精品解析：湖南省多校联考2025-2026学年高三上学期10月月考数学试题

2026届高三第一次联考卷数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则成立的充要条件是（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数，，则（ ） A. B. C. D. 3. 在空间中，下列命题正确的是（ ） A. 若三条直线两两相交，则这三条直线一定共面 B. 若平面与平面平行，直线l在内，直线m在内，则 C. 若直线，，则与相等或互补 D. 若三个平面两两相交得三条交线，则这三条交线共点或互相平行 4. 某学校在读书节活动中，甲，乙，丙3个班各有2名同学获奖，现将这6人站成一排拍照，其中甲班的2名同学相邻，且乙班的2名同学不相邻的站法种数共有（ ） A. 36种 B. 72种 C. 144种 D. 288种 5. 已知平面向量，，，若，则（ ） A. B. C. D. 6. 设双曲线的右焦点为F，左，右顶点分别为，，M为C上一点，且轴，点N在线段上，直线交y轴于H点，直线交y轴于G点，O为坐标原点，若，则C的离心率为（ ） A. 3 B. 2 C. D. 7. 在锐角中，记内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则A的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知，，，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，则下列命题正确的是（ ） A. 若的最小正周期为2，则 B. 当时，将函数的图象向右平移个单位长度得函数的图象 C. 当时，在取区间上单调递减 D. 若在区间上恰有一个零点，则的取值范围是 10. 设抛物线的焦点为F，准线为l，点A在C上，以F为圆心，为半径的圆记为W.过点A作l的垂线，垂足为B，且点B在圆W上，则（ ） A. 准线l的方程是 B. 为等边三角形 C. 设线段与y轴的交点为D，则 D. 直线与圆W相交 11. 已知曲线，则（ ） A. 曲线C关于坐标原点对称 B. 曲线C与直线相切 C. 曲线C与直线相交 D. 曲线C与直线恰有3个公共点 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若直线与曲线相切，则______. 13. 已知函数，若在上存在最小值，则a的取值范围是______. 14. 抛掷一个质地不均匀的骰子，得到点数为1，2，3，4，5，6的概率依次成等差数列.若将该骰子抛掷一次，则所得点数为1或6的概率为______；若将该骰子独立抛掷两次，记所得的点数分别为a，b，已知事件“”发生的概率为，则事件“”发生的概率为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 记数列的前n项和为，已知，且. （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 16. 某工厂生产各种规格的某种零件，从中随机抽取6个不同规格的零件，其检测数据如下表： 零件尺寸 38 48 58 68 78 88 零件质量 16.8 18.8 20.7 22.4 24 25.5 质量与尺寸之比 0.442 0.392 0.357 0.329 0.308 0.290 （1）测评标准指出，当零件的质量与其尺寸之比在区间内时为优等品.现从上述6个零件中任选2个，求这2个零件中优等品个数的均值和方差； （2）据散点图分析，上述6个零件的质量与尺寸之间存在非线性相关关系，其经验回归方程可设为.当零件的尺寸为时，估计零件的质量约为多少?（精确到） 参考数据：，，，， 附：对于样本数据，其一元线性回归模型中斜率参数b和截距参数a的最小二乘估计分别为：， 17. 如图，在四棱锥中，底面，，，，，，点M在侧棱上运动. （1）证明：平面平面； （2）当直线与直线所成的角最小时，求三棱锥的体积. 18. 已知椭圆的离心率为，长轴长与短轴长的差为2，点，，都在上，为坐标原点，且. （1）求的方程； （2）求直线与的斜率之积； （3）设直线与的另一个交点为，点P在线段上运动，过点作斜率为的直线与相交于，两点.若直线的斜率为3，求的最大值. 