重难点22：破解圆锥曲线的面积：圆锥曲线中三角形与四边形面积问题（培优固本提能讲义）-2026届高三数学一轮复习

重难点22：破解圆锥曲线的面积：圆锥曲线中三角形与四边形面积问题 （培优固本提能讲义） 知识网络·核心根基深扎牢 1 实战演练·能力进阶攀高峰 3 题型一、三角形面积之焦点三角形法 3 题型二、三角形面积之底高法 6 题型三、三角形面积之定底求高法 10 题型四、三角形面积和差问题 14 题型五、三角形面积比值问题：补角模型 18 题型六、三角形面积比值问题：等角模型 24 题型七、三角形面积比值问题：共角模型 30 题型八、四边形面积之对角线垂直法 35 题型九、四边形面积之分割法 42 题型十、三角形、四边形面积最值（范围）问题 53 题型精析・方法突破提能力 60 知识网络・核心根基深扎牢 方法1：三角形面积之焦点三角形法 椭 圆：设椭圆椭圆，焦点为椭圆上一点，，，则面积为： 证明（大题按照此步骤）：由余弦定理： 由椭圆定义得：a，平方得到： 两式相减得到： 所以： 双曲线：设双曲线，焦点为双曲线上一点，，则面积为： 证明（大题按照此步骤）：由余弦定理： 由椭圆定义得：a，平方得到： 两式相减得到： 所以： 方法2：三角形面积之底高法 弦长公式： ； ； 点到弦长距离公式： 面积公式：（该公式可计算最值型面积） 方法3：三角形面积之定底求高法 如图直线过定点Q，直线与椭圆或双曲线交于， 方法4：三角形面积最值范围问题方法策略 1.先利用面积公式求出含参数的表达式 2.利用换元法化简表达式或分子分母同除以分子，将分子化为常数 3.利用基本不等式或函数单调性求最值或范围 实战演练・能力进阶攀高峰 题型一、三角形面积之焦点三角形法 典例探究 【例题1】椭圆的焦点为，P为椭圆上一点，若，则的面积是. A． B． C． D． 【答案】A 【分析】椭圆焦点三角形的面积公式为，直接代入公式可求得面积. 【详解】由于椭圆焦点三角形的面积公式为，故所求面积为，故选A. 【点睛】本小题主要考查椭圆焦点三角形的面积，椭圆焦点三角形的面积公式为，将题目所给数据代入公式，可求得面积.属于基础题. 举一反三 【1-1】椭圆的左右焦点分别为，点在椭圆上，且，则的面积是 【答案】 【分析】根据焦点三角形的性质，结合余弦定理即可得，由面积公式即可求解. 【详解】由题意可得 ， 又， 所以在中，, 即， 所以，故， 故, 故答案为： 【1-2】已知双曲线的左、右焦点分别为． (1)若双曲线与椭圆有共同的焦点，且双曲线过点，求该双曲线的标准方程； (2)若，点在双曲线右支上，且，求的面积． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）求出椭圆的焦点坐标，再利用待定法求出双曲线方程. （2）利用双曲线定义，结合余弦定理、三角形面积公式求解. 【详解】（1）椭圆的焦点为和， 依题意，，解得，所以双曲线的标准方程为. （2）设，，则由双曲线的定义得， 在中，， 则，所以的面积. 【1-3】设为实数，已知双曲线与椭圆有相同的焦点． (1)求的值； (2)若点在上，且，求的面积． 【答案】(1)1； (2)3. 【分析】（1）根据曲线方程判断，根据共焦点列出方程，求解即可； （2）根据双曲线定义，结合三角形形状，列方程求解即可. 【详解】（1）根据题意，显然，且双曲线的焦点在轴上， 故，即，， 解得或，又，故； （2）由（1）可得双曲线方程为：， 设其左右焦点分别为，故可得； 根据双曲线的对称性，不妨设点在双曲线的左支上， 设， 由双曲线定义可得：，即； 又三角形为直角三角形，则， 即，即，； 故△的面积. 题型二、三角形面积之底高法 典例探究 【例题2】已知椭圆的左､右焦点分别为和，离心率是，直线被椭圆截得的弦长等于2. (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线与椭圆相交于两点，为坐标原点，求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据已知条件求得，从而求得椭圆的标准方程. （2）联立直线的方程和椭圆的方程，求得两点的坐标，进而求得，结合到直线的距离求得的面积. 【详解】（1）由令得，解得，所以， 结合，解得， 所以椭圆的标准方程为. （2）由解得或 不妨设设，即， 所以， 原点到直线的距离为， 所以. 举一反三 【2-1】已知椭圆长轴长为4，且椭圆的离心率，其左右焦点分别为． (1)求椭圆的方程； (2)设过点且倾斜角为的直线与椭圆交于两点，分别求的周长和面积． 【答案】(1) (2)周长为8，面积为 【分析】（1）根据长轴长和离心率求出，，从而得到，得到椭圆方程； （2）根据椭圆的定义求出三角形的周长，得到，联立椭圆方程，得到两根之和，两根之积，求出，结合点到直线距离公式得到三角形面积. 【详解】（1）由题意可知：，则， ， ， 椭圆 （2）根据椭圆的定义，的周长为； 其中，直线的斜率为， 直线， 联立方程组得，显然， 设，则， ， 点到直线的距离， . 【2-2】已知椭圆的离心率为，经过点． (1)求椭圆的方程； (2)设为的右顶点，过点的直线交于两点，若为的中点，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用已知条件及即可求解； （2）联立直线与椭圆的方程，利用韦达定理及为的中点即可求出斜率，进而求出直线的方程，再利用点到直线的距离公式求出三角形的高，即可求解. 【详解】（1）设椭圆的半焦距为，由题知，由，则， 所以椭圆的方程为． （2） 由题意可知直线的斜率存在， 设的方程为， 由消去得，， 因为为的中点，所以，解得， 从而，的方程为， 所以， 而，所以点到直线的距离， 所以的面积． 【2-3】已知椭圆的离心率为，右焦点为,斜率为1的直线与椭圆交于两点，以为底边作等腰三角形，顶点为. （1）求椭圆的方程； （2）求的面积. 【答案】（1）（2） 【分析】（1）根据椭圆的简单几何性质知，又，写出椭圆的方程；（2）先斜截式设出直线，联立方程组，根据直线与圆锥曲线的位置关系，可得出中点为的坐标，再根据△为等腰三角形知，从而得的斜率为，求出，写出：，并计算，再根据点到直线距离公式求高，即可计算出面积． 【详解】（1）由已知得，，解得，又， 所以椭圆的方程为． （2）设直线的方程为， 由得，① 设、的坐标分别为，（），中点为， 则，， 因为是等腰△的底边，所以． 所以的斜率为，解得，此时方程①为． 解得，，所以，，所以， 此时，点到直线：的距离， 所以△的面积． 考点：1、椭圆的简单几何性质；2、直线和椭圆的位置关系；3、椭圆的标准方程；4、点到直线的距离. 【思路点晴】本题主要考查的是椭圆的方程，椭圆的简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，点到直线的距离，属于难题．解决本类问题时，注意使用椭圆的几何性质，求得椭圆的标准方程；求三角形的面积需要求出底和高，在求解过程中要充分利用三角形是等腰三角形，进而知道定点与弦中点的连线垂直，这是解决问题的关键． 题型三、三角形面积之定底求高法 典例探究 【例题3】如图所示，椭圆的左、右焦点分别为，一条直线经过与椭圆交于A，B两点. (1)求椭圆的焦距、短轴长和离心率； (2)若直线的倾斜角为，求的面积. 【答案】(1)焦距为，短轴长为6，离心率为 (2) 【分析】（1）求出，，根据焦距，短轴长和离心率的定义求出答案； （2）求出直线方程为，联立椭圆方程，得到两根之和，两根之积，由求出面积. 【详解】（1）由已知方程得到，所以，， 由得， 故焦距为，短轴长为，离心率. （2）由（1）知焦点坐标为，设， 由已知得直线的方程为，即， 与联立消去得， 则， 故， 所以的面积为. 举一反三 【3-1】已知椭圆的离心率为，且椭圆经过点. (1)求椭圆的方程； (2)过椭圆的左焦点作斜率为1的直线交椭圆于两点，为的右焦点，求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据椭圆的离心率和所过点求得，，，从而求得椭圆的方程． （2）求得直线的方程并与椭圆方程联立，求得，两点的坐标，进而求得的面积． 【详解】（1）由题意可得：，，又， 解得，． 故椭圆的方程为； （2）左焦点，右焦点，设，， 因直线的方程为：， 联立，消去整理得，解得或， 时，；当时，， 所以的面积.    【3-2】如图所示，椭圆的左、右焦点分别为，，一条直线经过与椭圆交于，两点． (1)求焦点坐标，焦距，短轴长； (2)若直线的倾斜角为，求的面积． 【答案】(1)焦点坐标为，，焦距为，短轴长为； (2). 【分析】（1）根据椭圆方程求得，再根据求出，再根据相关定义即可求解； （2）通过直线与椭圆方程建立方程组，化简得到关于的一元二次方程，进而得到，根据图象可得，进而得解. 【详解】（1）设长半轴、短半轴、焦距分别为，由已知方程得到，，所以，，由得， 故焦点坐标为，，焦距为，短轴长为； （2）设，， 由已知得直线的方程为，与联立方程组得， 则，， 故， 令的面积为，所以 . 【3-3】已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，左焦点为． (1)求椭圆的方程； (2)若是椭圆的右焦点，过点且斜率为1的直线交椭圆于两点，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，列出关于的方程，即可得到结果； （2）根据题意，联立直线与椭圆方程结合韦达定理代入计算，再由三角形的面积公式，即可得到结果. 【详解】（1）依题意，解得，所以椭圆方程为. （2） 依题意，过且斜率为1的直线为，设， 则消去整理得， 所以， 所以 . 题型四、三角形面积和差问题 典例探究 【例题4】已知抛物线的焦点为，过点的直线交于两点，为坐标原点，记与的面积分别为和，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设出直线，联立，得到两根之和，两根之积，得，，，利用基本不等式即可求出最值. 【详解】由题意得：，设直线，联立得： ，设，不妨令， 则， 故， ， 则， 当且仅当，即时，等号成立. 故选：B 举一反三 【4-1】已知双曲线 的左、右焦点分别为，，已知点在双曲线右支上且在第一象限，点为三角形的内心，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】根据三角形内心的性质，得到点到三角形三边的距离相等均为，进而利用三角形面积公式得到，进而利用双曲线的几何性质进行计算求解即可. 【详解】因为点在双曲线右支上且在第一象限，点 为三角形的内心，所以点到三角形三边的距离相等均为， 所以 . 故选：A 【4-2】若椭圆的左右焦点分别为，，直线l：与椭圆交于A，B两点，若点P为线段上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合图形特征分类讨论P点位置即可计算得出最小值. 【详解】联立直线与椭圆的方程， 可得，即得，代入， 得，，，， 因为，令则，则， 若，， 又因为，的面积都为定值， 因此， 因此我们只需要求的最小值即可， 设，，， 作差得，时最小为， 因此； 同理，当时，， ，当时最小为0， S最小为，综合比较可的最小值为， 故选：C 5．已知为坐标原点，为抛物线的焦点，直线与交于点（点在第一象限），若，则与面积之和的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分析可知直线的斜率不为0，设直线的方程为，设，，将直线方程和抛物线方程联立，利用可求得的值，可知直线过定点，再利用三角形的面积公式以及导数或者基本不等式可求得与面积之和的最小值. 【详解】由题意可知直线的斜率不为0，所以可设直线的方程为， 联立方程得，则， 设，，则，， 所以， 因为，所以，即，解得或， 当时，直线过坐标原点，则与重合，不存在，不符合题意，所以， 所以， 解法一： 由抛物线方程可知，设直线与轴的交点为，则， 所以 ， ， 联立解得，（注意点在第一象限） 则与的面积之和， 则，由可得， 当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增， 所以当时取得最小值，且. 解法二： 由抛物线方程可知，设直线与轴的交点为，则， ， 所以， 由于，所以， 所以， 当且仅当，即时取等号. 故选：C 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种： 一是几何法：特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值； 二是代数法：将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值. 题型五、三角形面积比值问题：补角模型 典例探究 【例题5】椭圆具有光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线过椭圆的另一个焦点（如图）.已知椭圆的左、右焦点分别为，过的直线与椭圆交于点A，B，过点作椭圆的切线，点关于的对称点为，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合题目所给信息及图形可得，后由椭圆定义及条件可得，.最后由 可得答案. 【详解】如图，由椭圆的光学性质可得三点共线. 设，则，. 故，解得.又，所以，. 所以. 故选：A. 举一反三 【5-1】已知椭圆，其中，为椭圆的左焦点． (1)若椭圆离心率为，求椭圆方程； (2)点是第一象限内椭圆与直线的公共点，直线与直线交于，直线与轴交于，直线与轴交于，连接，设的面积为，的面积为，试比较与的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由，解方程即可求解； （2）联立，求出点坐标，得到直线的方程，得到点坐标，联立，可得坐标，从而得到，即，由三角形面积公式化简即可求解. 【详解】（1）由于，则， ∴， ∴， （2），得，∴， ，∴， ∴， ∵，∴，∴， ∴，又，， 所以 ∵，∴，∴， ∵，∴． 【5-2】已知抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于、两点，过点的直线交抛物线于、两点，且. (1)求证：为定值，并求出该定值； (2)如图，点、在轴的同侧，，直线与直线的交点为，记，的面积分别为，，求的取值范围. 【答案】(1)证明见解析，定值为： (2) 【分析】（1）设的方程为，则的斜率为，设与相交于，，与抛物线联立方程组，利用根与系数的关系可得，进而可得，，进而计算可求的值； （2）设，，，，求得直线的方程，可求得，设直线的方程为：，，，与抛物线方程联立，由，可得，进而可得，求其范围即可. 【详解】（1）由已知可知直线，的斜率均存在且不等于0， 因，过点，可设的方程为，则的斜率为， 设与相交于，， 由，得，则，， ， 同理可得， 所以； （2）设，，，， 因为， 所以直线，即. 同理：直线. 联立，解得. 设直线的方程为：，由对称性不妨设，，， 联立. 因为，解得，，，所以， 因为， 所以 ，化简得：. 所以. 因为， ， 所以 . ， 因，故，可得，则， 故的取值范围为. 【5-3】已知椭圆过点，且离心率为． (1)求E的方程； (2)过作斜率之积为1的两条直线与，设交E于A，B两点，交E于C，D两点，的中点分别为M，N．探究：与的面积之比是否为定值？若是，请求出定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)为定值，定值为2，理由见解析 【分析】（1）由题意可得写出关于的等式，即可求出E的方程； （2）设直线与椭圆进行联立可得，同理可得可得到直线过定点，然后利用面积公式即可 【详解】（1）由题意可得，解得， 则E的方程 （2）与面积之比为定值，定值为2，理由如下： 设直线（）， 联立可得，， 则 所以 所以， 设，同理可得 所以， 所以直线即 所以恒过定点， 设点到直线的距离分别是 则 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式； （5）代入韦达定理求解. 题型六、三角形面积比值问题：等角模型 典例探究 【例题6】已知椭圆的离心率为，长轴长为，直线与轴，轴分别交于点（均不与坐标原点O重合），与椭圆相交于两点. (1)求的方程； (2)直线的斜率为时，求与的面积之比； 【答案】(1) (2)1 【分析】（1）根据条件，确定的值，得椭圆的标准方程. （2）设直线，得到点的坐标，再与椭圆方程联立，借助韦达定理，得到点坐标的关系，表示出与的面积，可求它们的比. 【详解】（1）由题知，，所以， 又离心率，得， 则有    所以椭圆的方程为. （2）如图： 设直线，所以， 联立直线与椭圆方程得 ，整理得，，得， 设，则，即， . 所以与的面积之比为1. 举一反三 【6-1】已知抛物线的焦点为，直线与轴的交点为，与的交点为，且. （1）求的方程； （2）设，动点在曲线上，曲线在点处的切线为.问：是否存在定点 ，使得与都相交，交点分别为，且与的面积之比是常数？若存在，求的值；若不存在，说明理由. 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）设，代入，结合，求出的值，即可得到抛物线的方程； （2）假设存在点，得到直线的方程即曲线在处的切线方程，可确定的范围，当是不满足题意；当时，联立方程组得的横坐标，得，表示出三角形的面积，根据面积比得到方程，可求得. 【详解】（1）设，代入，得，所以，．由题设得，解得（舍去）或， ∴C的方程为； （2）点A、B均在抛物线上， 假设存在点P(0，t)(t<0)满足条件， 则直线PA的方程是y＝x＋t，直线PB的方程是y＝x＋t. 曲线C在Q处的切线l的方程是，它与y轴的交点为F(0，)． 由于–2<m<2，因此. ①当–1<t<0时，，存在m∈(–2,2)，使得， 即l与直线PA平行，故当－1<t<0时不符合题意． ②当t≤－1时，≤－1<，≥1>，所以l与直线PA，PB一定相交． 分别联立方程组 ，， 解得D，E的横坐标分别是 ， 则 又|FP|＝，有S△PDE＝ |FP||xE－xD|＝， 又S△QAB＝ 4(1－)＝， 于是＝＝ 对任意m(－2,2)，要使为常数，即只需t满足 解得t＝－1.此时＝2，故存在t＝－1，使得QAB与的面积之比是常数2. 【点睛】方法点晴：本题主要考查了抛物线的标准方程及其简单的几何性质，直线与抛物线的位置关系的综合应用、抛物线方程的求法，着重考查了分析问题、解决问题的能力及分类讨论的思想、转化与化归思想的应用，试题运算量大，属于难题，此类问题的解答中，把直线方程与圆锥曲线方程联立，借助根与一元二次方程的系数之间关系，利用韦达定理是解答的一种常见方法. 【6-2】已知，，平面上有动点，且直线的斜率与直线的斜率之积为1. (1)求动点的轨迹的方程. (2)过点的直线与交于点（在第一象限），过点的直线与交于点（在第三象限），记直线，的斜率分别为，，且. ①求证：直线过定点； ②试判断与的面积之比是否为定值，若为定值，请求出该定值；若不为定值，请说明理由． 【答案】(1)，； (2)①证明见解析；②存在，. 【分析】（1）设点，结合斜率的两点式及斜率乘积为1列方程求轨迹； （2）①设直线的方程为，联立曲线，应用韦达定理及求参数t，即可证定点；②应用面积公式即可判断面积比是否为定值. 【详解】（1）设点，，故动点的轨迹方程为，. （2）由题意，而，即， ①设直线的方程为，，，，， 联立，得，，， 且， ∴， 整理得， 韦达公式代入并整理得，得或（直线过B点，舍）， ∴直线方程为，即直线过定点，得证； ②此时，，故． 【6-3】已知双曲线W：的左、右焦点分别为、，点，右顶点是M，且，． （Ⅰ）求双曲线的方程； （Ⅱ）过点的直线l交双曲线W的右支于A、B两个不同的点（B在A、Q之间），若点在以线段AB为直径的圆的外部，试求△AQH与△BQH面积之比λ的取值范围． 【答案】（1）；（2）. 【分析】（I）利用双曲线的基本量的运算和向量的数量积可得，． （II）设出直线l的方程，要注意斜率存在且不为0，直线方程与双曲线方程联立利用判别式和韦达定理，点在以线段AB为直径的圆的外部，即，得；可得，再转化为横坐标运算，整理得，由求出． 【详解】（Ⅰ）由已知，，，， ∵，则，∴，∴， 解得，，∴双曲线的方程为． （Ⅱ）直线l的斜率存在且不为0，设直线l:，设、， 由，得， 则，解得①， ∵点在以线段AB为直径的圆的外部，则， ，解得②， 由①、②得实数k的范围是. 由已知，∵B在A、Q之间，则，且， ∴，则，∴， 则， ∵，∴， 解得，又，∴． 故λ的取值范围是． 题型七、三角形面积比值问题：共角模型 典例探究 【例题7】设抛物线的焦点为F，过点的直线与E相交于A，B两点，与E的准线相交于点C，点B在线段AC上，，则与的面积之比（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据抛物线焦半径公式得到B点横坐标，进而利用抛物线方程求出B点纵坐标，直线AB的方程，求出C点坐标，联立直线与抛物线，求出A点纵坐标，利用求出答案. 【详解】如图，过点B作BD垂直准线于点D，则由抛物线定义可知：， 设直线AB为， ，，，不妨设，则， 所以，解得：，则，解得：，则， 所以，解得：，则直线AB为， 所以当时，即，解得：，则， 联立与得：，则， 所以，其中. 故选：C 举一反三 【7-1】已知椭圆的离心率为，其长轴的两个端点分别为，． (1)求椭圆C的标准方程； (2)点P为椭圆上除A，B外的任意一点，直线AP交直线于点E，点O为坐标原点，过点O且与直线BE垂直的直线记为l，直线BP交y轴于点M，交直线l于点N，求与的面积之比． 【答案】(1)； (2). 【分析】(1)由已知可得，再由离心率求得，结合隐含条件求得，则椭圆方程可求； (2)设，，则，写出所在直线方程，求得点坐标，得到直线的方程，再写出方程求解点坐标，把三角形的面积比转化为与点的横坐标的绝对值之比得答案． 【详解】（1）由题意，，又，， 则． 椭圆的方程为； （2）设，，则． 直线的方程为， 取，可得点， 直线的斜率为， 直线的方程为， 又直线的方程为， 联立直线与的方程，消去得， ，① ， ， 代入①解得点的横坐标， ． 故与的面积之比为． 【7-2】在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，动点（x，y）与定点F（﹣1，0）的距离和它到定直线x=﹣2的距离之比是． （1）求动点的轨迹C的方程； （2）过F作曲线C的不垂直于y轴的弦AB，M为AB的中点，直线OM与交于P，Q两点，求四边形APBQ面积的最大值． 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）根据题意，结合两点间距离公式进行求解即可； （2）设出直线AB的方程与椭圆方程联立，根据一元二次方程根与系数关系，结合点到直线距离公式、换元法、二次函数的性质进行求解即可. 【详解】（1）因为动点（x，y）与定点F（﹣1，0）的距离和它到定直线x=﹣2的距离之比是， 所以有， 所以动点的轨迹C的方程为：； （2）因为AB不垂直于y轴，所以设直线AB的方程为：，与椭圆方程联立得： ，设， ， ，所以AB的中点M的坐标为：， 直线的斜率为，所以直线的方程为：， 由圆可知：圆心，半径为， 圆心到直线的距离为：， 因此， 因为M为AB的中点，所以点A、B到直线的距离相等设为， 所以， 因为点A、B在直线两侧，所以， 因此， 而， 所以， 因此四边形APBQ面积为： ， 令， 所以， 显然当时，即当时，有最大值，最大值为. 【点睛】关键点睛：本题的关键点有二： 一是因为M为AB的中点，所以点A、B到直线的距离，这个结论很重要； 二是熟练的数学运算能力. 【7-3】已知椭圆的两个顶点分别为，，焦点在轴上，离心率为. （1）求椭圆的方程； （2）点为轴上一点，过作轴的垂线交椭圆于不同的两点，，过作的垂线交于点.求与的面积之比. 【答案】（1）；（2）4：5. 【解析】（1）由题意设椭圆方程，由，根据椭圆的离心率公式，即可求得，则，即可求得椭圆的方程； （2）由题意分别求得和的斜率及方程，联立即可求得点坐标，利用已知条件可得，即可求得与的面积之比. 【详解】解：（1）∵ 焦点在轴上，两个顶点分别为，， ∴ ，由， ∴ ， ∴ ， ∴ ； （2）设，，，， 可得， 直线的方程是， ∵， ∴， 直线的方程是， 直线的方程是， 直线与直线联立可得，，整理为：， 即， 即， 计算得出，， 又， 则， 又， 则与的面积之比为4：5. 【点睛】关键点睛：解析几何中的面积问题要善于观察图形的特点，将面积进行等价转化是解题的关键. 题型八、四边形面积之对角线垂直法 典例探究 【例题8】已知椭圆的离心率为，焦距为，以为三边的三角形面积为. (1)求C的方程； (2)过右焦点作两条互相垂直的直线分别交椭圆于，求四边形面积的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据已知条件解方程求解即可； （2）设直线的直线方程，联立方程表示出弦长，及四边的面积，再化简应用基本不等式计算得出面积的最小值. 【详解】（1）由已知可得， 则所求椭圆方程． （2）当直线的斜率不存在时，，此时的长即为椭圆长轴长，， 从而． 当直线的斜率为零时，同上可得，. 设直线的斜率为，且，直线的方程为：， 直线的方程为， 设，，，， 由，消去得， 所以，， 从而， 由，消去得， 所以，， 从而， 所以， 因为，则，则， 所以. 当且仅当，即时取得最小值， 所以四边形面积的最小值为．    举一反三 【8-1】在平面直角坐标系中，动圆与圆内切于，且与圆 外切于，设动圆的圆心轨迹为曲线（如图）·    (1)求曲线的方程； (2)若圆的两条相互垂直的切线均不与坐标轴垂直，且直线分别与曲线相交于点和，求四边形面积的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据图形的几何性质和椭圆的定义，从动态图形上找到椭圆的参数，求出椭圆标准方程. （2）根据椭圆中四边形面积的算法，结合韦达定理求出面积的表达式，构造函数，根据函数单调性，求出函数最值，得到面积最小值. 【详解】（1）根据题意可知，，且， 因为， 可知动圆的圆心到距离之和为定值4，且， 所以的轨迹是以为焦点，，即的椭圆， 可知，求得，在椭圆中， 所以椭圆标准方程为. （2）如图所示，过点作圆的两条垂直切线， 切线与椭圆的交点坐标设为，设直线为. 因为直线与圆相切，所以原点到直线的距离为1， 可得，化简得， 联立直线和椭圆方程得，消去得， 根据韦达定理可知， 则根据弦长公式， 同理可知，当替换时可得， 四边形的面积为， 化简得， 令，则， 令，因为则，则， 此时，当取得最大值时，面积取得最小值， 根据对勾函数在上单调递减，在上单调递增， 因为，则当时，可得面积最小值，此时， 即四边形面积最小值为.    【8-2】已知椭圆的离心率为，点在椭圆上． (1)求椭圆的标准方程； (2)若椭圆过原点的弦相互垂直，求四边形面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】 （1）通过离心率，可得与的关系；再利用点，得到与的关系；通过方程组求得椭圆方程； （2）先分斜率是否存在分类讨论，再设直线方程，与椭圆方程联立，通过根与系数关系可利用弦长公式和点到直线距离公式得,再结合椭圆的对称性将四边形面积转化为求解,结合不等式求四边形面积的最大值． 【详解】（1） 由，得， 则， 故椭圆方程可化为， 将代入上式得， 则， 故椭圆的标准方程为． （2） 由题意得，四边形为菱形， 则菱形的面积 当直线的斜率不存在或为0时，易得 当直线的斜率存在且不为0时， 设直线的方程为，则的方程为， 设， 将代入， 得， 则， 则 ． 综上，的最大值为． 【8-3】已知椭圆 的上顶点为B，右焦点为F，点B、F都在直线上． (1)求椭圆的标准方程； (2)若圆的两条相互垂直的切线均不与坐标轴垂直，且直线分别与相交于点A，C和B，D，求四边形面积的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由点B、F都在直线上，结合平方关系即可列出关于的方程组并求解即可； （2）设出直线方程，由直线与圆相切可得，联立直线与椭圆方程结合椭圆方程表示出弦长，进一步表示出面积，从而即可得解. 【详解】（1）设椭圆的半焦距为，由已知点的坐标为，点的坐标为， 因为点B、F都在直线上，所以，，又， 所以，，， 所以椭圆的方程为：， （2） 由题知的斜率存在且不为0． 设． 因为与圆相切，所以，得． 联立与的方程， 可得， 设，， ， 则，． 所以， 将代入，可得． 用替换，可得． 四边形的面积． 令，则，可得， 再令，，则， 可得，等号成立当且仅当，即，即， 即四边形面积的最小值为． 题型九、四边形面积之分割法 典例探究 【例题9】已知椭圆的离心率为，焦距为．    (1)求椭圆的方程； (2)过圆上一动点作椭圆的两条切线，切点分别为． （I）证明：； （II）求四边形面积的取值范围． 【答案】(1) (2)（I）证明见解析，（II） 【分析】（1）由离心率及焦距列出等式求解即可； （2）（I）设，联立椭圆方程，由，得到，再由，联立椭圆方程得到，从而得到是关于的方程的两根，由韦达定理即可求证；（II）先确定直线的方程为：，结合弦长公式及点到线的距离公式，得到四边形面积表达式即可求解. 【详解】（1）由题意可得：， 可得：， 又，得， 所以椭圆方程为 （2）    （I）当，时，此时可得：， 显然， 同理：当，时，或，时， 都有， 当时， 设， 再设， 因为直线与椭圆相切， 联立，得， ， 即， 即， 同理，设， 联立椭圆与直线的方程可得， 得 ， 即， 即， 所以是关于的方程的两根， 所以，又， 可得：， 所以， 综上可证：； （II）先证：过椭圆：（）上一点 的切线方程为； 证明：当斜率存在时，设切线方程为，联立椭圆方程， 可得，化简可得： ， 由题可得： 化简可得：，该方程只有一个根，记作， ，为切点的横坐标， 切点的纵坐标， 由于，则， 则切线方程为： ， 化简得：． 当切线斜率不存在时，切线为，也符合方程， 综上上一点 的切线方程为； 设， 所以，， 所以，， 所以直线的方程为：，又， 可得：， 点到直线的距离， 点到直线的距离， 联立， 可得：， 得， 所以， 所以四边形面积的 ， 又， 所以, 即四边形面积的取值范围是. 举一反三 【9-1】已知椭圆Γ：过点，点Q为Γ的下顶点，直线PQ的斜率为． (1)求Γ的方程； (2)AB是过Γ右焦点的弦（AB不是长轴），AB的中点为G，过点A，B分别作直线l：的垂线，垂足分别为C，D，l与x轴的交点为E． （ⅰ）证明：； （ⅱ）记CG与AE的交点为M，DG与BE的交点为N，求四边形MGNE面积的最大值． 【答案】(1) (2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）． 【分析】（1）由直线PQ的斜率，求出，再结合点P在椭圆上求出，进而写出椭圆的方程． （2）（ⅰ）要证明，只需证明直线AE与GD的斜率相等即可；（ⅱ）将求四边形MGNE面积的最大值转化为求面积的最大值，联立直线与椭圆的方程，利用根与系数的关系及函数的单调性求解即可． 【详解】（1）由题知Q点的坐标为，，因为直线PQ的斜率为，所以， 解得，所以①． 又椭圆过点，所以②， 联立①②，解得，所以Γ的方程为． （2）（ⅰ）第一步：设出直线AB的方程，与椭圆方程联立 易知椭圆的右焦点为， 设直线AB的方程为，，， 由得， 由根与系数的关系得，．（*） 易得，，， 所以，． 要证，即证， 即证， 即证， 即证， 由（*）得，得证． （ⅱ）如图，在中，因为，G是AB的中点，所以N是BE的中点， 由（ⅰ），同理可得，所以四边形MGNE为平行四边形，且由G是AB的中点，可得M是AE的中点． 连接GE，易知，， 所以． 由（ⅰ）知，， 令椭圆的右焦点为F，则． 即 ． 令，则，，记，， 显然在上单调递减，所以当，即时，取得最大值， 且最大值为， 故的最大值为． 故，即四边形MGNE面积的最大值为． 【9-2】已知椭圆的左、右焦点分别为，点在上运动，是的重心，且点到点与到点的距离之和为． (1)求的方程； (2)设分别为的左、右顶点，动点在直线上，直线与的另一个交点为，直线与的另一个交点为． （ⅰ）证明：直线过定点，并求出该定点坐标； （ⅱ）求四边形面积的最大值． 【答案】(1)； (2)（ⅰ）证明见解析，；（ⅱ）. 【分析】（1）根据题意，设，可得点的轨迹是长轴长为，焦距为的椭圆，又，得代入点的轨迹方程可得解； （2）（ⅰ）由对称性可知直线经过的定点必在轴上且异于原点，设定点为，设直线的方程与椭圆的方程联立，求出直线，的方程，根据它们的交点在直线上，求得，对于直线的斜率不存在时，也满足；（ⅱ）由（ⅰ）结合韦达定理可得，得，换元令，求得，从而四边形面积的最大值为，得解. 【详解】（1）由题意设，设， 因为点到点与到点的距离之和为， 所以． 则点的轨迹是长轴长为，焦距为的椭圆，其方程为． 因为点是的重心，为的中点， 所以，则， 代入点的轨迹方程得. 所以椭圆的方程为. （2）（ⅰ）由对称性可知直线经过的定点必在轴上且异于原点， 设定点为， 当直线的斜率不为0时，设直线的方程为 联立，得， ， 则． 由（1）可得， 则直线的方程为， 直线的方程为， 由题意知直线与交于点，且点在直线上． 所以，即， 所以． 所以， 所以．① 当，即直线的斜率存在且不为0时， 由， 得， 代入①，得． 当时，上式恒成立，所以；   当，即直线的斜率不存在时， 若，则直线的方程为， 取，满足①式． 当直线的斜率为0时，直线，过点． 综上，直线过定点，且该定点的坐标为． （ⅱ）由题可知直线的斜率不为0， 由（ⅰ）可知直线过定点， 则， 所以 ， 令， 则，   因为函数在上单调递增， 所以． 则，所以， 所以四边形面积的最大值为. 【9-3】已知椭圆的长轴长为，左、右焦点分别为，直线与交于两点，且面积的最大值为. (1)求椭圆的方程； (2)若. （i）证明：； （ii）若直线经过原点，与椭圆交于两点，且 ，求四边形面积的取值范围. 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii） 【分析】（1）根据题意，当点在短轴端点时面积最大，再结合椭圆性质可解； （2）（i）设，联立方程组，根据根与系数的关系和的坐标表示得证； （ii）设的中点为，因为 ，所以，则，从而，再求其范围. 【详解】（1）设椭圆的半焦距为， 依题意得， 当点在短轴端点时面积最大，所以， 所以，解得， 所以椭圆的方程为； （2）（i）由（1）知，椭圆的方程可化为， 设， 由消去得， 则， ， 因为，所以， 整理得，则， 化简得，，此时成立， 所以； （ii）设的中点为， 因为 ，所以， 不妨设. 又. 由，得点坐标为，则 所以，化简得，即， 所以， 所以四边形面积的取值范围为. 题型十、三角形、四边形面积最值（范围）问题 典例探究 【例题10】已知椭圆的右焦点为，点在椭圆上，且轴， (1)求椭圆的方程； (2)过点的直线交椭圆于，两点，点在直线上，满足 x轴. ①证明直线过定点； ②设定点坐标为，求面积的最大值. 【答案】(1) (2)①证明见解析；②. 【分析】（1）由题可得右焦点为，结合点在椭圆上，可得，据此可得答案； （2）①设直线方程为，，，将直线与椭圆方程联立可得，结合韦达定理，可得.注意到直线方程为：，令，可得，利用化简可得定点坐标； ②由①可得，令，，，随后利用单调性可得最值. 【详解】（1）由题可得椭圆右焦点为，则， 由已知得：，解得，， 则椭圆的方程为. （2）①由 x轴，则直线斜率不为0，设直线方程为，，， 联立方程组，整理得， 则 ，，则 直线， 令，则 ②， 令，，，设， 则， 即，在上单调递增， 则当时，，则.    举一反三 【10-1】已知双曲线的渐近线方程为，过右焦点且斜率为的直线与相交于、两点. 点关于轴的对称点为点. (1)求双曲线的方程： (2)求证：直线恒过定点，并求出定点的坐标； (3)当时，求面积的最大值. 【答案】(1) (2)证明见解析，定点坐标为 (3) 【分析】（1）设双曲线的标准方程为，根据题意可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，即可得出双曲线的标准方程； （2）分析可知，，设，可得出直线的方程为，点、，则点，分析可知，直线过轴上的定点，将直线的方程与双曲线的方程联立，列出韦达定理，求出直线的方程，将点的坐标代入直线的方程，求出的值，即可得出定点的坐标； （3）利用三角形的面积结合韦达定理可得出，其中，结合函数的单调性可得出面积的最大值. 【详解】（1）根据题意，设双曲线的标准方程为， 由题意可得，解得，故双曲线的方程为. （2）当时，此时，点、为双曲线的顶点，不合乎题意； 当时，设，则直线的方程为， 设点、，则点， 由对称性可知，直线过轴上的定点， 联立可得， 由题意可得，解得， 由韦达定理可得，， 则的斜率为，直线的方程为， 将点的坐标代入直线的方程可得， 可得 ， 此时，直线过定点. 综上所述，直线过定点. （3）因为，则，且， ， 因为函数在上单调递减， 故当时，取最大值，且最大值为. 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种： 一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值； 二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值． 【10-2】圆锥曲线第二定义：设动点到定点的距离与点到定直线的距离的比是，当时，该动点的轨迹为双曲线.定直线称为准线，比值称为离心率，称为焦半径.如图，为曲线的左、右焦点，该曲线离心率，准线.动点在曲线的右支上.设的平分线与轴、轴分别交于点. (1)求曲线的标准方程； (2)求的取值范围； (3)设过点的直线与双曲线交于两点，求面积的最大值. 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）根据已知求双曲线参数，即可得双曲线方程； （2）法一：根据已知有得到，进而有，结合双曲线的性质得，即可确定参数范围；法二：根据已知写出、，由角平分线及点线距离公式列方程得，结合即可得参数范围； （3）设直线的方程，求得，进而有并联立双曲线，应用韦达定理、弦长公式和三角形面积公式得，即可求最值. 【详解】（1）由题设，可得， 则，故； （2）法一：依题意有. 由焦半径的定义知，. 在中，由角平分线定理知，即， 整理得， 将代入上式得， 由，及. 所以，从而m的取值范围是. 法二：依题意有， 则， ， 由点N在的平分线上知， 则. 故，由及， 所以，故的取值范围是.    （3）由（1）知， 令，故点， 由， 与双曲线方程联立消去得①， ， 设，则， ， 由，知， 设 ，故. 当，即点时，面积取最大值. 从而面积的最大值为. 【10-3】在直角坐标系中，是抛物线上不重合的三点，为的焦点.且的重心为. (1)求直线在轴上的截距的取值范围； (2)求面积的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，利用重心的坐标公式可得，根据点在抛物线上得，联立方程组可得.结合重要不等式求得的范围，根据直线的点斜式方程即可求解直线在轴上的截距的取值范围； （2）根据点到直线的距离公式、弦长公式及三角形的面积公式得，平方后利用柯西不等式即可求解面积的最大值. 【详解】（1）设点，其中两两不相等. 当直线的纵截距是1时，直线过点，不满足题意； 因为点是的重心，所以， 代入抛物线得，联立得. 由得，因为，所以； 由得，当且仅当时取等. 综上. 因为， 所以直线的方程为 ， 所以直线在轴上的截距为，所以， 综上，直线在轴上的截距的取值范围是. （2）易得， 点到直线的距离， 所以， ， 当且仅当时取等， 所以面积的最大值为. 【点睛】方法点睛：通过联立直线方程与抛物线（圆锥曲线）方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系，得到“目标函数”的解析式，利用导数确定函数的最值进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解. 题型精析・方法突破提能力 1.已知抛物线：的焦点为，坐标原点为，直线与抛物线交于A，两点（与均不重合），以线段为直径的圆过原点，则与的面积之和可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】由条件求出抛物线的方程，设直线的方程，利用设而不求法表示与的面积之和，由此确定其范围，并确定正确选项. 【详解】因为抛物线：的焦点为， 所以，所以， 所以抛物线的方程为， 若直线的斜率为0，则直线与抛物线有且只有一个交点，与条件矛盾， 所以直线的斜率不为，所以可设直线的方程为， 联立可得， 由已知方程的判别式， 设，，则，， 因为以线段为直径的圆过原点，所以, 所以，所以， 所以或， 当时，由可得或与条件相矛盾， 所以，所以，， 设直线与轴的交点为，则 的面积， 所以的面积， 的面积， 当，则与的面积之和， 又，由可得， 当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， 所以，当且仅当时等号成立； 当，则与的面积之和， 又，由可得， 当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， 所以，当且仅当时等号成立； 又，，， 所以与的面积之和可能为18或， 故选：BC. 2.设双曲线C：的左右焦点分别为，它的实轴长为4，P是C上的一点且满足，的面积是4，则C的方程是 . 【答案】 【分析】由实轴长为4可得，利用双曲线定义以及的面积和勾股定理可求得，可求出C的方程. 【详解】根据题意可知不妨取在双曲线左支上，如下图所示：    根据实轴长为4可得，即可得； 又可得， 由的面积是4可得，即； 由， 解得，所以， 可得C方程是. 故答案为： 3.过抛物线C:y2=4x的焦点F的直线l与抛物线相交于P，Q两点，与抛物线的准线相交于点M，且，则△OMP与△OMQ的面积之比 . 【答案】 【分析】利用抛物线的定义进行作图，结合和相似三角形，求得，由此求得. 【详解】如图，过点P作准线的垂线交于点H，设|PF=|PH|=m，过点Q作准线的垂线交于点E，则|EQ|=|QF|，∵，∴|PM|=2m，根据△PHM∽△QEM，可得， 2|EQ|=|QM|=|EQ|+3m.∴|EQ|=|3m，故3|PM|=|QM|，则△OMP与△OMQ的面积之比. 故答案为： 【点睛】本小题主要考查抛物线的定义，考查抛物线中三角形面积比的计算，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题. 4.已知椭圆的左，右焦点分别为，，，点在上，为椭圆的一个动点. (1)求的方程. (2)当时，求的面积. (3)求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由，点，知的值，再由得，即可得到椭圆方程； （2）在中，结合椭圆的定义及余弦定理可得，进而求得的面积. （3）设，表示的坐标，根据椭圆的有界性即可求出的取值范围. 【详解】（1）由题设得到，且，即，∴, 故椭圆方程为：. （2）∵为椭圆 上的一点， ∴，平方得 ①， 在中，由余弦定理，得， 即 ②， 由，得，即， 所以的面积. （3）设，则，所以，. 因为， ， . ∵，∴. 所以的取值范围是.    5.已知椭圆：（）的左、右焦点分别为，，点是椭圆上的一点． (1)若，求的取值范围； (2)若，求的面积． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）由题设，设，应用数量积的坐标表示及椭圆的有界性求范围； （2）由椭圆定义及余弦定理求得，利用三角形面积公式求面积即可. 【详解】（1）由题设，则， 设，故， 所以，又，且， 则. （2）由题设，， 由，且， 所以 ， 综上，.    6.已知椭圆与双曲线具有共同的焦点，，点在椭圆上，，若______（在①②③中选择一个：①椭圆过点，②椭圆的短轴长为10，③椭圆离心率为．说明：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分） (1)求椭圆的标准方程； (2)求的面积． 【答案】(1)条件选择见解析，椭圆方程为 (2) 【分析】（1）由已知可得，选①：可求得的值，进而可求得的值，即可确定椭圆的标准方程； 选②：求出的值，可求得的值，即可确定椭圆的标准方程； 选③：根据离心率可求得的值，进而可求得的值，即可确定椭圆的标准方程； （2）利用椭圆定义结合勾股定理可求得，再利用三角形的面积公式即可得解. 【详解】（1）设椭圆方程. 因为椭圆与双曲线具有共同的焦点，则. 选①：由已知可得，则，椭圆方程为； 选②：由已知可得，则，椭圆方程为； 选③得，则，椭圆方程为. （2）由椭圆定义知①，          又因为，所以，②， 由①可得， 解得， 因此，. 7.已知椭圆上存在点，使，其中、为该椭圆的两个焦点，求的面积． 【答案】20. 【分析】利用椭圆定义和三角形面积公式即可. 【详解】由题意上一点，满足， 所以为直角三角形， 所以， 由椭圆定义及椭圆的标准方程得： ， ，  ① 又，② 解得， 所以. 8.已知椭圆：（），离心率，且点在椭圆上. (1)求该椭圆的方程； (2)直线交椭圆于，两点，直线，的斜率之和为0，且，求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由椭圆的离心率公式和点满足椭圆方程，列出方程求解即可； （2）设直线的倾斜角为，根据题意求出直线，的方程，的坐标，继而可求，代入三角形面积公式即可求解. 【详解】（1）由题意得 ，解得， 故椭圆C：. （2）如图，设直线的倾斜角为，由，， 得，，， 即AP：，AQ：， 联立，解得或2（舍），故， 联立，解得或2（舍），故， 又， ，， 故. 9.已知双曲线的离心率为为上一点． (1)求的方程； (2)过的右焦点且倾斜角为的直线交于两点，为坐标原点，求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由已知条件建立关于的方程组解出即可； （2）设，根据条件写出直线的方程，联立直线与双曲线方程求出两点的坐标，求出，利用点到直线的距离公式求出的高，代入公式求解即可. 【详解】（1）由题得:， 解得， 所以双曲线的方程为：. （2）设，如图所示： 由题得直线的方程为， 联立得：， 整理得：， 所以， 所以 所以 又因为点到直线的距离为： ， 所以的面积为. 10.已知双曲线的中心为坐标原点，且焦点在轴上，点在双曲线上，其一条渐近线方程为． (1)求双曲线的标准方程； (2)过点且倾斜角为的直线与双曲线交于两点，求的面积． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）由渐近线方程，及点在双曲线上，可联立求得，，可得双曲线方程； （2）由题意，写出直线的方程，与双曲线联立，可求得，数形结合，可得的面积． 【详解】（1）已知双曲线的中心为坐标原点，且焦点在轴上，故其标准方程为， 又其渐近线方程为，即①， 又点在双曲线上，代入得②， 联立①②，解得， 所以双曲线的标准方程为. （2）直线过点且倾斜角为，故其方程为， 将其代入双曲线方程，联立得，化简得， 解得和，代入直线，求得和， 即直线与双曲线的交点， 所以. 11.已知双曲线C：（，）的一条渐近线方程为，焦距为． (1)求双曲线C的标准方程； (2)若O为坐标原点，直线l：交双曲线C于A，B两点，求的面积． 【答案】(1) (2)12 【分析】（1）由双曲线的渐近线方程和焦距，列方程组求出，得到双曲线C的标准方程； （2）直线与双曲线联立方程组，求出弦长，点到直线距离公式求出的高，可求面积． 【详解】（1）由题意得：，解得，，， 所以双曲线C的标准方程为． （2）设，联立方程组消去y整理得， 则，，， ， 原点到直线AB的距离， 所以． 12.在平面直角坐标系中，动点到定点的距离是点到轴的距离与点到直线的距离的等差中项，记动点的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)若点，过的直线与曲线交于两点，且，求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设点，由题意得，由抛物线的定义可知，动点的轨迹为以为焦点，直线为准线的抛物线，可得解； （2）设直线方程为，根据，可得的值，再求点到直线的距离，即可得面积. 【详解】（1）设点，则它到轴的距离与它到直线的距离分别为， 由题意得， 又，结合图形可知，点不可能在轴的右侧，所以， 由抛物线的定义可知，动点的轨迹为以为焦点，直线为准线的抛物线， 故曲线的方程为. （2）由题意知，过的直线的斜率不为零， 设其方程为， 联立方程，得消去并整理，得， 则，且， 所以， 解得， 所以点到直线的距离， 故的面积为. 13.已知抛物线的焦点为，为抛物线上一点，延长交抛物线于点．抛物线的准线与轴的交点为，． (1)求抛物线的方程； (2)求△的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据焦半径公式结合的横坐标可求解出的值，由此可求抛物线的方程； （2）先求解出，再计算出到的距离，结合三角形面积公式可求结果. 【详解】（1）因为，所以， 所以抛物线的方程为. （2）因为，代入抛物线方程可得，且，所以， 又因为，所以，所以， 联立可得，所以， 所以， 又因为，所以到直线的距离为， 所以. 14.已知椭圆，左、右焦点分别为，，过点作倾斜角为的直线交椭圆于，两点． (1)求的长； (2)求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）联立直线与椭圆方程求得交点坐标，即可根据弦长公式求解， （2）由面积公式即可求解. 【详解】（1）椭圆，，，，即， 所以直线的方程为， 联立，得，或， 所以， （2）由，得，由，得， 不妨设，， 的面积. 15.已知过点的直线与双曲线交于. (1)求与双曲线共渐近线且过点的双曲线的方程； (2)若线段的中点为，求直线的方程和三角形面积. 【答案】(1) (2)，12 【分析】（1）设所求双曲线为，将代入即可求解. （2）利用点差法求出直线的方程，将直线方程与双曲线方程联立，利用韦达定理即可求解. 【详解】（1）设所求双曲线为， 点代入得 （2）设，，，，点在双曲线上 所以， 相减得，即 所以所求的直线的方程为 设，，，， 则由得 所以， 代入的 所以. 16.已知抛物线：（）的焦点关于其准线的对称点为. (1)求抛物线的方程； (2)若为坐标原点，过焦点且斜率为1的直线交抛物线于、两点，求的面积. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）求出抛物线的焦点坐标及准线方程，再结合已知列式求解即得. （2）求出直线的方程，与抛物线的方程联立，结合韦达定理求出三角形面积得解. 【详解】（1）抛物线：的焦点关于其准线的对称点为， 于是，解得：， 所以抛物线的方程为. （2）由（1）知，直线的方程为，设，， 由消去x得：，则， 所以的面积. 17.已知点是抛物线上的动点，过点向轴作垂线段，垂足为，垂线段中点为，设的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)设过点且斜率为1的直线交曲线于，两点，为坐标原点，求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据中点坐标即可将代入求解， （2）联立直线与抛物线方程得韦达定理，即可由面积公式求解. 【详解】（1）设，则， 由于在抛物线上，所以，即 （2）根据题意可设直线l的方程为 联立，设， 则， 因此 ∴面积为 18.已知抛物线 的焦点与双曲线的右顶点重合，过点的直线与抛物线交于两点. (1)求抛物线方程； (2)若，且在轴的下方，在轴的上方，求的面积． 【答案】(1) (2)6 【分析】(1)求出双曲线的右顶点，得到抛物线的焦点，即可求解抛物线方程． (2) 两点在抛物线上，设两点的坐标，由解出坐标，可求的面积． 【详解】（1）由双曲线的右顶点为， 即可得抛物线的焦点， 所以抛物线的方程为． （2）过点的直线与抛物线交于两点，设，， 由，有，即 ， 由 ，解得，有，， 直线的斜率，则直线的方程为，直线与轴相交于点， 所以的面积 19.已知抛物线的准线方程为，过其焦点的直线交抛物线于两点，线段的中点为坐标原点为且直线OM的斜率为. (1)求抛物线的方程； (2)求的面积. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据抛物线的准线方程，即可容易求得抛物线方程； （2）设出直线的方程，联立抛物线方程，利用OM的斜率为，结合韦达定理，即可求得直线的方程，再用面积公式即可求得结果. 【详解】（1）由准线方程为知，，故； 则抛物线方程为. （2）由题知直线的斜率显然不为0，又其过点               故设直线l的方程为，，   联立抛物线方程，化简得 则，             由线段的中点为知，， ，代入韦达定理知，， 整理得：，解得， 故直线的方程为   则 . 故的面积为. 20.已知椭圆的左、右焦点分别为，，且，点在椭圆上，直线． (1)若直线与椭圆有两个公共点，求实数的取值范围； (2)当时，记直线与轴，轴分别交于两点，为椭圆上两动点，求的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）计算出，结合在椭圆上，得到方程，求出，得到椭圆方程，联立直线和椭圆方程，由根的判别式大于0求出答案； （2）求出，数形结合得到为位于直线的两侧，过和的直线与直线平行且与椭圆相切时，最大，由（1）可得相切时即，从而求出切点坐标，得到三角形面积，求出最大值. 【详解】（1）设椭圆的半焦距为，则，故， 而在椭圆上，故， 故，故椭圆方程为：， 由可得， 故，即，解得. （2）当时，直线，故， 由题设可得为位于直线的两侧，不妨设在直线上方，在直线的下方， 当过的直线与直线平行且与椭圆相切时， 到直线的距离最大及的面积最大， 当过的直线与直线平行且与椭圆相切时， 到直线的距离最大及的面积最大，最大， 由（1）可得相切时即， 当时，切点的横坐标为，切点坐标为，在直线上方， 此时到的距离为， 当时，切点的横坐标为，切点坐标为，在直线下方； 此时到的距离为， 又， 故. 21.已知椭圆的右焦点，过的直线交椭圆于两点，若，当时，. (1)求椭圆的方程； (2)设椭圆的下顶点为，的面积为，的面积为，求的最大值. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据已知有、，结合椭圆参数关系求得、，即可得椭圆方程； （2）讨论直线斜率是否为0，设且，，联立椭圆并应用韦达定理、三角形面积公式得且，进而求其范围，即可得最大值. 【详解】（1）由右焦点，则，故，即， 若，当时，为的中点，即椭圆的通径， 所以，即，可得（负值舍），故， 所以. （2）当直线斜率为0时，要使最大，则，， 所以，此时最大； 当直线斜率不为0或斜率不存在时，令且，， 联立，得，显然， 所以，， 所以， 直线，且， 则到直线的距离分别为，， 所以，，则， 要使最大，则，此时且， 由 当时，，结合对勾函数的性质， 当时，当且仅当时取等号， 当时，当且仅当时取等号， 所以或且， 当时，， 综上，的最大值为. 22.已知直线与抛物线：()交于、两点，且点、在轴两侧，其准线与轴的交点为点，当直线的斜率为且过抛物线的焦点时，. （1）求抛物线的标准方程； （2）若抛物线的焦点为，，且与的面积分别为、，求的最小值. 【答案】（1）；（2）. 【解析】（1）设出直线的方程，与抛物线联立，利用韦达定理及弦长公式列方程求解； （2）直线的方程，与抛物线联立，利用韦达定理及可求出，再表示出，利用基本不等式求其最值． 【详解】（1）当直线的斜率为且过抛物线的焦点时，直线的方程为， 联立得：，恒成立， 设、，则，， ∴，解得， ∴此抛物线的标准方程为； （2）由（1）知抛物线的方程为，设直线：， ∵直线与抛物线相交，∴， 联立得，则，， 则，解得或(舍)， ∴直线：，恒过定点， 设，从而、， 则， 当且仅当时不等式取等号，故的最小值为. 【点睛】方法点睛：直线与抛物线联立问题 第一步：设直线方程：有的题设条件已知点，而斜率未知；有的题设条件已知斜率，点不定，都可由点斜式设出直线方程． 第二步：联立方程：把所设直线方程与椭圆方程联立，消去一个元，得到一个一元二次方程． 第三步：求解判别式Δ：计算一元二次方程根的判别式Δ＞0. 第四步：写出根之间的关系，由根与系数的关系可写出． 第五步：根据题设条件求解问题中的结论． 23.已知抛物线：（）的焦点为，准线与轴交于点，过点作圆：的两条切线，切点为，，. （1）求抛物线的方程； （2）设，是抛物线上分别位于轴两侧的两个动点，且（其中为坐标原点），求与面积之和的最小值. 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）由已知可得，圆：的圆心，半径，设与轴交于，则可得，有，所以，从而可求出的值，进而可得抛物线的方程； （2）设直线：，，，设，，直线方程与抛物线方程联立消去，整理后利用根与系数的关系可得，，而由列方程可求得，则有恒过定点，而，消去后再利用基本不等式可得答案 【详解】解：（1）由已知可得，圆：的圆心，半径. 设与轴交于，由圆的对称性可得.于是， 所以，即有，解得，则抛物线的方程为 （2）设直线：，，，设， 联立抛物线方程可得     ∴， 由    有， 解得或2（舍去），即，解得. 则有恒过定点； （当且仅当，即时取等号） ∴与面积之和的最小值 【点睛】关键点点睛：此题考查直线与抛物线的位置关系，考查数学计算能力，解题的关键是由推出直线恒过定点，从而可把与面积之和表示出来，属于中档题 24.已知双曲线E的中心在原点，焦点在x轴上，且焦点到渐近线的距离为，其离心率为，记直线从下到上与x轴、双曲线的右支、两条渐近线、双曲线的左支依次交于点P，A，B，C，D，如图所示： (1)求双曲线E的方程； (2)求证：； (3)若，，成等差数列，问，的面积之和是否为定值?并说明理由. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)是定值，理由见解析 【分析】（1）由焦点到渐近线的距离为，离心率为，可得，据此可得双曲线方程； （2）设直线的方程为，，，，，将直线与双曲线方程联立，由韦达定理结合两点间距离公式可完成证明； （3）由题可得，结合（2）可得，然后由（2）可知， 最后由可得面积. 【详解】（1）设所求的双曲线的方程为. 由题设知，双曲线的焦点到渐近线的距离， 由离心率为知，，又，联立解得，， 故所求的双曲线E的方程为. （2）如图可知直线的斜率存在且为负数， 设直线的方程为， ，，，，. 由，得.① 则有，， 由韦达定理：，. 结合，，可得. 直线与渐近线相交得， 直线与渐近线相交得， 所以，所以. 而，同理 所以； （3），的面积之和是为定值. 因为，，成等差数列，所以， 即，得，化简得. 由（2）知，所以，等底等高，所以， 所以，的面积之和 . 【点睛】关键点睛：对于定值问题，常见思路为用恰当参数表示所求量，随后由题目信息得到等量关系，从而消去参数，可得定值；对于面积问题，常结合两点间距离公式结合点到直线距离公式，求得三角形底边及高，从而求得面积，也可利用转化法，将所求三角形面积转化为易求三角形的面积. 25.在平面直角坐标系中，椭圆：的左，右焦点分别为，，离心率为，以原点为圆心，以椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切；过点的直线与椭圆相交于，两点. (1)求椭圆的方程； (2)求面积的最大值，并求取得最大值时与的面积之比. 【答案】(1) (2)面积的最大值为；面积之比为. 【分析】（1）根据椭圆的离心率得到，，由以原点为圆心，以椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切，利用点到直线的距离公式求得，即可求解； （2）可设，，联立直线与抛物线方程，得出韦达定理，根据面积公式以及基本不等式求得面积的最大值；此时与的面积之比，则，代入即可求解. 【详解】（1），，即， ，， 又以原点为圆心，以椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切， 所以，，， ∴椭圆的方程为：； （2）可设，，联立， 整理得， 由，，， 则 ，当且仅当时成立， 即时面积的最大值为； 此时与的面积之比，则， ，， 前式的平方为，除以后式得，，即，求得， 此时与的面积之比为. 26.已知双曲线：的焦距为4，且过点 (1)求双曲线的方程； (2)过双曲线的左焦点分别作斜率为的两直线与，直线交双曲线于两点，直线交双曲线于两点，设分别为与的中点，若，试求与的面积之比. 【答案】(1) (2)3 【分析】（1）由题意得，再将代入双曲线方程，结合可求出，从而可求出双曲线方程， （2）设直线方程为，，将直线方入双曲线方程化简后利用根与系数的关系，结合中点坐标公式可表示点的坐标，再利用表示出点的坐标，再表示出直线的方程，可求得直线过定点，从而可求得答案. 【详解】（1）由题意得，得， 所以， 因为点在双曲线上， 所以， 解得， 所以双曲线方程为， （2），设直线方程为，， 由，得 则， 所以， 所以的中点， 因为， 所以用代换，得， 当，即时，直线的方程为，过点， 当时，， 直线的方程为， 令，得， 所以直线也过定点， 所以 27.已知抛物线.过抛物线焦点F作直线分别在第一、四象限交于两点，过原点O作直线与抛物线的准线交于E点，设两直线交点为S.若当点P的纵坐标为时，. (1)求抛物线的方程. (2)若平行于x轴，证明：S在抛物线C上. (3)在（2）的条件下，记的重心为R，延长交于Q，直线交抛物线于（T在右侧），设中点为G，求与面积之比n的取值范围. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）利用两点距离公式可计算P坐标，代入抛物线方程即可； （2）设方程及坐标，利用E坐标表示方程，联立方程得出S坐标，结合点在抛物线与直线上消元转化即可证明； （3）设坐标及直线方程，利用坐标表示，结合焦点弦的性质消元转化表示，并根据几何性质把面积比化为线段比，再化为坐标比，构造函数计算其范围即可. 【详解】（1）因为若当点P的纵坐标为时，, 不妨设，则，即， 代入抛物线方程有，所以； （2）由（1）知，C的准线， 不妨设，， 若平行于x轴，则， 所以，整理得， 联立方程有， 又在抛物线C和直线上，即， 则有，此时，即， 则S在抛物线C上，证毕； （3）在（2）的条件下可知两点重合，由重心的性质不难知Q为线段的中点， 同（2），仍设，， 则， 联立， 所以， 且， 则， 可知，整理得， 设， 与C联立有， 所以，即， 由于Q为线段的中点，所以到直线的距离相等， 则， 设， 若，则，显然，所以； 若，则； 若，则，所以； 综上.    【点睛】思路点睛：第二问是教材例题的变式，设点坐标表示相应直线方程，求出S坐标，验证其横纵坐标是否满足抛物线方程即可；第三问，仍是利用点坐标来表示直线方程，利用韦达定理表示，并根据几何性质把面积比化为线段比，再化为坐标比，构造函数计算其范围即可. 28.如图，已知A，B为抛物线E：上任意两点，抛物线E在A，B处的切线交于点P，点P在直线上，且，动点Q为抛物线E在A，B之间部分上的任意一点． (1)求抛物线E的方程； (2)抛物线E在Q处的切线交PA，PB于M，N两点，试探究与的面积之比是否为定值，若为定值，求出定值，若不为定值，请说明理由． 【答案】(1) (2)与的面积之比为定值，理由见详解 【分析】（1）设A、B的坐标分别为、，利用导数求出斜率，得到切线方程，根据已知可得和，从而解得，得解； （2）求出直线AB方程，设点得MN的方程，再求出弦AB，MN长，点Q，P分别到直线AB，MN距离即可计算作答. 【详解】（1）抛物线方程为，故，所以， 设A、B的坐标分别为、， 则PA的方程为：即， 同理PB的方程为：， 联立PA，PB方程， 得， 因为点P在直线上，所以， 又因为，即，所以， 则抛物线E：； （2）与的面积之比为定值， 设点，由（1）知切线的方程为：， 又切线的方程为：，切线的方程为：， 设点，即有，， 因此直线的方程为：， 有，点到直线的距离是， 则， 由，解得点M的横坐标，同理点N的横坐标， 有，点到直线的距离， 则， 所以. 【点睛】结论点睛：抛物线在点处的切线斜率；抛物线在点处的切线斜率. 29．已知抛物线的焦点为F. (1)过点F且斜率为的直线交抛物线C于P，Q两点，若，求抛物线C的方程； (2)过点F的直线交抛物线C于A，B两点，直线AO，BO分别与直线相交于M，N两点，试判断与的面积之比是否为定值，并说明理由． 【答案】(1) (2)是定值，理由见解析 【分析】（1）将过点F且斜率为的直线与抛物线方程联立，由韦达定理以及抛物线的性质得出抛物线E的方程； （2）直线垂直于x轴时直接求出面积比，直线与x轴不垂直时，设直线AB方程，直线方程代入抛物线方程后由韦达定理得，然后计算面积比可得． 【详解】（1）设过点F且斜率为的直线方程为，代入 得，若， 则 ， 所以，则， 即抛物线C的方程为. （2）当直线垂直于x轴时，与相似， 所以. 当直线与x轴不垂直时，设直线AB方程为 设 由得， 所以，且，则， 所以 ， 综上，＝.    30.已知坐标原点为，抛物线为与双曲线在第一象限的交点为，为双曲线的上焦点，且的面积为3． (1)求抛物线的方程； (2)已知点，过点作抛物线的两条切线，切点分别为，，切线，分别交轴于，，求与的面积之比． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先求出双曲线的上焦点，设，，根据三角形面积求出，再代入双曲线方程求出，再根据点在抛物线上，即可求出，即可得解； （2）设点，，利用导数表示出的方程，即可求出点坐标，同理可得，再将代入，即可得到的方程，联立直线与双曲线方程，消元、列出韦达定理，即可求出，再求出点到直线的距离，即可得到，再求出，即可得解. 【详解】（1）双曲线的上焦点为，设，， 由已知得：，则， 代入双曲线方程可得，解得或（舍去），所以， 又因为在抛物线上，所以，解得，故抛物线的方程为． （2）设点，，对求导得， 则切线的方程为， 由整理得， 令，则，即，同理可求得． 将代入直线可得：， 同理可求得直线的方程：， 所以，的直线方程． 联立消去得， 则韦达定理：， 则弦长， 点到直线的距离， 所以， 又， 故． 31．已知椭圆Γ方程为，B1、B2分别是椭圆Γ短轴上的上下两个端点，F1是椭圆的左焦点，P是椭圆上异于B1、B2的点，是边长为4的等边三角形． (1)求椭圆的离心率； (2)当直线PB1的一个方向向量是（1，1）时，求以PB1为直径的圆的标准方程； (3)点R满足：，，试问：与的面积之比是否为定值？并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)为定值4，理由见解析 【分析】（1）由是边长为4的等边三角形得，，进而求出c，结合椭圆离心率的定义即可求解； （2）由直线的一个方向向量是，可得直线所在直线的斜率，得到直线的方程，由椭圆方程联立，求得点坐标，得到的中点坐标，再求出，可得以为直径的圆的半径，则以为直径的圆的标准方程可求； （3）设,，,求出直线的斜率，进一步得到直线的斜率，得到直线的方程，同理求得直线的方程，联立两直线方程求得的横坐标，再结合,在椭圆上可得与的关系，由求解； 【详解】（1）由的边长为4的等边三角形，得，且． ，故椭圆的离心率为； （2）由（1）知椭圆的标准方程为， 直线的一个方向向量是，且， 直线所在直线的斜率，则直线的方程为， 联立，得， 由解得，． 则的中点坐标为，． 则以为直径的圆的半径． 以为直径的圆的标准方程为； （3）设,，,． 直线的斜率为，由，得直线的斜率为． 于是直线的方程为：． 同理，的方程为：． 联立两直线方程，消去，得． 在椭圆上， ， 从而． ， ． 32．已知，分别是椭圆：的右顶点和上顶点，，直线的斜率为. (1)求椭圆的方程； (2)直线，与，轴分别交于点，，与椭圆相交于点，. （i）求的面积与的面积之比； （ⅱ）证明：为定值. 【答案】(1) (2)（i）1（ⅱ）证明见解析 【分析】（1）根据题意可得，，解得a，b即可得出答案. （2）设，，直线的方程为，则，，联立椭圆方程，结合韦达定理可得，. （i），，进而得到答案. （ii），进而计算得到答案. 【详解】（1）∵、是椭圆，的两个顶点，且， 直线的斜率为，由，，得， 又， 解得，， ∴椭圆的方程为； （2）    设直线的方程为，则，， 联立方程消去， 整理得，，得 设，，∴，. （i），， ∴， ∴的面积与的面积之比为1； （ii）证明： 综上，. 【点睛】求定值问题常见的方法有两种：一、从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；二、直接推理计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值. 33．已知椭圆的左、右顶点分别为，长轴长为短轴长的2倍，点在上运动，且面积的最大值为8． (1)求的方程； (2)若直线经过点，交于两点，直线分别交直线于，两点，试问与的面积之比是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由． 【答案】(1) (2)与的面积之比为定值 【分析】（1）利用椭圆的性质计算即可； （2）利用韦达定理及面积公式计算即可. 【详解】（1）由题意得，即①． 当点为的上顶点或下顶点时，的面积取得最大值， 所以，即②． 联立①②，得． 故的方程为． （2）   与的面积之比为定值． 由（1）可得， 由题意设直线． 联立得， 则， ， 所以． 直线的方程为， 令，得，即． 同理可得． 故与的面积之比为 ， 即与的面积之比为定值． 【点睛】关键点睛：本题第二问的关键是化积为和，得到，最后得到面积比值表达式，再进行代换即可得到面积比值. 34．在平面直角坐标系中，已知椭圆的左顶点为，上顶点为，右焦点为，连接并延长交椭圆于点椭圆． (1)若，，求椭圆的方程 (2)若直线与直线的斜率之比是，求与的面积之比． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）由和在椭圆上求出，即可. （2）求出直线BF的方程，并与椭圆方程联立求得点坐标，再由给定条件结合面积公式求解即可． 【详解】（1）由，，得：，解得， 又点在椭圆上，则，解得， 所以椭圆的方程为． （2）依题意，令，直线，由，得， 直线AB的斜率，直线AP的斜率， 则，即，有，得，， 于是得点，，， 所以与的面积之比是. 35．已知椭圆的焦点为，长轴长与短轴长的比值为. (1)求椭圆M的方程： (2)过点F的直线l与椭圆M交于A，B两点，轴于点C，轴于点D，直线BD交直线于点E，求与的面积之比. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）用待定系数法求出椭圆的标准方程； （2）设直线的方程为.用“设而不求法”表示出，. 进而得到，.由，得到三点共线. 所以，即可得到. 【详解】（1）由题设，，所以. 又因为，，所以. 解得，. 所以椭圆的方程为. （2）由题意可知，直线斜率存在，设直线的方程为. 由得. 设，，则，. 因为轴，所以. 直线方程为，所以. 因为轴，所以. 因为，. 所以 . 所以三点共线. 因为，所以， 所以， 所以. 36．如图所示，已知A，B，C是焦距为4的椭圆上的三点，点A是长轴的一个端点，BC过椭圆的中心且，． （1）求椭圆G的方程； （2）过椭圆G上异于顶点的任意一点P作圆的两条切线，切点分别为M，N，若直线MN与x轴，y轴分别交于点E，F，当的面积最小时求与的面积之比． 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）由题得为等腰直角三角形，，即得，结合，即得椭圆的标准方程； （2）求出PM的方程为，PN的方程为，MN方程为，利用基本不等式求出的最小值为，此时，再求出，即得解. 【详解】（1）因为， ，， 所以为等腰直角三角形，， 代入椭圆方程得，又，，， 所以椭圆方程为． （2）设，，， 所以PM的方程为，PN的方程为， 又PM与PN交于点， ，， 则MN方程为， ，，， 又，，的最小值为，此时，的面积最小， 不妨令，，此时，则MN方程为， 原点O到MN距离为，P到MN距离为，，，. 【点睛】方法点睛：求解圆锥曲线中的最值问题常用的方法：（1）函数法；（2）数形结合法；（3）导数法；（4）基本不等式法. 要根据已知条件灵活选择方法求解. 37．如图，在平面直角坐标系中，圆：过点，离心率为. （1）求椭圆的方程； （2）设为轴上一点，过点作轴的垂线与椭圆交于不同的两点，，再过点作的垂线交于点，求与的面积之比. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）运用椭圆的离心率公式和点满足椭圆方程，解方程可得，，进而得到椭圆方程； （2）设，，，可表示出、的直线方程，联立求得交点坐标，由即可得解； 【详解】解：（1）椭圆过点，， 离心率为，， ，解得，椭圆. （2）设，，， 则，，所以：， ，：， ，解之得：， 所以. 【点睛】本题考查椭圆方程及性质的应用，直线与椭圆综合问题，属于中档题. 38．已知椭圆的两个顶点分别为，，焦点在轴上，离心率为． （1）求椭圆的方程； （2）设椭圆的右焦点为，过作轴的垂线交椭圆于不同的两点，，且点在轴的上方，过作的垂线交于点，求与的面积之比． 【答案】（1）（2） 【分析】（1）由条件得出即可 （2）先分别求出点的坐标，然后联立直线和直线的方程求出点的纵坐标，然后利用求出答案即可. 【详解】（1）设椭圆的方程为， 由题意，得， 解得， 所以， 所以椭圆的方程为． （2）因为为椭圆的右焦点，所以点的坐标为． 由，解得，或． 因此，，的坐标分别为，． 所以直线的斜率为． 又因为，所以直线的斜率为， 所以直线的方程为，即． 直线的方程为，即． 由，解得点的纵坐标为． 又的面积为， 的面积为， 所以， 所以与的面积之比为． 【点睛】解析几何中的面积问题要善于观察图形的特点，将面积进行等价转化是解题的关键. 39．已知的短轴长，离心率为，圆． （1）求椭圆和圆的方程； （2）过椭圆左焦点的直线与椭圆交于两点，，若直线于圆交于两点，求直线的方程及与的面积之比． 【答案】（1）；（2），． 【分析】（1）由条件可知，再结合离心率即可求出后可得椭圆及圆的方程； （2）由条件可知存在且不为0，联立椭圆与直线方程，用表示出，求出即可得方程，根据方程可求出圆心到距离及，求出面积后可求面积之比． 【详解】（1）由题得，所以即，所以，则， 所以椭圆的方程为：，圆的方程为：. （2）根据题意可知，左焦点，且直线的斜率存在且不为0， 不妨设，联立，整理得， 所以， 所以， 解得，则， 所以原点到的距离，所以面积为， ，所以面积为， 所以与的面积之比为． 【点睛】本题考查椭圆方程的求法，涉及直线与圆的交点，直线与椭圆的交点等，属于中档题． 40．如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆的右焦点为，左、右顶点分别为、，上、下顶点分别为、，连结并延长交椭圆于点，连结，，记椭圆的离心率为. （1）若，. ①求椭圆的标准方程； ②求和的面积之比. （2）若直线和直线的斜率之积为，求的值. 【答案】（1）①.② ；（2）. 【分析】（1）①设椭圆的焦距为，根据题意列出有关、、的方程组，求出、的值，可得出椭圆的标准方程； ②求出直线的方程，将该直线方程与椭圆的标准方程联立，求出点的坐标，再利用三角形的面积公式可求出和的面积之比； （2）先利用截距式得出直线的方程为，将该直线方程与椭圆的方程联立，求出点的坐标，利用斜率公式计算出直线和的斜率，然后由这两条直线的斜率之积为，得出关于、的齐次方程，由此可解出椭圆的离心率的值. 【详解】（1）①设椭圆的焦距为，由题意，得，解得， 所以椭圆的标准方程为； ②由①知，、，，， 所以直线的方程为， 将其代入椭圆的方程，得，即， 所以或，所以点的坐标为. 从而和的面积之比：； （2）因为、在直线上，所以直线的方程为. 解方程组，得或， 所以点的坐标为. 因为直线的斜率， 直线的斜率， 又因为直线和直线的斜率之积为， 所以， 即，化简得，，解得. 因此，椭圆的离心率为. 【点睛】本题考查椭圆标准方程的求解、三角形面积的比值，以及椭圆离心率的求解，同时也考查了直线与椭圆交点坐标的求解，考查方程思想的应用，属于中等题. 41．已知动点与点的距离和它到直线的距离之比是，点的轨迹为曲线． (1)求的方程； (2)若点在上，且与交于点，点在椭圆上，证明：的面积为定值． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】(1)由题意，应用两点间距离公式化简即可； (2)先设点的坐标再应用点在椭圆上求出两直线方程，利用两点间的距离公式、点到直线的距离公式以及三角形面积公式求面积，化简即可证得结论. 【详解】（1）由题意知， 化简整理得曲线的轨迹方程为． （2）设， 由题意知． 由，可知分别为的中点， 所以，． 由 得， ． 同理， 所以都在直线上． 由 得， 又因为直线过坐标原点， 所以， 又点到直线的距离， 所以，． 又， 故． 所以的面积为定值． 42．已知椭圆的两个焦点坐标分别是，并且经过点． (1)求椭圆的标准方程； (2)过斜率不为0的直线交椭圆于两点，求面积的最大值． 【答案】(1) (2)3 【分析】（1）设椭圆的方程为，结合焦点坐标和椭圆上的点的坐标列方程组求解； （2）设直线方程为，联立直线和椭圆方程，利用韦达定理和面积公式得出面积的表达式，构造函数，利用函数单调性求出面积最大值． 【详解】（1）设椭圆， 椭圆的两个焦点坐标分别是，并且经过点， ，解得， 椭圆的标准方程为： （2）    设直线的方程为， 联立直线和椭圆方程得， 面积， 令，则，， 在单调递增， ， ，此时， 面积的最大值为3． 43．如图，直线与椭圆交于A、B两点，记的面积为S． (1)当，时，求S； (2)当，时，求直线AB的方程； (3)求S的最大值． 【答案】(1) (2) (3)最大值是1 【分析】（1）设出交点坐标，联立方程，求得交点坐标，根据三角形面积公式，可得答案； （2）联立方程，写出韦达定理，根据三角形面积公式与弦长公式，化简方程，可得答案； （3）由（2）可知弦长表达式，根据基本不等式，可得答案. 【详解】（1）设，．由得，解得，， 可得下图： 则．因此． （2）由得． 由， 可得，， 由，得． 又， 代入，得，解得，． 直线AB的方程是． （3）． 由基本不等式得， 当且仅当，等号成立． 由第（2）小题的结论知，S可以取到1，因此S的最大值是1． 44．已知抛物线的焦点为，过点且斜率为的直线与圆相切． (1)求抛物线的方程； (2)设，过点作的两条切线，，切点分别为，试求面积的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由直线与圆相切，转化为圆心到直线的距离等于半径，可得，进而可得； （2）先求得直线的方程为，联立得，再根据点到直线的距离公式得到到的距离为，进而，由可得面积的范围. 【详解】（1）由题意得抛物线的焦点为，则直线， 圆的圆心为，半径，则， 或（舍去），所以抛物线的方程为．    （2）    设，，对于函数，求导得， 所以的斜率， 所以切线的方程为，即， 同理可得切线的方程为， 又因为点在两切线上，， 所以直线的方程为，联立方程， ，，， 所以， 点到直线的方程为， 所以， 因为，所以得 ， 所以面积的取值范围为．   45．平面直角坐标系中，M是一个动点，直线与直线垂直，垂足位于第一象限，直线与直线垂直，垂足位于第四象限，且. (1)求动点M的轨迹方程C； (2)若过点的直线交曲线C于B、D两点，D关于x轴的对称点为点A（异于点B），直线AB与x轴交于点G，求面积的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据已知条件得到，利用点到直线的距离得到和，再根据向量的数量积即可求解； （2）设直线BD方程为，联立直线BD的方程和曲线C，利用韦达定理得到和，写出直线AB的方程，令得到，进而得到，利用换元法结合二次函数在给定区间的值域求解即可. 【详解】（1）设，直线与直线的夹角为，即， 又因为，所以， 又因为，， 所以，化简得， 由于位于第一象限，位于第四象限， 所以M的轨迹方程； （2）由题可知直线斜率不为0，故设直线BD方程为， ，，，， 联立直线BD与曲线C，可得且， 化简得，，， ，，所以， 设直线AB方程为， 令，得， 所以， 所以， 令，， 所以，，， 综上，面积的取值范围为. 46．已知椭圆：的离心率，以椭圆的长轴和短轴为对角线的四边形的面积为. (1)求椭圆的方程； (2)若点为曲线上一点，过点作椭圆的两条切线，，求： ①； ②面积的取值范围. 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）根据椭圆的几何性质即可联立方程求解的值得解， （2）根据直线有无斜率，可结合直线方程以及斜率公式求解，即可得解①，根据圆的切点弦可得直线的方程为，即可联立与椭圆的方程得韦达定理，根据弦长公式以及点到直线的距离公式得面积的表达式，由换元法以及函数的单调性，即可求解②. 【详解】（1）由题意知椭圆：的四个顶点分别为，，，， 所以该四边形的面积为， 又离心率，故，所以，， 则椭圆的方程为. （2）①假设有一条切线斜率不存在，不妨假设斜率不存在，则不妨设过椭圆的右顶点，则直线的方程为，则点坐标为， 显然此时点取椭圆的短轴顶点，则直线的方程为， 此时满足与椭圆相切，且，所以； 当切线斜率存在且不为0时，设切线方程为， 设，则， 联立整理得， 则，即， 将代入上式，得关于的方程， 则（在椭圆外）， ，为该方程的两个根，故， 即，所以. ②先证明：椭圆上一点，的切线方程为． 由椭圆，可得，， 当时，，求导可得：， 当时，， 切线方程为， 整理为：， 两边同时除以得：． 同理可证：时，切线方程也为． 当时，切线方程为满足． 综上，过椭圆上一点，的切线方程为． 设，，故处的切线方程分别为, 由于两切线均经过，因此， 因此，均满足直线，故直线的方程为， 联立，得， ， 则，， 故 ， 又点到直线的距离， 故的面积 ， 又，故令，， 则， 令，显然在上单调递减，故在上单调递增， 则，， 即的取值范围为. 46．已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为，过的直线交椭圆于两点，以为直径的动圆内切于圆为坐标原点． (1)求椭圆的标准方程； (2)设点，过右焦点作斜率为的直线交椭圆于两点，求面积的取值范围． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）由题意结合两圆的位置关系求出a，结合椭圆离心率求出b，即可求得椭圆方程； （2）设出直线方程，联立椭圆方程，可得根与系数关系式，即可求得弦长的表达式，进而求得面积的表达式，利用换元法结合函数的单调性，即可求得答案. 【详解】（1）设的中点为，则E为以为直径的动圆的圆心, 连接．在中，为的中点， ． 由以为直径的动圆内切于圆, 得, 又椭圆离心率，则， 椭圆的标准方程为； （2）由（1）知，，直线， 联立，得， 由于直线过椭圆焦点，必有， 设， ， 点到直线的距离为， 面积为 令，则， 则． 函数在区间上单调递增， 在区间上单调递减， ， 面积的取值范围是． 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，注意的判断； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式； （5）代入韦达定理求解. 47．已知抛物线，两条直线，分别于抛物线交于，两点和，两点． （1）若线段的中点为，求直线的斜率； （2）若直线，相互垂直且同时过点，求四边形面积的最小值． 【答案】（1）；（2）． 【分析】（1）设，，利用点差法可求得结果； （2）设出直线，的方程，的方程与抛物线方程联立，利用弦长公式求出，同理求出，利用两直线垂直求出四边形的面积，然后根据基本不等式可求得最小值. 【详解】（1）设，， 因为线段的中点为，所以， 则，所以， 所以 ，所以直线的斜率. （2）依题意可知，的斜率都存在且不等于0，设的斜率为，因为直线，相互垂直，所以的斜率为， 所以直线的方程为：，直线的方程为， 联立消去并整理得， 恒成立， 所以，， 所以 同理可得， 因为，所以四边形面积 令，则,当且仅当，即时，等号成立. 故，其中 利用二次函数的性质知，当时， 所以四边形面积的最小值为. 【点睛】关键点点睛：本题考查直线与抛物线的应用，已知条件涉及到中点，利用点差法求解是解题关键；求对角线互相垂直的四边形的面积，利用弦长公式求出弦长和是解题关键，考查学生的逻辑推理与运算能力，属于难题. 48．已知抛物线，两条直线，分别与抛物线交于，两点和，两点， （1）若线段的中点为，求直线的斜率； （2）若直线，相互垂直且同时过抛物线的焦点，求四边形面积的最小值． 【答案】（1）（2）128 【分析】（1）设，，利用点差法可求得结果； （2）求出抛物线的焦点坐标，设出直线，的方程，的方程与抛物线方程联立，利用弦长公式求出，同理求出，利用两直线垂直求出四边形的面积，然后根据基本不等式可求得最小值. 【详解】（1）设，， 因为线段的中点为，所以， 则，所以， 所以 ，所以直线的斜率. （2）由可得抛物线的交点， 依题意可知，的斜率都存在且不等于0，设的斜率为，因为直线，相互垂直，所以的斜率为， 所以直线的方程为：，直线的方程为， 联立消去并整理得， 恒成立， 所以，， 所以 ， 同理可得， 因为，所以四边形面积 ,当且仅当，即时，等号成立. 所以四边形面积的最小值为. 【点睛】关键点点睛：（1）利用点差法求解是解题关键；（2）利用弦长公式求出弦长和是解题关键. 49．已知动圆过定点，且在轴上截得的弦长为4，设动圆圆心的轨迹为，点为一个定点，过点作斜率分别为，的两条直线交于点,,,,且，分别是线段，的中点． （1）求轨迹的方程； （2）若，且过点的两条直线相互垂直，求的面积的最小值． 【答案】（1）（2）最小值4 【解析】（1）设动圆圆心的坐标为,根据圆的性质可列得,整理即可得到轨迹方程； （2）当时,,设直线的方程为,联立直线与抛物线,可得,则,,可得,进而得到线段,的中点为,为,代入中求得最值即可 【详解】（1）设动圆圆心的坐标为, 由题意可以得到, 化简得, 所以动圆圆心的轨迹的方程为 （2）当时,为抛物线的焦点, 因为过点的两条直线相互垂直,所以,即, 设直线的方程为, 设,,联立,得, 则,, 所以, 因为,分别是线段,的中点, 所以,即为, 同理为, 所以 , 当且仅当,即时,的面积的最小值为4 【点睛】本题考查轨迹方程,考查直线与抛物线的位置关系的应用,考查抛物线内三角形的最值,考查数形结合能力与运算能力 50．已知椭圆:的离心率为，且与轴的正半轴的交点为，抛物线的顶点在原点且焦点为椭圆的右焦点. (1)求椭圆与抛物线的标准方程； (2)过的两条相互垂直直线与抛物线有四个交点，求这四个点围成四边形的面积的最小值. 【答案】(1),； (2)当两直线的斜率分别为和时，四边形的面积最小，最小值为96. 【分析】（1）由椭圆几何意义得，再根据离心率可得由椭圆的右焦点坐标可得的值，进而可得抛物线方程； （2）因为四边形的面积，所以实质为求弦长，利用直线方程与抛物线方程联立方程组，结合韦达定理及弦长公式可得.求面积最值时，注意整体考虑，利用换元转化为一元二次函数，最后根据对称轴与定义区间位置关系求最小值. 【详解】（1）设半焦距为，由题意得，∴， ∴椭圆的标准方程为. 设抛物线的标准方程为，则，∴， ∴抛物线的标准方程为. （2）由题意知两条直线的斜率存在且不为0，设其中一条直线的斜率为，直线方程为，则另一条直线的方程为， 联立，得，， 设，则， 则， 同理设直线与抛物线的交点为， 则， ∴四边形的面积 ， 令，则（当且仅当时等号成立），. ∴当两直线的斜率分别为和时，四边形的面积最小，最小值为96. 51．已知椭圆的右焦点F与抛物线的焦点重合． (1)求的方程及与交点的横坐标； (2)过F作两条相互垂直的直线，其中一条与交于A，B两点，另一条与交于M，N两点，求四边形面积的最小值． 【答案】(1) (2)8 【分析】(1)由椭圆和抛物线的性质直接得出. (2)用弦长公式得到四边形的两条对角线的长，进而求出四边形面积的最小值. 【详解】（1）由题意得的右焦点，则的焦点为，即， 故的方程是. 联立消得， 解得（负值舍去），故与交点的横坐标为． （2）①当直线斜率为0，直线斜率不存在时，不妨令， 则，故四边形的面积为8． ②如图，当直线的斜率不为0，直线的斜率存在时，      设直线的方程为， 则直线的方程为，，， 联立得， 则， 故． 联立得，则， 故． 所以， 令，则， 故， 又，故， [难点突破]根据对勾函数在上单调递增即可得到． 则， 综上①②，四边形面积的最小值为8． 52．已知椭圆E：的焦点，均在圆O：上，P为椭圆上一点，的面积的最大值为． (1)求椭圆E的方程； (2)两相互垂直且斜率存在的直线，均与圆O相切，分别与椭圆E相交于A，B，C，D四点，求四边形ACBD面积的最小值． 【答案】(1)； (2). 【分析】(1) 由题意知,，即可得椭圆方程； (2) 设直线：，直线：，联立直线与椭圆E的方程，结合韦达定理及弦长公式可得 ，，从而得，令，，得，结合双勾函数的性质即可得答案. 【详解】（1）解：由题意知，， 得，则， 故椭圆E的方程为; （2）解：设直线：，直线：，则． 由直线与圆O：相切，可得，即， 联立直线与椭圆E的方程， 可得， 显然， 设， 则，， 由弦长公式可得 ， 同理可得， 由直线，垂直， 可得四边形ACBD的面积， 令， 得， 令， 可得， 即四边形ACBD的面积最小值为． 53．在平面直角坐标系中，椭圆：的右顶点为，上顶点为，离心率为. (1)求的方程； (2)设是曲线上位于第一象限的任意点. （I）若，求点的坐标； （II）记点关于原点的对称点为，求四边形的面积的最大值. 【答案】(1) (2)（I）；（II）. 【分析】（1）由题意有，根据离心率即可求解； （2）（I）设点的坐标为，其中，，由得，又点在椭圆上，即，进而得解； （II）在（I）的条件下，的坐标为，则，最后利用基本不等式即可求解. 【详解】（1）由题意知，，因为， 所以，故的方程为：. （2）（I）设点的坐标为，其中，，且，， 因为，所以， 因为，所以， 解得（舍去），此时， 故点的坐标为. （II）在（I）的条件下，的坐标为，记四边形的面积为，则， 由基本不等式得：， 因为，所以. 当且仅当，即时等号成立， 故四边形的面积的最大值为. 54．已知椭圆的中心与坐标原点重合，为的一个焦点，且点在上. (1)求的方程及离心率； (2)设点为在第一象限的部分上一点，求四边形面积的最大值. 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）根据椭圆的基本性质，利用已知的半焦距和短半轴长求出长半轴长，进而得到椭圆方程和离心率； （2）通过设出椭圆上一点的参数坐标，将四边形面积拆分为两个三角形面积之和，再利用三角函数的性质求出面积的最大值. 【详解】（1）由题可设C的方程为，C的半焦距为， 则，，， 所以C的方程为， 离心率； （2）设点，，    则 其中为锐角，且， 当时，四边形OFPB的面积取得最大值，且最大值为 55．已知抛物线的焦点为，直线过点且与相交于，两点，当直线的倾斜角为时，. (1)求抛物线的方程； (2)过点作抛物线的切线，过点作的平行线交于另外一点. ①求证：； ②求四边形（为坐标原点）面积的最小值. 【答案】(1) (2)①证明见解析；②18 【分析】（1）写出直线的方程，并与抛物线的方程联立，由韦达定理及抛物线定义即可求解； （2）①将抛物线的方程化为关于的函数，求导得直线，的斜率，再分别写出，的方程，联立直线与抛物线的方程，由韦达定理即可证明； ②分别表示出弦与弦的长，再表示出点到直线的距离及点到直线的距离，将四边形的面积转化为△与△面积的和，再由函数的性质即可求解． 【详解】（1）依题意抛物线的焦点为，准线方程为， 则当直线的倾斜角为时，直线的方程为， 联立，消去得，则， 所以， 由抛物线定义得， 所以，所以抛物线的方程为． （2）①证明：抛物线的方程化为，则， 所以过点的抛物线的切线的方程为， 因为，所以直线的方程为， 与抛物线的方程联立并化简得， 因为直线交抛物线于、两点，所以； ②显然直线的斜率存在，则设直线的方程为， 联立，消去得，则，， 所以， 原点到直线的距离． 由①得，， 则 ， 点到的距离 ， 则四边形的面积 ， 令，则，所以， 则，所以关于的函数在上单调递增， 所以当，即时有最小值，最小值为18． 56．已知抛物线的顶点为坐标原点，焦点为，过点的直线与交于、两点，过点作轴的垂线与直线相交于点． (1)求的方程； (2)证明：点在定直线上； (3)延长交（2）中的直线于点，求四边形面积的最小值． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）由抛物线的焦点坐标可得出该抛物线的标准方程； （2）分析可知，直线不与轴重合，设直线的方程为，设点、，将该直线方程与抛物线方程联立，列出韦达定理，将直线、的方程联立，求出点的坐标，即可证得结论成立； （3）将直线的方程与直线的方程联立，可知，然后利用梯形的面积公式、韦达定理以及基本不等式可求得的最小值. 【详解】（1）由题意，设抛物线的标准方程为，则，可得， 故抛物线的标准方程为. （2）若直线与轴重合，则该直线与抛物线只有一个交点，不合乎题意， 设直线的方程为，设点、， 联立可得，， 由韦达定理可得，， 由题意可知，直线的方程为， 直线的方程为， 联立直线、的方程得可得，所以，. 因此，点在定直线上. （3）如下图所示：    易知点，直线的方程为， 联立直线与直线的方程可得可得，故点，则， 且，， 所以， ， 因为， 当且仅当时，即当时，等号成立， 所以，. 因此，四边形面积的最小值为. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点22：破解圆锥曲线的面积：圆锥曲线中三角形与四边形面积问题 （培优固本提能讲义） 知识网络·核心根基深扎牢 1 实战演练·能力进阶攀高峰 3 题型一、三角形面积之焦点三角形法 4 题型二、三角形面积之底高法 5 题型三、三角形面积之定底求高法 6 题型四、三角形面积和差问题 7 题型五、三角形面积比值问题：补角模型 9 题型六、三角形面积比值问题：等角模型 10 题型七、三角形面积比值问题：共角模型 11 题型八、四边形面积之对角线垂直法 12 题型九、四边形面积之分割法 13 题型十、三角形、四边形面积最值（范围）问题 15 题型精析・方法突破提能力 16 知识网络・核心根基深扎牢 方法1：三角形面积之焦点三角形法 椭 圆：设椭圆椭圆，焦点为椭圆上一点，，，则面积为： 证明（大题按照此步骤）：由余弦定理： 由椭圆定义得：a，平方得到： 两式相减得到： 所以： 双曲线：设双曲线，焦点为双曲线上一点，，则面积为： 证明（大题按照此步骤）：由余弦定理： 由椭圆定义得：a，平方得到： 两式相减得到： 所以： 方法2：三角形面积之底高法 弦长公式： ； ； 点到弦长距离公式： 面积公式：（该公式可计算最值型面积） 方法3：三角形面积之定底求高法 如图直线过定点Q，直线与椭圆或双曲线交于， 方法4：三角形面积最值范围问题方法策略 1.先利用面积公式求出含参数的表达式 2.利用换元法化简表达式或分子分母同除以分子，将分子化为常数 3.利用基本不等式或函数单调性求最值或范围 实战演练・能力进阶攀高峰 题型一、三角形面积之焦点三角形法 典例探究 【例题1】椭圆的焦点为，P为椭圆上一点，若，则的面积是. A． B． C． D． 举一反三 【1-1】椭圆的左右焦点分别为，点在椭圆上，且，则的面积是 【1-2】已知双曲线的左、右焦点分别为． (1)若双曲线与椭圆有共同的焦点，且双曲线过点，求该双曲线的标准方程； (2)若，点在双曲线右支上，且，求的面积． 【1-3】设为实数，已知双曲线与椭圆有相同的焦点． (1)求的值； (2)若点在上，且，求的面积． 题型二、三角形面积之底高法 典例探究 【例题2】已知椭圆的左､右焦点分别为和，离心率是，直线被椭圆截得的弦长等于2. (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线与椭圆相交于两点，为坐标原点，求的面积. 举一反三 【2-1】已知椭圆长轴长为4，且椭圆的离心率，其左右焦点分别为． (1)求椭圆的方程； (2)设过点且倾斜角为的直线与椭圆交于两点，分别求的周长和面积． 【2-2】已知椭圆的离心率为，经过点． (1)求椭圆的方程； (2)设为的右顶点，过点的直线交于两点，若为的中点，求的面积． 【2-3】已知椭圆的离心率为，右焦点为,斜率为1的直线与椭圆交于两点，以为底边作等腰三角形，顶点为. （1）求椭圆的方程； （2）求的面积. 题型三、三角形面积之定底求高法 典例探究 【例题3】如图所示，椭圆的左、右焦点分别为，一条直线经过与椭圆交于A，B两点. (1)求椭圆的焦距、短轴长和离心率； (2)若直线的倾斜角为，求的面积. 举一反三 【3-1】已知椭圆的离心率为，且椭圆经过点. (1)求椭圆的方程； (2)过椭圆的左焦点作斜率为1的直线交椭圆于两点，为的右焦点，求的面积. 【3-2】如图所示，椭圆的左、右焦点分别为，，一条直线经过与椭圆交于，两点． (1)求焦点坐标，焦距，短轴长； (2)若直线的倾斜角为，求的面积． 【3-3】已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，左焦点为． (1)求椭圆的方程； (2)若是椭圆的右焦点，过点且斜率为1的直线交椭圆于两点，求的面积． 题型四、三角形面积和差问题 典例探究 【例题4】已知抛物线的焦点为，过点的直线交于两点，为坐标原点，记与的面积分别为和，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 举一反三 【4-1】已知双曲线 的左、右焦点分别为，，已知点在双曲线右支上且在第一象限，点为三角形的内心，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【4-2】若椭圆的左右焦点分别为，，直线l：与椭圆交于A，B两点，若点P为线段上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【4-3】已知为坐标原点，为抛物线的焦点，直线与交于点（点在第一象限），若，则与面积之和的最小值为（    ） A． B． C． D． 题型五、三角形面积比值问题：补角模型 典例探究 【例题5】椭圆具有光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线过椭圆的另一个焦点（如图）.已知椭圆的左、右焦点分别为，过的直线与椭圆交于点A，B，过点作椭圆的切线，点关于的对称点为，若，则（   ） A． B． C． D． 举一反三 【5-1】已知椭圆，其中，为椭圆的左焦点． (1)若椭圆离心率为，求椭圆方程； (2)点是第一象限内椭圆与直线的公共点，直线与直线交于，直线与轴交于，直线与轴交于，连接，设的面积为，的面积为，试比较与的大小． 【5-2】已知抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于、两点，过点的直线交抛物线于、两点，且. (1)求证：为定值，并求出该定值； (2)如图，点、在轴的同侧，，直线与直线的交点为，记，的面积分别为，，求的取值范围. 【5-3】已知椭圆过点，且离心率为． (1)求E的方程； (2)过作斜率之积为1的两条直线与，设交E于A，B两点，交E于C，D两点，的中点分别为M，N．探究：与的面积之比是否为定值？若是，请求出定值；若不是，请说明理由． 题型六、三角形面积比值问题：等角模型 典例探究 【例题6】已知椭圆的离心率为，长轴长为，直线与轴，轴分别交于点（均不与坐标原点O重合），与椭圆相交于两点. (1)求的方程； (2)直线的斜率为时，求与的面积之比； 举一反三 【6-1】已知抛物线的焦点为，直线与轴的交点为，与的交点为，且. （1）求的方程； （2）设，动点在曲线上，曲线在点处的切线为.问：是否存在定点 ，使得与都相交，交点分别为，且与的面积之比是常数？若存在，求的值；若不存在，说明理由. 【6-2】已知，，平面上有动点，且直线的斜率与直线的斜率之积为1. (1)求动点的轨迹的方程. (2)过点的直线与交于点（在第一象限），过点的直线与交于点（在第三象限），记直线，的斜率分别为，，且. ①求证：直线过定点； ②试判断与的面积之比是否为定值，若为定值，请求出该定值；若不为定值，请说明理由． 【6-3】已知双曲线W：的左、右焦点分别为、，点，右顶点是M，且，． （Ⅰ）求双曲线的方程； （Ⅱ）过点的直线l交双曲线W的右支于A、B两个不同的点（B在A、Q之间），若点在以线段AB为直径的圆的外部，试求△AQH与△BQH面积之比λ的取值范围． 题型七、三角形面积比值问题：共角模型 典例探究 【例题7】设抛物线的焦点为F，过点的直线与E相交于A，B两点，与E的准线相交于点C，点B在线段AC上，，则与的面积之比（    ） A． B． C． D． 举一反三 【7-1】已知椭圆的离心率为，其长轴的两个端点分别为，． (1)求椭圆C的标准方程； (2)点P为椭圆上除A，B外的任意一点，直线AP交直线于点E，点O为坐标原点，过点O且与直线BE垂直的直线记为l，直线BP交y轴于点M，交直线l于点N，求与的面积之比． 【7-2】在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，动点（x，y）与定点F（﹣1，0）的距离和它到定直线x=﹣2的距离之比是． （1）求动点的轨迹C的方程； （2）过F作曲线C的不垂直于y轴的弦AB，M为AB的中点，直线OM与交于P，Q两点，求四边形APBQ面积的最大值． 【7-3】已知椭圆的两个顶点分别为，，焦点在轴上，离心率为. （1）求椭圆的方程； （2）点为轴上一点，过作轴的垂线交椭圆于不同的两点，，过作的垂线交于点.求与的面积之比. 题型八、四边形面积之对角线垂直法 典例探究 【例题8】已知椭圆的离心率为，焦距为，以为三边的三角形面积为. (1)求C的方程； (2)过右焦点作两条互相垂直的直线分别交椭圆于，求四边形面积的最小值. 举一反三 【8-1】在平面直角坐标系中，动圆与圆内切于，且与圆 外切于，设动圆的圆心轨迹为曲线（如图）·    (1)求曲线的方程； (2)若圆的两条相互垂直的切线均不与坐标轴垂直，且直线分别与曲线相交于点和，求四边形面积的最小值. 【8-2】已知椭圆的离心率为，点在椭圆上． (1)求椭圆的标准方程； (2)若椭圆过原点的弦相互垂直，求四边形面积的最大值． 【8-3】已知椭圆 的上顶点为B，右焦点为F，点B、F都在直线上． (1)求椭圆的标准方程； (2)若圆的两条相互垂直的切线均不与坐标轴垂直，且直线分别与相交于点A，C和B，D，求四边形面积的最小值． 题型九、四边形面积之分割法 典例探究 【例题9】已知椭圆的离心率为，焦距为．    (1)求椭圆的方程； (2)过圆上一动点作椭圆的两条切线，切点分别为． （I）证明：； （II）求四边形面积的取值范围． 举一反三 【9-1】已知椭圆Γ：过点，点Q为Γ的下顶点，直线PQ的斜率为． (1)求Γ的方程； (2)AB是过Γ右焦点的弦（AB不是长轴），AB的中点为G，过点A，B分别作直线l：的垂线，垂足分别为C，D，l与x轴的交点为E． （ⅰ）证明：； （ⅱ）记CG与AE的交点为M，DG与BE的交点为N，求四边形MGNE面积的最大值． 【9-2】已知椭圆的左、右焦点分别为，点在上运动，是的重心，且点到点与到点的距离之和为． (1)求的方程； (2)设分别为的左、右顶点，动点在直线上，直线与的另一个交点为，直线与的另一个交点为． （ⅰ）证明：直线过定点，并求出该定点坐标； （ⅱ）求四边形面积的最大值． 【9-3】已知椭圆的长轴长为，左、右焦点分别为，直线与交于两点，且面积的最大值为. (1)求椭圆的方程； (2)若. （i）证明：； （ii）若直线经过原点，与椭圆交于两点，且 ，求四边形面积的取值范围. 题型十、三角形、四边形面积最值（范围）问题 典例探究 【例题10】已知椭圆的右焦点为，点在椭圆上，且轴， (1)求椭圆的方程； (2)过点的直线交椭圆于，两点，点在直线上，满足 x轴. ①证明直线过定点； ②设定点坐标为，求面积的最大值. 举一反三 【10-1】已知双曲线的渐近线方程为，过右焦点且斜率为的直线与相交于、两点. 点关于轴的对称点为点. (1)求双曲线的方程： (2)求证：直线恒过定点，并求出定点的坐标； (3)当时，求面积的最大值. 【10-2】圆锥曲线第二定义：设动点到定点的距离与点到定直线的距离的比是，当时，该动点的轨迹为双曲线.定直线称为准线，比值称为离心率，称为焦半径.如图，为曲线的左、右焦点，该曲线离心率，准线.动点在曲线的右支上.设的平分线与轴、轴分别交于点. (1)求曲线的标准方程； (2)求的取值范围； (3)设过点的直线与双曲线交于两点，求面积的最大值. 【10-3】在直角坐标系中，是抛物线上不重合的三点，为的焦点.且的重心为. (1)求直线在轴上的截距的取值范围； (2)求面积的最大值. 题型精析・方法突破提能力 1.已知抛物线：的焦点为，坐标原点为，直线与抛物线交于A，两点（与均不重合），以线段为直径的圆过原点，则与的面积之和可能为（    ） A． B． C． D． 2.设双曲线C：的左右焦点分别为，它的实轴长为4，P是C上的一点且满足，的面积是4，则C的方程是 . 3.过抛物线C:y2=4x的焦点F的直线l与抛物线相交于P，Q两点，与抛物线的准线相交于点M，且，则△OMP与△OMQ的面积之比 . 4.已知椭圆的左，右焦点分别为，，，点在上，为椭圆的一个动点. (1)求的方程. (2)当时，求的面积. (3)求的取值范围. 5.已知椭圆：（）的左、右焦点分别为，，点是椭圆上的一点． (1)若，求的取值范围； (2)若，求的面积． 6.已知椭圆与双曲线具有共同的焦点，，点在椭圆上，，若______（在①②③中选择一个：①椭圆过点，②椭圆的短轴长为10，③椭圆离心率为．说明：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分） (1)求椭圆的标准方程； (2)求的面积． 7.已知椭圆上存在点，使，其中、为该椭圆的两个焦点，求的面积． 8.已知椭圆：（），离心率，且点在椭圆上. (1)求该椭圆的方程； (2)直线交椭圆于，两点，直线，的斜率之和为0，且，求的面积. 9.已知双曲线的离心率为为上一点． (1)求的方程； (2)过的右焦点且倾斜角为的直线交于两点，为坐标原点，求的面积. 10.已知双曲线的中心为坐标原点，且焦点在轴上，点在双曲线上，其一条渐近线方程为． (1)求双曲线的标准方程； (2)过点且倾斜角为的直线与双曲线交于两点，求的面积． 11.已知双曲线C：（，）的一条渐近线方程为，焦距为． (1)求双曲线C的标准方程； (2)若O为坐标原点，直线l：交双曲线C于A，B两点，求的面积． 12.在平面直角坐标系中，动点到定点的距离是点到轴的距离与点到直线的距离的等差中项，记动点的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)若点，过的直线与曲线交于两点，且，求的面积. 13.已知抛物线的焦点为，为抛物线上一点，延长交抛物线于点．抛物线的准线与轴的交点为，． (1)求抛物线的方程； (2)求△的面积． 14.已知椭圆，左、右焦点分别为，，过点作倾斜角为的直线交椭圆于，两点． (1)求的长； (2)求的面积． 15.已知过点的直线与双曲线交于. (1)求与双曲线共渐近线且过点的双曲线的方程； (2)若线段的中点为，求直线的方程和三角形面积. 16.已知抛物线：（）的焦点关于其准线的对称点为. (1)求抛物线的方程； (2)若为坐标原点，过焦点且斜率为1的直线交抛物线于、两点，求的面积. 17.已知点是抛物线上的动点，过点向轴作垂线段，垂足为，垂线段中点为，设的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)设过点且斜率为1的直线交曲线于，两点，为坐标原点，求的面积. 18.已知抛物线 的焦点与双曲线的右顶点重合，过点的直线与抛物线交于两点. (1)求抛物线方程； (2)若，且在轴的下方，在轴的上方，求的面积． 19.已知抛物线的准线方程为，过其焦点的直线交抛物线于两点，线段的中点为坐标原点为且直线OM的斜率为. (1)求抛物线的方程； (2)求的面积. 20.已知椭圆的左、右焦点分别为，，且，点在椭圆上，直线． (1)若直线与椭圆有两个公共点，求实数的取值范围； (2)当时，记直线与轴，轴分别交于两点，为椭圆上两动点，求的最大值． 21.已知椭圆的右焦点，过的直线交椭圆于两点，若，当时，. (1)求椭圆的方程； (2)设椭圆的下顶点为，的面积为，的面积为，求的最大值. 22.已知直线与抛物线：()交于、两点，且点、在轴两侧，其准线与轴的交点为点，当直线的斜率为且过抛物线的焦点时，. （1）求抛物线的标准方程； （2）若抛物线的焦点为，，且与的面积分别为、，求的最小值. 23.已知抛物线：（）的焦点为，准线与轴交于点，过点作圆：的两条切线，切点为，，. （1）求抛物线的方程； （2）设，是抛物线上分别位于轴两侧的两个动点，且（其中为坐标原点），求与面积之和的最小值. 24.已知双曲线E的中心在原点，焦点在x轴上，且焦点到渐近线的距离为，其离心率为，记直线从下到上与x轴、双曲线的右支、两条渐近线、双曲线的左支依次交于点P，A，B，C，D，如图所示： (1)求双曲线E的方程； (2)求证：； (3)若，，成等差数列，问，的面积之和是否为定值?并说明理由. 25.在平面直角坐标系中，椭圆：的左，右焦点分别为，，离心率为，以原点为圆心，以椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切；过点的直线与椭圆相交于，两点. (1)求椭圆的方程； (2)求面积的最大值，并求取得最大值时与的面积之比. 26.已知双曲线：的焦距为4，且过点 (1)求双曲线的方程； (2)过双曲线的左焦点分别作斜率为的两直线与，直线交双曲线于两点，直线交双曲线于两点，设分别为与的中点，若，试求与的面积之比. 27.已知抛物线.过抛物线焦点F作直线分别在第一、四象限交于两点，过原点O作直线与抛物线的准线交于E点，设两直线交点为S.若当点P的纵坐标为时，. (1)求抛物线的方程. (2)若平行于x轴，证明：S在抛物线C上. (3)在（2）的条件下，记的重心为R，延长交于Q，直线交抛物线于（T在右侧），设中点为G，求与面积之比n的取值范围. 28.如图，已知A，B为抛物线E：上任意两点，抛物线E在A，B处的切线交于点P，点P在直线上，且，动点Q为抛物线E在A，B之间部分上的任意一点． (1)求抛物线E的方程； (2)抛物线E在Q处的切线交PA，PB于M，N两点，试探究与的面积之比是否为定值，若为定值，求出定值，若不为定值，请说明理由． 29．已知抛物线的焦点为F. (1)过点F且斜率为的直线交抛物线C于P，Q两点，若，求抛物线C的方程； (2)过点F的直线交抛物线C于A，B两点，直线AO，BO分别与直线相交于M，N两点，试判断与的面积之比是否为定值，并说明理由． 30.已知坐标原点为，抛物线为与双曲线在第一象限的交点为，为双曲线的上焦点，且的面积为3． (1)求抛物线的方程； (2)已知点，过点作抛物线的两条切线，切点分别为，，切线，分别交轴于，，求与的面积之比． 31．已知椭圆Γ方程为，B1、B2分别是椭圆Γ短轴上的上下两个端点，F1是椭圆的左焦点，P是椭圆上异于B1、B2的点，是边长为4的等边三角形． (1)求椭圆的离心率； (2)当直线PB1的一个方向向量是（1，1）时，求以PB1为直径的圆的标准方程； (3)点R满足：，，试问：与的面积之比是否为定值？并说明理由． 32．已知，分别是椭圆：的右顶点和上顶点，，直线的斜率为. (1)求椭圆的方程； (2)直线，与，轴分别交于点，，与椭圆相交于点，. （i）求的面积与的面积之比； （ⅱ）证明：为定值. 33．已知椭圆的左、右顶点分别为，长轴长为短轴长的2倍，点在上运动，且面积的最大值为8． (1)求的方程； (2)若直线经过点，交于两点，直线分别交直线于，两点，试问与的面积之比是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由． 34．在平面直角坐标系中，已知椭圆的左顶点为，上顶点为，右焦点为，连接并延长交椭圆于点椭圆． (1)若，，求椭圆的方程 (2)若直线与直线的斜率之比是，求与的面积之比． 35．已知椭圆的焦点为，长轴长与短轴长的比值为. (1)求椭圆M的方程： (2)过点F的直线l与椭圆M交于A，B两点，轴于点C，轴于点D，直线BD交直线于点E，求与的面积之比. 36．如图所示，已知A，B，C是焦距为4的椭圆上的三点，点A是长轴的一个端点，BC过椭圆的中心且，． （1）求椭圆G的方程； （2）过椭圆G上异于顶点的任意一点P作圆的两条切线，切点分别为M，N，若直线MN与x轴，y轴分别交于点E，F，当的面积最小时求与的面积之比． 37．如图，在平面直角坐标系中，圆：过点，离心率为. （1）求椭圆的方程； （2）设为轴上一点，过点作轴的垂线与椭圆交于不同的两点，，再过点作的垂线交于点，求与的面积之比. 38．已知椭圆的两个顶点分别为，，焦点在轴上，离心率为． （1）求椭圆的方程； （2）设椭圆的右焦点为，过作轴的垂线交椭圆于不同的两点，，且点在轴的上方，过作的垂线交于点，求与的面积之比． 39．已知的短轴长，离心率为，圆． （1）求椭圆和圆的方程； （2）过椭圆左焦点的直线与椭圆交于两点，，若直线于圆交于两点，求直线的方程及与的面积之比． 40．如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆的右焦点为，左、右顶点分别为、，上、下顶点分别为、，连结并延长交椭圆于点，连结，，记椭圆的离心率为. （1）若，. ①求椭圆的标准方程； ②求和的面积之比. （2）若直线和直线的斜率之积为，求的值. 41．已知动点与点的距离和它到直线的距离之比是，点的轨迹为曲线． (1)求的方程； (2)若点在上，且与交于点，点在椭圆上，证明：的面积为定值． 42．已知椭圆的两个焦点坐标分别是，并且经过点． (1)求椭圆的标准方程； (2)过斜率不为0的直线交椭圆于两点，求面积的最大值． 43．如图，直线与椭圆交于A、B两点，记的面积为S． (1)当，时，求S； (2)当，时，求直线AB的方程； (3)求S的最大值． 44．已知抛物线的焦点为，过点且斜率为的直线与圆相切． (1)求抛物线的方程； (2)设，过点作的两条切线，，切点分别为，试求面积的取值范围． 45．平面直角坐标系中，M是一个动点，直线与直线垂直，垂足位于第一象限，直线与直线垂直，垂足位于第四象限，且. (1)求动点M的轨迹方程C； (2)若过点的直线交曲线C于B、D两点，D关于x轴的对称点为点A（异于点B），直线AB与x轴交于点G，求面积的取值范围. 46．已知椭圆：的离心率，以椭圆的长轴和短轴为对角线的四边形的面积为. (1)求椭圆的方程； (2)若点为曲线上一点，过点作椭圆的两条切线，，求： ①； ②面积的取值范围. 46．已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为，过的直线交椭圆于两点，以为直径的动圆内切于圆为坐标原点． (1)求椭圆的标准方程； (2)设点，过右焦点作斜率为的直线交椭圆于两点，求面积的取值范围． 47．已知抛物线，两条直线，分别于抛物线交于，两点和，两点． （1）若线段的中点为，求直线的斜率； （2）若直线，相互垂直且同时过点，求四边形面积的最小值． 48．已知抛物线，两条直线，分别与抛物线交于，两点和，两点， （1）若线段的中点为，求直线的斜率； （2）若直线，相互垂直且同时过抛物线的焦点，求四边形面积的最小值． 49．已知动圆过定点，且在轴上截得的弦长为4，设动圆圆心的轨迹为，点为一个定点，过点作斜率分别为，的两条直线交于点,,,,且，分别是线段，的中点． （1）求轨迹的方程； （2）若，且过点的两条直线相互垂直，求的面积的最小值． 50．已知椭圆:的离心率为，且与轴的正半轴的交点为，抛物线的顶点在原点且焦点为椭圆的右焦点. (1)求椭圆与抛物线的标准方程； (2)过的两条相互垂直直线与抛物线有四个交点，求这四个点围成四边形的面积的最小值. 51．已知椭圆的右焦点F与抛物线的焦点重合． (1)求的方程及与交点的横坐标； (2)过F作两条相互垂直的直线，其中一条与交于A，B两点，另一条与交于M，N两点，求四边形面积的最小值． 52．已知椭圆E：的焦点，均在圆O：上，P为椭圆上一点，的面积的最大值为． (1)求椭圆E的方程； (2)两相互垂直且斜率存在的直线，均与圆O相切，分别与椭圆E相交于A，B，C，D四点，求四边形ACBD面积的最小值． 53．在平面直角坐标系中，椭圆：的右顶点为，上顶点为，离心率为. (1)求的方程； (2)设是曲线上位于第一象限的任意点. （I）若，求点的坐标； （II）记点关于原点的对称点为，求四边形的面积的最大值. 54．已知椭圆的中心与坐标原点重合，为的一个焦点，且点在上. (1)求的方程及离心率； (2)设点为在第一象限的部分上一点，求四边形面积的最大值. 55．已知抛物线的焦点为，直线过点且与相交于，两点，当直线的倾斜角为时，. (1)求抛物线的方程； (2)过点作抛物线的切线，过点作的平行线交于另外一点. ①求证：； ②求四边形（为坐标原点）面积的最小值. 56．已知抛物线的顶点为坐标原点，焦点为，过点的直线与交于、两点，过点作轴的垂线与直线相交于点． (1)求的方程； (2)证明：点在定直线上； (3)延长交（2）中的直线于点，求四边形面积的最小值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $