠O的度数，利用扇形面积公式即可得答案． 【详解】设∠O=n°， 由函数图象可知点P从B运动到O所用时间为：=3(s)， ∵点P运动速度为， ∴OB=OA=3(cm)， ∴点P从O运动到A所用时间为3(s)， ∴点P从A运动到B所用时间为(s)， ∴=， ∴， 解得：n=120， ∴S扇形OAB=， 故答案为：． 【点睛】本题考查函数图、弧长公式及扇形的面积，从函数图象正确提取所需信息、熟练掌握弧长公式及扇形面积公式是解题关键． 39．如图，将半径为的圆形纸板，沿着三边分别长、、的的外侧无滑动地滚动一周并回到开始的位置，则圆心所经过的路线长度是 ． 【答案】 【分析】圆在三角形的三个角的顶点处旋转的路线是弧，通过观察可以发现圆转动时在三个角上共转动了圆心角360°的弧长，根据弧长公式即可求得长度，然后加上三角形的周长即可求解． 【详解】圆在三角形的三个角的顶点处旋转的角度是：360°， 则旋转的路线长是：l＝＝， 圆心O所经过的路线的长度＝6＋5＋4＋＝15＋． 故答案为：15＋． 【点睛】本题考查了弧长的计算公式，正确理解圆心经过的路线是关键，注意掌握弧长的计算公式． 40．如图，把直角三角形的斜边放在直线上，按顺时针方向转动两次，使 它转到″″″的位置，设，，则顶点运动到″的位置时： 点经过的路线有多长？ 点经过的路线与直线所围成的面积是多少？ 【答案】（1）；（2）． 【分析】（1）点A经过的路线长，是两段弧长，利用弧长公式计算． （2）点A经过的路线与直线l所围成的面积是两个扇形的面积，按扇形面积公式计算． 【详解】解：中，，， 则可得，， 则点到″所经过的路线为： ． 点经过的路线与直线围成的面积为： ． 【点睛】本题考核知识点：弧长、扇形面积计算.解题关键点：在做这道题时，要分清这两个弧长，扇形的圆心角和半径分别是多少． 题型5圆的计算（五）最值问题 41．如图，已知的直径为，的度数为，点是的中点，在直径上找一点，使的值最小，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了最短路径问题，弧、弦、圆心角的关系，勾股定理等．作点关于的对称点，则点在上；连接、、，与的交于点，此时的值最小，根据题意可得，，求得，根据勾股定理即可求解． 【详解】解：作点关于的对称点，则点在上；连接、、，与的交于点，如图： 则，，即此时的值最小， ∵，点是的中点， ∴， ∵点关于的对称点是点， ∴， ∴， ∵， 在中，， 即的值最小为． 故选：A． 42．如图，在矩形中，，E是边上的一动点，以为直径的经过边上的一点F．若使最小，则的值为（    ）    A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据最小得到以为直径的与相切于点F，设与交于点G，连接，，与交于点H，设，则，设 ， 则，，，利用矩形的性质，圆的切线的性质，圆周角定理和勾股定理求得值，即可得到答案； 【详解】解：∵最小， ∴为直径的与相切于点F，如图所示，    设与交于点G，连接，，与交于点H， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∵为直径， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵为的切线， ∴， ∴， ∴为梯形的中位线， ∴， ∵， ∴设，则，设 ， 则， ∴， ∴， 在中， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴， 故选：B； 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，圆的有关性质，圆周角定理，切线的性质定理，梯形的中位线定理，勾股定理，利用已知条件确定出符合条件的图形是解题的关键． 43．在一节数学实践活动课上，老师拿出三个边长都为的正方形硬纸板，他向同学们提出了这样一个问题：若将三个正方形纸板不重叠地放在桌面上，用一个圆形硬纸板将其盖住，这样的圆形硬纸板的最小直径为（单位：）（    ） A． B．100 C． D． 【答案】D 【分析】依题意，画出圆形硬纸板最小时的图形，设圆形硬纸板的圆心为O，延长交于P，连接、、，则，证明点O在上，设，则，根据勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：如图，设圆形硬纸板的圆心为O，延长交于P，连接、、， 则，， ∵垂直平分，， ∴点O在上，， 设，则， 在中，， 在中，， ∴，解得， ∴， 故圆形硬纸板的最小直径为． 故选：D． 【点睛】本题考查正多边形与圆的有关计算，熟练掌握正方形的性质、勾股定理和垂径定理是解答的关键． 44．如图，某零件由1个长为8，宽为1的矩形工件和1个边长为6的正方形工件组成一个轴对称图形，则能将其完全覆盖的圆形纸片的最小半径r为（   ） A．5 B． C． D． 【答案】A 【分析】作的垂直平分线交于，交于，作的垂直平分线交于，连接、，根据勾股定理求出，再根据勾股定理计算，得到答案． 【详解】解：作的垂直平分线交于，交于，作的垂直平分线交于，连接、， 则，， 设，则， 在中，，即， 在中，，即， ， 解得：， 则， 刚能将其完全覆盖的圆形纸片的最小半径为5， 故选：A． 【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键． 45．如图，某汽车车门的底边长为，车门侧开后的最大角度为．若将一扇车门侧开，则这扇车门底边扫过区域的最大面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了扇形的面积，根据扇形的面积公式直接计算即可求解，掌握扇形的面积公式是解题的关键． 【详解】解：由题意可得，车门底边扫过区域的最大面积， 故选：． 46．要用圆形铁片截出边长为8cm的正方形铁片，选用的圆形铁片的直径最小要 cm． 【答案】 【分析】根据题意画出图形，再根据正多边形圆心角的求法求出∠BOC的度数，最后依据等腰三角形及直角三角形的性质解答即可． 【详解】解：如图所示， ∵四边形ABCD是正四边形， ∴∠BOC＝＝90°； ∵OB＝OC，OE⊥BC， ∴∠BOE=∠BOC＝45°，BE＝CE＝OE=AB＝4cm， ∴2OB＝=8（cm）， ∴选用的圆形铁片的直径最小要8cm． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了垂径定理的应用以及勾股定理和正方形的性质，解答此题的关键是根据题意画出图形，由数形结合解答． 47．已知，经过A，B两点作圆，则所作的圆的半径最小是 ． 【答案】2 【分析】本题考查的是确定圆的条件，熟知经过线段最小的圆即为以AB为直径的圆是解答此题的关键． 经过线段最小的圆即为以为直径的圆，求出半径即可． 【详解】解：根据题意得：经过线段最小的圆即为以为直径的圆，则此时半径为． 故答案为：2． 48．在中，，点D是以点A为圆心，半径为1的圆上一点，连接BD并取中点M，则线段CM的长最大为 ，最小为 ． 【答案】 3 2 【分析】作AB的中点E，连接EM、CE，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半以及三角形的中位线定理求得CE和EM的长，然后确定CM的范围． 【详解】解：作AB的中点E，连接EM、CE． 在直角△ABC中，AB==5， ∵E是直角△ABC斜边AB上的中点， ∴CE=AB=2.5． ∵M是BD的中点，E是AB的中点， ∴ME=AD=0.5． ∵2.5-0.5≤CM≤2.5+0.5，即2≤CM≤3． ∴最小值为2，最大值为3， 故答案为：3，2． 【点睛】本题考查了点与圆的位置关系、三角形的中位线定理的知识，要结合勾股定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答． 49．如图，点是上一个动点，点在外一个定点，已知是等边三角形．当点在上运动时，点的位置也跟着发生改变，则的最小面积为 ． 【答案】/ 【分析】如图，以为边作等边，连接，可证，然后可得点的运动轨迹是以点为圆心，长为半径的圆上，要使得 面积最小，则求出点到线段的最小距离，点到的最小值为，最后求出面积即可． 【详解】解：如图，以为边作等边，连接， ∵ ∴ ，即， 在和 中， ∴ ∴ ∴点的运动轨迹是以点为圆心，长为半径的圆上， 要使得 面积最小，则点到线段的距离最小， ∵是边长为2的等边三角形， ∴点到的距离为， ∴点到的最小值为， ∴面积最小值为： ． 故答案为：． 【点睛】本题考查动点轨迹圆相关知识点，全等三角形的判定，勾股定理的运用，构造辅助圆的方法求最值问题，解题关键是利用构造全等三角形找到动点的轨迹，再求出圆上一点到定点线段距离的最小值． 50．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是、、． (1)画出关于原点成中心对称的； (2)画出绕点逆时针旋转后的，并求出点旋转到的轨迹的长； (3)在轴上存在一点，使的值最小，则点的坐标为__________． 【答案】(1)见解析； (2)见解析，； (3)． 【分析】本题考查作图——旋转变换和中心对称，轴对称最短问题，弧长公式，一次函数的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （）分别作出三顶点关于原点的对称点，再顺次连接即可； （）分别作出三顶点绕点逆时针旋转的点，然后顺次连接，再利用弧长公式即可求解； （）作出点关于轴的对称点，连接交轴于点，点即为所求，然后求出直线解析式即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，即为所求， 由题意得，， ∴点旋转到的轨迹的长为； （3）解：如图，作出点关于轴的对称点，连接交轴于点，点即为所求， ∵， ∴， 设直线解析式为， ∴，解得：， ∴直线解析式为， 当时，，解得：， ∴点的坐标为， 故答案为：． 题型6圆的计算（六）折叠圆问题 51．如图，有一圆形纸片，其圆心为，弦，将纸片沿，折叠交于点，若的半径为1，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了垂径定理、解直角三角形、求弧长、圆周角定理，作于点，连接，则，解直角三角形得出，从而求出，再由圆周角定理可得，最后由阴影部分的面积计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图，作于点，连接， 依题意可得， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴阴影部分的面积， 故选：A． 52．如图，是等腰直角三角形的外接圆，，．点D在劣弧上，将劣弧与弦组成的弓形沿弦折叠，点D的对应点为，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先证明四边形是菱形，从而可得，再证明四边形是正方形，从而可得，再根据当、、三点共线时，最短，利用勾股定理求得，从而可求得的最小值． 【详解】解：作O关于的对称点，连结，，，， 则，，， ∴四边形是菱形， ∵， ∴， ∵将劣弧与弦组成的弓形沿弦折叠，点D的对应点为D′， ∴为的圆心， ∵是等腰直角三角形的外接圆， ∴，，为斜边的中点， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， 当、、三点共线时，最短， 此时，， ∴，解得：（负值舍去）， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了菱形的判定与性质，用勾股定理解三角形，根据正方形的性质与判定求线段长，点与圆上一点的最值问题，折叠问题等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 53．如图，在扇形中，，，分别是，上的点．将扇形沿折叠，点恰好落在的中点处，若，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，由是的中点，，则，通过折叠性质可知，，，，则四边形是矩形，又，故四边形是正方形，则有，所以，求出，再通过图中阴影部分的面积为即可求解． 【详解】解：连接， ∵是的中点，， ∴， 由折叠性质可知，，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴图中阴影部分的面积为， 故选：． 【点睛】本题考查了扇形面积，圆周角定理推论，三角形内角和定理，折叠性质，矩形判定，正方形的判定与性质，勾股定理，掌握知识点的应用是解题的关键． 54．如图，正方形的边长是，E是边的中点．将该正方形沿折叠，点C落在点处．分别与相切，切点分别为F、G、H，则的半径为（   ）cm A． B．2 C．3 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形内切圆，正方形与折叠问题，勾股定理，全等三角形的性质与判定等等，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 延长交于，连接，连接，根据条件证明，得到对应边相等，设，利用勾股定理列出方程求解，然后利用等面积法求出圆的半径即可． 【详解】解：如图所示，延长交于，连接， 四边形是正方形， ， 为的中点， ， 由折叠的性质可得，，， ， 又， ， ， 设，则，， 在中，由勾股定理得， ， 解得， ，， 如图所示，连接 分别与相切，切点分别为， ，，，， ， ， ． ∴的半径为， 故选：A． 55．如图，点C为扇形的半径上一点，将沿折叠，点O恰好落在上的点D处，且，若将此扇形围成一个圆锥，则圆锥的底面半径与母线长的比为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是扇形，折叠的性质，熟练掌握圆锥的弧长公式和圆的周长公式是解题的关键． 连接，求出，利用弧长公式和圆的周长公式求解即可． 【详解】解：连接交于． 由折叠的知识可得：，， ， ， ， ∴ 设圆锥的底面半径为，母线长为， 根据题意得，， ． 故选：D． 56．如图，是的弦，将劣弧沿弦折叠后，圆弧恰好经过圆心，若，则的半径为 ． 【答案】2 【分析】本题考查垂径定理，翻折变换，关键是由翻折变换的性质推出是等边三角形． 由翻折变换的性质推出是等边三角形，得到，由垂径定理得到的长，由锐角的正弦即可求出的长． 【详解】解：设的对应点是，连接,，， 由题意知垂直平分， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴的半径是2． 故答案为：2． 57．如图，在扇形中，，半径，将扇形沿过点的直线折叠，点恰好落在上的点处，折痕交于点，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了弧长的计算，翻折变换（折叠问题）．如图，连接．根据折叠的性质、圆的性质推知是等边三角形，则易求；然后根据弧长公式弧长的公式计算求解． 【详解】解：如图，连接，    根据折叠的性质知，， 又， ，即是等边三角形． ． ， ． ∴的长为． 故答案为：． 58．如图，在中，直径，C是圆上一点，将弧沿折叠，折叠后的弧恰好经过点O，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】/ 【分析】过点作于点，则可判断点是的中点，由折叠的性质可求得，在中求出，继而得出，先求出，再求出，从而可得出阴影部分的面积． 【详解】解：过点作于点，交于点，连接， 则点是的中点，由折叠的性质可得点为的中点， ， 在中，，， ，即， ， ， ， 连结， 由折叠可知， 又， 是等边三角形， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了求圆中的不规则图形面积，折叠的性质，勾股定理，含有角的直角三角形的性质等知识点，解题关键是通过作辅助线找出求阴影部分面积的方法． 59．如图，在矩形中，，，点M，N分别为，上一个动点，且，沿直线折叠，点A，B分别落在点E，F处，点P为上一点，且，则的最大值为 ，的最小值为 ． 【答案】 / / 【分析】连接与交于点O，过点作于点G，连接，确定点F在以O为圆心，以5为半径的圆上运动，当点P，O，F三点共线，且点F，P在O的两侧时，取得最大值，当点P，O，F三点共线，且点F，P在O的同侧时，取得最小值，解答即可． 【详解】解：连接与交于点O， ∵矩形，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 过点作于点G， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， 连接， ∴，， ∵沿直线折叠，点A，B分别落在点E，F处， ∴， ∴点F在以O为圆心，以5为半径的圆上运动， ∴当点P，O，F三点共线，且点F，P在O的两侧时，取得最大值，的最大值为， ∴当点P，O，F三点共线，且点F，P在O的同侧时，取得最小值，的最小值为， 故答案为：，． 【点睛】本题考查了折叠的性质，矩形的性质，勾股定理，定圆的条件，圆的性质，三角形全等的判定和性质，平行线分线段成比例定理，三角形中位线定理，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 60．如图1，在中，点C、D在优弧上，将弧沿折叠后，点D的对应点E刚好落在弦上，连接． (1)证明：； (2)连接，若，求的半径． (3)用圆形纸片可以折出各种不同的图形．如图2，点P为内一点，利用直尺和圆规分别作出一条符合要求的折痕，使折叠后圆弧经过点O、P（保留痕迹，给出必要的文字说明）． 【答案】(1)见解析； (2)； (3)见解析． 【分析】本题考查了翻折变换的性质、圆周角定理、垂径定理、勾股定理等知识，熟练掌握翻折变换的性质和勾股定理、圆周角定理是解题的关键． （1）先由折叠的性质得，垂直平分，再由圆周角定理得，则，得，即可得出结论； （2）解连接交于，连接，设的半径为，由（1）得，，则，由垂径定理得，再由勾股定理求出，则，然后在中，由勾股定理得出方程，解方程即可； （3）连接，作线段的垂直平分线交于点，连接，作线段的垂直平分线交于点，以为圆心作即可． 【详解】（1）证明：由折叠的性质得：，垂直平分， ， ， ， ； （2）解：连接交于，连接，如图： 设的半径为， 由（1）得：，， ， ，， ， ， 在中，由勾股定理得：， 解得：， 即的半径为； （3）解：如图，折痕，即为所求， 第46页，共60页 第45页，共60页 学科网（北京）股份有限公司 $