19. 已知函数， （1）求在区间内的极值点个数； （2）记为在区间内的一个极值点，证明： （i） （ii）. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届高三第一次联考卷数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则成立的充要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出集合，由子集关系求解即可. 【详解】由得， 所以， 由于，所以. 故选：D 2. 已知复数，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数的四则运算即可求解. 【详解】由已知，，，则， 故选：C. 3. 在空间中，下列命题正确的是（ ） A. 若三条直线两两相交，则这三条直线一定共面 B. 若平面与平面平行，直线l在内，直线m在内，则 C. 若直线，，则与相等或互补 D. 若三个平面两两相交得三条交线，则这三条交线共点或互相平行 【答案】D 【解析】 【分析】利用平面性质判断选项A，利用空间中线与线关系即可判断B，设，，，，，，即可判断C，根据面面平行的性质定理和公理即可判断D. 【详解】若三条直线交于一点，则这三条直线可能不共面，故A错误. 分别在两平行平面内的直线可能是异面直线，故B错误. 设，，，，，，则的大小有无数个不同的取值，故C错误. 若三个平面两两相交得三条交线，则这三条交线共点或互相平行，故D正确. 故选：D. 4. 某学校在读书节活动中，甲，乙，丙3个班各有2名同学获奖，现将这6人站成一排拍照，其中甲班的2名同学相邻，且乙班的2名同学不相邻的站法种数共有（ ） A. 36种 B. 72种 C. 144种 D. 288种 【答案】C 【解析】 【分析】甲班的2名同学相邻，用“捆绑法”，乙班的2名同学不相邻，用“插空法”，再根据分步乘法计数原理即可求解. 【详解】第一步，将甲班的2人捆绑，连同丙班的2人作全排列，有种站法； 第二步，将乙班的2人插入前后4个空档，有种站法. 根据分步乘法计数原理，不同的站法共有种. 故选：C 5. 已知平面向量，，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据向量的数乘和加法运算求出与的坐标，再根据利用向量数量积的坐标运算得到的关系式，求出，，的坐标，通过向量共线的坐标条件即可判断. 【详解】由，，得，， 因为，所以，则. 因为，，， 因为，， 所以，与不平行， 由已知不一定为，与不一定垂直， 故选：B. 6. 设双曲线的右焦点为F，左，右顶点分别为，，M为C上一点，且轴，点N在线段上，直线交y轴于H点，直线交y轴于G点，O为坐标原点，若，则C的离心率为（ ） A. 3 B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角形相似可得，，即可根据得解. 【详解】因为轴，轴，则， 所以，则，同理. 因为，则， 即，得，所以. 故选：A 7. 在锐角中，记内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则A的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用余弦定理化简已知条件.结合正弦定理可得，结合两角和差的正弦公式化简可得：即可求解. 【详解】由已知及余弦定理，得，即. 由正弦定理，得，则， 即，即， 所以，或,即或（舍去）. 因为角A，B，C都为锐角，则，且，所以. 故选：B 8. 已知，，，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】利用换底公式结合基本不等式比较与的大小，从而比较大小，利用换底公式及不等式的性质比较大小. 【详解】，则. 因为，则 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，则下列命题正确的是（ ） A. 若的最小正周期为2，则 B. 当时，将函数的图象向右平移个单位长度得函数的图象 C. 当时，在取区间上单调递减 D. 若在区间上恰有一个零点，则的取值范围是 【答案】ACD 【解析】 【分析】选项A，直接运用余弦函数周期公式计算；选项B，根据函数平移 “左加右减” 原则，求出平移后的函数表达式，与目标函数对比判断；选项C，先确定的范围，再结合余弦函数在该区间的单调性判断；先确定时的范围，再根据零点个数确定该范围与余弦函数零点区间的关系，进而求解的范围. 【详解】选项A，若.则，所以A正确； 选项B，当时，，，所以B错误； 选项C，当时，由，得，则单调递减，所以C正确； 选项D，当时，.若恰有一个零点，设该零点为， 则，从而，即，所以D正确. 故选：ACD. 10. 设抛物线的焦点为F，准线为l，点A在C上，以F为圆心，为半径的圆记为W.过点A作l的垂线，垂足为B，且点B在圆W上，则（ ） A. 准线l的方程是 B. 为等边三角形 C. 设线段与y轴的交点为D，则 D. 直线与圆W相交 【答案】BC 【解析】 【分析】由抛物线方程求得准线方程判断A，根据抛物线的定义判断BC，求出圆心与直线的距离判断D. 【详解】由抛物线方程知，则准线l的方程为，A错误. 如图，由抛物线定义知. 又点B在圆W上，则，所以为等边三角形，B正确. 设准线l与x轴的交点为E，则原点O为线段的中点. 又，则D为的中点. 因为为等边三角形，则，C正确. 取线段的中点M，连接，则，所以， 从而圆W的半径. 因为圆心到直线的距离， 所以直线与圆W相切，D错误. 故选：BC. 11. 已知曲线，则（ ） A. 曲线C关于坐标原点对称 B. 曲线C与直线相切 C. 曲线C与直线相交 D. 曲线C与直线恰有3个公共点 【答案】ABD 【解析】 【分析】将x用，y用代替，方程不变，即可判断A，由得，进而判断BC，将代入C的方程，得，令，则，利用数形结合即可判断D. 【详解】将x用，y用代替，方程不变，则曲线C关于坐标原点对称，A正确. 因为，则，即， 所以曲线C夹在两平行直线和之间，且与这两条直线都相切，B正确，C错误. 将代入C的方程，得.令，则.由图可知， 直线与曲线恰有3个公共点，D正确. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若直线与曲线相切，则______. 【答案】2 【解析】 【分析】求导根据切线斜率求出切点，代入切线方程求出m即可. 【详解】设切点为， 因为求导得，则，求得， 则切点为，代入直线得. 故答案为：2. 13. 已知函数，若在上存在最小值，则a的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】由题意得到，再根据的单调性和零点即可得a的取值范围. 【详解】当时，单调递减，没有最小值； 当时，单调递增，其最小值为. 由在上存在最小值，得，即. 因为是的单调增函数，又， 所以. 故答案为： 14. 抛掷一个质地不均匀的骰子，得到点数为1，2，3，4，5，6的概率依次成等差数列.若将该骰子抛掷一次，则所得点数为1或6的概率为______；若将该骰子独立抛掷两次，记所得的点数分别为a，b，已知事件“”发生的概率为，则事件“”发生的概率为______. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据等差数列的性质，以及相互独立事件的概率公式即可求解. 【详解】设抛掷一次骰子得到点数为i的概率为， 则. 因为，，，，，成等差数列，则. 因为，则，即 所以 ， 故答案为：， 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 记数列的前n项和为，已知，且. （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由化简条件可得数列是公差为3的等差数列，利用等差数列通项公式求解即可. （2）利用分组求和裂项相消求和即可. 【小问1详解】 由已知，，即，即，所以数列是公差为3的等差数列 因为，则 因为，所以的通项公式是. 【小问2详解】 因为，则 因为，则 所以. 16. 某工厂生产各种规格的某种零件，从中随机抽取6个不同规格的零件，其检测数据如下表： 零件尺寸 38 48 58 68 78 88 零件质量 16.8 18.8 20.7 22.4 24 25.5 质量与尺寸之比 0.442 0.392 0.357 0.329 0.308 0.290 （1）测评标准指出，当零件的质量与其尺寸之比在区间内时为优等品.现从上述6个零件中任选2个，求这2个零件中优等品个数的均值和方差； （2）据散点图分析，上述6个零件的质量与尺寸之间存在非线性相关关系，其经验回归方程可设为.当零件的尺寸为时，估计零件的质量约为多少?（精确到） 参考数据：，，，， 附：对于样本数据，其一元线性回归模型中斜率参数b和截距参数a的最小二乘估计分别为：， 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）列出的可能取值，计算对应概率，根据期望和方差公式计算即可； （2）由，得，结合题中参考数据和公式可得，再计算即可求解. 【小问1详解】 因为0.357，0.325，，则抽取的6个零件中有3个优等品，3个为非优等品， 所以的可能取值为0，1，2. 因为，， 所以， . 【小问2详解】 由，得， 令，，，则 因为，，， 则， 所以，即，所以y与x的经验回归方程是 当时，，所以当零件尺寸为时，估计零件的质量约为. 17. 如图，在四棱锥中，底面，，，，，，点M在侧棱上运动. （1）证明：平面平面； （2）当直线与直线所成的角最小时，求三棱锥的体积. 【答案】（1） 因为底面，又平面，则， 由，，所以，且， 在中，， 由余弦定理，得， 则，所以， 因为，平面， 所以平面因为平面，所以平面平面. （2） 【解析】 【分析】（1）根据面面垂直的判断定理即可得证； （2）建立空间直角坐标系，设（），得，设直线与所成的角为，利用夹角公式得，由，进而得时，取最大值，即，则，从而点M到平面的距离为，最后利用体积公式即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以C为原点，以为x轴，为y轴，为z轴建立空间直角坐标系. 则点，，，， 所以，，， 设（），则， 设直线与所成的角为， 所以， 设（）， 则， 所以当，即时，取最大值， 从而取最小值，即直线与所成的角取最小值， 此时，则. 因为，，则平面， 从而点M到平面的距离为， 所以. 18. 已知椭圆的离心率为，长轴长与短轴长的差为2，点，，都在上，为坐标原点，且. （1）求的方程； （2）求直线与的斜率之积； （3）设直线与的另一个交点为，点P在线段上运动，过点作斜率为的直线与相交于，两点.若直线的斜率为3，求的最大值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用已知的离心率和长、短轴的关系，建立方程求解，进而得到椭圆方程. （2）设出点得坐标，通过向量的坐标表示得到点的坐标，将点坐标代入椭圆方程，结合点在椭圆上的条件，通过代数运算推导出直线与的斜率之积即可. （3）先求出直线的方程，设出直线的方程，求出它们的交点的坐标；将直线方程代入椭圆方程，利用韦达定理得到根与系数的关系；再根据点在线段上的条件，对进行变形，结合点的限制条件，即可求出其最大值. 【小问1详解】 由已知， ，则，即，得，所以， 又，解得，所以的方程为. 【小问2详解】 设点，，因为，则点. 因为点在上，则，即. 因为，点，也在上，则，，从而， 得，即，所以. 【小问3详解】 根据已知作图如下，由题意，直线的方程为，设直线的方程为， 联立两方程解得，，，所以点. 将代入，得，即. 设点，，则， 不妨再设，因为点在线段上运动，所以， 所以 . 因为点在轴左侧，则.当时，直线过的左顶点， 直线的方程为，联立，解得，，即点， 该点在椭圆内，且在线段上.所以当时，取最大值. 19. 已知函数， （1）求在区间内的极值点个数； （2）记为在区间内的一个极值点，证明： （i） （ii）. 【答案】（1）在区间内有且只有一个极值点. （2） （i）由题设，，则，即. 则 因为，则当n为偶数时，，从而； 当n为奇数时，，从而，所以 （ii）因为，则，从而 又，则， 令，则，，且 因为当时，.又 则 于是， 即， 从而 所以 【解析】 【分析】（1）利用导数确定极值点个数； （2）（i）由（1）知，然后计算可得；（ii）计算得，令，则，计算得，从而完成结论的证明. 【小问1详解】 ，设，则 若n为正偶数，则当时，，从而，单调递减. 又，，则恰有1个变号零点，所以恰有一个极值点. 若n为正奇数，则当时，，从而，单调递增. 又，，则恰有1个变号零点，所以恰有一个极值点 综上，在区间内有且只有一个极值点. 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $